り無限の確率が1となるか、あるいは、無限の確率はゼロとなりnの確率pn が1を和とする収束級数となるかのいずれかである、という結論が得られる であろう。
をみたすとき選ばれる、というするだけである。
したがって、選ばれた自然数kが、
1,2,3,4,· · ·, n,· · · と等しくなる確率は各々、
1 1.2, 1
2.3, 1 3.4, 1
4.5,· · ·, 1
n·(n+ 1),· · ·, となり、これらの和は1となる。
数αをランダムに選ぶには、十進数字を各数字の選択確率を10−1として えらべばよい。もしも、たとえば
α= 0.153· · · が選ばれたならば、
6α <1, 7α >1,
だから、α は16 と 17 の間にあるので、選ばれた数は6となる。
大きな数が選ばれるのは、選ばれた数字の最初の数がすべてゼロの場合 だけである。たとえば、
α= 0.0000017· · · のときは、
500 000α <1, 1000 000α >1,
なので選ばれた数n は500 000 と1000 000 の間にある。もっと正確に確定 するには、さらに数字を抽選しなければならないが、一般には、ゼロではな い数をいくつか抽選すれば十分である。
上のような数の選びかたは一般には受け入れがたいように見えるであろ う。というのは、
1,2,3,4 が選ばれる確率は、それぞれ、
1 2,1
6, 1 24, 1
120,· · ·,
となり、数ごとで余りに違いすぎるからである。それにもかかわらず、この 方法を説明したのは、これを出発点にして、もっと受けいれやすい確率を与 える選び方を容易に得ることができるからである。
そこで、かなり大きな数、たとえば百万を固定し、百万以下の数は同じ 確率であるようにしよう。それだけでなく、続く、各百万個の数の一群につ いても、同様であるようにする。そして、これらの百万個の数の一群が選ば れる確率が、前節で説明した方法で個々の数が選ばれる確率となるようにす る。従って、ランダムに選ばれたα から数3が選ばれたときは、数n は、
2 000 000 と3 000 000 の間から、宝くじの抽選のときのように6個の数字を 引いて決めることができる。
従って二種類の抽籤を行うことになる。最初は、数α を決定するために、
数字を籤で引くことを続けなければならないが、最初にゼロを続けて引く回 数が大きくなると、かなりの回数、籤を引かなければならない。この回数は、
数字達が簡単な分数を決める小数と同じように並ぶ場合、たとえば、
1
9 = 0.111111. . .
のように並ぶ場合には、極めて大きくなる可能性がある。実際、最初の抽籤 結果がすべて1である場合、0か、2以上の数を抽籤するまで続けなければな らない。前者の場合には9α <1 となり、後者の場合に9α >1となる。した がって、実際に行わなければならない回数はあらかじめ固定しておくことは できないが、この回数が無限となる確率はゼロである。すなわち、数が決定 するまで限りなく抽籤を続けなければならない確率はゼロである。n個の最 初の数字が、あたえられたn個の数字（たとえば、上の例の場合であればす
べてが1）と一致する確率は、 1
10n であり、nが増えると、これは急速に減 少する。
最初の抽籤が実施されたならば、選ぼうとしている数が属する百万の連 続する数の最大値が確定するので、あとは、6つ数字を上に述べたように抽 籤すればよい。
以上、詳しく述べた方法は、単に例として挙げただけであり、いろいろ な仕方で修正できる。
たとえば、最初の抽籤で数字2が選ばれたとき、先程のように二番目の 一連の百万個の数ではなく、百万から十億までの9億9千9百万個の数を選 ぶことにし、最初は、0 から9までの10個の数字から抽籤し、２回目も３回
目も同じように抽籤するが、もしも最初の二回の抽籤結果が共にゼロのとき は、３回目の抽籤のときは数字0を除外し1から9までの数字から抽籤する。
そして、最後に残りの6回は10個の数字から抽籤する。数字を6回抽籤する ことで、000 000 と999 999の間の数が得えられるように、上のようにして 1 000 000 から999 999 999 までの数が得られる。ここで、いろいろな取り きめが可能である。一番簡単なのは0を自然数の中に加えることで、そのと き、0は 1,2,3, . . . と同じ確率と持つ。
別の取りきめとしては、百万までのロットのときと同様に、000 000 を
1 000 000 と同じであるとすることである。同様に、79数字については、
1 000 000 を1 000 000 000と同じであるとするのである。
あるいは、また、単純に結果に一を加えることもできる。この場合は、0 から999 999までの数は、1から1 000 000までの数となり、1 000 000 から 999 999 999までの数は、1 000 001 から1 000 000 000 までの数となる。
一般に、α を抽籤してから決る数をnとするとき、nが1より大きいと き、十進表示の桁数が3nから3(n+ 1)の間の数を選ぶことになる。あるい は、桁数が6(n−1)から 6nの間の数を選ぶことにしてもよい。そうすれば、
cを桁数とするとき
6(n−1)< c≤6n, とかけば、n= 1 のときでも妥当する規則となる。
どのような規則を選んでも、個々の数がえらばれる確率は、その数が増 大するとき明らかに急速に減少する。というのは、同じ桁数の十進数は同じ 確率となるようにしたが、同じ桁数の数の個数は、桁が増大するときに、ど んどん増えるからである。
4.5 到達不能な数の場合
以上のことからわかることは、到達不能数のように桁数が極めて大きな数に なると、各々の数の確率は余りに小さくなるので、どいうときでも無視でき る確率の類に属することとなる。到達不能数の集合についても、前節で導入 した取りきめでは、同じことになる。到達可能数の確率はすべてゼロとなる 場合と、余りに対照的な状況であるので、これらの二極端の平均的を考える ことが良いかもしれない。
そこで、この種の考えから提案できることは以下のようなものである。前 節で提案した確率は整数全体で和をとると1であったが、この確率を半分に
することにしよう。そうすると確率の和は12 となるので、到達不能整数の全 体に確率12 を与えることができる。なお、その際、この確率を到達不能数一 つ一つに分ける必要はない、というのは、到達不能数は互いに区別しないと 決めているからである。もちろん、到達不能数の個数は余りに多いので、そ れらに、全体の確率 12 を分配したとしても、個々の数の確率は、到達可能な 数の個々の確率よりも、ずっと小さい。
簡単のために、私達は前節で到達不能数に与えた確率の全体を無視する ことにしたい。そのときに出会った困難は簡単な方法で解決できることがわ かる。
すなわち、まず始めに、同確率の二事象のいずれかを籤で決める。たと えば、コインを投げ、裏が出たときは前節で説明した方法で到達可能な数を 選び、表が出たときは到達不能数のどれかを選ぶが、どの数かは決める必要 はないと決めればよい。
もちろん、いま説明した方法には恣意性があり、到達不能数を選ぶ確率12 をもっと小くしたり大きくしたりすることができる。
たとえば、後者の選択肢を採用し、到達不能数を選ぶ確率を0.999とし、
到達可能数を選ぶ確率を0.001 とすると、どの自然数も同じ確率で選ばれ従っ て確率はゼロであるという観点に近づく。しかし、二つの観点の間には、次 の意味で、根本的な違いがある。すなわち、われわれが退けた方の観点では、
到達可能数全体の確率はゼロとなり、到達可能数を一つでも得る可能性が全 くなくなるのだが、これは全く馬鹿げたことである。
逆に、何らかの問題において、到達可能数の確率を1001 に減少させること は、その問題において、到達不能数が果す役割が極めて大きいが、到達可能 な数も決して除外されておらず、それらも一定の役割を果す、という事を意 味する。
4.6
この章では、可算集合からの無作為な選択を定義する問題について調べたが 解決はしなかった。一見すると易しそうに見える問題だが、その外見に反し、
この問題は、連続体から無作為に要素を選択する問題よりは難しく、実際、
単純で自然な定義で他の定義よりは明かに優れている、というようなものは 存在しないのである。
そこで、一つの解決法ではなく、解決法をいくつか提示し、少くともそ
れより優れた方法を他には思いつかないような方法を、その中から選べるよ うにした。
たとえ、理論的には、可算集合からの選択が、連続体からの選択と比べ て、より複雑であるとしても、実践的な視点からすれば、逆に、より単純で ある。
実際、一つの具体的選択法を選ぶと、何回か籤を引くことになる。籤を 引く回数が有限であるということを確定的に言うことはできない。というの は、その回数の上限を提示できないからである。しかし、この回数は一般に 小さいことを断言できる。すなわち、与えられた整数Aより、回数が小さい 確率は、Aがどんどん増大するとき、急速に1に近づく。
回数が実際に無限となるのは、到達不能数全体に正の確率を与え、それ らの中の数を実際に選ぼうとするときだけである。この場合には、連続体か ら到達不能な数を選び出すときと同様の困難に出会うことになる。しかし、
種々の記数法をテーマとする次章では、このような本の中で数行で具体的に 正確に定義できるような到達不能な整数を、いろいろな視点から特徴付ける ことにする。