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KaroIBorsukとshapeの理論
深 石 博 夫 § 0．序 位相空間の概念と幾何学的直観との結びつきはg・eOmetrictopologyとよ ばれる位相幾何学の−・分野を形成し，そこでは集合論的位瀾幾何学と代数的位相幾何学が交錯する．Aleksandrov（1979）はgeOmetrictopologyの発展
の時期を3期に分け次のように述べている第1期は．1909−1913年のBrouwerの不朽の仕事に代表される…Brouwer
はすばらしい幾何学的直観をもって集合論的思考と集合論的想像を結合させ，連続写像の単体近似と写像度の応用といういわゆるBrouwerの混合法
（m6thode mixte）を位瀾幾何学の新しい研究方法として創造した．．1907年 Fr6chetほ距離空間の定義を与え．，COmpaCt性と完備性を定式化した…1914 年にほ位相空間論の基礎を与えるHausdorぽの本が出版されたり さらに1912 年にJaniszewskiは既約連続体に関する論文を公にして，連続体の理論とよ ばれる位相幾何学の大きな一番の虞を開いたい この理論ほポ・−ランドとアメリカ合衆国で成長を続けている．1922年に・UrysobnとMeng−erによって作ら
れた次元論ほ連続体の理論と合体し，長い間位相幾何学の最も著しい，最もよ く普及した分野の1っであった．1922−・1924年にKuratowskiは最も・−・般の 位相空間の定義を与え，bicompact空間の理論を構築し，最初の距離づけ可能定理を証明した．1922年ほAlexanderが双対定理の領域を開いた年とし
ても知られる．第2期は1925年Aleksandrovに・よる位相空間の開被覆の脈体の定義によ
って−始まるh COmpaCt距離空間はその有限閑被覆の脈体と単体写像から成る射影的SPeCtrumをもつ。これは現代の位相幾何学の患要な概念である迎
spectrumの最初に現れた例である．射影的SpeCtrumは空間を単体的複体
で近似するものであり，空間の位相的性質を脈体の組合せ的性質によって研究
＼′ することを可能にする．1932年にCechほAleksandrovに．よる COmPaCt
距離空間の脈体のhomology群を−・般の位相空間にまで拡張したル 同じ頃Vietorisはe一輪体とe−homologyの考えに基づいてCOmPaCt距離空間の
距離homology群を構成している．，1927年に．AlexanderほEuclid空間の
COmPaCt集合について双対性を証明した‖1931年にほ．Pontryag・inが有名
なPontryaginの双対性を発見し，位相幾何学と位相代数学に新時代を開
いた．1930一一1932年に．compaet距離空間の bomology 次元の研究がAl−
eksandrovによってもたらされた… 多面体と位相空間の代数的位相幾何学は
1934年ゐAlexanderとKolmogorovのCOhomology群に．よって新しい段階
に入った… −・般位相幾何学ほ1928年の Tihonov，1934−1986年のM．Stone
＞ とCeehの研究によって大きな進展をみた第3期はBorsukのretraetの理論の創造とその発展及びshapeの理論
に始まり現在まで続いている．retractの理論とShapeの理論はその目標に
おいて一・般位相幾何学に属しているが，両方の理論は明確に．表現された幾何学的特性をもっている。Shapeの理論は本質的にはhomotopic topologyの
集合論的な形態であり，eOhomolog・y理論と結びつき，従って代数的位相幾 何学と連結する‖ −・方Shapeの理論は無限次元の位相幾何学の最も重要な分 科であるQ一多様体の理論とも深い関連を持っている．Borsukの創始したretractの理論とShapeの理論ほいずれも発表後10
∼20年の問に他の多くの領域とかかわりながら急速な成長をとげた．この小 論ではBorsulくのなした仕事を中心に両理論の歴史的発展の跡をたどり，残 された問題について考えてみたいい ちなみに，retraCtとほ「縮める」という 意味の動詞から出た名詞であり，Shapeとは「ものの輪郭，形状」という意味 である．§1．Retraetの理論
BorsukはWarczawa大学に．提出した学位論文Borsuk（1931a）でre−
KaroIBorsuk とshapeの理論 45 tractの概念を定義し，その基本的な性質を調べた．次いでBorsuk（1932c）
で有限複体を特別な吸合として含むcompaetANRの概念を導入した．この
故にretractの理論ほ，組合せ位．相幾何学と集合論的位相幾何学を結ぶ橋渡 しとして婁要な役割を演ずる． 1定義 位相空間ズの部分集合Aは，連続写像′：g→Aで ′（α）＝α， α∈Aをみたすものが存在するとき，ズのⅠ・etraetといわれる．このノをretractionとよぶ
たとえば，単位閉球BnほEuclid空間Rnのretractである．Hausdorff
空間gのretraCtほ．方の閉集合である
位相空間gの部分集合Aはgでのある近傍のretractとなるとき，ズの
近傍retractといわれる∴たとえば，単位球面SnはEuclid空間Rn＋1の近
傍retractであるが，Rn＋1のretractではない．球面Sn＝BdBn＋1が球
体Bn＋lのretractにならないことがBrouwerの不動点定理とhomology
群を使って示される 距離空間yはそれを閉集合として含む任意の距離空間のretract（近傍re一tract）となるとき，絶対retract（絶対近傍retract）といい，AR（ANR）
で表わす。たとえば，単位．立方体Zn，Euclid空間Rn，Hilbertの基本立方
体Q＝n【0，1／宜】はARである
豆＝1Borsuk（1931a）は次の定理2と3を示した
2 定理（1）compactARはPeano連続体である
（2）compactARの任意の連続写像は不動点をもつ．（3）compact ARはunicoherentである．
（4）YがEuclid空間Rn（n≧2）の中のCOmpaCtARならばRn−Yは
連結である ここで，連続体とは連結なeompact距離空間のことであり，さらに局所連結でもあるときにほPeano連続体といわれる… 連続体Yがunicoherentで
あるとは，yを2つの閉集合A，βの和で表したとき，共通部分Anβカミ常
に連結に／なることである3 定理 COmpaet距離空間yについて，次ほ同値である：
（1）yほARである
（2）任意の距離空間〝とその閉集合Aに対し，Aか
らyへの任意の連続写 像′は〟の上に連続的に．拡張される 4 定義 距離空間yほ．定理3（2）の性質をみたすとき，（距離空間のelassに対する）絶対拡張手であるといい，AEで表わす∴また，距離空間yは任
意の距離空間∬とその閉集合Aに対し，Aからyへの任意の連続写像がA
のある近傍に連続的に拡張されるとき，絶対近傍拡張手であるといい，ANEで表わす．定理3ほ．compact距離空間YがARであることとAEであるこ
とは同値になることを意味している Borsuk（1932e）ほ次の定理5′、、ノ8を示した．5 定理 COmPaCt 距離空間YがANRであることとANEであることほ
同値であるこの定理5ほ Kuratowski（1935a）によって可分距離空間の場合に，
Dugundji（1951）によってすべての距離空間の場合に拡張されている．・一
般に距離空間yはBanach空間 C（y）＝（∫：y→R，連続）の中にうめ
込まれ〔Kuratowski（1935b）〕，Yはその凸包conv（Y）の閉集合になる
〔Wojdyshwski（1939）〕… Dugundjiは局所凸の線形位相空間の凸集合（た
とえばconv（Y））がANEである（Tietzeの定理の−・般化）ことを示して
定理5の距離空間への−・般化に成功したのである．．さらに，Hanner（1952） は閉集合に継承的な空間の族信に・関して，空間y∈信が絶対拡張手AE（伍） と絶対近傍拡張手ANE（信）なることを定義して，次の場合にも定理5が成 立することを示した： 吃＝（正規），（完全正規），（族正規），（paracompactHausdor仔）．6 定理 eompact距離空間yがその閉蔀分集合yl，y2の和であるとき，
Yl，Y2，YlnY2がANRならばYもANRである．
これより，有限単体的複体（すなわちCOmpaCt多面体）はANRであること
がわかるい 定理6は児玉（1956）によって任意の距離空間に対して拡張された．7 定理 COmpaCt ANRは局所可瀞である
ここでyが局所可縮であるとほ，yの任意の点yの近傍ひが，ぴの中で縮KaroIBoTSuk とshapeの理論 47
まるyの近傍Ⅴを含むことである：すなわちhomotopy月■：Ⅴ×∫→打が
存在して，葦戸Ⅴからぴへの包含写像でかつ，ガ1＝定値写像となる．8．定理 有限次元のCOmpaCt距離空間ほ，局所可縮ならばANRである．
しかし，無限次元の場合には定理が成立しない例がある〔Borsuk（1948a）〕．一L方，Lefschetz（1923）ほ球体Bnと球面Snに対するBrouwerの不動
点定理を向きづけられたCOmpaet多様体に・拡張し，有名な不動点公式を得た．Lefshetzの不動点公式ほHopf（1926）によってCOmPaCt多様体にL拡
張されたが，Lefschetz（1930）はさらに不動点公式の適用範囲を拡げるために，次に述べる“locally connected”の概念に到達した．有限次元のCOm−
pact距離空間においては，‘‘locally connected”性はANRと同値になる
ことをLefsehetz（1934）が証明している．9 定義 距離空間yがん次元で局所連結とは，yの各点財の任意の￡−近
傍こて財；g）に対し，あるヤー近傍び（財；わ，0＜符＜￡が存在して，任意の連続写 像′：ぶた→ぴ（財；マ）は連続写像 g‥β糾1→こ尺y；￡）に拡張されることであ る．yが局所彿一遍結（LC乃とかく）とほ，任意の0≦ん≦れに対してyがん 次元で局所連結なることである．各％に対して局所％一遍結のときLCねであ るという．次の包含関係ほ明らかである：局所可儲→LC00→…
→LCn＋1→LCn→…→LCO
lO 定理 有限次元のCOmpaCt距離空間に・ついて次は同値である： （1）yほANRである， （2）yは局所可縮である， （3）yほLC卵である さらに，yの次元≦％ のときほ（3）を （3）′yはLCれである におきかえてよい定理10はDugundji（1958）に・よってCOmpaCt性を仮定せずに成り立つ
ことが示された11定義 yを位相空間，αをyの開被覆とし，ムを弱位相をもつ単体的
複体gの部分複体でgの頂ノ点をすべて含むものとする．連続写像′：】エトyがαに関する∬の部分的実現であるとは，∬の各閉単体びに対し打∈αが 存在して．′（エ∩び）⊂打となることをいう“特にエ＝∬のとき，′：l∬l→y をαに関する．打の充満実現という
Lefschetz（1942）はCOmpaCt ANRをKの部分的実現が充満実現に拡
張されるという性質で特徴づけている．Dug・undji（1958）はこれを必ずしもcompactとほ限らないANRに・拡張し，次の定理12∼15を得た
12 定理 距■離空間yについて次は同値である： （1）yはANR， （2）yの任意の開被覆αに対して次の性質をもつ細分βが存在する：βに関 する任意の単体的複体gの任意の部分的実現はαに関する∬の充満実現に拡 張できる 13 定理 距離空間yについて次ほ．同値である： （1）ある彿についてyほI」C≠， （2）yの任意の開被覆αに対して次の性質をもつ局所南限な細分βが存在す る：dim∬≦彿＋1なる任意の単体的複体ガのβに関する任意の部分的実現 ほαに関するgの充満実現に拡張できる 14 定理 距離空間yについて次ほ同値である： （1）ある常についてyはLC乃， （2）yの任意の開被覆αに・対して次の性質をもつ局所有限な細分βが存在す る：dimg≦㈲なる任意の距離空間ズに対して，β−nearな連続写像￡牒：g→yはα−homotopyダ：′＝9をもつ
羊こでJ■とgがβ−neaIとほ，各㌶∈ズに対してあるⅤ∈βが存在して ′（㌶），g（ガ）∈Ⅴ となること，ダ：gX∫→yがα−homotopyとは各∬∈ズ に対しある ぴ∈αが存在してダ（（∬）×∫）⊂打となることである 15 定理 距離空間yについて次は同値である： （1）ある備についてyはLC乃，（2）yの任意の開被覆αに対してdimP≦％なる多面体Pと連続写像g：
P・→yが存在し次の性質をもつ‥dimX≦≠なる任意の距離空間gと任意の
連続写像′：ズ→yに対し連続写像甲：Ⅹ→Pとα・−homotopyダ：′＝押Kar01Borsukとshapeの理論
49 が存在する．ANRの理論で最も重要なhomotopy拡張定理はcompact ANRの場
合にBorSuk（1937b）で初めて証明され，Dugundji（1951）により−一般の
距離空間の場合に拡張された16 定理 yをANRとする“任意の距離空間gとgの閉部分集合Aの
上のhomotopyダ：Ax∫→yが与えられているとき，連続写像ダ0：A→y
がズ上に拡張できるならばダもhomotopyダ′：ズ×∫→yに拡張できる
homotopy拡張定理の一L般化ほいろいろ考えられている：Dowker（1947，
1956），Hu（1947），Chow（1956），森田（1975b），森田一保科（1975），
Starbird（1975）など
ANRの理論は近年盛んに研究されている無限次元多様体の理論とも密接な関連がある＝ たとえ．ば，長らく未解決であったANRに関するBorsukの問
頗ほ，Q一多様体の理論を駆使してWest（1975，1977）によって肯定的にL解か れた：17 定理 COmPaCt ANRはCOmPaCt多面体の homotopy typeをも
つ．
Edwards〔Chapman（1976），106−107をみよ〕ほQ一多様体の構造に関す
る予想を解決している：18 定理 Xがcompact ANRならばXxQはQq・多様体である”ここ
で可分距離空間〟がQ・一多様体とは〝の各点がHilbert基本立方体Qと同
相な近傍をもつことである§ 2．Compact距離空間のShape
Borsuk（1968）はeompact距離空間の大局的な性質を研究するために，
homotopytypeよりも粗い分塀を与えるfundamentaltype（後にShape
とよばれる）の概念を導入したい 2つの分頒法はANRのClassの上では・−
致しているから，Shapeの理論ほANRのhomotopy理論の適切な拡張と
考えることもできる19 例 平面虎2の上の円周ズ（Fig．1）とSinl／か円周（Fig−・2；Polish
Circleともいう）ほ同じhomotopytypeをもたない。しかし，両者は大局
的に・見ればよく似ているとも言える．たとえば，点2−一方と虎2−yは共に2 つの連結成分から成る．．そこでこのような図形gとyを同じ分類に入れよう というのがshapeの考え方である． X＝Cir・Cle Fig．1上の例19でほyが局所連結でないために連続体ズからyへの連続写像は
すべて零homotopicに・なって−しまい，十分多くの連続写像を含むことができない．このことがXとYのhomotopy typeが異なる理由である．この難
点を取り除くために，BorsukはXとYをHilbert空間H（Hilbert基本
立方体Qでもよい）にうめこんでズの月￣での近傍をyの月‘での近傍の中にうつす連続写像H→Hの列を利用した．これをfundamentalsequence
と名づけている 任意のeompact距離空間は月￣（またほQ）の中にうめこむことができる から，以下においてガの中のeompaet距離空間だけを対象としてもー・般性 を失わない20 定義 COmpaCt距離空間の2っの対（X，Xo）と（Y，Yo）がHilbert
空間ガの中にあるとする．∠＝（ん（ズ，あ），（y，yO））が（ズ，晶）から（y， y㊤）への基本列であるとほ，連続写像の列．ん：月■→月￣，ん＝1，2，・‥で次をみ たすものをいう：（y，yO）のガでの近傍（Ⅴ，l㌔）に対して（ズ，茸））の月■で の近傍（坊こん）と自然数ん0が存在してん≧ん0のときKaT01Borsuk と shapeの理論 51 （Ⅴ，1㌔）で ム1（拭こ㍍）＝ム．11（拭こん） が成り立つ 基本列J■とダ＝（gた，（g，晶），（y，yO））ほ次をみたすときにhomotopieで あるといわれプ＝夕 で表される：（y，坑）の任意の近傍（Ⅴ，坑）に対して （g，あ）の近傍（拭こん）と自然数ん。が存在してた≧払のとき （Ⅴ，l㌔）で ∫たl（坊抗）＝gたl（坊乙㍍） が成り．立つ．＝ほ同値関係となる．基本列才の同値頬を基本額とよび【∫】で 表す． さらに（Z，Zo）をガのCOmpaCt距離空間の対とし，J＝（ん（ズ，二‰）， （y，坑）〉とダ＝（gた，（y，坑），渚，Zo））をそれぞれ（g，晶）から（y，坑）への 基本列，（y，yO）から（Z，Zo）への基本列とすれは合成ダ∠■＝（g々ん（Ⅹ，品）， （Z，gO））が定義される．．基本燐の合成【幻［J】＝【ダ∠■】が代表のとり方によらずに 定まる．これによって，．打の申のCOmpaet距離空間の対を対象とし，・そ・の間 の基本類を射とする圏謬ができる．これを基本圏（fundamentalcategOry） とよぶ．．恒等射【盛（∬．∬。）】は木戸1〟，ん＝1，2，…なる基本列を代表にもつ （．方，二‰）と（y，y。）が基本的に同値（ガ，ズ0）＝（y，yO）とは，基本列 ♪− ∠：（g，為）→（y，yO）とダ：（y，yO）→（g，ズ0）が存在してタf＝j（ズ．ズ。）か つ∠夕＝豆（y，y。）となることである．∠少＝亘（y．y。）だけが成り立つとき，（ズ，晶） は（Y，Yo）を基本的に．dominateするといい，（X，X。）≧（Y，Yo）で表す． f’ 連続写像f：（X，Xo）→（Y，Y。）はI）ugundji（1951）による Tietzeの 定理の−・般化によって，連続写像′：ガ→月￣に拡張できる．このとき．ん＝ よん＝1，2，l‥りとおいでできる基本列（ん（ズ，ふ），（y，坑））の基本額は拡張
′のとり方に・よらないから，これを【′］で表す．．［ノトを連続写像∫から生成さ
れた基本類とよぶ． 21定理 COmpaCt距離空間Y，Yoが共にANRならば任意のCOmPaCt 距離空間の対（ズ，晶）に対し，基本額［プ】：（g，晶）→（y，yO）ほある連続 写像．／：（．方，晶）→（y，yO）によって生成される 22 定理 ズ，二‰，y，yOがANRならば次ほ同値である： （1）（ズ，あ）＝（y，yO）（homotopy typeが同じ），（2）（ズ，二‰）＝（y，yO）． ダ 平面内の連続体と compact距離空間のShapeほ次で与えられる． 23 定理 R2の連続体ズ，yに．ついて次ほ同値： （1）g＝y， メ’ （2）Ⅹとyほ属2を同じ個数の領域に分ける． 24 定理 R2の連続体は可算個の異なるShapeをもつ… 25 定理 R2のCOmpaCt距離空間は連続体濃度の異なるShapeをもつ。 Borsukほ基本額［f】からひきおこされたhomology群の準同型【∠■】＊を 得るためにVietoris homology群をわずかに修正して定義している． 26 定義（X，Xo）をHのCOmpaCt距離空間の対とし，Gを任意のAbel 群とする小 月−の≠＋1個の点の集合￠＝（ガ0，ガ1，…，ガ几）がg−単体であるとは各 壱，J■に対しd（諾わ∬タ）くどかつd（払方）く∈なることであるい 彿次元のg一腰 〟＝glび1＋g2び2＋・・…＋gたびた （gl，g2，…，gた∈G，￠1，G2，…‥・，び克は彿次元の￡一単体）の集合C柁（ガ；G）はAbel 群をつくるl∂〟∈Cい1（二‰8；G）となる￡一腰ぷは二‰を法とする．方の￡一騎体と いわれ，その集合Z弗（ズ￠，ズ。6；G）ほ部分群になる．．二‰を法とする∬の彿次 元∈一愉体γ1とγ2がヤーhomolog−OuS（二‰を法としてズでγ1∼γ2）とほ， T 〟∈Cけ1（瀞；G）と ス∈C彿（二‰ワ；G）が存在し1て ∂〟＝γ1−γ2＋ス となることである・γ＝（γ乞〉がズ0を法とする方の真の彿次元輪体とは，正 数の列（舅）→0が存在して各宜＝1，2，…に対し γそ∈孔（ガi，二‰‘‘；G）かつ二‰を法として ズでγ電∼γ￡．1 i となることであるい ニ‰を法とするgの其のれ次元輪体の集合Z穐（ズ，あ；G）
は座標ごとの加法によってAbel群になるい γ＝（γ乞）とγ′＝（γ乞′）∈乙（g，
晶；G）が晶を法としてズでhomologOuS（γ∼γ′）とほ，正数の列（翫）→0 が存在して各せ＝1，2，・…に対し晶を法としてXでγ乞∼γi′となることであ ？t る、．特に二‰を法としてズでγ∼旦となる≠次元輪体γの集合β花（g，晶； G）は部分群になる．商群Karol王‡orsuk とshapeの理論 53 ガ乃（g，晶；G）＝Z乃（ズ，一‰；G）／僧職（ズ，あ；G） を対（方，晶）の％次元homolog・y群という小 その元を晶を法とする茸で
のhomology類というここで定義されたhomolog・y群島（ズ，晶；G）は
通常のVietoris homology群と同型になる．たとえばGを整数加法群Zと
すれば，例19の図形ズとyについて月■1（ズ；g）芸Z⊆ガ1（y；g）と．なる 27 定理 基本塀【J−］‥（ズ，為）→（y，汎）は準同型［J■］＊：ガ％（ズ，あ；G） →仇（y，n；G）をひきおこし，対応［∠巨→け】＊によって基本圏謬からAbel 群の田（Ab）への共変閑手月■花が得られる 以下においてはガの中の基点をもつeOmpaet距離空間（茸，㌶0），（y，飢） の間の基点を保つ基本列才を考える． 28 定義 ∠＝（ム，（g，ガ0），（y，財0））が基点をもつ基本列であるとは，連続 写像の列ム：（ガ，ガ0）→（ガ，飢），ん＝1，2，…で次をみたすものをいう：yの 任意の近傍Ⅴに対して一方の近傍打とある自然数ん0が存在してん≧払のとき （竹牒。）で．／云l（坊諾0）＝ノ定．1i（坊∬0） が成り立つぃ ここで＝ほ基点を動かさないhomotopyで結ばれることを表 す．．基点をもつ基本列Jとダ＝（gた，（Ⅹ，ガ0），（y，駒））について′＝gなる関係 が定義20の場合と同様に雇義される‖ ′の同値類を基点をもつ基本額といい 前と同じ記号げ】で表す… このときガの中の基点をもつCOmpaet距離空間 を対象とし，基点をもつ基本類を射とする圏軌ができるh これを基点をもつ 基本圏（pointed fundamentalcateg’Ory）とよぶ 29 定理 yがANRならば任意の基点をもつ基本列∠■：（g，ガ0）→（y， y。）はある連続写像甲：（Ⅹ，㌶0）→（㌢駒）から生成される． 30 定義（Ⅹ，∬0），（y，飢）をガの中の基点をもつCOmpaCt距離空間と する．卓＝（∈た，（ズ，∬0），（y，飢））が（ズ，ガ0）から（y，財0）へ向うapproxi− mative mapであるとは，連続写像の列∈た：（ズ，∬。）→（ガ，飢），ん＝1，2，…・ で次をみたすものをいう：yの任意の近傍Ⅴに対してある自然数ん0が存在し てん≧ん0のとき （Ⅴ，yO）で ∈た＝∈たり言とぎ＝（E′k，（X，Xo），（Y，yO））がhomotopicであることは前と同様に．定義 される．宣の同値塀は（X，Xo）から（Y，yO）へ向う approximative classと いわれ［宣】で表される
31定理 YがANRならば任意のapproximativeclass［f］：（X，Xo）・→
（y，財0）はある連続写像甲：（ズ，∬0）→（y，飢）によって生成される 32 定義 ガの中の基点をもつ球面（ぶ花，α）主義点をもつeOmpaet距離 空間（Y，yO）を考える”apprOXimative map呈とP：（Sn，a）→（Y，yO） の結が通常のように・定義され，homotopy類の代表のとり方によらないこと がわかる・このとき approximative class［圭］：（Sn，a）→（Y，yO）の集合 空箱（y，yO）ほ結によって群に・なるい これを（y，飢）の他次元の基本群という． れ≧2のとき空’花（y，財0）はAbel群に．なる．33 定理 YがANRならば基本群空n（Y，yO）ほhomotopy群7；In（yly。）
に同型である． 34 定理 基点をもつ基本額［f］：（ズ，お。）→（y，財。）ほ準同型【f】＊：夕れ（ズ’ ∬0）→空箱（y，財0）をひきおこし，対応げトー→［J】＊に・よって基点をもつ基本圏払から群の圏（Gr）（％≧2のときほAbel群の圏（Ab））への共変関手
夕耽が得られる．ここで定義された（X，Xo）から（Y，yO）へ向う approximativemapの
概念はChristie（1944）の導入した“mapping・tOWards aspace〃の概念
に精密に・符合しており，n次元の基本群はChristie（1944）の定義したn次元の“weak homotopy群”と表現が適うだけで実質的に同じものである
なお，Christie（1944）はVietoris homology群との間にHurewicz同型が成立するようなhomotopy群をeompact距離空間に対して提示してい
る． § 3い 距離空間のShapeBorsuk（1968）が compact 距離空間のShapeを定義するのに使った
Hilbert空間Hの性質はXがARである凸集合に含まれるということだけで
KaTOIBorsuk と shapeの理論 55 こむことによって∴shape の概念を−・般の距離空間に．まで拡張しようと試み た．
35 定義 距離空間ズ，yがそれぞれAR〝，jVに閉集合として含まれて
いるとするり f＝（んg，y）吼〝がズからyへのⅣ一基本列であるとほ，連 続写像の列ム：∬→凡 ん＝1，2，…で次をみたすものをいう：（l）任意のCOmpaCt集合A⊂gに対してCOmpaet集合β⊂y が存在
し，Ⅳでのβの任意の近傍Ⅴに対し〟でのAの近傍打と自然数ん0が存在
した≧た0のときⅤでん1ぴ＝′抽1仰
が成り立つ．特にズ＝y，∬＝∧rでム＝1好，ん＝1，2，…のときl不一基本列 （1桁ズ，g）〟∵〝を巌Ⅷで表し恒等lγ」・基本列という．距離空間ZがARf〉に 閉集合として含まれて小るとき，Ⅳ一基本列Jとダ＝（gた，y，g〉爪タは合成 ダf＝（鉱㍍ズ，Z）吼Pをつくる． 1不一基本列f＝（んズ，y）肌〃とダ＝（g鬼，ズ，y）肌〃ほ次をみたすときに・ⅥL homotopieであるといわれ，∫＝gで表される： ￣ll■￣（ⅠⅠ）任意の COmpaet 集合A⊂gに対して COmpaCt集合β⊂yが存
在し，Ⅳでのβの任意の近傍Ⅴに対し〟でのAの近傍打と自然数払が
存在しん≧ん0のとき モー ＿ J、．−（’二！／−「 が成り立つ．距離空間ズとyが同じ1γ」Shapeをもつ（sh−γズ＝Sh−γy）とは∬，y
を閉集合として含むAR〟∴Ⅳが存在して，あるl不乙基本列∫，ダについてⅣ′＝卓∬，〟 かつJg＝盛y．〟 ￣￣ll■￣￣ll■
が成り立つことである．′g＝庭y．Ⅳだけが成り立つとき，ズはyをlγ」・Shape ￣￣ll■dominateするといい，ShwX≧shwYで表すい これらの定義はARM，N
のとり方とg⊂〟，y⊂Ⅳのうめこみ方によらない． 36 定義 又とyを前定義と同じものとする．′＝（んズ，y）肌〃がズから yへのふ基本列であるとは，連続写像の列ム：〝→Ⅳ，た＝1，2，…で条件 （Ⅰ）と次の条件（Ⅰ）′をみたすものをいう：（け．Ⅳでのyの任意の近傍Ⅴに対して〟でのズの近傍打と自然数払が
存在してん≧塙のとき Ⅴで J完lこJ＝ノ壱＋11打 が成り立つ先に・定義した恒等lγ一基本列はぶ一基本列でもあるい ㌻基本列∠ とダ＝（gた，y，g）肌Pの合成ほ前と同様に定められる． ぶ一基本列才■と（／完，ズ，y）机〟と ダ＝（gた，ズ，y）肌Ⅳは条件（ⅠⅠ）と次の条件 （ⅠⅠ）′をみ／たすときに」5−homotopieであるといわれ，ノ七夕 で表される： ￣ぶ￣ （ⅠⅠ）′ Ⅳでのyの任意の近傍Ⅴに対して〟でのズの近傍打と自然数ん0が 存在してん≧払のとき Ⅴで／這lこJ＝打た】打 が成り立つ距離空間ズとyが同じS−Shapeをもつ（shぶg＝Shぶy）とほ，g，yを
閉集合と．して含むAR〝，Ⅳが存在して，あるぶ一基本列f，ダについて 鋸仁＝ぬ・．〟 かつ ′ダ＝耳y，Ⅳ ￣￣ぶ￣￣ぶ が成り立つことである．．′伊＝多y．Ⅳだけが成り立つとき，ズはyをぶ−・Shape ￣￣ぶdominateするといい，ShsX≧shsYで表す．これらの定義はARMiN
のとり方と ズ⊂昭 y⊂．Ⅳ のうめこみ方によらない… I予L・Shapeとぶ−Shapeの概念ほいずれもcompact距離空間に対しては§2で定義した基本
的同値の概念と−・致する37 定理 距離空間ズとyがANRのとき次ほ同値である‥
（1）ズ＝y， （2）shぶズ＝ShβyBorsuk（1970d）は S−・Shapeを定義して定理37を得たが，Godlewski−
Nowak（1972）が次のような単純な例38を示し，直観に合わないことがわか った．38 例 ガとyを例19の図形（Fig・．1，2）とし，Arを離散位相をもつ自
然数の空間とすれば，ShX＝Sbyであるがshぶ（gxⅣ）≠shぷ（yxⅣ）とな
る このためBorsuk（1971）ほlγ」・Shapeを考えたのだが今度は定理37がうKaroIBorsuk と shapeの理論 57 まくいかなかった‖従って距離空間を対象とし一年L基本類を射とする1年Lshape の圏ほ，距離空間を対象としぶ一基本塀を射とするS−Shapeの困と異なるも のである −・方Fox（1972）ほ距離空間一方をANRPに閉集合としてうめこんだとこ ろで，gのPでのすべての開近傍と包含写像の族打（ズ；ア）を広い意味の道
糸とみなすやり方で，Shapeの概念を定義したGodlewski−Nowak（1972）
ほ距離空間ⅩとyがFoxの意味で同じshapeをもてばshβズ＝Shβyで
あるが逆が成り立たないことを示している．後にMarde昌id（1973a）ほ一腰 の位相空間に対して圏論的に・Shapeの概念を定義した（§5）が，それほ距離空間の上でほFoxのShapeと一L致した〔Marde菖i6（1973c）〕
§ 4．CompactI王aⅦSdor仔空間のShape
Marde基i6−Seg・al（1971a）ほCOmPaCt距離空間の上の基本的同値（§2）の概念がズの 軍ilbert基本立方体Qにうめこんでできる COmpaCt 多面
体の逆列によってとらえられることを見扱き，ANR−・系を使って eompactHausdor仔空間のShapeを定封ヒすることに成功した．この方法によって
Shapeの表現が簡明なものになり，Shape理論の研究が大きく躍進すること になったこの§でほCOmpaCt ANRを単にANRということにする
39 定義 まず有向集合（A，≦）が閉包有限とは各α∈Aに対してニ（㌶ ∈A：ガ≦α）が有限集合なることである．逆系茸＝（羞，p。α′，A）がANR一 系であるとは i）ズαほANR， ii）（A，≦）は閉包有限な有向集合， iii）α≦α′のときp￠。′：先・→羞は連続写像なることをいう．㌢＝（yβ， q騨，β）もANR−・系であるとき，系写像∫：ぎ→㌢とは （1）増加写像ノ’：β→A と （2）各β∈βに対する連続写像ム：孝／（β）→yβから成り （3）β≦β′のとき ムp／（β）′（β′）崇紬・んをみたすものである A／（β）ノ（β′） 〃ββ′ 恒等系写像去ほ1Aと1ズαから成る．多＝（g”γrr′，C）がANR仙系で才：茸 →yとダ‥y→gが系写像のとき合成ダ㌔は次に・より定まる系写像を＝（ん， んr）：茸→多を表す： （1）ん＝．柑：C→Aほ増加写像， （2）各γ∈Cに・対しんr＝grノ1（γ）‥耳／ダ（r）→Zγ． ANR一系と系写像は圏をつくる．
系写像！とg：K→Yがhomotopicである（f＝g）とは各β∈Bに
対しα∈Aが存在して／■（β），g（β）≦αかつ ムp′（餌二日据恥（伽 となることである 晶（β）一首′‘＼≡／
＝は同値関係になる．ANRq・系XとYがhomotopicである（K＝Y）と
KaroIBorsukとshapeの理論 59 ほ系写像∫：茸→㌢とダ‥㌢→ぎが存在して ダブー＝呈ぎ かつ カ＝圭こ となることをいう．
ANR一系茸がcompact Hausdor仔空間Xに関連するとはXがXの逆
極限になることである．40 定理 任意の eompact Hausdorぼ 空間Ⅹに対しⅩに関連する
ANR一系ぎ＝（ズα，pα。′，A）が存在して次をみたす：（1）＆はeompaet多面体，
（2）Aの濃度≦ズの重さ（∬の基底の最小濃度） Xがcompact距離空間の場合にはXに・関連するANR一列X＝（ズ先，Pnn・， ．Ⅳ）がある41定義 ぎと㌢はANR一系でそれぞれ逝極限．方とyをもつとする小 糸
写像才：茸→㌢が連続写像′‥ズ→yに閑適すると．ほ，各β∈βに対し ムp／（β）＝qβ′ となることをいう．42 定理 ぎとyほANR・一系でそれぞれ逆極限ズとyをもつとする… 任
意の連続写像′：ズ→yに対してノ■に関連する系写像∠■：首・→yが存在す る．43 定義 COmPaCt Hausdor仔空間Xの Shape とはXに関連する
ANR・一系の全体のことであるい すなわち
⇔
、 に関連する ANR−・系ぎとに関連するANR−・系yが存在して
＝㌢となる． Shズ＝ShyMarde邑ii−Segal（1971b）ほBorsukの基本的同値の概念とANR一系濫よ
るShapeの概念がcompact距離空間の対（X，Xo）のClassの上で−・致す
ることを述べ，簡単のためにCOmpaCt距離空間ズのelassについて証明を 与えたが，実は対（Ⅹ，あ）のClassについては両概念が異なることがわかっ た〔Marde昌i6（1973b），渡辺（1973）〕．次の例はこのことを示している 胡 例 平面属2の上で点列αt＝（0，1／宜），あ乞＝（1／宜，0），せ＝1，2，…・をとり，A＝（α．，α2，…，αⅦ），β＝（わ1，わ2，…い，わ閥），α切＝軋＝（0，0） とおく．ズ＝y＝錐α1βとすれば（Fig・．．3，4），ANR一一系による（ズ，A）と
（y，β）のShapeは同じであるが（ズ，A）＝（y，β）とはならない
β Fig．4 Fig．3Shape閑手の連続性はCOmPaCt距滞空間についてHoIszty丘ski（1971b）
によって初めて示された：eOmpaCt距礫空間と連続写像の圏に・おいてズが逆列（ズ花，p彿，Ⅳ）の極限ならばBorsukの基本困においてgは道列（茸托，［p循】，
jV）の極限であるしかし COmPaCt距離空間の対の上でも成立するという HoIszty丘skiの
主張に対してMarde昌i6（1973b）の例44ほ反証を与えている。Marde邑i6
（1973a）ほANR一系濫よるCOmPaCt Hausdorff空間の対のShapeを−
彼の位相空間の対にまで拡張（§5）した上でShape閑手の連続性を証明し ているこのようにCOmpaCt距離空間の対の上でほ，Borsukの意味のShapeと
Marde邑i6−SegalのANR一系によるShape との間にほ大きな違いがある
Segalの言葉を借りれば，“BorsukのShape理論はより幾何学的であり，
ANR一系によるShape理論はより国論的である”
§ 5．位相空間のShape
HoIszty丘ski（1971a）はCOmPaCtHausdorff空間のShape理論を初め
て公理論的に特徴づけ，その一・急性を証明した‥Marde基id（1973a）はこれを
KaroIBorSuk と shapeの理論 61 更に∴−・般化して，位相空間のShapeを公理論的方法で定義した
45 定義 ⑳を位相空間のhomotopy圏とし，盟をCW復体とhomotopy
同値な空間から成る◎の充満な部分困とする．shapeの圏6は次のものから 成る： i）対象は位相空間， ii）位相空間Ⅹからyへの射はShapingとよばれる写像ノ■：ズ→yで，
各マ∈⑳（−y，Q），Q∈Ⅶにhomotopy照尺写）∈⑳（ズ，Q）が対応し各
Q′∈盟，マ′∈◎（y，Q′），〃∈岱（Q′，Q）に対し 〃ヤ′＝マ⇒〃′（マ′）＝．′（写） をみたす：△：→・′（怨′（甲′）
iii）shaping・′：ズ→yとg：y・→Zの合成ん＝ダ。／：ズ→Zは各；∈⑳ （g，R），R∈怨に対し ん（∈）＝1／’（g（∈）） で定義される Sha．pe関手ぶ：⑳→辱は次で定義される〃 a）各ズ∈毎に潮しぶ（Ⅹ）＝g，b）各homotopy煩甲：X→Yに対し ShapingS（甲）‥X→Yほ
（ぶ（甲））（軍）＝叩，マ∈⑳（y，Q），Q∈愁で与えられる．46 定理 次の2条件をみたすShapeの圏辱とShape関手S：⑳→6
ほ同型を除いて一・意的にきまる： （1）各位相空間ズに対しぶ（ズ）＝ズ，（2）各y∈％と各ノ■∈6（ズ，y）に対しhomotopy類甲‥ズ→yが一
意的に存在してS（甲）＝′．森田（1975a）はANR一系によるShapeの定義を正規開被覆の脈体を利用
して一L般の位．相空間のShapeにまで拡張し，Marde基i6（1973a）のShape
の使いやすい表現を与えた．
47 定義 ここでの有向集合（A，≦）は局所有限を仮定しない．．盟の道糸
ぎ＝（先，【p。。・】，A）が位相空間ズに付随するとほ，各α∈Aに対して連続写
像p。：ズ→＆が存在し次をみたすことである：
（MO）α＜α′のとき［pα。′］［p。・】＝［p。】，
（Ml）任意の連続写像′‥g・→Q，Q∈盟に対しα∈Aと連続写像￡：
先→Qが存在して［月＝［￡】【p。】となる，
（M2）各α∈Aと2つの連続写像ム，gα：先→Q，Q∈型に対し肌北p〃］
＝［gαj【p。】ならば，α′∈A，α＜α′が存在し肌北p￠α・】＝【ダ。】【pαα′］となる．こ
こで［】ほ連続写像のhomotopy顆を表す．
48 定理（1）任意の位相空間．方はズに付随するⅦの道糸ぎをもつ
（2）位瀾空間又とyにそれぞれ付随する岱の道糸ぎと㌢について，Shap−
i咽′‥ズ→yから系写像∠■‥茸→yへの自然な全嘩射がある・ これほ次のように示される：位相空間ズの局所有限な正規開被覆軋の脈体全体から成る愁での道糸C（ズ）＝（Ⅳ（軋），【pα。′】，A）がズに付随する．この
＞ C（ズ）をⅩのCech系とよぶ．標準写像pα‥ズ→Ⅳ（軋）が存在することか
ら局所有限な正規開被覆全体と局所有限なnumerableな開被覆全体が−・致することがわかる．pα：ズ→yを標準写像とすればそのhomotopy顆は−・意
的に．定まる．ここでgの閑被覆nが正規とは開被覆の列叩花）が存在してⅥ。＝Ⅵかつ各
nについてun．1がunの星型細分になることである．閑被覆Ⅵがnumerableとはある1の分割方＝（和）ぴ∈uがあって各び∈nに対し方び−1（0，1】⊂打とな
ることである一p。：ズ→入「（軋）が標準写像とは開被覆軋の各元打に対して
（pα）￣1（st（抗Ⅳ（軋）））⊂ぴ をみたすことである Marde昌i6（1981）は位相空間と連続写像の分解（resolution）の概念を導入＼′ し，森田のCech系に・よるShapeの表現を位．相空間の圏の中で可換性をみた
すように再構成したものであるいKaroIBorSukとshapeの理論 63 49 定義 位相空間Xが近似的多面体（approximative polyhedron）と は．方の任意の正規開被覆Ⅵに対して多面体（CW複体）Pと連続写像 ′：
g・→Pとg：P→gが存在し，g′と1∬がⅥ叫near（§1）となることであ
る．多面体，距離位相をもつ多面体，ANRは近似的多面体になっている．以 下においては位相空間の圏（Top）での道糸g＝（ズα，pαα′，A）と ㌢＝（yβ， 紬′，β）を考える．．（A，≦）と（β，≦）ほ局所有限とほ限らない有向集合であ る…f＝（′，ム）が系写像とは （1）増加写像′：β→A と （2）連続写像カ：ズ／（β）−→アβ，β∈βから成り （3）β≦β′のときムp／（β）／（βり＝甘郎・ふをみたすものである… 特にAがただ 1つの元から成るとき，すなわちぎ＝ズのとき系写廠才：ズ→㌢は連綬写 像の族ム：ズ→y示，β∈βでβ≦β′のときq甘ん＝カをみたすものとな る． 系写像㌘‥ズ→ぎが位瀾空間ズの分解とは次の2つの条件をみたすこと である： （Rl）任意の近似的多面体PとPの任意の正規開披覆肇と任意の連続写像′■：ズ→Pに対してあるα∈A と連続写像ム：釆→Pが存在しムpαとノ
が懲−・nearとなる， （R2）任意の近似的多面体Pとクの正規開被覆℃に対して次の性質をもつアの正規開披援軍′が存在する：あるα∈Aと連続写像￡ ′：先→Pにつ
いてノわαと′銑が肇′−・nearならばあるα′≧αが存在してノわ。α′と′pαα′は 愁−nearになる．さらに各α∈Aについて先が近似的多面体（多面体，ANR）になってい
るときダ：ズ→ぎはズのAP一分解（多面体分解，ANR・一分解）といわれる． （ダ，g，f）が連続写像′：ズ→yの分解とほズの分解㌘：ズ→ぎとyの分解g：y→y と系写像才：ぎ・→㌢から成り fp＝ダ′をみたすものであ
る．．さらに㌘，g，才がAIL分解（多面体分解，ANR一分解）になっていると き（p，ダ，∠■）はAP一分解（P一分解，ANR一分解）といわれる 50 定理（1）すべての位凋空間yほ多面体分解（ANR一分解）㌘：y・→yをもつ， （2）すべての連続写像′：g→yは多面体分解（ANR・一分解）（ダ，ダ，f）を もつ．． 51定理 ぎ＝（先，pαα′，A）を（Top）での道糸とする．．ダ：ズ→ぎが位 相空間gの分解ならば位相空間のhomotopy圏⑳での道糸【首】＝（羞，［p。。・】， A）は【p】に・よって（森田の意味で）ズに付随している
Marde紬三による新しいShapeの表現はVietoris homologyの定義の仕
方を−・般の位相空間に・までおしひろげたものと見ることができる． さてこれまでに．紹介したいろいろな空間におけるShapeの関係を図示して みよう 任ノ相空間 ［Marde岩i6（1981）；reSOlution］1、1
位相空間 ［森川（1975a）；Cech system］†J、
付亭＝空l闘 ［Marde邑i占（1973a）；aXiomaticj＼、＼−−＼
COmpaCt Hausdor・ff 【Marde岩id−Segal（1971a） ANR−SyStem］ 距経費間 ［Borsuk（1970d）；strong and weak shal）e】
距離空1iij 【Fox（1972）；mutation］
＼・＼・、・・＼＼・ヽ
COmpaC＝距離空【Jり【BoTSuk（1968）；
fundamentalsequence］
Relations among variousextensions of fundamentaltype この他にも様々の特徴をもつShapeが提案され研究が進められている．
KaI01Borsukとshapeの理論 65 Chapman（1972）ほ．次の定理52∼53を示し，Borsukの基本的同値のあざ やかな特徴づけを行った
52 定理 甲をQの部分集合ズでQ一方が 8＝n（0，1／宜）の中のeOm一 宜短1
paet距離空間となるものを対象とし，固有写像の弱固有homotopy塀を射
とする圏とする．6をβの中のCOmpaet距離空間ズを対象とし，Qでの基
本額を射とする田とする．このとき，田平から圏電への圏同型アで各対象 ズ∈平に対しア（ズ）＝Q−Ⅹとなるものがあるここでズ，y∈弔について連続写像′：ズ→yが固有とは任意のCOm−
paet集合β⊂yに対しあるeompact集合A⊂gで∫（ズーA）∩β＝のと
なるものがとれることである‖ 固有写像jlg：X→Yが弱固有homotopic
とは，各compact集合B⊂Yに対してCOmPaCt集合A⊂Xとhomotopy
ダ：gX∫→yが存在してダ0＝＝￡ダ1＝g かつダ（（∬−A）×∫）∩β＝￠ と なることである．53 定理 βの中のCOmpaet距離空間ズとyについて次は．同値である：
（1）ズ＝y， き’ （2）Q一方だQ−y（同相）．Chapman の定理52に着目して Edwards（1975），Edwards−HastingS
（1976）ほ．補集合の固有homotopy圏と同型になるものとしてPrO−CategrOryといわれる非常に広い世界でStT・Ong・Shapeの理論（§3にいう Borsukの
strongShapeとほ異なる）を展開した．このStrOng・Shapeの理論を幾何
学的な立場からCOmPaCt距離空間においてfine shapeの名前で導入した
のが児玉一小野（1978，1979）である．Dydak−Segal（1981）もcompact距
離空間のStrOng・Shapeを異なる観点から取り扱っている．これとは別に．Ball−Sher（1974）ほ局所compaetな距離空間に対し固有
Shape を定義し，Rubin−Sanders（1974）は Hausdorfr空間に対し H−
Shapeを定義している．
Shapeによる分頬は位相空間のhomotopy typeによる分塀に対する一層
の近似理論である．従って様々な目的町応じて様々な近似理論が考えられるに 違いない．
BorsukのShapeの理論に類似の試みはChristie（1944）の先駆的仕事
の他に・も，retraCtの概念を拡張して得られたANRの一・般化の仕事の申に見ることができる．たとえば，野口（1953），Clapp（1971），Yandl（1965），
Klee−Yandl（1973），Finbow（1975）等であるい しかしながら，Borsukの
理論ほ明確な目的を持っていた点とよい圏を構成した点で優れている． § 6．．Borsukとポーランド学派 ポ、−・ランドは東欧ではソビエト連邦と並んで最も数学研究の盛んな国であ るり 特に解析学と・−・般位．相幾何学が著名で，nOrm完備な関数空間を研究したS．Banaeh（1892−・1945）と S．Mazur（1905−・），Fourier級数論の A．
Zygmund（1890−・），演算子法のJ．G．Mikusi丘ski，解析集合論の A．
Mostowski（1913−・），集合論的位相幾何学ではS．Mazurkiewiez（18由一
1945），W．Sierpinski（1882−1969），C…Kuratowski（1896−1980）らが活
し現在に至っている。なおポl−ランドには“Fundamenta Mathematicae”
や“Bu11．Acad．Polon．Sci．”などに論文を出すと論文の長さに応じて奨学 金が出るという面白い制度があった〔長田（1963）〕が，今ほどうだろうかⅩaroIBorsuk は1981年12月26日に76才で長い研究生活を閉じた．
Lewytzkyj−Stroynowskiの人名辞典（1978）によって，彼の経歴をみれは
次のようである1905年 医者の息子としてWarezawaに生れる
長じてWarezawa大学に学ぶ 1927年 修士号取得gymnaSiumの数学教師とWarezawa大学の助手になる
1930年 博士号取得 1934年 大学教授資格を得る1938年 Warezawa大学の数学教授
第2次世界大戦中，秘密教育（Secret teaching）に参加しPawiakに
描虜となる Warezawa大学数学教室主任教授，ポ1−・ランド科学■7カデミ・−・数学研究Kar01Borsuk とshapeの理論 67 所部長を経て
1952年 科学アカデミー正会員
亡くなるまで“DissertationMathematicae〃の編集委員長と“Funda−
menta Mathematicae”の編集委員を勤める
Borsukは長躯痩身で身だしなみのよい紳士〔長田（1963）〕で，眼光鋭く直 観力に．富んだ人であったという，．彼の数学は常に具体的な図形から出発して美 しい幾何学の理論を築き上げる確かな道を進んだり それ故に彼の論文は多くの 数学者の興味をひきおこし，Borsukの提出した問題の解決によって世に出たトポロジストは少くない．終始現代のgeOmetrictopolgyの分野で指導的地
位．に・あった人である． かつて児玉之宏教授が日本では入手できないBorsukの古い論文の別刷を 送って欲しいと頗んだところ，ナチスに焼かれてしまって手許に・残っていないという返事が届いたそうである．1945年11月の“Bu11．Amer．Math．Soc．”
に．ほこの間の事情を示す記事が見い出される‥Warczawa大学の数学教室の貴重な蔵書は1942年9月1日の空襲で完
全に焼かれ，1944年秋の暴動のとき，またはその直後Wa、reZaWaの数学者の個人蔵否もすべて破壊された．“FundamentaMathmaticae”の弟
33巻は1939年秋に・組上って−いたが，既に印刷されていた最初の100黄を残し他は原稿ともすべて焼かれた。“Monogra丘e Mathematyczne”の
最初の10巻のすべての原稿も戦火にしあったり あわ・せてドイツ軍のポーランド占領中に・殺された数学者として，積分論のS．Saks，不動点定理のJ．Schauder，直交関数系のS．Kaczmarz等の名
前を挙げているい 実際に同雑誌の第33巻が出版されたのは1945年のことであ り，この巻は戦争中に・亡■くなったこれらの数学者への献辞で始っている． 終りに， 手許にある資料によってBorsukの主な仕事の舞台となったポ・−・ランド学派の中心的雑誌“Fundament，a Mathematicae”から彼の掲載論文
を抜き出してみよう，．これを一・覧するだけでも彼の学問へのひたむきな情熱を 感じ取ることができる． 江 Fig1∼4は福田弘之氏のご厚志により渡辺測器のズyプロッタWX4675で措かれたK．Borsuk’s papersinFundamenta Mathematicae
1928 Surl’ensemble de valeurs qu，une fonction continue prend
uneinfinitるde fois，11，278q・284．
1931a Surles r批raetes，17，152−170．
b Quelques th60r占mes surles ensembles unicoh6rents，17，17ト
209．
1932a（et N．Aronszajn）Surla somme etle produit combinatoire
des r6tractes absolus，18，193−197，
b Einig−e Satzeiiber stetig・e Streckenbilder，18，198−213．
C UbereineKlassevonlokalzuzammenh温ngrendenRaumen，19，
220−242．
1933a DreiSatzeiiber die n−dimensionale euklidische Sphare，20，
177−190．
b tJber die Abbildungen der metrischen kompakten Raume
auf die Kreislinie，20，224−231．
C Ein Satziiber Unikoharenz，21，35−38．
d Zur KombinatorischenEigenschaften der Retrakte，21，91M98．
e UberstetigeAbbildung・endereuklidischen Raume，21，236q
243．
1934 Surla d6composition des courbes r畠gulieres endendrites，22，
287−・291．
1935a Sur un continuacycliquequiselaisse transformer topologi−
quement enluimeme sans pointsinvariants，24，51−・58．
b Sur un probl昌me deM．J．Schreier，24，59−64．
C Surla d6composition des continus pるaniens plans，24，135−
138．
d Quelques r6tractes singuliers，24，249−・258．
KaI・01Borsuk とShapeの理論 69
ment connexes en toutesles dimensionsくn，24，311−I316．
f Contribution ala topologie des polytopes，25，51−58・
1936a Uber den Lusternik−Schnirelmannschen Begriff der Kateg0−
rie，26，123・−136．
b（undS．Eilenberg）UberstetigeAbbildungenderTeilmengen
euklidischer Raume auf die Kreislinie，26，207−・223．
c Ensembles dontles dimensions modulaires de Alexandro庁
colncident avecla dimensionMenger−Urysohn，27，77−93．
dノSurle plongement des espaces danslesl・6tractes absolus，
27，239−243．
1987a Surlestransformations continues n’augmentant pasla di−
mension，28，90−98．
b Surles prolongementS des transformations continues，28，
99−110．
c surlestransformations des poly昌dres acycliquesensurfaces
SPh6riques，28，203−210・
d Unth昌or占me surles prolongements des transformations，29，
161−166．
e Quelques relations entrela situation des ensembles etla
ritraction dansles espaces euclidiens，29，191・−・205・
1938a Surla d6composition des poly畠dresenproduitscart6siens，31，
137−・148．
b Surun probl占mes de M：M…KuratowskietUlam，31，154−・159・
1939 Surles coupureslocales des vari6tis，32，288−293・
1945 0nthe decomposition of manifoldsinto products of curves
and surfaees，33，273一298．
1941 An example of a simple arc in space whose projection in
every plane hasinterior points，34，272−277・
un r畠tracte absolu de voisinag’e，35，1751q180．
b On theimbedding of systems of compactain simplicialcom−
plexes，35，217−234．
1949 0n the third symmetric potency of the circumference，36， 236−・244．
1950a On anirreducible2−dimensionalabsoluteretract，37，137−160．
b Set，theoreticalapproach to the disconnection theory of the
Euclidean space，37，217−241．
1951 Concerningthe Cartesian product of Cantor−・manifolds，38， 55−72．
1952a Concering the homologricalstructure of the functional space
ぶmズ，39，25−・37．
b（andJ．Jaworowski）Onlabiland stabilpoints，39，159−175．
1953 0n the decompositionofalocally connected compactuminto
Cartesian product of a curve and a manifold，40，140−159．
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1955 Fami1ies of compacta and some theorems on sweeplng’，42， 240−258．
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1959a Concerningthe classincation oftopologicalspaces fromthe
Stand−POint of the theory of retracts，46，321−330． b On a metrization of polytopes，47，325−I341．
1961aI）ependenceofmapping・S and equivalence of sets，49，畠21− 336．．
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1964 （andR．H．Bing）A3−dimensionalabsoluteretractwhichdoes
not contain any disk，54，157−175
1966 0n embedding・CurVeSin surfaces，59，73−89・
1968 Concerning・homotopy properties of compacta，62，223−・254
1969a Fundamentalretracts and extensions of fundamentalse−
quences，64，55−85．
b Errata tothe paper“Fundamentalretracts and extensions
of fundamentalsequences”，64，375．
C On movable compacta，66，137−146．
1970a Some remarks concerningthe shape of pointed compacta，
67，221−240．b Anote onthetheory of shape ofcompacta，67，265−278・
c（andW．HoIszty丘ski）Concerningthe orderingOfshapesof
compacta，68，107−・115●
1973 0n positions of setsinspaces，79，141−158・
1974a Some remarks on shape properties of compacta，85，185−195
b Concerningthe shape of n−dimensionalspheres，85，197，202
1975 0n fundamentaldeformation retracts and some related no−
tions，86，261−270．
1976 Some quantitative properties ofshapes，93，197−・212・
1977 0n a metrization of the hyperspace of a metric space，94，
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Summary．Abriefhistoryoftheoryof retrac七s and shapeintroducedbyK・ BoISukisgivenwithhis profi1e・・ （1982年7月9日受理）
