PDF 入もrレ 、一 l - Keio

之−３

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１−３ −入

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2019年10月01日小テスト解答

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一

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一

ｋ

１

p,9,1>0とします．効用関数

u(",I/)=";z/:

を制約条件

9(",y) :=I‑p釘一91/=0

の下で最大化することを考えます．停留点を求めて，極大点であることを示しましょう

、 ノ

解答(",y)で極大または極小とすると ^{となります．従って}

２３１−３４３

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５ ｌ ３

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ｌ１−３｜毎釘７１１−３２３

１ １１１

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「 33 LM,くし池

を満たす入ERが存在します. (1),(2)から

{iに謬霧鴬淵

が従います. (1)'/(2)'から

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入＝・‐1 3

2 1．2従って ＝面9 ^：＝二 2 "

となります． これを(3)に代入すると

一

から

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3 B(",l/,入)=￨‑p‑:" :,; :"‑;,‑#

） ‑9:錘‑号'一号一:鰯§'−3＝

＝;鱒￥ '÷;" :, ;

≠;"#,‑;"2>'

L

から"は制約条件の下で停留点(鰯,')＝(命,器）

で極大であることが分かります．

注意間接効用関数を

一;卿‑卿="‑面"=，³

.I=：脚

から

…総意禽鰯認噌

の限界効用関数は

U(p,9,I)=u("(p,9,I),y(p,9,I))

2

＝(命)'(器)。

I

ア

1

(訂一等

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２３入 1

《/両面

と求めると

帰

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１１回２−３

⑫２−３

伽一一一鉦︑

となります.L=TL+A9=u+入(1‑"‑ql/)とす

ると

Lm=u,"‑p, Lzノ='uZノー9 ^{が成立します．}

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１１

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U『 [t)=u'L( 3I+ "; ( 、げう

U･ (t｡)= しl,L(Pb) 、1 ‑t､/Ij[P｡) (‑(､）

ー AP1十入【 （〜?）＝。

１１１

／

U lb｡)=o

I

(t，

一 ^一

陰関数の定理

●R6の開集合U上のC1級関数gi(x,y) じこI (213

●x=(x',x2,x3), y=(y',y2,y3)

● (x,y)=(",b)において

g‑, "‑,"!(¥)I""雲，

●このとき

g'(x,y)=92(x,y)=93(x,y)=0

は

＄3 〈1 13，(2

x'=p'(y), x2=P2(y),"="y) ‑H､

3 3 o

と(α,ル)の近くでC1級関数ゅjで解ける。

戸瀬信之(ITOSEPRCJECT) 消費者理論（2財の場合） 2008年6月 ^7／9

陰関数の定理を適用

０

ゞ１１２ゞ叩Ｊ０

ｊ雌２２２

坪︾ｐ

胸一

勺Ⅱｘ ｐ〃１１１

令一歩地惟仰１脚一

ｙｇ胸一一

Ｊ一砥恥︵ｐ︐︐／３１Ｊ

川畑曲鐸岬

２

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は〃ＩＭ︑と ︽一一一一伽の

ｘｇｇこ ●●●④

"X1一〃1=〃黙2−〃2=I‑plxl‑"2x2=0

は

x,=x,(ハツ"2,1),x2=x2(ハ,p2,1), /I=ﾉI(ハツ"2,1)

と局所的にC1級関数X19X21入で解ける。

戸瀬信之(ITOSEPRCJECT) 消費者理論 (2財の場合） 2008年6月 8／9

’

需要関数・間接効用関数・所得の限界効用

xj=xj(ハ,p2,1) :第j財の需要関数

間接効用関数〃(ハ,"2,1)="(x'(",I),x2(p,I))

●●●●

謡=/I(p,I)

定理：

（証 Ci,c<(L, Ru̲R̲t

浬湿伽〃

6w

殉(≦rr献言､?÷ 鷺

と．ｆ刃

障二十

〜

ユエーし

伽2

−．−．−‑一十一‑一・一・一

〃 伽1 " 6x2"

＝岫等･岫所

鞘一

ｐ｜↑

伽一〃一

功一

ﾉI

=p'x'(p,I)+p2x2(",I)が常に成立するので

●I _､』

伽1 伽2 イ

1＝ハ而+p2Fr

戸瀬信之(ITOSEPRQjECT) 消費者理論（2財の場合） 2008年6月 9／9

』

消費者理論（2財の場合）−その2

L一三＝F■ 山一･むぎ: 侍←一 ど 厩一と 詞 画 一

戸瀬信之

ITOSEPROJECT

2008年6月

f

2008年6月 1／16 消費者理論（2財の場合）−その2

戸瀬信之(IT･SE.PRQJECT)

４脚ｈ

はじめに

④2財の消費者理論を数学的に解説します。

●X1とX2 :第1財と第2財の購入量

●"1>0と"2>0:第1財と第2財の価格、

I>:所得

尋算制約)〃,.〃』= の下で効用関＃

『戸

"(x,,x2)

IR:､

を最大化（

④ （前提） 〃：

一

面 三，

I(=''";I1≧j,x−−−

2008年6月 2／16 消費者理論（2財の場合）−その2

戸瀬信之(ITCSEPROJEC1 )

Lagrangeの未定乗数法

④制約条件g(x',x2)=I一ハX1一胸x2=0の下で

④y="(x',x2)を極大化する。

④（α,,α2)で極大値をとるとする。

②あるﾉlが存在して

仙三

が(x1,x2)=("',"2)において成立する｡§i崎､↑畔

●これを陰関数定理を用いて解いて _↓ 表｡I1

x'=x'(",I),x2=x2(p,I), /I=/I(p,I) を得ます。Xj :第j財の需要関数

戸瀬信之(ITCSEPRCJECT) 消費者理論（2財の場合）−その2 2008年6月 3／16

間接効用関数

④間接効用関数: ''(p,1) :="(x,(",I),x2(p,1))

●予算制約から

'一ハx'(",I)‑"2x2(p,I)=0

〆／

００

２２ ０りり 昨鳴磯︒

一一●

１１ 伽一鉦紳紳礁

１

〃＋＋

●︑Ｂｒ〃︑Ｂ■グ〃

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ニ ー リ ハ

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■■■■一

柵紺柵仙

砺噸噸靴

︑︲し︲し

←つつ ロにに

O〜 1

戸瀬信之(ITOSEPROJECT) 消費者理論（2財の場合）一その2 2008年6月 4／16

’

所得の限界効用

｡詩=/I(",I)

（証明）

④

１

●八

一一

１

伽一刷伽一〃伽一別

●●

吻峨仙

伽一別伽一〃伽一価

● ● ●１

恥岫︲叩Ｉ

ｌｌ一一

仇一〃

’

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Royの恒等式

L

｡器十謡．

① （証明） x'(I',I)=0f+:f｡x2(I',I)=0

v<f!,P､!n=u(a('LP'工)) ,>(2(P,画

二三⑳器÷"陶器

）

61ノ

(i'fl(J(!(Iﾌ'工)) '(2[Pｲロ

二二二

,I)

二＝ ‐

麗 戸瀬信之(IToSEPRQJECT ) 消費者理論（2財の場合）一その2 2008年6月 6／16

’

斉次関数

eUCR2が錘とは

(x,y)eur>0‑(",ry)EU

③開錘U上の関数':U→Rがk次斉次とは

/(",ry)=rk/(x,y) (2>0, (x,y)EU)

●定義の式をrについて微分：

兀八(",ry)+y/i(",zy)="k‑'/(",ry)

●r=1を代入するとEulerの等式

苑八(x,y)+y/i(x,y)="(x,y)

戸瀬信之(ITOSEPROJECT) 消費者理論（2財の場合）−その2 2008年6月 7／16

Eulerの等式

●開錘U上の関数′:U→RがEulerの等式

x/i(x,y)+yjX(x,y)="(",ry)

を満たすとする。

＠F(2) :=2‑k'(",ry)はF'(2)=0を満たす（各自

示す）

③F(1)=F(2)から′(x,y)=2‑k/(",zy)となり、

/(航,ry)=rk/(x,y)

③′(x,y)がた次斉次負Eulerの等式

戸瀬信之(ITOSEPRQ｣ECT) 消費者理論（2財の場合）−その2 2008年6月 8／16

間接効用関数の0次斉次性

●間接効用関数〃(",I)は(",I)について0次斉次

●

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仇而批刈 Ｈ伽劫

仇一恥剛弛

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一一一一

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｜ 戸瀬信之(IToSEPROJECn 消費者理論（2財の場合）−その2 2008年6月 9/16

支出最小化問題

‐

Z=‑f､、‐

●g(x)=〃一〃(x)の下で′(x)=x'"'+x2"2を最

小化

● （1階の必要条件）ある〃が存在して

１２

ｘ尤迅ｌノ

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ｐｐ−〃 ０００

一

■■■■■

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戸瀬信之(ITDSEPRQJECT) 1門 消費者理論（2財の場合）−その2 _{2008年6月 10/16}

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