コホモロジー間の双対性

本節ではこれまで考えていた標準的Courant algebroidコホモロジーH_SCA^• (M, Q_H)と Pois-son Courant algebroidコホモロジーH_{P CA}^• (M, Q_R)が同型であることを示す．この同型性は 偶数次元多様体上で非退化なPoisson構造が存在する場合に成り立ち，シンプレクティック多

様体上でde RhamコホモロジーとPoissonコホモロジーが同型H_dR^k (M, d)'H_P^k(M, d_π)であ るというよく知られた結果の一般化と捉えられる[25]．

写像∧^kπ^♯: Ω^k(M)→ ∧^k(T M)はde RhamコホモロジーからPoissonコホモロジーへの準 同型写像を誘導する：

∧^kπ^♯ :H_dR^k (M, d)→H_P^k(M, d_π).

特にπ⁻¹がシンプレクティック構造ならば，微分形式Ω^•(M)上のde Rhamコホモロジーはポ リベクトル空間上∧^•(T M)上のPoissonコホモロジーと同型である：

H_dR^k (M, d)∼=H_P^k(M, d_π). (5.105) これまで議論してきたフラックス双対性においては，de RhamコホモロジーはH_SCA^• (M, QH) に拡張され，PoissonコホモロジーはH_{P CA}^• (M, Q_R)に拡張された．また H フラックス と Rフラックス の双対性は二つのコホモロジーH_SCA^• (M, Q_H)とH_{P CA}^• (M, Q_R)の間の双対性と してみることが出来る．

M=T^∗[2]T^∗[1]M上の一般の関数f ∈C^∞(M)を考えよう．(5.87)式より，二つの余境界作 用素に対する双対性Q_Hf = 0⇐⇒ Q_R(e^δαqe^δαpf) = 0及びf =Q_Hg ⇐⇒ f =Q_R(e^δαqe^δαpg) が分かる．したがってQ_H鎖複体 の要素からQ_R鎖複体 の要素への写像T が存在する：

T :f 7→e^δαpe^−δαqe^δαpf. (5.106) 鎖複体間のフラックス双対性写像T : C_•(M) → C_•(M)はコホモロジー間の同型写像T : H_SCA^• (M, d_H)→H_{P CA}^• (M, d_R)を引き起こす．つまり以下の定理を得る．

フラックス同型定理 πは非退化なポアソン構造，すなわちπ⁻¹が存在しそれがシンプレク ティック構造であるとする．R =∧³π^♯Hとする．このとき，標準的Courant algebroidコホモ ロジーはPoisson Courant algebroidコホモロジーと同型である：

H_SCA^k (M, Q_H)∼=H_{P CA}^k (M, Q_R). (5.107)

6 ^{二重場理論から見た} Poisson Courant algebroids

この節では，Poisson Courant algebroidが二重場理論（double field theory）の強い切断条 件（strong section condition）を満たすことを示す．このことはPoisson Courant algebroidが 二重場理論の幾何学を反映したものであることを示している．

6.1 ^{二重場理論}

二重場理論はCourant algebroidの対称性を保ちながら，さらにT 双対対称性をあらわに 持った場の理論の候補として提唱された理論である．

超重力理論ではM上のファイバー束T Mを考え，T M上の場の理論を考える．一般化幾何 学による超重力理論の定式化において，ファイバー束T MをT M⊕T^∗Mへ拡張することで，

一般座標変換対称性とKalb–Ramond B場のゲージ変換対称性を統一的に扱うことが出来る．

一方，二重場理論では標的空間の多様体MをMc= M ×M˜ へ拡張し，これに対するファ イバー束TMc = T(M ×M˜)上の場の理論を考える．二重化された配位空間Mc = M ×M˜ を考え，その局所座標をx^I = (xⁱ,x˜i)とする．これに対する接ベクトル場Γ(TMc)の基底は

∂_I = (_∂x^∂i,_∂^∂_x˜

i)である．

一般化幾何学（標準的Courant algebroid）と二重化幾何学の関係は以下のようになる：

• 一般化幾何学における一般化接ベクトル場は X=Xⁱ(x) ∂

∂xⁱ + ˜X_i(x)dxⁱ ∈Γ(T M ⊕T^∗M) (6.108) である．一方，二重化幾何学における接ベクトル場は

Xb =Xb^I∂_I =Xⁱ(x,x)˜ ∂

∂xⁱ + ˜X_i(x,x)˜ ∂

∂x˜_i ∈Γ(TMc=T(M ×M))˜ (6.109) である．ここで，Xⁱ(x,x),˜ X˜_i(x,x)˜ のx˜依存性を捨て， ^∂

∂˜xi ∼dxⁱと同一視することで，

Xb_˜

∂ⁱ•=0 ∼X (6.110)

となる．ただし，•は任意のベクトル場を表し，

∂˜ⁱ•= 0 (6.111)

は超重力枠制限と呼ばれ，ベクトル場のx˜依存性を落とす操作を表す．この操作は二重 場理論においては切断条件（section condition）

∂_I•∂˜^I•= 0 (6.112)

と呼ばれる拘束条件へ一般化される．超重力枠制限は切断条件を満たす1つの解である．

• 一般化幾何学では内積Γ(T M⊕T^∗M)×Γ(T M⊕T^∗M)→C^∞(M)は自然な縮約によっ て以下のように定義された：

hX,Yi=hXⁱ∂_i + ˜X_idxⁱ, Y^j∂_j+ ˜Y_jdx^ji=Xⁱ(x) ˜Y_i(x) + ˜X_i(x)Yⁱ(x) (6.113) ただし，右辺がxのみの関数であることを強調した．

二重化幾何学では上記の構造を反映した以下の内積Γ(TMc)×Γ(TMc)→C^∞(Mc)用いる：

hX,b Ybi=hXⁱ∂_i+ ˜X_i∂˜ⁱ, Y^j∂_j + ˜Y_j∂˜^ji=Xⁱ(x,x) ˜˜ Y_i(x,x) + ˜˜ X_i(x,x)Y˜ ⁱ(x,x)˜ (6.114) 右辺が(x,x)˜ の関数であることを強調した．よって，

hX,b Ybi_˜

∂ⁱ•=0

=hX,Yi (6.115)

が成り立つ．ただし，X,b Yb ∈Γ(TMc), X,Y ∈Γ(T M ⊕T^∗M)であり，

Xb_˜

∂ⁱ•=0 ∼X, Yb_˜

∂ⁱ•=0 ∼Yが成り立つ場合である．

• 一般化幾何学では拡張された一般座標変換は(3.30)のようにDorfman括弧で表される．

一方，二重化幾何学では拡張された一般座標変換は次のD括弧で表される：

LˆXbYb = [[X,b Y]]b _D =

Xb^I∂_IYb_J −Yb^I∂_IXb_J +Yb_I∂_JXb^I

∂^J (6.116)

= [X,b Y]b _D+ ˜X_i∂˜ⁱYb −Y˜_i∂˜ⁱXb +

Y˜_i∂˜^jXⁱ+Yⁱ∂˜^jX˜_i

∂_j (6.117) ただし，X,b Yb に対するDorfman括弧は，(6.110)の同一視の下でx˜座標をパラメーター として取り扱う．また，(6.116)での添字の上げ下げはO(d, d)計量η_IJ = h∂_I,∂_Ji = 0 δ_jⁱ

δ_i^j 0

で行う．(6.117)より，以下が成り立っている：

[[X,b Y]]b _D˜

∂ⁱ•=0

= [X,Y]_D (6.118)

このように，二重化幾何学において超重力枠制限∂˜• = 0を取り， ^∂

∂x˜i ∼ dxⁱと同一視するこ とで，一般化幾何学に帰着することが分かる．