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図4．4：直線m上の点であるとき
定理4．5壁紙群Wついて，Wが向きを変える運動を含むとき，次のどちらかが成り立つ。
1．yrは長方形のunit ceUを持ち，直線Zはその辺に平行である。
2．Wはひし形のunit cellを持ち，直線Zはその対角線である。
証明 Wが対称変換を含む場合は証明済みである。yゾが対称変換を含まず映進砺寸をもつ
ときを考える。直線Zを不変にするWの運動から成る部分群をFとすると，Fは映進と平行
移動から成り，回転移動を含まない。もしも、そのような回転移動が存在するならば，その回 転移動は，」上に回転の中心乃を持つ町である。このとき，岬。亀を考える。乃（助＝Bとおくと，
犀。R叉（ム）＝B，が。R叉（β）＝孟
が成り立つ。よって，0ア。町は向きを変える運動で2点孟，Bを入れ替える運動であるか ら，対称変換である。すなわち，Fが直線Zを不変にするような回転移動を含む場合，自ず と対称変換を含む。
以下，Fが回転移動を含まない場合について考える。
Fの運動のうち，最も平行移動部分の短い映進を7とする。
点謬十七：嫌雅蒙まず就醐上臨を斯癖とし・
1．ッ2＝％諺＝編より，任意の平行移動η∈．Fに対して，適当な整数mを用いて ッ2％壕＝騙となる点0を線分β β上におくことができる。0≠且のとき，7島。ッ
はッより短い映進（もしくは対称変換）となり矛盾となる。よって，0＝、4であり，均＝7−2mが成り立つ。つまり， Fに含まれる平行移動は，整数mでッ2mと表される。
2．任意の映進0河∈Fに対して，防寂
07は平行移動なので，先述より，整数鵠を用い
て，評・ツー弾と表せる．よって，評一7・漏としてよい。
従って，Fはッによって生成される。以下がの代わりに7について考える。
点Aを直線ご上の点とする。点Aを通って直線Zに垂直な直線をαとし，直線糀，p，点P を次のように定める。7（α）＝m，72（α）＝p，ッ2（紛＝Pが成り立つ。
聯は直線Zに沿ったWに含まれる平行移動のうち最小の平行移動であるから，補題4．3 より，点Dを〈7》，Tお〉＝防となるようにとれる。このような点Dに対して，適当な整
数πを用いて，7訪・（㌃）η＝7虚となる点D を直線α，p間（直線α上を含み， p上を含 まない）に考えることができる。（図4．5参照）D
α
P
P
・・戟E・
D
図4．5：D の取り方
このとき〈7》，7諭〉＝〈㌃，7訪〉であるので，以下，この点α，p間の点D を改めて点D
とおく。
1．点Dが直線α上の点であるとき：％，7》は肪を生成し，AD， APを一辺とする長
方形はunit cellになり，直線Zは辺を含む。2．Dが直線m上の点であるとき：θ1（D）＝Eとすると，隔＝70脇。ッー1∈Wから，
㌃＝7お07抽より，7訪，隔は肪を生成し，unit cellとしてひし形、4DPEをと
ることができ，直線Zはひし形の対角線を含む。3．点Dが直線α，m間かm，p間（直線α，m，p上を含まない）にあるとき：点E＝5 （D）
に沿った最短の平行移動であったから，隔＋諺＝7》とならざるを得ない。
商醗密密雅課ll霧膿ξ鷹1餓竜空潔準螺
に矛盾する。
以上より，Wは長方形のunit cellを持ち，直線Zはその辺に平行，もしくは， Wはひし形 のunit cellを持ち，直線Zはその対角線である。 麗
定理4．6壁紙群Wに格子を不変にする映進防マが存在すれば，Wは対称変換8mを含む。
証明 仮定から，0ブは格子の点を格子の点に移すので，平面上の点鼻と，点五によって決
まる格子の点Pがあって，0ア（孟）＝Pとする。このとき，7》∈Wより，隔。防才∈W
である。7揚。がは点孟を動かさずに向きを変える運動であるから，対称変換である。よっ て，Wは対称変換を含む。 召次に，壁紙群に含まれる回転移動について考える。
補題4．7Wを壁紙群とすると，任意の回転移動瑚∈Wの回転角は，πの有理数倍である。
慧講礫欝幾懲驚1 衆論蟹〜蔓ノ諺蟹魁鷲繍漂黙
すると，瑚で共役化することにより，吸Rス）耐∈肪，（乞∈Z）が成り立つ。よって，四rによ
る任意の点0の軌道防0は，0を中心とする，ある1っの円上の無限個の点を含む。する
と，補題3．18より，肪が離散的でなくなる。一方，p1型の肪は離散的であることから，これは矛盾。よって，壁紙群に含まれる回転移動は璃2π（η，ん∈z）の形で書くことができ る。 璽
もガ ガ
砺『∈Wに対して，π，たを互いに素とすれば，何度か合成することによってRス「という 回転移動になる。
定義4．8 （η一centerと軸）壁紙群Wと点Pについて，点Pを中心とする回転移動がWに
含まれていて，Wに含まれる点Pを中心とした回転移動の最も小さい回転角が誓（ηは自然 数）であるとき，点PをWのπ一centerという。（回転移動の中心を，単にcenterということもある。）
壁紙群Wと直線♂に対して，易∈Wであるとき，直線♂をWの軸という。
補題4．7で述べたことにより，壁紙群に含まれる回転移動の中心は，必ずある自然数ηを 用いてπ一centerと表される。
点Pが壁紙群Wのη一centerであるとき，！∈Wならば，！（P）もWのη一centerである。
これは，！。雌。声1＝・R責｝，）∈W より，点Pを中心とする角αの回転移動がWに含まれ ることと，ア（P）を中心とする角αの回転移動がWに含まれることが同値なことから，成り 立つことが分かる。
また，直線εが変換群Wの軸であるとき，g∈Wならば， gのもWの軸である。これは，
g・51。g−1＝3g（i）∈Wより成り立つことが分かる。
壁紙群Wが向きを変える運動を持つときunit cellの形や軸との関係に制限が生じたが，回 転移動を持つ場合も，いろいろと制限が生じる。そこで，η一centerについて考えていく。
定理4．9Wを壁紙群とし，肪の最小のベクトルによる平行移動を均する。平面上の異な
る2つのπ一center．4， Pに対して，21．4Pl≧17iが成り立つ。
げ ア ガ ガ
証明 E万，R歪∈Wより， R汐。R互7∈Wは定理1．23か月Wに含まれる平行移動であ
ガ ザ ガ げ ア げ
り，R歪oRλτ＝埼とおく。よって， R歪＝7ヤoR万から， R歪（A）＝T㌃oRス「（A）庸、4 とする。このとき，IP刈＝IP潤が成り立つ。∠舟）五 ＝…i旱＝π，すなわちπ＝2のと
き，点Pは線分ん4 の中点であり，π≠2のとき，△APA は二等辺三角形である。今，
ガ ガ
R戸oEλτ＝埼∈Wは点．4を点孟 に移す平行移動であるから，レ4、4 1＝「ジ1≦2レ4Plで ある。1寸1≧「司より，2レ4Pl≧1ぞiが成り立つ。 1
この定理より，η一center同士はある距離以上離れていなくてはならないことが分かる。つ まり，η一centerの全体は離散的であり，各η一centerそれぞれに最も近い別のη一centerが存在 できる。このことを使って，壁紙群Wがη一centerを持つとき，πの値が次のように定まる
ことを示す。
定理4．10Wを壁紙群とする。点PがWのη一centerであるとき，ηは2，3，4，6のいずれか
である。
証明 点PをWのη一center，点Qを点Pに最も近いη一centerとする。定理4．9より，そ
れ
のような点Qは存在する。点RニR5（P）とおく。このとき点RはWのπ一centerであり，
ガ
lPQI＝IQRIが成り立つ。点8二R歪（Q）とおくと，点3はn−centerであり， IRθ1＝｝R81
が成り立つ。
●πニ2，3，4，6のとき矛盾は生じない。（図4．6参照）
！●
R
3．
／兎
P
q 興
Pず3
．・・
P
0㊥．，．．E．ご ロコゐ ロサ
Q R げ
．，b図4．6：左から順にπ＝2，3，4，6の場合
●π＝5のとき，131）1＜IP（21より，点Cの取り方に矛盾する。
・η＞6のとき，15Pl＜IPQIより，点Cの取り方に矛盾する。（図4．7参照）
よって，πは2，3，4，6のいずれかである。 ■
また，この定理から，Wが同時に持つことのできないη一centerが，次のように決まる。
Pg乳5
θ P ・． 騨●げ る
Q R Q
ピコ ．。E図4．7：（左）π＝5（右）η＞6の場合
補題4．11Wを壁紙群とする。 W が4−centerを持つならば， Wは3，6−centerを持たない。
ぬ エ証明 Wが4−center，3−centerを持つとき，平面上の異なる2点丑Qを用いて， Rβ，Rδ∈W
ぜ か
と表せる。このとき，砺一τoR8∈Wは平面上のある点を中心とした豊の回転移動であ
り，Wが12−centerを持つことになり，定理4．10に矛盾する。同様に，Wが4−centerと6−centerを含む場合も， Wが12−centerを持つことになり，定理
4．10に矛盾する。 1
上記3つの定理と補題を受けて，定理4．9の証明をもう少し細かく見ると，実際にそれぞ れのη一center間の取りうる距離についての条件が得られる。これは今後，壁紙群を分類をす
る上で役立つ。
補題4．12Wを壁紙群とし，肪の最小のベクトルによる平行移動を乃，「引＝オとする。
平面上の異なる2つのπ一center、4，m−centerPに対して，2点乃， P間の距離はη， mの値によっ て次のようになる。
1．η＝鴇のとき：
（1）η＝m＝2のとき：1、4Pl≧垂。
（2）π・＝m＝3のとき：1、4PI≧毒。
（3）η＝7η＝4のとき：レ4Pl≧毒。
（4）π＝m，＝6のとき：卜A馴≧f。
2．π＝2，m＝4のとき：1．API≧彦。
3．η＝3，m＝6のとき：IAPI≧毒。
4．π＝2，m＝6のとき：レ4．列≧垂。
証明