変形挙動の予測

5 . 4 . 1  

予 測 法

本 節 で は 変 形 応 力 の 予 測 式 の 導 出 を 行 う 。

国 溶 硬 化 合 金 の 高 温 に お け る 変 形 応 力σは 、 転 位 の 長 距 離 相 互 作 用 に よ る 内 部 応 力 引 と 転 位 の 溶 質 雰 囲 気 引 き ず り 抵 抗 に 基 づ い た 有 効 応 力σeの 和 で 与 え ら れ る(49)。

転 位 の す べ り 運 動 に 関 す る Orowanの式(50)よ り 微 小 せ ん 断 ひ ず み dγは

dγ=ρ

b d x   ( 5 . 2 )  

で示される。ここで、 pは転位密度、 bは パ ー ガ ー ス ベ ク ト ル の 大 き さ、

d x

は転位の微小変位である。ここで、 ρe、 ん を そ れ ぞ れ 刃 状 転 位とらせん転位の密度、

d X e

、

d x "

を そ れ ぞ れ 刃 状 転 位 と ら せ ん 転 位 の 微 小 変 位 と し 、 そ れ ぞ れ の 転 位 か ら 成 る 長 方 形 の 転 位 ル ー プ を 考 えると、

Pe 

d x "  

( 5 . 3 )  

p" 

d X e  

可~

が 成 り 立 つ(51)。 ら せ ん 転 位 は 静 水 応 力 場 を 持 た な い の で 、 固 溶 硬 化 合 金 で は ら せ ん 転 位 の 熔 質 原 子 と の 相 互 作 用 は わ ず か で あ る (52)。

し た が っ て 、 雰 囲 気 か ら 大 き な 抵 抗 を 受 け る 刃 状 転 位 に 比 べ て 雰 囲 気 を ほ と ん ど も た な い ら せ ん 転 位 の 速 度 は 大 き く 、 式

( 5 . 3 )

におい

て、 dX$_{~ dXe}と考えられる。すなわち、 ρe~ρs と考えられる。

よ っ て 、 全 転 位 密 度 をP

= =  

Pe 

+

ρsとすると、 ρ=ん と し て よ く 、 変 形 は 専 ら 運 動 速 度 の お そ い 刃 状 転 位 の 運 動 に よ っ て 律 速 さ れ る こ と になる。

式

( 5 . 2 )

を 刃 状 転 位 と ら せ ん 転 位 に 分 け て 考 え る と 、 以 上 の 考 察 よ り 、 微 小 せ ん 断 ひ ず み dγは

dγ  Pebdxe 

+

ρ$bdx$  (ρsdzs)  Pebdxe 

I I   + 

_ρe

_~:d

_aXe 

2

ρbdx 

( 5 . 4 )  

と表せる。ただし、 dXe

= =  

dxと し た 。 こ の よ う に 、 式

( 5 . 2 )

と比較 して、式

( 5 . 4 )

の 右 辺 に 係 数 2が つ く の は 、 高 速 で 運 動 す る 少 数 の ら せ ん 転 位 に よ る 変 形 へ の 寄 与 が 、 低 速 で 多 数 の 刃 状 転 位 の 寄 与 と 同 じ に な る か ら で あ る 。

こ れ ら の 転 位 が 粘 性 的 な 運 動 を す る と き 、 転 位 速 度 り は 転 位 の 易 動 度

B

と 有 効 せ ん 断 応 力Teの積

υ = ( =

B T_e)で表される事。従って、

テ ー ラ 一 因 子 Mを用いると、 dγ==

Md

εの 関 係 と 、 式

( 5 . 4 )

より、

申引張応力をσ、分解せん断応力を7、伸びひずみをε、せん断ひずみをγで・表 す。

可~ー

引 張 ひ ず み 速 度εは

1 ̲  ̲  2 .  

d x  

e==今/

M 

==  _~-r 

p b  

-J~

I 

M

^r ‑

d t   ( 5 . 5 )  

で 表 さ れ る 。 こ こ で 、 転 位 速 度

d x / d t

を uと す る と 、 前 章 で 述 べ た 溶 質 雰 囲 気 引 き ず り 抵 抗 ( こ れ が 有 効 応 力 九 と し て 測 定 さ れ る ) と 転 位 速 度 が 比 例 す る 条 件 の も と で は

v == BT_e 

( 5 . 6 )  

が 成 立 す る の で 、 九 =σ

e /

^Mの関係を用いると、

t= ￡

^ρbBσe 

^{( 5 . 7 )}  

と な る 。 す な わ ち 、 引 張 ひ ず み 速 度tは 、 有 効 引 張 応 力σeと 転 位 密 度ρお よ び 刃 状 転 位 の 易 動 度

B

によって表すことができる。

一 方 、 内 部 応 力 引 は 転 位 密 度ρの 関 数 と し て

σ_i==αMGb

ゾ 戸 ^{( 5 . 8 )}  

で与えられる ⁽¹²⁾。ここで、 αは定数、 Gは 剛 性 率 で あ る 。 式 (5.1)、

( 5 . 7 )

と

( 5 . 8 )

からpとσeを 消 去 す る こ と に よ り 、 変 形 応 力σはσiのみ の 関 数 と し て

α^{2 M4}

G

²

b  (

寸¥

σ=σ; ₊  I E~ ‑ ‑ I 

2σ;^'2 B  ¥ ‑~

]{ ) 

( 5 . 9 )  

と表せる。ただし、 e==ら ‑

a / ] (

_{の関係 (5.2.2参照)を用いた。し}

た が っ て 、 内 部 応 力 が わ か れ ば 、 与 え ら れ た ら に 対 す る 変 形 応 力 と そ の 変 化 速 度 と の 関 係 が 求 め ら れ る 。

可."，.‑

dσi 

= 

hdε‑rdt  ^{︑ ︑ . ︐ ︐}

J

nU  

噌Ei

Fヘυ

〆'

aE︑ ︑

内部応力の増分は、 Bailey(53)と Orowan(54)が 示 し た よ う に 加 工 硬 化 と 回 復 の 競 合 と し て 次 式 で 表 せ る 。

こ こ で ん =

( θ σ i / θ ε )

は純粋な加工硬化率、ァ=一

( θ σ i / θ t )

は純粋な 回復速度である。

内部応力の増加(加工硬化)は変形に伴う転位密度の増加による。

転 位 密 度 の 増 分 dρは 、 転 位 密 度pと 転 位 の 移 動 し た 距 離 dxに比例 すると考えられるので、 sを そ の 比 例 定 数 と し て dρ ==sρdxとおけ

る で あ ろ う 。 し た が っ て 、 式 (5.4)と dγ = M dεの関係より、

dp=F22dε 

2 6  

噌 ︐ ^司自i ︑ ︑ ︐ ︐ ︐ ︐ ︐

i

FヘU

〆' e︐ ︑ ︑

が得られる。

回 復 の 効 果 が な い と し て も 、 転 位 密 度 が 増 加 す れ ば 逆 方 向 に 運 動 す る 正 負 転 位 の 会 合 の 頻 度 が 増 し 、 対 消 滅 に よ る 転 位 密 度 の 減 少 が お こ る と 考 え ら れ る 。 こ の 減 少 量

‑dp

は 転 位 密 度 と 転 位 の 運 動 距 離 に 比 例 し 、 平 均 転 位 間 隔

( 1

ん/戸)に逆比例すると考えられるので、

Orowanの 式 を 用 い る と

‑d p  

==αρ

vpdx 

== 

avp 五

M 

d ε ( 5 . 1 2 )

が得られる。ただし、

α

は 比 例 定 数 で あ る 。 式

( 5 . 1 1

)と

( 5 . 1 2 )

より 転 位 密 度 の 増 加 は

d p   ==仇一 αJ)gdε

^lf^{︑ ︑} qJ  

噌14 F hυ  

〆' E 目 ︑ ︑

で表される。ただし、 soは 対 消 滅 が な い と き の 増 殖 係 数 で あ る 。

可 F炉 「

転 位 密 度 が 増 加 し て く る と い ず れ

d ρ = = 0

に な る 飽 和 状 態 に 達 す る と 考 え ら れ る 。 こ の と き の 転 位 密 度 をρsと す る と 、 式

( 5 . 1 3 )

から

s o  = = α

ゾ 瓦 の 関 係 が 求 め ら れ 、 式

( 5 . 1 3 )

は (‑1 

/p¥M 

d p  = =   s o  (  1  ‑¥  /  ̲ c ̲  ) 

~:

¥  V ρ

^!J} 

^{2 b}  

と書き換えられる。

回 復 の 効 果 を 含 ま な い 純 粋 な 加 工 硬 化 率

h

は、

で あ る が 、 式

( 5 . 8 )

より

ん=生 =dσiθρ θεdρθε 

生一 α MCb̲  α ( MCb)2  d p   2 V P  

^2σz 

(  5 . 1 4 )  

(  5 . 1 5 )  

(  5 . 1 6 )  

また、 P!Jに 対 応 す る 飽 和 内 部 応 力 をσi!J(==αGb

ゾ λ )

と す る と 、 式

( 5 . 1 4 )

より

。

^(J

^M

^{ι f σょ¥}

o e   ==五角〔 1‑z;;j ( 5 1 7 )  

が 得 ら れ る 。 式 (

5 . 1 6 )

を 式 (

5 . 1 5 )

に代入することにより、

h

は

h = A ( 七 の ^{( 5 . 1 8 )}  

で与えられる。ここで、

A ==  (α2 M³C²

b s o ) / (  

4σi^{!J  )} 

( 5 . 1 8 ' )  

である。

一 方 、 回 復 は 時 間 に 依 存 し た 転 位 密 度 の 減 少 に よ る 。 高 温 で の 転 位 の 上 昇 に よ る 対 消 滅 の 速 度

θ ρ / θ t

は 、 転 位 密 度 の 二 乗 と 拡 散 係 数

可~.

D

，

こ比例すると考えられるので、

θp っ

友==_-rolDp~ ︑ ︑ . ︐ ︐ ︐

︐

nw d 

噌Ei vh u  /a 11  

と 表 さ れ る 。 上 式 と 式

( 5 . 8 )

か ら 、 回 復 速 度 は θσi 

d

σiθ

P 

^1¥  3 

r = =

一 一 = 一 一 一 = =

r lD

^(J{) 

( 5 . 2 0 )  

θ

t  dp

θt  と表せる。ここで、

ア1

= =   r O l / { 2 (

α

M G b ) 2 }   ( 5 . 2 0 ' )  

である。

焼 き な ま し 時 に ネ ッ ト ワ ー ク を 形 成 し て い る 初 期 転 位 の 減 少 速 度 は 、 ネ ッ ト ワ ー ク の リ ン ク 長 さ を l‑:::= 

1 /

、/戸とすると、単位体積中 のリンクの数(==

1 / [ 3   = =  

(ゾ戸

) 3 )

と 拡 散 係 数 に 比 例 す る と 考 え ら れ

るので、

十 一 向 ^{2 D ( v p ) 3   ( 5 刈}

と 表 せ る で あ ろ う 。 上 式 と 式

( 5 . 8 )

よ り 、 ネ ッ ト ワ ー ク の 回 復 速 度 は θσi 

d

σiθρ っ

ァ==‑ dt 

= =   ‑ d p

友==r2^{D σ}i~

( 5 . 2 2 )  

と表せる。ここで、

r 2   = =   r 0 2 / ( 2

α

MGb)  ( 5 . 2 2 ' )  

である。

以 上 の 加 工 硬 化 率 と 回 復 速 度 お よ び 式

( 5 . 1 0 )

よ り 、 内 部 応 力 の 時 間 変 化 は

d

(J; σμ 一σ /̲  a ¥ 

ず ==A~ σi いーが ‑ ^{r l D}

^{σi3‑ψσi2}

^{仰 ( ‑ 6 ε )   ( 5 幻)}

可V炉 一

で与えられる。

e x p (‑ 8 ε )

の 項 は 、 こ の 回 復 の 効 果 が 変 形 初 期 に の み あ る こ と を 考 慮 し た 減 衰 項 で 、

6

は減衰係数である。

変 形 に 伴 う 内 部 応 力 の 変 化 は 、 式 (5.23)を 変 形 経 路 に 沿 っ て 積 分 す る こ と に よ っ て 得 ら れ る 。 予 測 に 必 要 な ノ マ ラ メ ー タ は 、 宮 川 ら

(11)(12)と同様、 1つの定ひずみ速度試験で求めた応力ーひずみ曲線と、

同 じ 材 料 を 用 い て 得 た 中 島 ら(36)の 回 復 速 度 の 測 定 結 果 お よ び 本 研 究 の 応 力 緩 和 試 験 に よ っ て 求 め た 内 部 応 力 の 測 定 値 を 参 考 に し て 次 節 で 述 べ る よ う に 決 定 し た 。

前 章 に 示 し た よ う に 、 1050Kで は 実 験 条 件 が 転 位 が 溶 質 雰 囲 気 か ら 離 脱 す る と 考 え ら れ る ひ ず み 速 度 域 を 含 ん で い る こ と か ら 、 変 形 応 力 の 予 測 は 1100Kお よ び 1150Kに つ い て の み 行 っ た 。 刃 状 転 位 の 易 動 度

B

の 値 は 、 前 章 に 示 し た よ う に 、 計 算 機 上 で 仮 想 格 子 中 の 転 位 を 動 か し 、 転 位 と 溶 質 原 子 と の 相 互 作 用 エ ネ ル ギ ー の 勾 配 か ら 、 溶 質 雰 囲 気 引 き ず り 抵 抗 を 算 出 す る 方 法 に よ っ て 求 め た(25)(26)。 予 測 に 用 い た 各 温 度 で の 、 G、Dお よ び Bを表 5.1に示す。なお、

テーラ一因子丸グは 2として計算した。

5 . 4 . 2  

パ ラ メ ー タ の 決 定

前 節 で 導 出 し た 予 測 式 中 の パ ラ メ ー タ は 、 転 位 密 度 と 内 部 応 力 を 関係づける α、 回 復 速 度 式 中 の r01とr02、 加 工 硬 化 率 式 中 のsOとのs、 お よ び

6

の 5個である。

αは本研究で行った応力緩和試験の結果を参考にして求めた。 1100I( と 1150Kで の 定 常 変 形 状 態

( i

== 7.2x 10‑⁵S‑1)に お け る 応 力 緩 和 試 験 よ り 、 菊 池 法 で 求 め た 内 部 応 力 の 平 均 値 は 1100Kでは 24.3MPa、

‑ . . . ， . 炉 「

1150Kでは 12.0MPaで あ っ た 。 中 島 ら (36)が 応 力 急 変 試 験 か ら 求 め

たム

i /

ムσ(=

( 2 / M 2 ) p b B )

の 値 に 、 表 5.1に 示 し た

B

の 値 を 用 い て ρを 求 め 、 こ れ と 本 研 究 で 測 定 し たσzと の 関 係 か ら 、 式 (5.8)によっ てαの 値 を 求 め た 。 得 ら れ たαは 1100Kで 0.53、1150Kで 0.64で あ っ た 。 し か し 、 本 来αは 内 部 応 力 の 発 現 機 構 に 関 係 す る パ ラ メ ー タ で あ る の で 、 温 度 に 依 存 す る と は 考 え ら れ な い 。 し た が っ て 、 温 度 に よ る αの 相 違 は 実 験 誤 差 に よ る も の と 考 え 、 こ れ ら の 平 均 値 を

とり、 α=0.58と し 、 両 温 度 で 同 ー の 値 を 用 い た 。

r 0 1

は 次 に 示 す 内 部 応 力σiと 回 復 速 度 Tの 関 係 か ら 求 め た 。 ア に は 中島ら(36)が 本 研 究 と 同 じ Fe‑3.5at%Mo合 金 に つ い て 応 力 急 変 法 に よ っ て 求 め た 値 を 用 い た 。 彼 ら に よ れ ば 、 Tは

会 = R o ( 2 ) 3 引金)

^( 5.24) 

で与えられる。ここで、

E

はヤング率、

Ro = 

^1.

3 

X 10²¹S‑1、Qr=290

k J . m o l ‑

^1、

RT

は 通 常 の 意 味 で あ る 車 。 上 式 に 内 部 応 力 の 測 定 値 を 代 入すると、 1100Kと 1150Kで の 回 復 速 度

r

= 

r 1

D^σi3_{は そ れ ぞ れ} 16.9MPa's‑_{1お よ び} 6.31MPa's‑1と な る 。 こ れ ら の 値 か ら ア₀₁を 式

(5.20)とη =

r 0 1 / 2 (

^α

MGb)2

の 関 係 に よ っ て 求 め る か₀₁= 2(α

MGb)2r/ 

Dσ_i³ ) 

と、 1100Kで1.57X 103、1150Kで1.51X 10^{3となる。}

宮川ら⁽¹²⁾は 、 転 位 の 上 昇 運 動 に 関 す る Hirthと Lothe_{の 理 論}⁽⁵⁵⁾ に 基 づ き 、 吉 永 ら⁽⁵⁶⁾が 導 い た 式 を 用 い て 、 回 復 速 度 係 数 を

2.2DG 

r 0 1  

⁼ 

( 1  

^̲ν

) k T l n ( l / b )  

^( 5.25) 

‑式(5.20)に用いられている Tlと

R o

の聞には、 Tl

=  ^{R o / ( D o E 2 )}

^{の関係があ}

る。ただし、

D o

は拡散係数の頻度因子

表

5 . 1

計 算 に 用 い た 物 理 定 数

I  T ( K )  

^ij 

G ( 9 P a 5 1   D(m

²

s ‑

¹ 

)-_nT-B(m(~~~_~-ln

1050  4 3 . 0   8 . 2 2  

X 

10‑

¹⁷ 

3 . 8 7  

X 

10‑

¹⁵ 

1100  3 9 . 6   3 . 4 0  

X 

10‑

¹⁶ 

1 . 8 4  

X 

10‑

¹⁴ 

1150  3 7 . 3   1 . 2 5  

X 

10‑

¹⁵ 

7 . 5 9  

X 

10‑

¹⁴ 

可~

で 与 え て い る 。 こ こ でQは原子容、

l

は 平 均 転 位 間 隔 で あ る 。 こ れ に よると、 rOlは剛性率に比例し、絶対温度に逆比例することがわかる。

こ の 温 度 依 存 性 を 用 い る と 、 1150Kと 1100Kでの rOlの 比 は 0.900 と な る が 、 上 述 の よ う に し て 求 め た rOlの 比 は 0.961で あ る 。 両 者 に は 約

7%

の 差 が あ る が 、 ほ ぼ 一 致 し て い る と 見 る こ と が で き る 。

式 (5.23)に お い て 、 定 常 変 形 状 態 で は&==0、。i==Oであり、 r2

を 含 む 項 は 変 形 が 進 行 す る に つ れ 消 滅 す る の で 、 次 式 が 得 ら れ る 。

A 

== ^rlDσi3σi  1  σtj一σiεα

Aと rlに そ れ ぞ れ 式 (5.18')と (5.20')を代入すると、

σi 4  sO == ^r012D^{‑ A}

行

^s

α4 

M5G4b3

σtj

一

σ

パ

α

(5.26) 

(5.27) 

が 得 ら れ る o sOの 値 は 前 述 のαと rOlよ り 上 式 に よ っ て 求 め た 。 なお、 σtjの値は AI‑Mg合 金 に お け る 値 (σij==300MPa)を参考に、

弾 性 定 数 の 相 違 を 考 慮 し てσij==500MPaとした。ア02と6の 値 は 各 温 度 で の 定 ひ ず み 速 度 引 張 試 験 に お い て 、 変 形 初 期 の 変 形 応 力 の 変 化 を 最 も よ く 再 現 す る 値 を 重 回 帰 法 で 決 定 し た 。 表 5.2に 1100Kと 1150Kにおける各ノマラメータの値をまとめて示す。

5 . 4 . 3  

実 験 結 果 と 計 算 結 果 の 比 較

図 5.5に 1100Kと 1150Kに お け る 応 力 ー ひ ず み 曲 線 の 予 測 結 果 を 実験結果と比較して示す。 1100Kに お い て は 、 経 路 2の 変 形 初 期 を 除 く と 、 大 幅 な 変 形 応 力 の 不 一 致 は な く 、 計 算 結 果 は よ く 実 験 結 果 を再現している。 1150Kに お い て は 、 経 路 2の 変 形 中 期 以 降 に お い

可~

て は 計 算 結 果 は 実 験 結 果 を よ く 再 現 し て い る が 、 経 路 2の 初 期 、 経 路 3の 変 形 後 期 に お い て は 実 験 結 果 と の 不 一 致 が 大 き い 。 計 算 で 求 め た 変 形 応 力 が 実 験 で 得 た 変 形 応 力 を 上 回 る 領 域 は 、 下 に 述 べ る 理 由 で 生 じ た と 考 え ら れ る 。

図 5.6と図 5.7に そ れ ぞ れ 1100Kお よ び 1150Kに お け る ひ ず み の 変 化 に 伴 う 転 位 密 度 の 変 化 (

a )

と 転 位 速 度 の 変 化

( b )

、 お よ び 転 位 速 度 と 溶 質 雰 囲 気 引 き ず り 抵 抗 の 関 係

( c )

の 予 測 結 果 を 示 す 。 (

a )  

の 転 位 密 度 変 化 の 曲 線 は そ の 形 状 が 計 算 で 得 ら れ た 変 形 応 力 の 変 化 とほぼ対応している。

( c )

は 転 位 の 易 動 度

B

の 評 価 に 用 い た 計 算 結 果 で 、

B

の 値 は 図 中 の 直 線 部 の 勾 配 の 逆 数 で あ る 。 溶 質 雰 囲 気 引 き ず り 抵 抗 と 転 位 速 度 の 比 例 関 係 が 成 立 し な く な る 転 位 速 度 VCTは 転 位 が 雰 囲 気 か ら 離 脱 しはじめる速度と

AI‑Mg

合 金 で は よ く 対 応 し て い る (11)(12)。 本 合 金 の場合、 V_CTは 1100Kで 約 2x10‑⁷ms‑¹_、1150Kで 約 5x 10‑⁷ms‑¹  で あ る が 、 図

( b )

に見られるように、 1100Kで の 経 路 2の 変 形 初 期 に お け る 転 位 速 度 お よ び 1150Kで の 経 路 2の 変 形 初 期 と 経 路 3の 変 形 後 期 の 転 位 速 度 が こ れ を 大 き く 上 回 っ て い る 。 以 上 の 検 討 に よ

り 、 変 形 応 力 の 計 算 値 と 実 験 値 の 不 一 致 は 、 い ず れ の 場 合 も ひ ず み 速 度 が 大 き い た め に 転 位 の 一 部 が 溶 質 雰 囲 気 か ら 離 脱 し て 運 動 し 始

め る こ と に 起 因 し て い る も の と 思 わ れ る 。

1150Kの 経 路 3の 変 形 後 期 に お け る 計 算 値 と 実 験 値 の 不 一 致 は 、 図 5.5に 示 し た 実 験 結 果 と も 対 応 し て お り 、 こ の こ と は 本 予 測 法 の 妥 当 性 を 示 す も の と 考 え ら れ る 。 こ の よ う に 、 経 路 3の 終 点 で の 転 位 速 度 が 1100Kでは VCTに 達 せ ず 、 よ り 高 温 の 11501<で V_CTを 越 え

ドキュメント内 金属材料の高温における強化に関する研究 : 積層強 化と固溶強化 (ページ 93-106)