●〈R亙，R蕩，R亙，騙。3ε〉と書ける群をpgg型 また図右のようなひし形ABDσをunit cellにもち，
ア げ ガ
○〈Rオ，場，R痘，3直D〉と書ける群をcmm型
という。
特に，cmm型はひし形のunit cellをもち，対角線と平行な対称軸をもつ。 pmm型は長方 形のunit cellをもち，長方形の辺を対称軸とする。 pmg型は長方形のunit ce11をもち，長方
図4．28：SymqPD竃W3となる規則的タイリ
図4・27：Sym（1〔PDニ㎎となる規則的タイリングアングア
図4。29：Symq7）D＝㎎となる規則的タイリ
ングP 図4．30：Sym（17）1）＝㎎となる規則的タイリ ングア
形の辺ではなく，辺と平行な対称軸をもつ。pgg型は長方形のunit cellをもち，長方形の辺 ではなく，辺と平行な対称軸をもち，同じ辺に沿ったベクトルによる平行移動を含む。
4．6 centerをもたない壁紙群
最後にcenterのない壁紙群Wについて考える。裏返しを含まないものは，第3章で先 に述べたp1型と呼ばれるものである。つまり，独立な2つのベクトル諺，驚を用いて，
肌＝〈隔，7涜〉と表すことができる。このW＋をW1とおく。
W1に向きを変える運動をくわえてWに拡張することを考えたい。
定理4．25WをW：＋がp1型となる壁紙群とし， Wが向きを変える運動を含むとき，次のい
N
●E
孟 M β
D
1V
0
B
D
ご
図4．31：unit cell．A．BDOの例
ずれかが成り立つ。
1．Wはひし形のunit celMBDOをもち， W＝〈隔，喩，5且p＞。
2．Wは長方形のunit celL4βDOをもち， W＝〈隔，㌃，8AC＞。
awは長方形のu・it ceMBDOをもち， W一〈隔，：物，嚇〉。
証明 定理4．5より，Wは長方形のunit cellをもち，対称変換あるいは映進の軸は辺に平行，
もしくは，ひし形のunit cellをもち，対称変換あるいは映進の軸は対角線に平行である。
1．W1に対称変換を加える場合，加える対称変換の軸上に点．4をとることにする。この ときunit celL4βDOは定理4．5よりひし形か長方形で，対称軸はそれぞれ、4Pか．4B である。
．unit celL4βDOがひし形のとき，軸は．4Dとしてよい。よって，命題4．14より，
レγ＝〈7捻，㌃，θAD＞となる。
●unit celMβDOが長方形のとき，軸は五〇，孟Bが考えられるが，はじめから2点 ．B，0を入れ替えることでAσを軸とする場合もABを軸とする場合も同じと考え てよい。よって，．40を軸とする。従って，命題4．14より，W＝〈丁捻，7詑，3AO＞
となる。
2．隅に映進のみを加える場合，加える映進ッの軸をZとし，やはり」上に点、4をとる。
unit celL4BDOを考えると，定理4．5より，四角形AβDOはひし形かつZコ、4D，も しくは長方形かつZ＝ABとしてよい。
●unit celL4BDOがひし形かつ1＝、4Dとする。適当な実数：オを用いて，7＝7｝訪。
θADと表せる。72認％莇∈肌より，2オは整数であるから，2オ＝η（ηは整数）
とおく。すると，7＝7≧：あ。3ADと書けるが，彗が整数だとく肌，7＞＝〈肌，8AD＞
コ
となるので，号は整数でない。隔∈肌より，7＝TLあ。θ4Dとして考えてよ
い。線分五〇の中点をNとすると，7・TL記（N）＝Nより，7・7＝：諮は向きを変 える運動で動かない点をもっことから，対称変換である。従って，unit celL4BDO がひし形の場合，映進を加えようとすると，自ずと対称変換を含む。
●unit celL4．BDOが長方形かつZ＝ABとする。適当な実数オを用いて，7罵男：密・
3ABと表せる。ひし形の場合と同様の議論をもって，ッ＝箕鳶・θABとしてよ
レ㌔よって，笄編・3。B一σ鞭このとき調一〈 一 ⊥崩隔，窃∂，o置B〉である．
2
■ 今，3ADについて次が成り立つ。
・θAD（孟）3五D（B＝記，3AD（孟）3AD（o＝鳶。
●5AD。θ五D＝掘∈W：1。
同様に，θAO，0霧についても上の条件が成り立つ。以上より，命題4．15から，
隅一〈w、，3。D＞．一〈肱3。C＞．一くw、，σ盈〉＋
が成りたつので，〈W1，θAO＞T＝〈略，3乃。＞T＝〈隅，ひ霧＞T＝（穐）Tである。つまり，〈貼，θ4D＞，
〈レF1，3Aσ〉，〈W1，σ盈〉はそれぞれ，向きを変えない部分群が隅となる，向きを変える運 動を含む壁紙群である。〈隅，3AO＞と書ける群をcm型，〈隅，5AO＞と書ける群をpm型，
託言欝群をP9型という・以後竪堀＝〈隅畦
図4．32：Sym（1ア1）＝叫となる規則的タイリングァ
特に，cm型はcenterをもたず，ひし形のunit cellをもち，ひし形の対角線を軸とする対 称変換を含み，pm型はcenterをもたず，長方形のunit cellをもち，平行移動と長方形の辺
を軸とする対称変換を含む。pg型はcenterをもたず，長方形のunit cellをもち，平行移動 と長方形の辺と平行な軸と辺に沿ったベクトルによる平行移動をもつ唾壷を含む。
這
図4，33：Sym（「PI）＝畔となる規則的タイリ図4．34：Sym（17）D＝判事となる規則的タイリ ングア ングア
4．7 規則的タイリングの分類
壁紙群はこれまでに述べたように，
肱，叫，㎎，既，曜，曜，肌，呵，w了，脆，㎎，曜，㎎，曜，貼，w：呈，Wlぞ，wそ
の17種である。これらは全てある規則的タイリングアに関してSym（1アDとなっている。こ のことから，次の定理が成り立つ。
定理4．26変換群：Gについて次の4つの条件はすべて同値である。
1，σは規則的タイリングに付随する。
2，0は有界な基本的領域をもち，離散的である。
3，σは壁紙群である。
4，0は次に述べる17種類のいずれかである。記号はそれぞれ各証明（定理4．16，4．17，
4．18，4．19， 4．20，4．21，4．22，4．24，4．25）で用いたものを使用する。