証明：f を単調増加とし、定理7.2.3の条件(b)を検証（単調減少でも証明は同様）。分 点a = c0 ≤ c1 ≤ ...≤ cN−1 ≤ cN = b による分割 ∆ = {Dk}Nk=1 ∈ D(I) を考える( (7.4)参照)。このとき42、
|Dk|=ck−ck−1, ocs
Dk
f ≤f(ck)−f(ck−1).
従って m(∆)→0 のとき、
rI(f,∆)≤ XN k=1
(f(ck)−f(ck−1)) (ck−ck−1
| {z }
≤m(∆)
)≤m(∆) XN k=1
(f(ck)−f(ck−1))
| {z }
=f(b)−f(a)
−→0.
2 ダルブーの可積分条件の応用として、集合R(I) が、積、商、及び絶対値で閉じてい る事が判る（命題7.3.3）。まず次の補題を示す。
補題 7.3.2 f ∈R(I), c∈[0,∞) とする。g:I −→Rは有界かつ 全ての x, y∈I に対し|g(x)−g(y)| ≤c|f(x)−f(y)| を満たすなら、g∈R(I).
証明：仮定から、任意の D⊂I に対し ocs
D g≤cocs
D f. 従って、∆∈D(I)に対し rI(g,∆) = X
D∈∆
µ ocsD g
¶
|D| ≤c X
D∈∆
µ ocsD f
¶
|D|
| {z }
=rI(f,∆)
.
上式より、f が定理 7.2.3の条件 (b)を満たすなら、g も満たすことが判る。 2 問 7.3.1 補題 7.3.2 を次のように一般化せよ：f1, .., fn ∈ R(I), c ∈ [0,∞) とする。
g:I →Rは有界かつ全てのx, y∈I に対し|g(x)−g(y)| ≤cPn
j=1|fj(x)−fj(y)|を満 たすなら、g∈R(I).
命題 7.3.3 f, g∈R(I) とするとき、以下が成立。
(a) p∈[1,∞)に対し|f|p ∈R(I) (証明後の注参照).
(b) f g∈R(I).
(c) infI|f|>0なら1/f ∈R(I).
証明：(a): 一般に、
(∗) a, b∈[−M, M]なら||a|p− |b|p| ≤pMp−1|a−b|. (問7.3.2)
42Dk= [ck−1, ck]ならocsDkf=f(ck)−f(ck−1)だが、例えばDk= [ck−1, ck)かつf(ck−)< f(ck) ならocsDkf < f(ck)−f(ck−1).
従って、M = sup
I |f|とすると、
全てのx, y∈I に対し||f(x)|p− |f(y)|p| ≤pMp−1|f(x)−f(y)| 以上と 補題 7.3.2より所期可積分性を得る。
(b): 命題 7.1.7より f±g∈R(I). 従って本命題 (a)より(f ±g)2 ∈R(I). 以上より f g= (f+g)2/4−(f−g)2/4∈R(I).
(c):c= infI|f|>0 ならx, y∈I に対し、
|1/f(x)−1/f(y)|=|f(y)−f(x)|/|f(x)||f(y)| ≤ |f(x)−f(y)|/c2.
以上と 補題 7.3.2より所期可積分性を得る。 2
注：命題 7.3.3(a)について、より一般に次が成立する。f ∈R(I) が有界閉区間 J ⊂R
に値をとり、かつ ϕ∈C(J) ならϕ◦f ∈R(I). これを認めれば、例えば 0≤p <1 に 対しても|f|p ∈R(I) である。
問 7.3.2 命題 7.3.3の証明中(∗) を示せ。ヒント：平均値定理。
命題 7.3.4 (三角不等式)f ∈R(I) なら |f| ∈R(I) かつ¯¯
¯¯Z
I
f¯¯
¯¯≤ Z
I
|f|.
証明：命題 7.3.3（p= 1)より |f| ∈R(I).また、有限和に対する三角不等式より、区間 分割 ∆とその任意の代表ξ に対し
|s(f,∆, ξ)| ≤s(|f|,∆, ξ).
上式で m(∆)→0 とすれば所期の不等式を得る。 2 問 7.3.3 1≤p <∞,f ∈R(I)に対しkfkp =¡R
I|f|p¢1/p
とおく。1p+1q = 1 とすると き、以下を示せ；
(i) s, t≥0 に対しst≤ 1psp+1qtq,(等号成立⇐⇒ sp =tq).
(ii)f, g∈R(I)に対しkf gk1≤ 1
pkfkpp+ 1 qkgkqq.
(iii) f, g∈R(I) に対し43kf gk1 ≤ kfkpkgkq (ヘルダーの不等式)
問 7.3.4 1 ≤ p ≤ q < ∞ とする。ヘルダーの不等式を用い、次を示せ：kfkp ≤ kfkq|I|1p−1q.
問 7.3.5 ヘルダーの不等式を用い、次の（更に一般的な）不等式を示せ；p, q, r∈[1,∞),
1
p +1q = 1r,f, g∈R(I) に対しkf gkr ≤ kfkpkgkq.
問 7.3.6 (?) 1≤p <∞,f, g∈R(I)に対しkf+gkp≤ kfkp+kgkp (ミンコウスキーの 不等式)44を示せ。ヒント：p= 1なら容易。以下1< p <∞,h=|f+g|とする。khkp= 0 なら所期不等式は自明。従って、khkp>0としてよい。khkpp ≤(kfkp+kgkp)khkpp−1を 示し、両辺を khkp−1p で割れば結果を得る。
43ヘルダーの不等式の特別な場合（p = q = 2）はシュワルツの不等式と呼ばれる。K.H.A. Schwarz (1843–1921)。
44Hermann Minkowski (1864–1909)
ダルブーの可積分条件の更なる応用の一つとして、積分の区間加法性が示される。
命題 7.3.5 (積分の区間加法性) f :I −→Rを有界とする。このとき、I の区間分割∆ に対し
(a) f ∈R(I)⇐⇒ 全てのJ ∈∆に対し f ∈R(J) 上の条件のいずれか（従って両方）が成り立てば、
(b) Z
I
f = X
J∈∆
Z
J
f.
証明は 7.4節で与えることにし、ここでは幾つかの応用を述べる。
系 7.3.6 I,J を共に Rd を有界区間、J ⊂I とする。このとき (a) R(I)⊂R(J).
(b) f ∈R(I),I 上f ≥0 ならR
If ≥R
Jf.
証明：(a): f ∈ R(I) とし、∆ ∈ D(I) を J ∈ ∆ なるようにとる。そうすれば、命題 7.3.5 (a)より f ∈R(J).
(b): 更に f ≥0 なら、任意の D∈∆に対しR
Df ≥0. 故に 命題 7.3.5 (b)より Z
I
f = X
D∈∆
Z
D
f ≥ Z
J
f.
2 系 7.3.7 f :I −→Rを有界とする。このとき、
(a) f ∈R(I) ⇐⇒ f ∈R(I◦).
上のいずれか（従って両方）が成り立てば、
(b) Z
I
f = Z
I◦
f.
証明：I 6=I◦ の場合を言えばよい。I の区間分割 ∆ ={D1, D2, ...} でD1 =I,◦ |Dk|= 0 (k≥2)なるものが存在する（例 7.1.3参照）例 7.1.5よりk≥2 に対しf ∈R(Dk) か つR
Dkf = 0. 従って、区間加法性（命題 7.3.5)より結論を得る。 2 問 7.3.7 f : [0,∞)→ R, limx→∞f(x) =c∈R,任意の T >0 に対し f ∈R([0, T]) と する。limT→∞ T1 R
[0,T]f =c を示せ。
問 7.3.8 区間の列 I =I0 ⊃I1 ⊃I2 が、|In|>0, In3a(∀n∈N) かつdiam(In)→ 0 をみたすとする。このとき、 f ∈R(I) かつf がaで連続なら、limn|I1
n|
R
Inf =f(a) となることを示せ。
問 7.3.9 (?) 独立確率変数列の数学的構成: A を有限集合、pα >0 (α∈A) はP
α∈Apα= 1 を満たすとする。またΩ = [0,1]に対 しΓ⊂Ωの確率をP[Γ] =R
Γdω で定義する（積分が意味をもつとき）。この問題の目的 は関数 Xn: Ω→A（n= 1,2, . . .）であって性質；
(1) P(ω;Xj(ω) =α) =pα, ∀α∈A
(2) P³Tn
j=1{ω;Xj(ω) =αj}´
=Qn
j=1P(ω;Xj(ω) =αj) ∀αj ∈A
を満たすものの構成である。これは「コインを何度も投げる」といった独立試行の数学的表 現である。例えばコイン投げ続けて、Xnがn回目に 表か裏かを表わす(A={表,裏}, pα ≡1/2 ) と思えば 、(1), (2)はその表現としてふさわしい。
Ω = [0,1]の閉部分区間の列{Iα1,α2···αn;n≥1, αj ∈A}を次のように定める；まずΩを閉 区間Iα1 (|Iα1|=pα1,α1 ∈A)に分割する。次に各Iα1 を閉区間Iα1α2 (|Iα1α2|=pα1pα2, α2 ∈A) に分割、以後は同様の手順を繰り返す。Xn: Ω→A を
Xn(ω) =α if ω∈ [
α1,···,αn−1∈A
Iα1···αn−1,α
と定義するとき、(1), (2)を示せ。
7.4 (?)ダルブーの可積分条件・証明編
7.4節を通じ I ⊂Rd は有界区間、f :I −→R は有界とする。
定義 7.4.1 記号は 定義7.2.2の通りとする。f の下積分(lower integral),上積分(upper
integral)をそれぞれ次のように定める：
sI(f) = sup
∆∈D(I)
sI(f,∆), sI(f) = inf
∆∈D(I)sI(f,∆).
定義より
sI(f,∆)≤sI(f), sI(f)≤sI(f,∆). (7.14) ダルブーの可積分条件I (定理7.2.3)を次のように一般化して示す（条件 (a)–(c)は定理 7.2.3と同じ）。
定理 7.4.2 (ダルブーの可積分条件 II) 記号は 定義 7.2.2,定義7.4.1の通りとする。以 下の条件は全て同値である：
(a) f ∈R(I).
(b) lim
m(∆)→0rI(f,∆) = 0.
(c) 任意の ε >0 に対し、rI(f,∆)< εを満たす∆∈D(I) が存在する。
(d) sI(f) =sI(f).
更に、上の条件のいずれか（従って全て）が成立するなら sI(f) =sI(f) =
Z
I
f. (7.15)
定理 7.4.2の証明のうち、次の部分は簡単である。
補題 7.4.3 定理 7.4.2の各条件について、(a) ⇒ (b)⇒ (c).
証明：(a) ⇒(b): 仮定より∀ε >0 に対し次のようなδ >0 が存在：
(1) ∆∈D(I),m(∆)< δ =⇒ supξ|sI(f,∆, ξ)−sI(f)|< ε/4.
そこで、∆∈D(I)がm(∆)< δ を満たすとし、以下を示す：
(2) sI(f)−ε/2< sI(f,∆).
(3) sI(f) +ε/2> sI(f,∆).
(2), (3)を認めれば、
rI(f,∆) =sI(f,∆)−sI(f,∆)<(sI(f) +ε/2)−(sI(f)−ε/2) =ε.
となり (b)を得る。
(2), (3)の証明は次の通り：各 D∈∆に対し
∃ξD ∈D, ∃ηD ∈D, f(ξD)<inf
D f+ ε
4|I|, sup
D
f − ε
4|I| < f(ηD).
今、∆ の代表として ξ={ξD}D∈∆を選ぶと sI(f)−ε/4
(1)≤ sI(f,∆, ξ) = X
D∈∆
f(ξD)|D|
ξの選び方
< X
D∈∆
µ
infD f + ε 4|I|
¶
|D|=s(f,∆) +ε/4.
従って (2)が成立。
一方、∆の代表として η={ηD}D∈∆ を選ぶと sI(f) +ε/4
(1)≥ sI(f,∆, η) = X
D∈∆
f(ηD)|D|
ηの選び方
> X
D∈∆
µ sup
D
f− ε 4|I|
¶
|D|=sI(f,∆)−ε/4.
従って (3)が成立。
(b)⇒ (c): 条件 (b)より任意のε >0に対し、次のような δ >0 が存在する：
∆∈D(I),m(∆)< δ =⇒ rI(f,∆)< ε.
そうすれば ∀ε >0 に対しm(∆)< δ を満たす任意の∆∈D(I) が条件 (c) の要請を満
たすことが判る。 2
次に、定理7.4.2の(c) ⇒(d) を示す。
補題 7.4.4 ∆,∆e ∈D(I) とする。I の各辺について、∆の分点が全て∆e の分点に含ま れるとする（この場合、∆e は∆の細分 と言う;絵で説明）。このとき、任意のJ ∈∆に 対し
∆eJ def.= {D∈∆ ;e D⊂J} (7.16) はJ の区間分割である。また、
sI(f,∆) =e X
J∈∆
sJ(f,∆eJ), sI(f,∆) =e X
J∈∆
sJ(f,∆eJ). (7.17) sI(f,∆)≤sI(f,∆)e ≤sI(f,∆)e ≤sI(f,∆). (7.18)
証明： ∆eJ がJ のJ の区間分割であることは定義から明らか。
(7.17): 第一式を示す（他方も同様）。
(1) sI(f,∆) =e X
D∈∆e
|D|sup
D
f
だが、(1) の右辺には|D|>0 を満たす D∈∆e のみが寄与している。また、D∈∆e か つ|D|>0 なら、D∈∆eJ となる J ∈∆が唯一存在する。従って、
(1)の右辺 = X
J∈∆
X
D∈∆eJ
|D|sup
D
f = X
J∈∆
sJ(f,∆eJ).
(7.18): 真中の不等式は既知（(7.12)）。右端の不等式は次のようにして判る：
sJ(f,∆eJ)≤ |J|sup
J
f と(7.17)より
sI(f,∆)e ≤ X
J∈∆
|J|sup
J
f =sI(f,∆).
左端の不等式も同様。 2
補題 7.4.5 任意の ∆1,∆2 ∈D(I) に対しsI(f,∆1)≤sI(f,∆2). 従って、特にsI(f)≤ sI(f).
証明：各辺毎に ∆∈D(I) の分点が∆1, ∆2 の分点を全て含むように∆をとれば ∆は
∆1, ∆2 両方を細分する。従って (7.18)より
sI(f,∆1)≤sI(f,∆)≤sI(f,∆)≤sI(f,∆2).
上の不等式で、∆1 について sup, ∆2 についてinf をとればsI(f)≤sI(f)が分かる。2 補題 7.4.6 定理 7.4.2で(c)⇒ (d).
証明：条件 (c) の∆∈D(I)に対し
0補題≤7.4.5sI(f)−sI(f)
(7.14)
≤ rI(f,∆)< ε.
ε >0 は任意なので sI(f) =sI(f). 2
定理7.4.2 (d) ⇒(a) は次の定理7.4.7を経由して示す。定理7.4.7はリーマン積分の 理論上、ひとつの鍵となる。
定理 7.4.7 （ダルブーの定理)記号は 定義 7.2.2, 定義 7.4.1の通りとするとき、
sI(f) = lim
m(∆)→0sI(f,∆), sI(f) = lim
m(∆)→0sI(f,∆).
定理 7.4.7を示す為に補題を準備する：
補題 7.4.8 ∆0,∆∈D(I) とする。更に∆0 と∆の分点を併せて得られる区間分割を∆e とする。このとき、I と∆0 のみによって決まり∆には無関係な定数 C が存在して、
X
J∈∆
∆eJ6={J}
|J| ≤Cm(∆).
但し、∆eJ は(7.16) で定義する。
証明: ∆0 はI の各辺Ii (i= 1, ..., d)に分点ci1≤ci1 ≤...≤ciNi を与えて得られている とする。J ∈∆,∆eJ 6={J} ならJ のどれかの辺Ji (i= 1, ..., d) が cik (k= 1, ...Ni) を 内部に含む。そこで、i= 1, ..., d とk= 1, ...Ni に対し、cik を第 i辺の内部に含むよう なJ ∈∆全体を ∆ik と書くと、全てのJ ∈∆ik は第 i辺Ji を共有する（例えばd= 2 で絵を描いてみれば分かる）。従って、
∪J∈∆ikJ ⊂ {x∈I ; xi∈Ji}. よって、 X
J∈∆ik
|J| ≤ |Ji||I|/|Ii| ≤m(∆)|I|/|Ii|.
以上より、 X
J∈∆ e
∆J6={J}
|J| ≤ Xd
i=1 Ni
X
k=1
X
J∈∆ik
|J| ≤m(∆)|I| Xd i=1
Ni/|Ii|. 2
定理 7.4.7 の証明: 不足和について示す（過剰和でも同様）。ε >0 を任意、∆∈D(I) はCocsI(f)m(∆)< ε/2なるようにとる（C は 補題 7.4.8の定数）。一方、sI(f)の定 義から次のような∆0 ∈D(I) が存在する：
0≤sI(f)−sI(f,∆0)< ε/2.
∆0 と∆の分点を併せて得られる区間分割を ∆e とすると、
sI(f,∆0)−sI(f,∆)
(7.18)
≤ sI(f,∆)e −sI(f,∆) = X
D∈∆e
|D|inf
D f −X
J∈∆
|J|inf
J f
= X
J∈∆
X
D∈∆eJ
|D|(inf
D f −inf
J f), 但し ∆eJ は(7.16)で定義する。所が、
X
D∈∆eJ
|D|(inf
D f−inf
J f) (
= 0, ∆eJ ={J}なら、
≤ocsI(f)|J|, ∆eJ 6={J}なら 従って
sI(f,∆0)−sI(f,∆)≤ocs
I (f) X
J∈∆
∆eJ6={J}
|J|補題≤7.4.8Cocs
I (f)m(∆)< ε/2 以上より、
sI(f)−sI(f,∆)≤sI(f)−sI(f,∆0) +sI(f,∆0)−sI(f,∆)< ε/2 +ε/2 =ε.
2 定理 7.4.2 の証明: 補題 7.4.3,補題 7.4.6 より、(d) ⇒ (a) と (7.15) を示せば十分。
sI(f) =sI(f) =sI(f) とおく。ダルブーの定理より、∀ε >0に対し次のようなδ >0が 存在：
(∗) ∆∈D(I),m(∆)< δ =⇒ sI(f)−ε≤sI(f,∆)≤sI(f,∆)≤sI(f) +ε.
そこで、m(∆)< δを満たす∆∈D(I) とその任意の代表 ξ に対し、(7.13), (∗) より sI(f,∆, ξ)
( ≤sI(f,∆)≤sI(f) +ε,
≥sI(f,∆)≥sI(f)−ε.
従って
sup
ξ
|sI(f,∆, ξ)−sI(f)| ≤ε.
(7.15): 上記証明から判る。 2
命題 7.3.5の証明：まず、上積分・下積分について次を示す。
(1) sI(f) = X
J∈∆
sJ(f), sI(f) = X
J∈∆
sJ(f).
∆ の細分 ∆e に対し ∆eJ ∈ D(J) を再び (7.16) で定義する。m(∆)e −→ 0 とすれば、各 J ∈∆に対しm(∆eJ)−→0. 従って、
sI(f)定理=7.4.7 lim
m(e∆)→0
sI(f,∆)e (7.17)= lim
m(∆)e →0
X
J∈∆
sJ(f,∆eJ)定理=7.4.7 X
J∈∆
sJ(f) ここで、上式の lim
m(∆)e →0
は「∆e は∆ の細分」という制約付きでm(∆)e →0 とする極限 を表すとする。以上で (1)第一式が示された。他方も同様。
(a)の「⇒」：f ∈R(I) 及び 定理 7.4.2条件 (d)より sI(f) =sI(f) =
Z
I
f.
従って、(1)より
(2) X
J∈∆
sJ(f) = X
J∈∆
sJ(f) = Z
I
f.
所が、各J ∈∆に対し
sJ(f)≤sJ(f).
これが、(2)と両立する為には 各 J ∈∆に対し sJ(f) =sJ(f).
が必要。上式と 定理 7.4.2条件 (d)より各 J ∈∆に対し f ∈R(J).
(a)の 「⇐」: 仮定、及び 定理7.4.2条件 (d) より、全てのJ ∈∆ に対し sJ(f) =sJ(f) =
Z
J
f.
従って、(1)より
(3) sI(f) =sI(f) = X
J∈∆
Z
J
f.
(3)と定理 7.4.2条件 (d)より f ∈R(I) かつ sI(f) =sI(f) =
Z
I
f.
上式と (3)より (b)の成立も判る。 2