可算集合の異質性
4.1 可算集合における確率
前の章で、確率の問題を考察した。それは、連続体からの選択の確率に関す る問題であるが、可算集合上の確率の理論に帰着することができた。という のは、これは、10個の数字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9を等確率で選ぶという単純 な問題を可算個つなげたものだからである。この問題は、可算確率論では、
第一類の問題と呼ばれている。これに対し、第二類の問題は、選択の可能性 が可算個あり、各選択肢の確率のなす級数が収束し1となる場合にかかわる。
この条件が必要かどうかを疑問視する著者が居た。可算集合の要素が必 ず相異なる確率を持つアプリオリな理由はないと異議を唱えた人たちも同様 である。
この視点は私には受けいられないことを後で言うが、この視点を理解す ることをまず試みよう。
上のことを心配する人は次のような理由を述べる：可算無限は、nが無 限大になるときのn元集合の極限である。同じ対象ということなら、それら の確率は同じとなり、それぞれ 1n となり、これらのn個の和は1に等しい。
さて、もしもnが無際限に大きくなると極限においてゼロと等しい確率を得 る。これらの確率の和は、それらに共通する価と、それらの数の積となり、
従って、
0× ∞
という形をとるが、数学者はこの記号列の値は不定であると考える。しかし、
この不定性を排除することは、値がすべて1nのn個の数の極限となる場合を 考えれば簡単である。上の積の本当の値は、このとき、積
1 n ×n
の極限となるが、これは常に1だから、極限も1となるのである。
この結論は次の事実と矛盾しない。その事実とは、各項がゼロに近づく 級数の値は、項数が無限にあっても、値はゼロに近づくことがしばしばある という事実である。たとえば、一様収束する級数の場合がその典型例である。
しかし、最初のn 項が 1
nで、他はゼロであるような級数は、各項はゼロに近 づくが、級数の値はゼロには近づかない。
できるだけ公平に以上の主張を説明したつもりだが、私自身はこの主張 に納得できない。しかし、以下のことを急ぎ足になるが言っておきたい。私 は、その主張を馬鹿げていると考えるべきだとは思ってはいない。ある程度、
論理的で一貫している主張を私が認めない理由は実践的な観点からのもので ある。これまでのところ、可算集合における確率の上記のような定義が、数 学的問題の解決に利用できるような結果をもたらした例を挙げることは誰も できないと私は思う。あとで、なぜそうなるかの理由と思われることを説明 したい。すなわち、この定義は、論理的には馬鹿げたものではないとしても、
不毛で役に立たないであろう理由を説明したい。