直方体を平面で切ったときの切り口の形について調べよう。
粘土で、右のような直方体を作り、これをいろいろ切って 確かめれば、次の4つの場合があることがわかる。
①三角形になる場合②四角形になる場合③五角形になる場合④室角形になる場合
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A社において、立体の切断における例題は昭和57年度用の図2．4．1．と同じであ り、図2．4．2。の問5も同じだが、平成5年度用は次のような問4が増えている。
問4．右の図のような立方体があります。辺BFの 中点をMとし、3点C，M， Eを通る平面で この立方体を切るときの切り口は、どのよう な形の四角形になりますか。
A
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Gノ ノ
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F
図2．5．1．平成5年夏r数学1年』（A社）「6月間図形」「1章空間図形」（P．156）
C社においては、立方体の例があり、問1で直方体の場合を出題している。
これは、図2．4．3の場合と逆になっている。
立方体を平面で切るとき、その切り口は、切り方によっていろいろな形になる。
下の図の（1）や（2）は、立方体を平面で切ったときにできる切り口を示したものである。
（1） 一 （2）
難鰯
ごの問1・直方体を平面で切って・その切り口を長方形にするには・どのように切ればよい ですか。
図2．5．2．平成5年用r新しい数学1』（C社）「6空間図形」「3立体の切り口」（p．167）
同じくC社は、見取図にかき入れる問題を2題も取り入れている（図2．5．3，
図2．5．4参照）。
問4．下の図は、直方体を平面で切ったときの切り口の周の一部を示したものです。
周の残りの部分を図にかき入れなさい。また、切り口はどんな図形になると考え
られますか・
@・ ．A・ …
9
B
ノノノノ@ 葛、・、
C
図2．5．．3．平成5年用r新しい数学1』（C社）「6空間図形」「3立体の切り口」（P．168）
一48一
基本問題 2 右の図は、立方体を1つの平面で切ってできた 立体の投影図で、下の図は、その立体の見取図の一部を 示したものです。見取図のかきたりないところをかき加 えて完成しなさい。
図2．5．4．平成5年用r新しい数学1』（C社）「6空間図形jr3立体の切り口」（P．174）
これは、立方体の切断と投影図を組み合わせたものを見取図にかかせる問題
である（図2．5．4参照）。
図2．5．5．の問題のように、昭和59年度用教科書と比べると、立方体の切断から、
展開図をかかせる問題が増えて問題傾向が変わってきている。
2．右の図の1辺3c田の立方体を3頂点A，C，Fを 通る平面で切って、2つの立体に切り分けた。
これについて、次の間に答えよ。
①三角すいBACFを切り取るとき、
A 残った立体の体積はいくらか。
②切り口の線CF，AFを右の展開
D
A D C B 3
E 一 …・、
H＼
F G
B 図上にかきこめ。
図2．5．5．平成2年用r中学数学1年』（B社）「7章空間図形」の章末問題（p．168）
図2．5．6．は、昭和57年度用の図2．．4．4とほぼ同じ内容だが、一部展開図や投影 図をかかせる問題を出題している。
4。右の図は、1辺が5cmの立方体を切断して できた立体である。
この立体の展開図をかけ。また、投影図を かけ。
図2．5．6．平成5年目r中学校数学1』（D社）「6章空間図形」「2空間図形の構成」練習問題（P，159）
「一 S9一
E社において、角柱と回転体の切り口の例2題と問題4題があり、立方体の切 断に関して例が1題、問題が6題ある。昭和56年用の教科書では、回転体の問1 題、立方体の切断の例が1題、問が1題であったので、かなり内容は充実し ている。立方体に関してはA社と似ているが、次のような問がある。
問8 下の図ア，イ，ウの立方体を、3点P，Q， Rを通る平面で切ると、切り口は どんな図形になりますか。それぞれの切り口を下の見取図にかき入れて答えなさい
あ 、 3，穿㎝・ 「 Qう 旱
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図2．5．7．平成5年用r中学校数学1』（E社），6章2節立体とその調べ方の「3立体の切断」（P．161＞
F社において、昭和56年誤用のときは、直方体の切断の例題であったが、平成 5年度用では、立方体の切断の例題になっている。それはE社と似ている。しか し、次のような正四角柱の切断の問題を取り上げている。
問4．右の正四角柱を、頂点A，辺BF の中点M、辺DHの中点Nを通る平
面で切ると、その切りロはどんな図 形になるか。
B
M
F
全
εL＿
C
G D
N
H
図2．5．8．平成5年用r中学校数学1』（F社）「6章空間図形jr2空間図形の見方，表し方j（P．155）
そして、F社では立方体は、3点を通る平面で切断する問題が、補充問題も含 めて4題出されている。例えば、その中の練習問題Bの①を取り上げてみる（図
2．5．9．参照）。
B①右の図の立方体で、点M，Nは辺AE， CGの
中点である。このとき、次の問いに答えなさい。
（1）頂点D，E，、Gを通る平面で立方体を切ると、
その切り口はどんな図形になるか。
（2）3点D，M， Nを通る平面で立方体を切ると、
その切り口はどんな図形になるか
B
F
A
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？ ほE戸一一一
！！
C
N一
D
H
図2・5・9・平成5年用r中学校数学1』（F社）「6章空間図形」「2空間図形の見方，表し方」（P．158）．
一50一
2．2．教科書における立体切断教材の変遷
（1）立体の切断教材の取り扱い
第2節では、中学校の空間図形の切断に関する教材を中心に、その歴史的変遷 を概観した。上記の流れから見ても分かるように、教科書における立体の切断教 材は、昭和20年代後半では応用・発展問題的な取り扱いしかされていなかったが、
昭和30年代から徐々に一つの教材として取りあげられるようになってきた。ただ し、具体的には、回転体の性質「軸に垂直な平面で切った切り口は円」、 「軸を 含む平面で切った切り口はすべて合同で軸に関して対称」を確かめるために円柱 や円錐を切断するという問題が多く、立方体の切断教材はごくわずかであった。
昭和44年の数学教育の現代化の時代では、空間図形については、立体の切断教材 よりも、直線と平面の位置関係や面対称などの基本的な教材であり、本格的に立 体の切断が教科書本文に取り入れられるのは、昭和52年の学習指導要領改訂以降 である。昭和52年の学習指導要領改訂によって操作活動が重要視され、切断とい う操作を用いて、空間図形を分析的に考察できるようになることと、立体図形の 切断による考察を通して空間的な直観力や想像力を養うことが大きな目標となっ たのである。特に、平成元年の学習指導要領改訂から、教科書会社各社とも切断 の対象の中核を立方体と定め、その切断を通して展開図や投影図を書かせたり、
切断面の形を考えさせるような内容になってきた。立方体の切断という操作は、
空間図形に対する直観的な理解を深めるための新しい視点を与え、そしてそこで の学習活動や活動の所産は今まで学習したことのまとめになるのである。
（2）立体の切断教材のねらい
次に、空間図形の切断教材の各時代のねらいを、教科書の例題や問題から考察 してみる。図3．1を見ても分かるように、立体の切断教材には昭和40年代の現代 化の時代を境に、前半部分と後半部分に分かれる。前半部分は、昭和30年代の立 体の切断である。この時代は、回転体の切断や投影図が中心であり、昭和33年の 学習指導要領にも次のように示されていた。
「基本的な立体図形の投影図または断面図をかくことおよびこれらを通して立体図形 の性質を考察すること」
「平面図形の運動によって空間図形ができること、およびこれらと関連した円柱、円 すい、球などの性質」
一51一
しかし、回転体の切断や断面図は、底面 に平行か垂直に切断する切り口に限定され ており、切断の応用的な教材として、章末 問題や巻末問題にその切断が載っていただ けであった。したがってこの時代の切断教 材は、回転体の断面図の応用問題的なもの であった。
後半部分は、昭和52年の学習指導要領改 訂以後である。この改訂以後、操作的活動 や直観的な取り扱いが重要視され、立体の 切断や投影及び展開が昭和33年以降のとき とは内容を変えて取り上げらるようになっ てきた。空間図形の切断の指導内容として は、操作活動や直観的な扱いを重視し、そ のイメージをつくるための自由な切断方法 が採用されており、昭和33年中時代よりも 範囲が広く、多種多様な考え方ができるよ うになった。その後、平成元年の学習指導 要領改訂では、立体の切断に関しては立方 体の切断が中心となり、切断面を展開図や 投影図にかかせる問題や立方体の切断面の 形を考えさせる内容が中心となってきた。
問題数 90
70
50
30
10
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昭和32年37年 47年 56年平成5年
図3．1立体の切断教材の教科書 での取り扱い問題合計数（6社）
冒 回転体教材の切断の問題数 多面体教材の切断の問題数
また、立方体の切断面が例えば正三角形や平行四辺形になっているのはなぜかと いった内容を、筋道を立てて考えられるような態度の育成が主要な目標となり、
立体の切断は第2学年での論証の準備として、広く総合的に位置づけられるよう になったのである。
表3．1．立体の切断教材の教科書での取り扱い問題合計数（6社合計）
教科書 艮U社の多面体数 1合計 1U社の回転体数 1合計 総合計 昭和32年
・1024・i7 345・21i15 22
昭和37年 2302 30110 1
1413 1 3113 ■ 23
昭和47年
221・1・i6 202320i 9 15
昭和56年
547684i34
ヨV766 6 5137 蓼 71
平成5年 5397108142 1 45661010141 8
83
一52一