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第4章2次元の座標変換・2次正方行列・2変数の2次形式

80

(3)示すべき等式は

(A(入毎') A(入逓))=((入A)", (入A)")=入(A",A")

となりますが， この各列が等しいのは4．15から従います．

(4)すでに定理4.2で証明しています． ^□

4.6転置行列

(:;)‑(:脇:)…

(星)‑(職;)…

A=(",")=

に対して転置行列を

tA､ta,ta2)

として定義します．

応用上はK=Rのときに，すなわちAEM2(R)のときに

(A風切)=(",fA")

が成立することが重要となります． この等式の証明は演習11とします

(4.16）

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4．7 2変数の2次函数

平面の座標を(",")として, (",9)の2次式 /r

一一、

α鰯2+2cmz/+bl/2+d"+el/+/=0

匙)/(1) ）

(4.17）

のに変換することを考えます． 2次 を考えます． この2次函数

の項がない場合は考える必

(Ac¥,,(1))

←(: :)篝｡

一(:）

を仮定します． また

7c延一gcl+ 11−今ﾌ(‑で8斗

)(;1，(1))＋ （(‑;)印）

2

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二

4.7. 2変数の2次函数

と定めます． このとき

81

(盈(;) (;))‐((鯛)､(;)）

=a'("+cI/)+1/(cal+6Z/)=(M"2+2csIW+bl/2

となりますから， （4.17)は

（』(;)(;))≠(§,(;))≠'−，

と表現できます． −1■■

ここでは1次の項を平行移動座標変換で消すことができるか考えます．

肌

（:)‑(か(;:）

と平行移動の座標変換を考えます．簡単のため

飾り え,、哀(制）

" ‑ (W弓(:)￥鼠)ゞ(4(:)￥鼠)￥，

｡(7｡)

g(A(:)｡(;))≠'("(:)W(:))≠…叩鋤≠

一 (』(州)ゞ(型州(:))≠…I≠I卿

となります1 ． ここで条件

α C

c 6 ＝a6‑c2≠0 (4.18)

￨A￨=

を仮定します． このとき ﹁○

一

α=‑A‑'5

2

'ここで(*)においてtA=Aであることを用いて

(4(:),颪)=((;)｡:")‑(",(:))

と変形しています．

式〆

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第4章2次元の座標変換・2次正方行列・2変数の2次形式

82

と定義することができ， _１４ａ ^﹁ＰやＩ

"十歩=6 −、 A",

が成立します．従って(を,77)座標では

｡‑(』(州)≠…'≠{"≠

と1次の項を消すことができます．定数項は

ﾆニーニ

と簡単にできます．

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