4.2 熱伝導方程式
4.3.2 主要な 3 つの差分スキーム
から順に考えていこう． では，t, xについてともに前進差分を採用するのだから，
u(t+ ∆t, x)−u(t, x)
∆t +cu(t, x+ ∆x)−u(t, x)
∆t = 0
であるから，差分方程式は，
uk+1j =ukj −c∆t
∆x
(ukj+1−ukj)
となる．これは，前の時刻の2点の値の重み付き平均から1点の値が決まるメカニズムである．
ukj ukj+1 uk+1j
時刻(k+ 1)∆t
時刻k∆t
前の時刻の2点の値の重み付き平均
メカニズムがわかったら，例によって増幅率を計算しよう．
g = 1−c∆t
∆x(exp(iξ∆x)−1) = (
1 +c∆t
∆x )
−c∆t
∆xexp(iξ∆x) である．
ここで，λ = ∆t/∆x= const.なる差分スキームを考えることにすると，上の計算から，gは，1 +cλ を中心とする半径cλの円周上にある．そのようなgに対して，|g|は∀ξに対して1 +K∆tで押さえるこ とはできない．従って，不安定スキームであることがわかる．
1 +cλ 0
1
半径cλ
のスキームは，tに関して前進差分，xに関して中心差分近似するスキームである．
u(t+ ∆t, x)−u(t, x)
∆t +cu(t, x+ ∆x)−u(t, x−∆x)
∆t = 0
であるから，差分方程式は，
uk+1j =ukj − c 2· ∆t
∆x
(ukj+1−ukj−1)
となる．これは，（熱伝導方程式と同じように）前の時刻の3点の重み付き平均から1点での値が決まる スキームである．
ukj−1 ukj ukj+1 uk+1j
時刻(k+ 1)∆t
時刻k∆t
前の時刻の3点の値の重み付き平均
メカニズムがわかったら，例によって増幅率を計算しよう．
g = 1− c 2
(∆t
∆x )
(exp(iξ∆x)−exp(−iξ∆x)) = 1−ic (∆t
∆x )
sin(ξ∆x) となる．従って，
|g|=
√ 1 +c2
(∆t
∆x )2
sin2(ξ∆x)
となる．ここで，λ = ∆t/∆x = const.なる差分スキームを考えると，max|g| = √
1 +c2λ2 > 1となっ て，λによらず不安定なスキームであることがわかる．
ここでρ= ∆t/(∆x)2 = const.なる条件でこの差分スキームを考えると，
|g|=
√
1 +c2 ∆t
(∆x)2 sin2(ξ∆x)∆t=
√
1 +c2ρ∆tsin2(ξ∆x)≤1 + 1 2c2ρ∆t
となるので，定数Kとしてc2rho/2が取れて，von Neumannの条件が満たされ，安定スキームである．
しかし，このスキームは，∆t/∆x= const.なる安定スキームが，もし存在すれば，それに比べると非能 率的である．∆xを小さくすると，∆tをその2乗の割合で小さくしなければならず，計算量が増大する からである．
のスキームを考えよう．tについては前進差分，xについては後退差分近似を行うのであるから，
u(t+ ∆t, x)−u(t, x)
∆t +cu(t, x)−u(t, x−∆x)
∆t = 0
であり，差分方程式は，
uk+1j =ukj −c∆t
∆x
(ukj −ukj−1)
となる．これは，t, xを共に前進差分で近似した場合と似たメカニズムであるが，少し違っている．前の 時刻の2点と言っても，考えている位置とその前の1点での値を利用するわけである．（両方とも前進差 分する場合は，前の1点の値を利用していた．）
ukj−1 ukj uk+1j
時刻(k+ 1)∆t
時刻k∆t
前の時刻の3点の値の重み付き平均
メカニズムがわかったら例によって，増幅率を計算しよう．
g = 1−c∆t
∆x(1−exp(−iξ∆x)) = (
1−c∆t
∆x )
+c∆t
∆xexp(−iξ∆x)
となる． と同様に幾何的に考えると，gは，1−cλを中心とする半径cλの円周上に存在する．この円 周がすべて原点中心の半径1の円周内に入るためには，
cλ=c∆t
∆x ≤1
が必要かつ十分である．従って，λ= ∆t/∆x= const.という差分スキームでは，これが安定性のための 条件となる．
1−cλ 0
1
半径cλ
ここまでc >0としてきた．（本章冒頭に掲げた方程式の形でもc > 0としていた．）もちろんc <0と してもよいが，その場合は右向き進行波ではなく左向き進行波を一般解に持ち，t, x共に前進差分で近似 した方が安定になる．