第 3 章 環と体
3.2 新しい数の作り方
0を発明したのはインド人だと言われています．中世ヨーロッパでは，負 の数はなかなか数としては認められませんでした．√
−1のような虚数が市民 権を得るのはそれ以上に困難なことでした．
ここでは，方程式の解という視点から見ると新しい数が自然に作られる様 子を見ていくことにします．
3.2.1 方程式の根
新しい数を作る基本的な方法として，ある集合の元を係数とする方程式の 根を新しい数とする方法があります．
具体例を挙げると，自然数から整数を作るには，a∈Nとして x+a= 0.
という方程式の根x=−aを考えてやればよい，といった具合です．
同様に，a∈Z(a̸= 0),b∈Zに対し，
ax=b.
という方程式の根 b
aを考えると有理数ができます．
さらに，an, an−1,· · · , a0∈Q, (an̸= 0)に対し，
anxn+an−1xn−1+· · ·+a0= 0.
という方程式の根を考えると代数的数ができます．
(注意) aを自然数として，x+aのxに自然数を代入すると必ずx+aも 自然数になります．
aを整数として，axのxに整数を代入すると必ず axも整数になります．
a0, a1,· · ·, anを有理数として，anxn+an−1xn−1+· · ·+a0 のxに有理数 を代入すると必ず有理数になります．
しかしながら，それらを用いた方程式の根が考えている数の世界にあると は限りません．
そのため，方程式の解を考えると自然に新しい数の世界が必要になってく るというわけです．
3.2.2 自然数
自然数は，物を数える，順序を数えるという最も基本的な要求から考えら れた数です．
3.2. 新しい数の作り方 81 自然数は普通，ペアノの公理を用いて定義されますが，ここではその説明 に深入りしないことにします．
(注意) 0を自然数に含めるかどうかは，流儀によって違います．
数学基礎論や，それに近い分野では0を含め，それ以外の分野では含めな いことが多いようです．
代数学でも0を含めないことが普通ですが，諸般の事情により，この章で は0を含めることにします．
曜日計算をしたときに，何日後を計算するには基準となる日を0日と数え ると計算が便利でした．自然数に0を入れたくなる事情はこういったところ に現れます．
3.2.3 整数
様々な問題を考えるとき，加法に関する方程式を解く必要がしばしば生じ ます．
たとえば，
x+ 3 = 5.
を満たす自然数xは，x= 2と得られます．
しかし，
x+ 3 = 0.
を満たす自然数は存在しません．
そこで，この方程式の解をx=−3という記号で表わすことにします．つ まり，方程式が必ず解を持つように数を拡張するわけです．
全く同様に，任意の自然数aに対し，
x+a= 0.
という方程式の解を，x=−aと定めます．
自然数全体と，このような方程式の解全体の合併で，整数環Zを定義しま す．つまり，マイナスの数を自然数に付け加えると，Zが得られます．
解説 元々，自然数の中で方程式を考えていたのだから自然数の中に解が無 ければ「解無し」とするのも自然です．実際，中世の人は負の数をほとんど 受け入れませんでした．
しかし，数学では何だかよくわからないけれど与えられた方程式の根が役 に立つのなら，それを新しい数として受け入れるという大らかな態度を取り ます．
このような柔軟な態度によって，数学は大きな発展をしてきたのです．
3.2.4 有理数
自然数に，マイナスの数をつけ加えて整数が得られました．
これと同様に，逆数をつけ加えて数の世界を広げてみましょう．
しかし，0にどのような整数を掛けても0なので，0には逆数が存在しま せん．
そこで，
Z∖{0}:={a∈Z|a̸= 0}.
という集合を考え，任意のa∈Z∖{0},b∈Zに対し，
ax=b.
の方程式の解を，b
aで表わすことにします．
(注意) Sを集合，T(⊂S)をSの部分集合としたとき，
S∖T :={s∈S|s̸∈T}.
という集合が定義されます．S∖T を，S−Tと書くこともあります．
ここでは，S=Z,T ={0}なので，S∖T =Z∖{0}は，0以外の整数の 集合となります．
ただし，
3 5 = 6
10 = −9
−15.
のように，異なる表示が同じ数を表わすので，これらを同一視しないといけ ません．
これがいわゆる約分です．
このようにして，有理数体Qが得られます．
解説 最初は何をやっているのかわからないのですが，a, b∈Zを用いた方 程式ax=bを考えている時点では自然数と整数の世界しか知らないことに注 意しましょう．
つまり，整数だけを用いて有理数を作らないといけません．
(注意) a∈Qがa̸= 0ならば，aの乗法逆元はaの逆数 1
a ∈Qとなりま す．よって，Qは体の定義を満足するので体になります．
3.2. 新しい数の作り方 83
3.2.5 代数的数
これまでに考えた方程式は，一次方程式だけでした．
そこで，有理数係数の二次以上の方程式の根を新しい数として考えます．
それが，代数的数と呼ばれる数です．
代数的数全体をQの代数閉包といい，Qで表わします．
Qは体になります(要証明)．
an, an−1,· · ·, a0∈Q, (an̸= 0)に対し，
anxn+an−1xn−1+· · ·+a0= 0.
という形の方程式の根全体がQの代数閉包Qです．
例 60
x2−2 = 0.
の二つの根は代数的数．普通，x=±√
2と書かれる数．
3.2.6 実数
今までの話とは異なり，実数は位相的な要請によって作られた数です．
大雑把にいえば，有理数体は隙間だらけなので，その隙間を埋めるように 作ったのが実数です．
解説 実数の構成法にはいくつかの方法がありますが，ここでは触れません．
3.2.7 複素数体
x2+ 1 = 0.
の一つの根をi=√
−1とし，
C:={a+bi|a, b∈R}. という集合を複素数体といいます．
3.2.8 Z/N Z
Z/NZは，Nが素数のときは0以外の元に逆数が存在するので体になりま す．これを有限体といいます．pを素数としたとき，Z/pZをFpという記号 で表わすこともあります．
逆にNが合成数のときは，0以外の元で逆数を持たないものがあり，体に はなりません．
2016.12.5,代数学序論(情報数理学科) 担当：志村真帆呂 http://www.ss.u-tokai.ac.jp/~mahoro/2016Autumn/alg_intro/