（10）明＝〈Eア，R蒼，R亙，5AD＞
げ ガ げ
（11）㎎＝〈R7，R石，R厚，5乃B＞
ガ ぜ ぢ
（12）㎎＝〈R7，R石，R亙，昂〉
（・3）曜一〈瞭，R誇，R鴛，癖〉
（14） y匹z1＝＝〈編，㌃き〉
（15）叫＝〈隔，㌃，3且D＞
（16）曜＝〈隔，㌃，3五・〉
（・7）曜一〈隔，㌃，σ盈〉
証明
1．定理3．21より，1．ならば2．が成り立つ。
2．定理3．23より，2．ならば3．が成り立つ。
3．定理4．16，4．17，4．18，4．19，4．20，4．21，4．22，4．24，4，25より，3．ならば4．が成り立つ。
4．17種は規則的タイリングPに対してSym（IPI）と描かれていた。実際にアを見ると．
Sym（rP Dの元はタイルをタイルに移す運動であるから，定理3．15より，4，ならば1．が 成り立つ。
従って，変i換群σについて，上記4つの条件が同値である。 置
以上より，規則的な規則的タイリングアはアに付随する壁紙群に着目することで，次の 17種類に分類される。
・p6：6−centerをもち，裏返しを含まない。
・p6m：6−centerをもち，対称変換も含む。
・p3：3−centerをもち，6−centerをもたず，裏返しを含まない。
●p3m1：3−centerをもち，6−centerをもたず，最近接の2っの3−centerを対称軸上にもつ 対称変換を含む。
●p31m：3−centerをもち，6−centerをもたず，最近接の2っの3−centerを対称軸上にもた ない対称変換を含む。
・p4：4−centerをもち，裏返しを含まない。
・p4m：4−centerをもち，4−centerを対称軸上にもつ対称変…換を含む。
●p4g：4−centerをもち，4−centerを対称軸上にもたず，2−centerを対称軸上にもつ対称変 換を含む。
●p2：centerは2−centerのみをもち，裏返しを含まない。
●cmm：centerは2−centerのみをもち，格子がひし形で，ひし形の対角線を対称軸とす る対称変換を含む。
●pmm：centerは2−centerのみをもち，格子が長方形で，長方形の辺を対称軸とする対 称変換を含む。
・pmg：centerは2−centerのみをもち，格子が長方形で，長方形の辺ではなく，辺とと平 行な対称軸をもつ対称変換を含む。
●pgg：centerは2−centerのみをもち，格子が長方形で，長方形の辺ではなく，軸が辺と 平行で平行移動部分が辺に沿ったベクトルによる二進を含む。
・p1：平行移動のみを含む。
●cm：centerをもたず，ひし形のunit cellをもち，ひし形の対角線を軸とする対称変換 を含む。
●pm：centerをもたず，長方形のunit cellをもち，平行移動と長方形の辺を軸とする対 称変換を含む。
●pg：centerをもたず，長方形のunit cellをもち，平行移動と長方形の辺と平行な軸と 辺に沿ったベクトルによる平行移動をもつ映進を含む。
例えば，一般の四角形は，次のように必ず平面に敷き詰めることができることが，よく知 られている。（図4．35参照）
図4．35：一般の四角形の敷 硝
このタイリングに付随する群は，太線で示したunit ce11をもつ， p2型の壁紙群である。
付録A章運動を用いた教材の提案
4章までを踏まえ，ここでは付録として，中学生を対象とする運動を用いた教材を提案したい。
A．1 変換の位置づけ
1章冒頭でも述べたように，B．C．300年頃に書かれたというユークリッド原論においては，
平面の運動（合同変換）を明示的に意識していないと推測される。その後，2000年の．月日を 経て，17世紀にデザルグ（Desargues）やパスカル（Pascal）らによって，射影幾何学の研究が 始まり，変換という考え方が導入された。射影幾何学は射影（変換）によって変わらない性 質を対象とする幾何学である。
その後，ドイツのクライン（Felix Klein，1849−1925）によって，運動群または変換群を用い て幾何学を定義するという立場から，幾何学が論じられた。
1872年にエルランゲン大学への就任に際して， 変換群に対して不変な性質 を研究するものが幾何学である．種々の変換群を与えることによって，対応する 種々の幾何学を生ずる． という考えを発表した．同
以降この考え方によって，綜合幾何学（座標を用いず，図形そのものを直接の対象とし，
図形的操作を手段として研究する幾何学）が大きく発展を遂げる。また今日も有効な手段と して大いに活用され，その発展に貢献している。
一方，日本の学校教育では，昭和30年代アメリカのスプートニク・ショックに端を発した 数学教育の現代化において，位相などと共に変換が，中学校学習指導要領の幾何分野の教材
として盛り込まれた。しかし，昭和52年改訂の学習指導要領では，共に削除されている。現 代化が失敗であったとされたためである。失敗とされた原因は野津（1995）［5］によると，
・現代化の内容を取り入れたことが，生徒・教師の負担過重につながったこと
・現代化の内容に対する指導法及び教材の開発が，十分なものでなかったこと
●現代化の意味が不明確なことから，現場の教師には現代化のねらいに対して混乱があっ たこと
などが挙げられている。しかし，変換・位相が不必要であったわけではない。むしろ，これ らの考え方を身につけることは有用である。実際，野津によって，
既成概念にとらわれない，新しい図形の見方としての「図形の変換の考え」
と「図形の位相的な見方」が，現代化学習指導要領に取り入れられた。ところが，
生徒・教師の負担過重や図形教育の一貫性を配慮した結果，昭和52年改訂の学 習指導要領において削除された。同
と述べられている。つまり，教材の特質として，図形教育の一貫性を配慮すべきではあるが，
既成概念にとらわれない，新しい図形の見方を感得するためには有益であると言えよう。
そこで本提案では，それらの失敗原因に留意した上で，導入当初にあった動機を生かすよ うに，「図形の変換の考え」の教材化について考えたい。
A．2 教材化にあたって
数学＝数字，数式，計算といった固定観念がないだろうか。実際に中学生と関わっている と，そのような固定観念があるように思われてならない。しかし，本当に数学は数字や数式，
計算だけであろうか。否，そんなことはない。数学は本来，自由なものと言われる学問であっ たはずである。では，なぜそんな固定観念ができてしまったのだろうか。考えられるのは，
学校教育での数学の扱われ方である。つまり，学校数学において，取り扱われている分野に 偏りがあるのではないだろうかと推測する。しかしながら，このように本来の数学の姿とか
け離れた数学観をもってしまうことは，数学の本質を誤解することであり，数学嫌いを助長 させる原因とも考えられ，危険なことであると感じる。もっと，数学本来の自由性を感じた り，数学に対して多様な見方ができるようになっても良いのではないのだろうか。むしろ，
そうなって欲しいと考える。
そこで，そのような要求に応え得る教材を開発したいと考えた。開発のポイントは，前節 で述べた注意点を踏まえて，
1．数学の自由性を感じさせる
対象を数字，数式，計算に限らず，様々なものを対象とする，数学本来の自由性を感 じさせることによって，新しい図形の見方，本来の姿に近い数学観の育成を目指す。
2．悪戯に難度を上げず，極力平易である
学習内容の増加につながるなど，生徒への負荷をかけないこと。また，既習の内容の 定着による生徒間での理解の格差が極力少なくなること。（全員がほぼ同等の状態で学 習が始められる内容であること。）
3．具体的な操作性を含む活動を取り入れる
活動を取り入れることにより，生徒の興味・関心を得やすくするだけでなく，事象と して具体的に結果を目にすることで，生徒自身が結果に対して不思議に感じたり，納 得するのに大きな役割を果たす。
の3つを挙げる。1．2．は前述を踏まえたものであり，3．は学習指導要領解説［7］に拠る。学 習指導要領では特に図形分野において，繰り返し「観察，操作，実験を通して」という表現 がみられる。実際に，具体的な操作は生徒の理解に有効であると考えられるため，これを教 材を開発する際のポイントの1つとして挙げる。
また，実施時間は，選択授業での取扱いが望ましい。なぜならば，通常授業での実施とな ると，授業時間の確保が困難である上に，前述より図形教育の系統性に支障をきたす可能性 を否定できないためである。選択授業については，中央教育審議会教育課程部会による「教 育課程部会におけるこれまでの審議のまとめ」圖によると，中学校における選択授業の扱い が，「第2，3学年において総合的な時間の一部門充て得るとすることについて引き続き検討」
とあることから，今後も選択授業の枠が維持されるものと考えられる。よって，本稿では選 択授業が残るものとして，話を進める。
なお，授業時間の確保や，線対称・点対称が学習済みであることなどから，対象は中学校 2，あるいは3年生としたい。
A．3 教材提案
1．ねらい（教材について）
●線対称・点対称以外にも対称性のある図形が存在することに気づく。
●四則演算以外の演算の存在を知る。
●操作を式に表すことができることを知る。
●式の変形によって，操作の結果を知ることができることに気づく。
・可換でない演算の存在を知る。
●既知の対称性における運動の関係から，より大きな対称性における運動の関係を 予測する。
これらによって，図形の新しい見方，新しい数学観（運動などの操作を考察対象とす る事も可など）を養いたい。また，今までの学習と密接にかかわる事がない内容であ るから，普段の授業で遅れがちな生徒にも取り組みやすくなるように配慮したい。
2．単元計画，目標，評価（時間構成）
単元計画（全4時間）
（1）120。の回転移動で不変な図形Fの観察（1時間）
（2）120。の回転移動と，ある対称変換で不変な図形Fの観察（2時間）
（3）720の回転移動と，ある対称変換で不変な図形Fの観察（1時間）
目標（評価の観点）