バックステッピング法を用いた姿勢安定化

提案手法2における姿勢安定化制御について説明する．提案手法1では操舵角速度θ˙^cmdを入力 として姿勢安定化する手法を説明した．しかし，モータの加速度制御を行っているため，実際の 入力は加速度次元で与えられる．よって，θ˙^cmdを所望の値に制御することができた場合において も必ず時間遅れは存在し，システムの安定性は保証されない．したがって，加速度次元のθ¨を制 御入力とする制御則を構築するため，バックステッピング法を用いる^[22]．

バックステッピング法

まず，バックステッピング法について説明する．(5.37)式のようなシステムを考える．xはシス テムの状態変数，vは入力である．

x˙ = f(x) +v (5.37)

入力vが規範入力α(x)であるとき，このシステムを安定化できるとする．システムの安定性を保 証するリアプノフ関数V0(x)の時間微分V˙0(x)は，v=α(x)であるとき以下のようになるとする．

V˙0(x) = ∂V0

∂xx˙

= ∂V₀

∂x {f(x) +α(x)}

= −W <0 (5.38)

ここで，W は正の変数であるとする．しかし実際の入力がvではなく，(5.39)式のようなvの時 間微分の関係にあるuであった場合には，同じ制御則を適用することはできないので，新たに制 御則を構築しなければならない．

u= ˙v (5.39)

そこで，新たに変数zをvと規範入力α(x)の差を表す変数として定義する．

z = v−α(x) (5.40)

vを規範入力α(x)に一致させればシステムを安定化できるので，zを0に近づければよい．(5.40) 式の両辺を微分すると，(5.41)式が得られる．

˙

z = u−α(x)˙ (5.41)

第5章 制御系設計

そこで入力uを(5.42)式のように定めれば，(5.41)式は(5.43)式のようになり，zが0に収束する ことがわかる．cは正のゲインである．

u = α(x)˙ −cz (5.42)

˙

z = −cz (5.43)

次に，このように入力uを決定したシステムが安定であるかどうか検討する．このシステムのリ アプノフ関数の候補V を以下のように定める．

V = V0+ 1

2z² (5.44)

すると，V の時間微分V˙ は以下のように計算できる．

V˙ = ∂V0

∂xx˙ +zz˙

= ∂V₀

∂x {f(x) +v}+z{u−α(x)˙ }

= ∂V0

∂x {f(x) +z+α(x)}+z{u−α(x)˙ }

= ∂V₀

∂x {f(x) +α(x)}+z {

u−α(x) +˙ ∂V₀

∂x }

= −W −cz²+∂V₀

∂xz (5.45)

しかし，このままでは，vは規範入力α(x)に収束するのにも関わらず，システムとして安定かど うかは不明である．しかし，(5.45)式より，(5.46)式のように入力uを定めれば，V の時間微分V˙ は(5.47)式のようになる．

u = α(x)˙ −cz−∂V₀

∂x (5.46)

V˙ = −W −cz² <0 (5.47)

(5.47)式より，システムは安定となることがわかる．

バックステッピング法の適用

提案手法1で求めた(5.27)式で示される操舵角速度指令値θ˙^cmdを制御系を安定化させる規範入

力とし，実際の操舵角速度θ˙^resの差をz_θ˙とする．

zθ˙ = θ˙^res−θ˙^cmd (5.48)

第5章 制御系設計

ここでzθ˙が0ならば，操舵角速度応答θ˙^resが規範入力θ˙^cmdと一致しているので，システムが漸 近安定になることがわかる．そこで操舵角加速度参照値θ¨^refを以下のように定める．ただしK_z˙

θ

は正のゲインである．

θ¨^ref = θ¨^cmd−Kzθ˙zθ˙+Cϕ˙ (5.49)

また，θ¨^cmdは(5.27)式を時間微分したもので，速度が可変であるため次のように計算される．

θ¨^cmd= 1

C[−{M hL₁

L(−ϕ˙V˙ sinϕ+ ¨V cosϕ) +M hL1

L²(−ϕV˙ ²sinϕcosθ−θV˙ ²cosϕsinθ+ 2VV˙ cosϕcosθ) +M hL₂

L²(−ϕV˙ ²sinϕ+ 2VV˙ cosϕ) +4I_f

LrVV˙}sinθ +Bϕ˙cosϕ−Dθ˙cosθ+K_ϕϕ˙+Kϕ˙ϕ]¨

− 1

C²[{M hL₁

L(−ϕV˙ sinϕcosθ+ ˙V cosϕcosθ−ϕV˙ cosϕsinθ) +I_f r

V˙}

{Bsinϕ−Dsinθ+K_ϕ(ϕ−ϕ^cmd) +Kϕ˙ϕ˙}] (5.50)

ここで，新たなリアプノフ関数の候補V2を(5.51)式のように定義する．

V2 = V1+1

2z_θ²_˙ (5.51)

すると，V2の時間微分V˙2は(5.26)，(5.27)，(5.28)，(5.48)，(5.49)式より(5.52)式のように計算 される．

V˙₂ = V˙₁+z_θ˙z˙_θ˙

= −Kϕ˙ϕ˙²−Czθ˙ϕ˙+zθ˙

(θ¨^ref−θ¨^cmd )

= −K_ϕ˙ϕ˙²−Cz_θ˙ϕ˙+z_θ˙⁽θ¨^cmd−K_z˙

θz_θ˙+ ˙ϕC−θ¨^cmd)

= −Kϕ˙ϕ˙²−Kzθ˙z_θ²_˙ ≤0 (5.52)

(5.52)式は準負定であるが，V˙2 = 0を満たすのはϕ˙ = 0，zθ˙ = 0の時のみである．よってラ・サー ルの定理により平衡点において漸近安定であると言える．このようにバックステッピング法を用 いることで，操舵角加速度参照値θ¨^ref を入力としたシステムの安定性を保証することができる．

提案手法2における姿勢安定化部分のブロック線図をFig.5-11に示す．

第5章 制御系設計

Fig. 5-11: 提案手法2の姿勢安定化