が成り立つ。
証明 Ug（F）＝駅2より，任意の点⑳∈Rに対して，あるg∈（7があって，∬∈g（F）＝g（7）
9∈G
から，g−1（の∈Fが成り立つ。よって，（勅∩ア∋g−1（勾から，空でない。
以上の定義から，規則的タイリングに付随する群について重要な定理を述べる。
1
定理3．21規則的タイリングに付随する群は有界な基本領域を持ち，離散的である。
証明 σを｛珊乞∈Nに付随する群とする。
1．まず，付随する群と基本領域の定義より，1っのタイル凡はσの基本領域で，凡が有 界であることから，σが有界な基本領域をもつ。
2．次に，σが離散的であることを示す。任意の点ω∈R2に対して， U瓦＝】R2より，点 ￠
灘はいずれかのタイルの閉包に含まれている。
（1）￠がいずれかのタイル凡の内点であるとき，この凡をFとおく。Fは開集合であ るから，ある正の数dがあって，鎧∈Bd＠）⊂Fが成り立つ。恒等変換でない変換 g∈Gに対してg＠）∈g（F）が成り立つことと，F∩g（F）＝②より， Bd＠）ヲg＠）
となる。よってBd＠）∩（勅＝｛叫が成り立つ。
（2）どのタイルについても点餌が内点でないとき，諮はあるタイルFの境界上にある。
タイルは多角形領域であるから，点ωと各タイルの境界の関係は次のいずれかで あるといってよい。
●Fを含む2つのタイルの辺上にあるとき。
・Fの辺上かつ他のタイルの頂点上の点であるとき。
・Fの頂点上かつ他の1つのタイルの辺上かっ他のタイルの頂点上の点である
とき。
・．Fを含む2つ以上のタイルの頂点上の点であるとき。
図3．7：点∬と各タイルの境界の関係
いずれの場合であっても，ある正の数dがあって，βd＠）∩g（F）≠のとなるg∈σ は有限個であり，そのようなgをg1，．．．，9mとする。
（i）g1，＿，9m以外の。の元gについては， g（勾∈g（F）かつg（F）∩βd＠）＝のよ り，g（④￠Bd（のが成り立つ。
（ii）g1（④，＿，伽（④の中の∬とは異なる点のうち，∬に一番近い点を6とすると，
♂＜圃となるように♂をとれば，Bd （￠）∩硫＝移｝が成り立つ。
よって，σは離散的であるといってよい。
墨
離散的であり，有界な基本領域を持つ平面の運動群として，最も単純なものは次のような 群略である。凧は一次独立なべクトルオ，書に対して，次のように定まる群である。
隅＝｛丁血肥聯は整数｝
このように2つの一次独立なベクトルによる平行移動で生成される平面の運動群はp1型
と呼ばれる。
定義3．22 （σT）任意の平面の運動群σに対して，σと平行移動全体の群の共通部分の群，
つまり，0に含まれる平行移動全体をσTと表す。命題2．14より（7Tも群である。
以下，本章の残りにおいては，次の定理を示すことを目的とする。
定理3．23σが有界な基本領域を持ち離散的な平面の運動群ならば，（7Tは， p1型である。
そのためにまず，いくつかの補題を示していく。
補題324平面の運動群（穿について，（｝が有界な基本領域を持つとき，σは少なくとも1つ の自明でない平行移動を含む。
証明 対偶をとって，平行移動を1っも含まないとき，σが有界な基本領域を持たないこと を示す。平行移動を1っも含まないとき，σにはどのような運動が含まれるか考える。
1．三三は，2回合成すると平行移動になるので含まない。（定理1．29参照）
2．回転移動を含むことを，含まないと仮定して背理法で示す。σが回転移動を含まない なら，σが含むことのできる運動は，対称変換と恒等変換のみである。よって，σは 対称変換を2個以上含む。なぜなら，1個のとき，基本領域が有界にならないからであ る。しかし，2個の対称変換（31，3のを含むとき，州mのときは，8飢。5iが平行移動
なので平行移動を含まないことに矛盾。珊mのときは，5mO3 が回転移動になるの
で仮定に矛盾。従って，θは回転移動を含む。3．では，含まれる回転移動R8について考える。0に含まれるすべての元は0を動かさ
ないことを背理法で示す。0を動かす運動！∈σがあるとし，！（0）＝0 とする。こ のとき，定理1．36より，！。R80！一1＝R計がσに含まれる。このとき， R8・Rぴも σに含まれるが，これは定理1．23より，平行移動になる。よって，平行移動を含まな いことに矛盾する。よって，0の元はすべて点0を動かさないから，0による軌道はそれぞれ点0を中心とす
る同心円に含まれる。よって，補題3．20より，σの基本領域は点0を中心とする，すべて の円と交わる。従って，σの基本領域は有界にならない。■
定理3．25平面の運動群σについて，σが有界な基本領域を持つとき，σは異なる方向の平 行移動を持つ。
証明 補題3．24より，σが少なくとも1っの平行移動を持つことから，σに含まれるある 平行移動をη∈σとする。
0のすべての平行移動がオと平行ならば，σが有界な基本領域を持たないことを示す。
1．回転移動R8が（7に含まれるとき：ψ≠πならば， R30T》oEδ望 ∈σは盆と平行で
ないベクトルに沿った平行移動なので，ψ＝πとなる。ある回転移動R5の回転移動 の中心0を通ってオに平行な直線をZとすると，すべての回転移動の中心は」上にな
る。なぜなら，角度πの回転移動同士の合成は，回転移動の中心同士を結んだ直線に 平行な平行移動になるからである。（定理1．23参照）0が対称変換でない映進を含む場合，その軸はZと一致する。一致しない時，その変換 は回転移動の中心を動かし，前述の回転移動の中心が一直線上に並ぶという条件に矛 算する。
σが対称変換を含むならば，その軸は」に一致するか，Zと垂直である。なぜなら，対
称変換3の軸がオと垂直でも平行でもないならば3によるηの共役化はオと異な
る方向の平行移動になるので，仮定に矛盾するからである。
このとき，σに含まれる運動すべては直線Zを動かさない。
2．回転移動が含まれず，注進を含むとき：ある映進の軸をZとすると，映進を2回合成す ると平行移動になることから，醐一ずである。また，すべての映進，対称の軸はZと一 致する。なぜならば，軸が2本以上あったとき，異なる軸の昏睡同士，対称変換同士 の合成，又は対称変換と映進の合成は，軸に平行でない平行移動や回転移動を含むか らである。（定理1．29，補題1．16，定理1．32参照）このとき，σに含まれるすべての運 動は直線」を動かさない。
3．回転移動も映進も含まれず，対称変換を含むとき：対称変換の軸はすべてオに垂直。
なぜならば，対称変換の軸がオと平行ならば，対称変換と平行移動の合成は映進にな るので仮定に矛盾する。また，対称変換3の軸がオと垂直でも平行でもないならば，
3によるTオの共役化はオと異なる方向の平行移動になるので，仮定に矛盾するから
である。よって，このときオに平行な直線Zを1つ選ぶと，」は0に含まれるすべて
の運動で動かない。4．0の元がすべて平行移動であるとき：仮定より，すべての平行移動は書に沿ったベク トルによる平行移動である。このとき，オに平行な直線Zを1っ選ぶと，εはGに含ま れるすべての運動で動かない。
以上より，σのどの元も直線ごを動かさないような直線9が存在する。よって，σのすべて の軌道はそれぞれ直線Zから等距離な集合に含まれる。補題3．20より，σの基本領域の閉包 は♂から等距離な点の集合すべてと交わらないといけない。従って，このときσの基本領域 は有界でない。
匿
上記2つの定理から，有界な基本領域を持つ変換群σについて，その部分群（むは，2つ の独立な平行移動を持つことがわかった。
補題3．26平面の運動群σがあって，Gの部分群Eについて， Gが離：散的であるならば， H も離散的である。
証明 群σが離散的であることから，任意の点∬に対して，ある正の数4があって，Bd（の∩
0皿＝｛叫となる。σ⊃∬より，σ．⊃瑞となるのでBd（勾∩H．＝｛￠｝となり， Hも離散
的となる。 ■
定理3．27平行移動からなる群Eについて，πが独立なベクトルによる2つの平行移動を
含み，離散的ならば，Hはp1型である。証明 点0∈盈2を原点とする。L二塁∈R2μ瀦∈H｝とする。このときLはEによる 0の軌道π0で不変である。
今，Hが離散的なので，ある正の数dがあって， B4（0）∩（L一｛0｝）＝のが成り立つ。
よって，点0でない任意の点X∈五に対して，10Xl≧4より，任意の2点X，γに対して，
Ixyi＝1壕δ（X）窃δ（y）1＝107豪δ（γ）1≧dが成り立つ。よって， B4（X）∩恥（y）＝のが成 ヨ ヨ
り立つ。つまり，半径砦の円ごとに五の点が1個もしくは0個含まれていることから，従っ て・任意の正の数Rに対して・B・（・）1・含まれるしの点は・繋個以下で・有限個であ る。よって，Rを十分大きく取って， しの点を0から近い順に並べることができる。そこで，
1．しの点のうち，0を除いて最も0に近い点を五とする。
2．乙の点のうち，直線α4上を除いて，0に最も近い点をBとする。（Eの条件からそ
のような点Bはある。）このとき，しの任意の点Xは整数π，mを用いて，
X＝7繍＋mδ苔（0）
と表されることを示す。
点0に関して点五と対称な点を五 ，点Bと対称な点をβ とし，δオ＝茄となる点0を おく。（図3．8参照）点Xに7瀦，隔を適当に施して，平行四辺形0．40B内（境界を含む）
に移すことができる。この移された点をX とする。X ∈しである。 X が△．4BO内（境界
を含む）の点であるとき，さらに，㌃，始を施して，△OAβまたは△α4 B 内（境界
を含む）に点X ∈しがあるとしてよい。●点X が直線ん4 上にあるとき，点X が点0，．A，．4 のいずれかでないと，点孟の取り 方に矛盾する。
●点X が直線A，．A 上にないとき，点X が点B，．B のどちらかでないと，点Bの取り 方に矛盾する。なぜなら，△0．4Bまたは△0．4 B は点0を中心とした半径10Blの円 の内に含まれるため，内部の点は点．Bよりも点0に近い点になるからである。（図3．8 参照）
よって，点X は点0，．4，．4 ，B，B のいずれかであるから，点Xに7融，7誘を施すと，点 0，孟，乃 ，．B，B のいずれかに移る。従って，五の任意の点Xは整数π，mを用いて， X＝
7泌オ柳δが0）と表される。
一方，L＝EOであることから， Hの任意の元は鳳翻＋mあと表される。ゆえに， E瓢
｛T。翻．mあ1π，m∈z｝が成り立つ。
／ 8， ・・
X0
0
8く．．．馴＿．．．・o
図3．8：2点ABの取り方
屠
上の証明は2っの平行移動で生成される運動群の生成元の見つけ方をも提示している。つ まり，次の系を得る。
系3．282っの独立な平行移動で生成される群しに対して，最小のベクトルにそった平行移
動を福，砿と平行でないベクトルのうち，最小のベクトルに沿った平行移動を隔とす
ると，五＝〈福，7誘〉が成り立つ。