f(a) =bとします。g(y)にy=f(x)を代入してできる合成関数g◦f(x) =g(f(x))のaにお けるn次のテイラー近似多項式は、
g(y)の bにおけるn次のテイラー近似多項式qn(y)に f(x)の aにおけるn次のテ イラー近似多項式pn(x)を代入してできる多項式qn(pn(x))を x−aについて整理し たときのn次以下の部分
であるということもテイラー近似多項式の一意性を使って、直接微分することなく証明できます。
証明しましょう。f(x)と g(y)のテイラー近似多項式をそれぞれ pn(x) =a0+a1(x−a) +· · ·+an(x−a)n qn(y) =b0+b1(y−b) +· · ·+bn(y−b)n とし、式変形を見やすくするために
R(x) =f(x)−pn(x), S(y) =g(y)−qn(y)
とおきます。f(a) =bなのでa0=bであることに注意してください。g(y)にy=f(x)を代入す ると、
g◦f(x) =g(f(x)) =q(f(x)−b) +S(f(x))
=b0+b1(a1(x−a) +· · ·+an(x−a)n+R(x)) +· · · +bn(a1(x−a) +· · ·+an(x−a)n+R(x))n+S(f(x))
=b0+a1b1(x−a) + (a2b1+a1b2)(x−a)2+· · ·
+ (a1bn+· · ·+a1nbn)(x−a)n+u(x) +U(x)R(x) +S(f(x)) となります。ただし、u(x)は多項式qn(pn(x−a)−b)をx−aについて整理したときのn+ 1次 以上の項を集めた多項式、U(x)はqn(pn(x−a)−b+R(x))を展開整理したときにR(x)を含む 項を集めR(x)を括りだした関数です。よって、
xlim→a
u(x)
(x−a)n = 0, lim
x→a
U(x)R(x) (x−a)n = 0 が成り立っています。また、
xlim→a
S(f(x)) (x−a)n = lim
x→a
S(f(x)) (f(x)−b)n
(f(x)−b)n (x−a)n
= (
lim
y→b
S(y) (y−b)n
) ( lim
x→a
f(x)−f(0) x−a
)n
= 0·f′(a)n= 0 です。
以上より、
rn(x) :=「qn(pn(x))をx−aの多項式として整理したときのn次以下の部分」
と定義すると、
g◦f(x) =rn(x) +o(x−a)n+o(x−a)n=rn(x) +o(x−a)n
となります。このことはrn(x)がg◦f(x)のaにおけるn次のテイラー近似多項式であることを 意味しています。 □
証明の途中で注意したように、残念ながらn階微分の部分を取り出しても分かりやすい（記憶 しやすい）公式にはなりません。
以上のように一般的に書くと何を言いたいのかわかりにくいものです。この節が余りよくわから なくても、とりあえず次の「問題6の解答」を読んでみてください。その後この証明にもう一度戻 ると、少しわかりやすくなるのではないかと思います。
第4回問題6
f(x) =esinxcosxの0における6次のテイラー近似多項式を計算せよ。
解答. sinxの0における6次のテイラー近似多項式をp6(x)とすると、
p6(x) =x− 1 3!x3+ 1
5!x5
です。sin 0 = 0なので、ey の0における6次のテイラー近似多項式を考えます。それをq6(y)と すると、
q6(y) = 1 +y+1 2y2+ 1
3!y3+ 1 4!y4+ 1
5!y5+ 1 6!y6 です。また、cosxの0における6次のテイラー近似多項式をr6(x)とすると、
r6(x) = 1−1 2x2+ 1
4!x4− 1 6!x6
です。テイラー近似多項式の一意性により、esinxcosxのx= 0における6次のテイラー近似多項 式は
q6(p6(x))r6(x) という多項式の6次までの項を集めたものと一致します。
それを計算するために、まずq6(p6(x))の6次の項までを計算しましょう。
q6(p6(x)) = 1 + (
x− 1 3!x3+ 1
5!x5 )
+1 2
( x− 1
3!x3+ 1 5!x5
)2
+ 1 3!
( x− 1
3!x3+ 1 5!x5
)3
+ 1 4!
( x− 1
3!x3+ 1 5!x5
)4
+ 1 5!
( x− 1
3!x3+ 1 5!x5
)5
+ 1 6!
( x− 1
3!x3+ 1 5!x5
)6
です。これを見るとものすごく大変そうに感じるかも知れません。しかし、必要なのは6次の項ま でなので、7次以上の項は計算する必要はありません。そうすると、それほど大変な計算でもなく
1 +x+1 2x2−1
8x4− 1
15x5− 1 240x6 とわかります。これにr6(x)を掛けて6次の項までをとると、
1 +x−1 2x3−1
3x4− 1
40x5+ 7 90x6
となります。これが esinxcosxのx= 0を中心とした6次のテイラー近似多項式になっています。
□
実は、( esinx)′
=esinxcosxであることを使うと、もっと楽に計算することができます。なぜな ら、g(x) =esinxとするとg′(x) =f(x)なので、g(x)の0 における7次のテイラー近似多項式
g(0) +g′(0)x+g′′(0)
2 x2+g′′′(0)
3! x3+· · ·+g(6)(0)
6! x6+g(7)(0) 7! x7 を微分すると、
g′(0) +g′′(0)x+g′′′(0)
2 x2+· · ·+g(6)(0)
5! x5+g(7)(0) 6! x6
=f(0) +f′(0)x+f′′(0)
2 x2+· · ·+f(5)(0)
5! x5+f(6)(0) 6! x6
となって、f(x)の0における6次のテイラー近似多項式が得られる一方、g(x)はey にy= sinx を合成しただけなので、f(x)のテイラー近似多項式よりだいぶ楽に計算できるからです。是非こ の方法でも計算して答が一致することを確かめてみてください。
また、自分でいろいろ例を考えて計算してみるとテイラー近似多項式の計算にも慣れるし、この 方法の強力さも実感できると思います。例えば tanxのテイラー近似多項式はどのようになるで しょうか。sinxのテイラー近似多項式をcosxのテイラー近似多項式で割っても、多項式分の多 項式は多項式にならないのでうまくいきません。この場合は
tanx= sinx
cosx = sinx 1 + (cosx−1)
と見て、1/(1 +y)にy= cosx−1を合成してからsinxを掛けたと見れば問題6とまったく同様 に計算できます。是非、直接微分する方法と問題6の解答の方法の両方で計算してみて下さい。
6 剰余項の表示：極限から誤差へ
前節までで、
f(x)のaを中心としたn次のテイラー近似多項式pn(x)を pn(x) =f(a) +f′(a)
1! (x−a) +f′′(a)
2! (x−a)2+· · ·+f(n)(a)
n! (x−a)n によって定義すると、
xlim→a
f(x)−pn(x)
(x−a)n = 0 (3)
が成り立つ。また、f(x)との差が条件(3)を満たすようなn次以下の多項式は pn(x) しかない。
ということと、そのことから直接分かることについて説明してきました。
極限について考えてきたので、この節ではもっと精密に
極限を取る前についてはどのようなことが分かるか を考えて行きましょう。
注目したいのはf(x)とそのテイラー近似多項式pn(x)との差なのですから、それを表す記号と 言葉を用意してしまいましょう。
剰余項の定義
関数f(x)のaにおけるn次のテイラー近似多項式 pn(x) =f(a) +f′(a)
1! (x−a) +f′′(a)
2! (x−a)2+· · ·+f(n)(a)
n! (x−a)n ともとの関数 f(x)に対し、関数Rn+1(x)を
Rn+1(x) =f(x)−pn(x) で定義し、f(x)の aにおけるn次の剰余項と呼ぶ。
さて、Rn+1(x)という記号10を用意してはみたものの、その中身はf(x)からpn(x)を引いたも の、つまりf(x)という与えられた関数からn+ 1個の単項式を引いた、n+ 2個もの項を持つ扱
10Rn+1(x)ではなくRn(x)と書く人も大勢います。講義や参考書とこのプリントを合わせて読むときには気を付けて 下さい。
いにくい関数です。一方、知りたいことは Rn+1(x)のx→aとしたときの振る舞いではなく、x を a に近づけないときの性質です。だから、この節の目標は、このままでは項の数が多すぎてど うにもならない Rn+1(x) を一つの式で表す公式を得ることです11。「Rn+1(x)を一つの式で書き たい」および「Rn+1(x) が一つの式で書けたことのありがたみ」という意識を常に持ってこの節 を読むようにして下さい。でないとなにやってんだか分からなくなること必定です。
6.1 ラグランジュ表示：ロピタルからコーシーへ
テイラー近似多項式が
xlim→a
Rn+1(x) (x−a)n = 0
という性質を持つことを証明するとき（第4.2節）にロピタルの定理を繰り返し使いました。一方、
ロピタルの定理はコーシーの平均値定理で極限をとって示されるものでした。だから、ロピタルの 定理を使って示したことの極限を取る前のことを知りたければ、コーシーの平均値定理を使うべき だと言えるでしょう。ロピタルでなくコーシーを使えば、Rn+1(x)/(x−a)n→0 ということより 精密な情報を得られるかも知れないわけです。
Rn+1(x) を (x−a)n で割ると極限が0になってしまうのですから、分母の次数を一つあげて (x−a)n+1 とし、性質(3)の証明と同じようにロピタルの定理を繰り返し使ってみましょう。す ると、
xlim→a
Rn+1(x)
(x−a)n+1 = lim
x→a
R′n+1(x)
(n+ 1)(x−a)n =· · ·= lim
x→a
R(n)n+1(x)
(n+ 1)!(x−a)= R(n+1)n+1 (a) (n+ 1)!
が得られます。ここで、すべてのステップでロピタルの定理の代わりにコーシーの平均値定理を使 うと、
Rn+1(x)
(x−a)n+1 = Rn+1′ (c0)
(n+ 1)(c0−a)n = Rn+1′′ (c1)
(n+ 1)n(c1−a)n−1 =· · ·
= Rn+1(n) (cn−1)
(n+ 1)!(cn−1−a) = R(n+1)n+1 (cn) (n+ 1)!
となります。ただし、「c0が xとaの間に存在」、「c1がc0とaの間に存在」、. . . 、「cn がcn−1
とaの間に存在」するという意味です。Rn+1(x)とf(x)との違いはn次以下の多項式ですので、
この二つの n+ 1階導関数は同じ、すなわちR(n+1)n+1 (x) =f(n+1)(x)です。よって、上の一連の式 の最初と最後だけを取り、R(n+1)n+1 (x)を f(n+1)(x)で置き換えることで、
剰余項のラグランジュ表示
Rn+1(x) =f(n+1)(c)
(n+ 1)! (x−a)n+1 を満たすcが xとaの間に存在する
という結論が得られました。この表示をラグランジュの剰余項、あるいは剰余項のラグランジュ表 示と言います。
11このことを先取りして「剰余項」と単項式のように呼んでしまっているのです。
注意. 多くの講義や教科書では、剰余項のラグランジュ表示のことをテイラーの定理と呼んでいます。もう少 し正確に言うと、
f(x) =f(a) +f′(a)(x−a)+f′′(a)
2 (x−a)2+f′′′(a) 3! (x−a)3 +· · ·+f(n)(a)
n! (x−a)n+f(n+1)(c)
(n+ 1)! (x−a)n+1 の成り立つcがaとxの間に存在するということをテイラーの定理と呼んでいます。★
これは、コーシーの平均値定理を繰り返し使って得られたことからも分かるように n+ 1階微分に関する平均値の定理
とでも言うべきものです。実際n= 0としてみると、
f(x) =f(a) +R1(x), R1(x) =f′(∃c)(x−a)
となって平均値の定理そのものです。しかし、n >0 のときRn+1(x)のラグランジュ表示が何の どういう意味での「平均」なのかははっきり言って分かりません。この表示のよいところは、
式がテイラー近似多項式の項とほとんど同じなので憶えやすい ということと、
f(n+1)(x)の値の範囲が分かれば、何の工夫もなく直接Rn+1(x)の値の評価が得られ
るので使いやすい
という、いわば「実用性」にあるのだと思います。表示自体としては「c」に由来する曖昧さが大 きく響きすぎて余りよい評価を与えてくれません。とは言え十分役に立つことを、n→ ∞を考え るときにお見せします。そのとき同時に、この表示ではRn+1(x)の値の評価が荒すぎるという実 例も見ます。