1. 関数と微分 1.1 関数と極限（解答）

数学演習

1 No.1 2005. 4.13

1. 関数と微分 1.1 関数と極限（解答）

担当：市原

問題

1

次の対応で定まる関数の定義域と値域を求めなさい

. (1) x 7→ √

x − 1

定義域

: {x | x

は

1

以上の実数

},

値域

: {y | y

は

0

以上の実数

}

(2) x 7→ 1

定義域

: {x | x

は実数

},

値域

: {y | y = 1}

(3) x 7→ x ² + 2x + 4 = (x + 1) ² + 3

定義域

: {x | x

は実数

},

値域:

{y | y

は

3

以上の実数

}

(4) x 7→ 1

x − 3 + 1

定義域

: {x | x

は

3

以外の実数

},

値域

: {y | y

は

1

以上の実数

}

(5) x 7→ x

|x|

定義域

: {x | x

は実数

},

値域

: {y | y

は

1

か

−1}

問題

2

次の関数は

y = x ⁿ

（

n

は自然数）

, y = √

x, y = 2 ^x

から加減乗除

,

合成を用い て作られている

.

どのように作られているかかきなさい

.

(1) y = (x ² + 1) ⁵ (x ² − 2) ³ ((y = x ⁵

と

(y = x ²

と

y = 1

の和

)

の合成

)

と

((y = x ³

と

(y = x ²

と

y = 2

の差

)

の合成

)

の積

(2) y = 2 ^x − 2 ^−x = 2 ^x − 1

2 ^x y = 2 ^x

と

(y = 1

と

y = 2 ^x

の商

)

の差

(3) y = x

√ 1 − x ² y = x

と

(y = √

x

と

(y = 1

と

y = x ²

の差

)

の合成

)

の商

(4) y = x

³²

= x √

x y = x

と

y = √

x

の積

問題

3

次の値を求めなさい

. (1) lim

t→−1

2t ² + 3t − 5

t ² + 2t − 3 = 2 × (−1) ² + 3 × (−1) − 5

(−1) ² + 2 × (−1) − 3 = 2 − 3 − 5 1 − 2 − 3 = −6

−4 = 3 2

(2) lim

t→1

2t ² + 3t − 5 t ² + 2t − 3 = lim

t→1

(2t + 5)(t − 1) (t − 1)(t + 3) = lim

t→1

2t + 5

t + 3 = 2 + 5 1 + 3 = 7

4

(3) lim

t+3→+0

2t ² + 3t − 5

t ² + 2t − 3 = lim

t+3→+0

(2t + 5)(t − 1)

(t − 1)(t + 3) = lim

t+3→+0

2t + 5 t + 3

= lim

t+3→+0

2(t + 3) − 1

t + 3 = lim

t+3→+0

µ

2 − 1 t + 3

¶

= −∞,

発散

(4) lim

x→2

√ x − √ 2

x − 2 = lim

x→2

√ x − √ 2 ( √

x − √ 2)( √

x + √

2) = lim

x→2

√ 1 x + √

2 = 1 2 √

2 =

√ 2

4