部分空間 演習問題1 解答 - 熊本大学

熊本大学 数理科学総合教育

部分空間 演習問題１ 解答

問 1. 以下 W R^{2 部分空間 ．理由 述 ．}

(i)

W =

x=

x y

∈R²

x−y= 1

解答. R^{2 零} o =

"

0 0

#

，0−0 = 0̸= 1 ，o∈/ W ．

W R^{2 部分空間 ．}

(ii)

W =

x=

x y

∈R² y≥0

解答. a=

"

0 1

#

．1≥0 a ∈W ，(−1)a=

"

0

−1

#

，−1 <0

(−1)a ∈/ W ． W R^{2 部分空間 ．}

(iii)

W =

x=

x y

∈R²

xy≥0

解答. a=

"

1 0

# , b =

"

0

−1

#

．1·0 = 0≥ 0, 0·(−1) = 0≥0 ，a,b ∈W

，a+b=

"

1

−1

#

，1·(−1) = −1< 0 a+b ∈/ W ．

W R^{2 部分空間 ．}

問 2. a1,a2, . . . ,ar ∈R^{n ，}a1,a2, . . . ,ar 1次結合全体 集合，

{x1a1+x2a2+· · ·+xrar|x1, x2, . . . , xr ∈R}

，⟨a1,a2, . . . ,ar⟩ ^{表 ．}⟨a1,a2, . . . ,ar⟩ ^，R^{n 部分空間 示 ．} 解答. x,y ∈ ⟨a1,a2, . . . ,ar⟩, k, ℓ ∈R ^． kx+ℓy∈ ⟨a1,a2, . . . ,ar⟩

示 ．x,y ∈ ⟨a₁,a₂, . . . ,a_r⟩ ^，x y x₁, x₂, . . . , x_r, y₁, y₂, . . . , y_r ∈R 用

x=x₁a₁+x₂a₂+· · ·+x_ra_r, y=y₁a₁+y₂a₂+· · ·+y_ra_r

表 ． ，

kx+ℓy=k(x1a1+x2a2+· · ·+xrar) +ℓ(y1a1+y2a2 +· · ·+yrar)

= (kx1+ℓy1)a1+ (kx2+ℓy2)a2+· · ·+ (kxr+ℓyr)ar ∈ ⟨a1,a2, . . . ,ar⟩.

，⟨a1,a2, . . . ,ar⟩ R^{n 部分空間 ．}

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問 3. A m×n行列 ，W 同次連立1次方程式Ax=o 解空間 ． W ={x∈Rⁿ|Ax=o}

．W ，R^{n 部分空間 示 ．}

解答. x,y ∈W, k, ℓ ∈ R ^． kx+ℓy∈ W 示 ．x,y ∈W

，Ax=o, Ay=o 成 立 ．

A(kx+ℓy) =A(kx) +A(ℓy) =k(Ax) +ℓ(Ay) =ko+ℓo =o,

，kx+ℓy∈W ． W R^{n 部分空間 ．} Point

W ⊂Rⁿ R^{n 部分空間 ，以下} 3 ^{条件 ．}

(S0) o∈W. ^（o R^{n 零 ）} (S1) a,b ∈W ，a+b∈W. (S2) a∈W, k∈R ^，ka∈W.

W ̸=∅ ^，(S2) (S0) 導 注意 ． ，(S1)(S2) 1

以下 条件 置 換 ．

(S3) a,b ∈W, k, ℓ∈R ^，ka+ℓb∈W.

W ⊂Rⁿ R^{n 部分空間 示 ，}(S0), (S1) (S2)（ (S3)）

成 立 確 ，W R^{n 部分空間 示 ，}(S0)∼(S3)

成立 ，例 反例 挙 ．

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