以下、積分の計算や評価に有用な公式を幾つか述べる。それらが成立するための細かい 条件はあまり気にする必要はない。むしろ実際に応用する中で使い方を体で覚えること が重要である。
連鎖律と、微積分の基本公式を組み合わせることにより、置換積分公式を得る：
49Thomas Hakon Gr¨onwall (1877–1932). フーリエ級数や積分方程式の他、解析数論も研究した。ここ で述べた不等式の証明は1919年。
命題 8.3.1 (置換積分 I) I,J は共にR 内の有界閉区間とし、以下を仮定する。
(a) g∈C(J)∩D1(J◦)
(b) I =g(J) とするとき、f ∈C(I) かつ(f◦g)g0 ∈R(J◦)
(例えば f ∈C(I)かつ g∈C1(J)なら十分) このとき、α,β∈J に対し Z g(β)
g(α)
f(y)dy= Z β
α
(f◦g)(x)g0(x)dx.
注：置換積分 I は積分変数 y を関数 f(x) に置き換えて積分する公式である。「形式 的導出」 は次の通り：y = g(x) とすると、dy/dx = g0(x) だから、これらを（後者は
「dy=g0(x)dx」 として！）左辺に代入すると右辺を得る。
証明：F を f の不定積分とする。このとき、定理8.2.2より F ∈D1(I)∩C(I),F0=f ∈C(I).
よって、微積分の基本公式(定理 8.2.1)から (1)
Z g(β)
g(α)
f = [F]g(β)g(α)= [F ◦g]βα.
一方、 g に対する仮定と連鎖律（命題5.1.10） より
F ◦g∈C(J)∩D1(J◦)かつJ◦ 上(F ◦g)0 = (f◦g)g0 ∈R(J).◦ よって、微積分の基本公式(定理 8.2.1)から
(2) [F◦g]βα= Z β
α
(F◦g)0 = Z β
α
(f ◦g)g0.
(1),(2) を併せて結論を得る。 2
例 8.3.2 f ∈C([0,1]2) に対し Z 1
0
f(t,1−t)dθ = Z 1
0
f(1−t, t)dθ.
Z π/2
0
f(cosθ,sinθ)dθ =
Z π/2
0
f(sinθ,cosθ)dθ.
証明：第1式: tを1−tに置換。
第2式： θ を π2 −θ に置換。 2
問 8.3.1 f ∈ C([0, T]),f(T −x) = f(x) (∀x ∈ [0, T]) とする。RT
0 xf(x) dx= T2 RT
0 f を示せ。
例 8.3.3
Rx
0 f = 12xf(x) +a22Arcsin xa, |x| ≤a, f(x) =√
a2−x2, Rx
0 f = 12xf(x) +a22sh−1xa, x∈R, f(x) =√
a2+x2, Rx
a f = 12xf(x) +a22ch−1xa, x≥a, f(x) =√
x2−a2.
証明： f(x) =√
a2−x2 の場合を示す。
Z x
0
f(y)dy置換y==asinsa2 Z t
0
cos2s ds問=8.2.2 a2
2 (costsint+t) = 1
2xf(x) +a2
2 Arcsin x a. f(x) = √
a2+x2,f(x) =√
x2−a2 の場合はそれぞれx=asht,x =acht と変換して
同様の計算が出来る（問 8.3.2）。 2
問 8.3.2 例8.3.3で、f(x) =√
a2+x2,f(x) =√
x2−a2 の場合を示せ。
問 8.3.3 等式、cos1 = 1−cossin2, ch1 = 1+shch 2 と置換積分を用い、以下を示せ：
Z x
0
1
cos = 12log
µ1 + sinx 1−sinx
¶
, 0≤x < π/2, Z x
0
1
ch = Arctan (shx), x∈R.
問 8.3.4 (?) (リーマン・ルべーグの補題) I = [a, b](−∞< a < b < b <∞), f ∈C(I), θ∈R\{0}とする。次を示せ：
¯¯¯¯Z
I
f(x)e2πiθxdx¯¯
¯¯≤(b−a) sup
x,y∈I
|x−y|≤1/|θ|
|f(x)−f(y)|+maxI|f|
|θ| , 従って lim
|θ|→∞
Z
I
f(x)e2πiθxdx= 0.
置換積分公式は次の形で応用される場合も多いが、（逆関数を考えることにより）結局 命
題8.3.1の特別な場合である。
系 8.3.4 (置換積分 II) I はa, b∈Rを端点とする閉区間とし、以下を仮定する：
(a) h∈C(I)∩D1(I◦),I◦ 上h0>0 (またはI◦ 上h0 <0).
(b) J =h(I),ϕ∈C(J).
(c) h の逆関数50 g:J −→I についてϕg0∈R(J◦).
このとき、 Z b a
(ϕ◦h)(x)dx= Z h(b)
h(a)
ϕ(y)g0(y)dy.
注：置換積分 II は関数 h(x) を積分変数 y に置換して積分する公式である。「形式的導 出」 は次の通り：y=h(x) 即ち x=g(y) とすると、dx/dy=g0(y) だから、これらを
（後者は 「dx=g0(y)dy」 として！）左辺に代入すると右辺を得る。
系 8.3.4の証明：f =ϕ◦h,また hの逆関数を g とすると、f,g は命題8.3.1の仮定を 満たす。α=h(a),β =h(b) とおくと、
Z b
a
ϕ◦h= Z g(β)
g(α)
f 置換積分= I Z β
α
(f ◦g)g0= Z h(β)
h(α)
ϕg0.
2 積の微分と、微積分の基本公式を組み合わせることにより、部分積分公式を得る：
50逆関数定理(定理6.3.1)よりg∈C(J)∩D1(J)◦
命題 8.3.5 (部分積分) I ⊂Rは a, b∈Rを端点とする閉区間、
f, g∈C(I)∩D1(I◦), f0g, f g0 ∈R(I◦) とする(例えば f, g∈C1(I) なら十分)。このとき、
Z b
a
f0g= [f g]ba− Z b
a
f g0. 証明：仮定から
(1) f g∈C(I)∩D1(I◦).
また、
(2) (f g)0 =f0g+f g0∈R(I◦).
以上と微積分の基本公式（定理 8.2.1）より [f g]ba=
Z b
a
(f g)0 = Z b
a
(f0g+f g0) = Z b
a
f0g+ Z b
a
f g0.
2
例 8.3.6 以下の等式（例 8.3.3）を部分積分の応用として再証明する：
Rx
0 f = 12xf(x) +a22Arcsin xa, |x| ≤a, f(x) =√
a2−x2, Rx
0 f = 12xf(x) +a22sh−1xa, x∈R, f(x) =√
a2+x2, Rx
a f = 12xf(x) +a22ch−1xa, x≥a, f(x) =√
x2−a2. 証明： f(x) =√
a2−x2 の場合を示す。部分積分より (∗) I def.=
Z x
0
f =xf(x) + Z x
0
y2dy f(y). 所が、 Z x
0
y2 dy f(y) =
Z x
0
−(a2−y2) +a2
f(y) dy=−I+a2Arcsin x a. これを (∗) に代入し、I について解けばよい。f(x) =√
a2+x2,f(x) =√
x2−a2 の場
合も同様（問 8.3.5）。 2
問 8.3.5 例8.3.6で、f(x) =√
a2−x2 の場合の証明に倣い、f(x) =√
a2+x2,f(x) =
√x2−a2 の場合を示せ。
問 8.3.6 (?) m, n∈N,f は2n次以下の多項式とする。次を示せ：
Z mπ
2
0
fsin =
( Pn
k=0(−1)k{f(2k)(0)−(−1)m2f(2k)(mπ2 )}, m∈2N, Pn
k=0(−1)k{f(2k)(0) + (−1)m2−1f(2k+1)(mπ2 )}, m6∈2N
問 8.3.7 (?) 円周率 π は無理数であることを証明する。以下の(i)–(v)を示し、証明を 完成せよ: p, q > 0 に対し多項式fn(x) = xn(p−qx)n/n! を考える。r =p/q とすると き、(i) fn(x) =fn(r−x). (ii)fn(x) = 1
n!
X2n m=n
à n m−n
!
p2n−m(−q)m−nxm. (iii) 0≤m < nなら fn(m)(r) = (−1)mfn(m)(0) = 0,n≤m≤2n なら
fn(m)(r) = (−1)mfn(m)(0) = (−1)mm!
n!
à n m−n
!
p2n−m(−q)m−n. (iv)積分I(fn) =Rr
0 fnsin について limnI(fn) = 0. (v) π=p/q(p, q∈N\{0}) と仮定 し矛盾を導く。この p, q を用いて fn を定義した場合の積分 I(fn) についてI(fn)≥1.
これは (iv)と矛盾する。ヒント：問 8.3.6より I(fn)∈Z.
命題 8.3.7 (?)(第2平均値定理) I ⊂Rは a, b∈R を端点とする閉区間とし、以下を仮 定する：
(a) f ∈Cb(I◦).
(b) G∈C(I)∩D1(I◦),G0 ∈Cb(I◦)（例えばG∈C1(I)なら十分）かつGはI 上単調。
このとき、次を満たすc∈I◦ が存在する：
Z b
a
f G=G(b) Z b
c
f +G(a) Z c
a
f.
証明：F をf の不定積分とする。このとき、定理 8.2.1(b)よりF ∈C(I). 更にG0 はI◦ 上有界連続かつ定符合。そこで、第1平均値定理（命題 7.5.7）を区間 I◦ に適用し、
(∗) ∃c∈I◦, Z b
a
F G0 =F(c) [G]ba.
これらを用い、以下の如く結論を得る：
Z b
a
f G 部分積分= [F G]ba− Z b
a
F G0 (= [F G]∗) ba−F(c) [G]ba
= G(b) [F]bc+G(a) [F]ca=G(b) Z b
c
f +G(a) Z c
a
f.
2 問 8.3.8 (?) ¯¯Rx
0 sin(1/y)dy¯¯≤cx2 を示せ、但し c はx に無関係な定数。