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部分群

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2.8 17 ポーカーの解析

2.14 部分群

2.14 部分群

Gの部分集合が,Gの積に関して再び群の構造を持つことがあります.

これをGの部分群といいます.

Gの部分群を調べることによりGの性質がわかったり,逆にGをより大き な群の部分群とみなすことによりGの性質がわかったりします.

定義22 (部分群) 集合Hが群Gの部分群であるとは,次の二つの性質を満 たすことをいいます.

(i). HGの部分集合.

(ii). HGの積に関して群をなす.

49 Gを群とする.

G自身と,Gの単位元のみからなる群{eG}Gの部分群になります.この 二つの部分群を自明な部分群といいます.

50 Gを群とする.

a∈Gで生成される巡回群⟨a⟩Gの部分群になります.この部分群を巡回 部分群といいます.

51 (n次交代群) Snの元のうちで,偶数個の互換の積で書けるもの全体 の集合をAnで表します.AnSnの部分群になります.Ann次交代群 といいます.

定義23 (元の位数) Gを群とする.

a∈Gの位数を,Gの部分群⟨a⟩の位数で定義します.

解説 位数には,群の位数と元の位数の二つがあり,混同しがちなので注意 が必要です.

52 k次巡回置換の位数はk.

補題8 Gを有限群,e∈GGの単位元,a∈Gとすると,ある自然数n が存在して次の等式が成り立つ.

an =e

(証明)有限群Gの位数をNとする.集合 S ={a1, a2, a3,· · · , ak,· · · , aN+1} を考える.

すると,異なる二つの自然数i,j があって ai=aj

を満たします.なぜならSGの部分集合なのでSの元の可能性はGの位 数以下しかありませんが,Sの位数はN+ 1なので少なくとも二つは同じも のがないといけないからです.

Gが群なので,aの逆元a1が存在します.

ai(a1)j=aj(a1)j よって,

aij=e

となり,n=i−jという自然数が得られました.2

2.14.1 置換の位数

補題9 σ, τ ∈Snを共通の数を含まない巡回置換とする.このとき,στの 位数は,σの位数と,τの位数の最小公倍数となる.

(στ)r= 1nとなる最小のrは,(στ)r=σrτr より,σr=τr= 1nを満たす.

rを,σの位数とτの位数の最小公倍数とすればこの等式を満たし,それよ り小さい数では満たさないことが簡単にわかる.

53 次の置換σの位数を求めてください.

σ=

( 1 2 3 4 5 4 5 2 1 3

) .

まず,σを共通の数を含まない巡回置換の積で表す.

σ= ( 1 4 ) ( 2 5 3 )

( 1 4 )は2次の巡回置換,( 2 5 3 )は3次の巡回置換なので,それぞ れの位数は,2,3となる.

よって,σの位数は2と 3の最小公倍数の6となる.

問題71 M2(R)は2次行列全体のなす環です.群(M2(R),+)が可換群であ ることを証明してください.

問題72 M2(R)の乗法群GL2(R)が可換群でないことを証明してください.

問題73 n次対称群Snの位数を求めてください.

2.14. 部分群 77 問題74n角形のある頂点から順に左回りで1からnまで番号付けをし,

その自己同型群に属する次の二つの元を考える.

σ= (12· · ·k· · ·n),

τ = (2n)(3 n−1)· · ·(k n−k+ 2)· · · .

このとき次の等式を証明してください.ただし,eは自己同型群の単位元 とします.

(i). σn =e.

(ii). τ2=e.

(iii). τ στ =σ1.

問題75 n次2面体群Dnの位数を求めてください.

また,Dnの元はどのような位数を取り得るでしょうか.

問題76 任意の互換τと,任意のn次の置換σとの積τ σの転倒数l(τ σ)l(σ)±1となることを証明してください.

問題77 任意のn 次の置換 σを互換の積で表したとき,その積に現われる 互換の個数の偶奇は互換の積の取り方に依らずに定まることを証明してくだ さい.このとき,σの符号sgnσを次のように定義する.

sgnσ=

{1 · · ·σが偶数個の互換の積で表されるとき

1 · · ·σが奇数個の互換の積で表されるとき .

問題78 n次交代群Anが,n次対称群Snの部分群であることを証明してく ださい.

問題79Gの巡回部分群が,Gの部分群であることを証明してください.

問題80 nを自然数とする.

n乗すると1になる複素数全体µnは,通常の複素数の積に関して群をなす ことを証明してください.

さらに,µnの位数を求めてください.

問題81 次の置換の位数を求めてください.

τ =

( 1 2 3 4 5 6 7 7 4 1 5 2 3 6

) .

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