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θ P ・． 騨●げ る
Q R Q
ピコ ．。E図4．7：（左）π＝5（右）η＞6の場合
補題4．11Wを壁紙群とする。 W が4−centerを持つならば， Wは3，6−centerを持たない。
ぬ エ証明 Wが4−center，3−centerを持つとき，平面上の異なる2点丑Qを用いて， Rβ，Rδ∈W
ぜ か
と表せる。このとき，砺一τoR8∈Wは平面上のある点を中心とした豊の回転移動であ
り，Wが12−centerを持つことになり，定理4．10に矛盾する。同様に，Wが4−centerと6−centerを含む場合も， Wが12−centerを持つことになり，定理
4．10に矛盾する。 1
上記3つの定理と補題を受けて，定理4．9の証明をもう少し細かく見ると，実際にそれぞ れのη一center間の取りうる距離についての条件が得られる。これは今後，壁紙群を分類をす
る上で役立つ。
補題4．12Wを壁紙群とし，肪の最小のベクトルによる平行移動を乃，「引＝オとする。
平面上の異なる2つのπ一center、4，m−centerPに対して，2点乃， P間の距離はη， mの値によっ て次のようになる。
1．η＝鴇のとき：
（1）η＝m＝2のとき：1、4Pl≧垂。
（2）π・＝m＝3のとき：1、4PI≧毒。
（3）η＝7η＝4のとき：レ4Pl≧毒。
（4）π＝m，＝6のとき：卜A馴≧f。
2．π＝2，m＝4のとき：1．API≧彦。
3．η＝3，m＝6のとき：IAPI≧毒。
4．π＝2，m＝6のとき：レ4．列≧垂。
証明
（1）π二鵬＝2のとき：しん4 1＝2凶Plより，2障Pl≧オからi．4．Pl≧者が成り立つ。
（2）η＝㎜＝3のとき：1．4．4 1＝〉雪i、4Plより，1、4．4 1≧オから〉！5LAPI≧オとなる。
よって，1，API≧毒が成り立つ。
（3）π＝m＝4のとき：レ4、4 1＝〉互レ4Plより，レ4．4 1≧孟から〉優レ4．Pl≧舌となる。
よって，レ4別≧毒が成り立つ。
（4）η＝m＝6のとき：1ん4 1＝凶Plより， IAA 1≧孟からIAPI≧孟が成り立つ。
2．π＝2，m＝4のとき：4−centerを中心とした回転移動は誓の回転移動を含むので，
ηニm＝2の場合に従って，μPl≧巷となる。
3．η＝3，m＝6のとき：6−centerを中心とした回転移動は警の回転移動を含むので，
η＝m＝3の場合に従って，凶Pl≧毒が成り立つ。
4．π＝2，mニ6のとき：6−centerを中心とした回転移動は誓の回転移動を含むので，
π＝m＝2の場合に従って，円刑≧圭が成り立つ。
墨
定義4．13Gを運動群とする。 Gに含まれる向きを保つ運動のみから成る運動群をσ＋とし，
また，σ一＝σ一σ＋とする。
σ＋集σで0＋が分かっているとき，σ＋からσへ拡張することを考える。
命題4．14σを運動群とする。σi≧0＋で，0−0＋∋ノならば，（7＝〈σ＋U｛！｝〉が成り
立つ。
証明 σに含まれる任意の向きを変える運動gに対して，！一1・gは向きを保つ運動である。
！『10g＝ん∈0＋とおくと， g＝！・んとなる。よって，σの任意の向きを変える運動gは，
！とσ＋に含まれる運動で生成される。 1
命題4．15W を壁紙群とする。 W＝肌，平行四辺形ABDOをWのunit ce11とする。
運動∫を向きを変える運動とし，W ＝〈肌U｛ア｝〉とする。ノについて次が成り立つとき，
呪＝罪＋が成り立つ。
1，ノは肌のη一centerを肌のη一centerに移す。
2．爾とπ輌は紹桶記（購は整数）の形で表される．
3，！2∈肌が成り立つ。
証明 W の元はWの元α1，α2，＿，αmを用いて，α1。！士1。α2・！土10．．．・！士10αmと表さ れる。（α1，α2，＿，αmのいくつかは恒等変換でもよい。）このように表されるW の元のうち，
向きを保つ元は合成された！±1の個数が偶数のときであるので，
α、・！士1・α、・＿・！±1・α2鳶＋、＝α、。（！±1。α、・ノ士1）。α、。（！±1・α、。！±1）。＿。（！±1・α2海。！土1）・α、、＋、
と表される。よって，今，呪．＝肌であるには，！±10偽。！土1Q＝1，2，＿，2た！がW＋の 元であればよい。！±10α。井1（α∈W）について，次のいずれかの場合が考えられる。
1．！・α・！＝（！。α。！一1）。ノ2
2．が・α。！一1＝！一2・（！。α・！一1）
3．！一1。α・！ニ∫一2・（！・α。！一1）。ア2
いずれの場合も，！土・α。！士（ασのは！・α・∫一1と！2の合成で表されることから，以 降，∫0αO∫一1について考える。
1．α∈肪のとき，偽＝Tm周覧記（m，ηは整数）と表せる。このとき，
！・α・！1一！。㌃崩．。驚・ノー1 （4・1）
一㌃禰．。π輌 （42）
一掴（，崩＋t記）．。（，崩．，記） （4・3）
定理1．35より，（4．1）から（4．2）への変形ができ，これは仮定より，整数3，オ，p，gを用い て（4．3）の右辺のように表せる。よって，ノ。αo！一1は肪に含まれる。
2．αが点Pをcenterとする回転移動であるとき，ノ。αo∫一1は定理1．37より，！（P）を中 心としたαと逆向きで同じ大きさの角度の回転移動である。今，仮定1．より，点Pが y匹のπ一centerならば，！（P）も叫のπ一centerであることから，！oαo！一1は琳．の 元である。
3．！2∈肌は仮定に含まれている。
よって，呪⊂肌が成り立つ。呪⊃肌は自明なので，呪＝肌が成り立つ。
■
4．2 6−centerをもつ壁紙群
向きを変える運動を含む場合，回転移動を含む場合，それぞれに様々な制限を持つことを 示した。この制限を用いて，centerに着目して壁紙群を分類をしていきたい。
定理4．16Wを壁紙群とする。 Wが6−centerをもつならば，次が成り立つ。6−centerを筆戦
とする。
1．Wに4−centerは存在しない。
2．点Aに最も近いcenterとなる点Mは2−centerである。
3．点五を中心とし，2−centerMを辺の中点にするような正六角形を考える。このとき正 六角形の頂点は3−center，辺の中点は2−center，中心は6−centerである。
4．3．の正六角形を敷き詰めた際の，正六角形の辺の中点，頂点，中心は全て，それぞれ 2，3，6−centerであり，逆にWのcenterはこれらに限る。
ア げ て ガ ガ げ
5．点σをR万oE吾＝R；丁を満たす点とすると，叫＝〈R万，R葺，瓦勇となる。（図
4．9参照）
証明
1．補題4．11で証明済み。
げ ぜ
2．点五に最も近いcenterを点Mとおく。点Mが3か6−centerのとき， R石＝（R蕩）2よ