演習問題解答 6

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(1)". 演習問題解答6 -. （I) ほぼ自明なので略 (2）. A a : = 1R E Rdl f N (か）C Aa で. E. I nは. a. ら. とする.. R"内で水へ収束する列を考える.. R E A a なら A a は閉 .. 下半連な売性の定義より l i m i t (Kn)とみっり w ). fan)E よって. f. a なので、. f'（（.。a. はげ側.. f. E を得る. a. で、. よって）(EA a で、A aは閉である. J ) E B 側であるので（閉集合 Aa. はるば）に含まれる）. f が叶測なら-H ワ測なので、上半連続な関数に対しても. 同様に示せる.. 任意の可測関数は単関数の各点収束先として書けることは講義一-1で示したよって可測関数の集合 c （命題の関数クラス）. （ろ）. 逆の包含関係を示す。. まず.任意の単関数は「1測関数であるよって7測関数の. 集合が各点収束に関して閉じていることを示せば良い. 演習間是（3の（7）において. と E R で X n(w)→ヨ×(w)なら.. X はは.になることを示した。つまり. T 測関数の各点収束先もの測.. すなわち.の測関数の集合は各点収束について閉じている。. 川. 十分条件であることはすぐわかる.必要条件であることを示す. Y は6(x)-中測であるとする。このとき. Y は64）-叮測な単関数の各点収束先として書ける。すなわち、'に絆 a. 1A: ( A i EGG)，. ！"は互いに排反）なる単関数を用い、 Y (w)=協Y n(w) （A). ( K uE r ) と書ける. 演習解答6. 1/6.

(2) 鉉. 今、各 Y n の単関数表示を Yn =. も. BCR) で. B iE. .. A i X"(Bn). 杣にに任と梨ら. に. 2 . t nA ) = Yn. 想喆. であるが.. W EAn E. と書ける.. 相 = 1B e X. であるため） X ( w )E Ba. =. れたとすれば、f n は BCR)は(R)-51測. f n o X である。今. K w a n で Y (w)=超 Ynに）. fig f r oX ( w ). =. であるので.. 1A.. とすると.A : EGG)より. &a. よ、. しかも、. a. であることより、. と EXR)において、. が存在し、 Ydeは任意のW E が（にり）を用いて f n a ) = Y(w) で与えられる。この収束先を G ). f n（川. とおく。. 今 f を . 全域 R 上に拡張する.. 全体とするとして.. Hk)ニ. {感が）. f. ( xe. x に））. G を fnk)が収束するとの. ( x& G ) ( xEG). G は XG)を含むことは上で示した。あとは.GEB C R ) で. とする.. あれば、 f （川= f i e f . Get 私に）（たE R ) となり、 t は「1測関数の各点収束先で書ける。つまり f は叮測になる.. G の叮測性を示す. 定義より、. G. =. K E R I I た（川-fixM E 䚯 YE?！ I. であり、各よ、. て. f. beERI Ifn（川がいいに䚯は叮測なのでG も可測 .. は叮測である。その構成法より Y に）=f. ×(w). は. En). である ( h e X G ) は K E G でか）. f beに Gfs（川であることに注意） / /. 演習解答6. 2/6.

(3) （5）. 0 1 かがない実数や呦 =0（かや E C Eが ] = E Cで沘 ] E Cで「 X ] = E [ どなか ] く t. や. X と - X. は同じ分布. 特性関数と分布は一対一対応.. (6）. Levy の反転公式を用いる.. - _ -1 = 1 など" I どたが". で .. t. する。よって、. P N E Cab)）t I 化にa. E. u × =. b). 点など？！學垚(b-a) f E H. 1. )n. b= ） ( t E とすればが" P( X E （かけい） =. このとき、 a. =. x ,. 京k. =. =. である。. 中（3）. B .. b-）a とすれば、 P ( x= a. 2のことから、. に. は at. Levyの反転公式の右辺の年貢分は絶対収束. E L ' CR)より. 二. ok. o. LUGER)がわかる。. で_ f. 3. ". d. デ 1（だな治州中(DB. ドは（広/どう袽. d)dy. (Fabiani) よって. H の法/どな中に） d3 は X の分布の密度関数. になっている。. 演習解答6. 3/6.

(4) #. " （7）. 川の特性関数は求めているので導出は省略.. 前にで. e i m e .e e. 中 (8）. =. i t (b-a). の特性関数i. x t Y. 4. でGab) （で示す）×+. e. =. 密度：. s i n e （は. _た. どなしには） sine =. y の. が1（計9）. fo n dt. fat =𠫓/で"中（ d t. 2（はが一一で = 中. ）. ）. -Nba)2 o. より. （6）より. か. =広 =. こ. Ti。. ( e2のに2でがた）+でのd t. 1，た。.主f_た（どたが、2でいない+でないり） d t. たが. I. =. 公は7. （ただし. （9）. /. e-こが. （1 2 が1 - 2 l a b - N. |. 0. x - 2a. 2b-水 O. 中心にも、（か. （ 2a E x ( a tK. E a tb ) x. E 2b). （）172b ). K : Y のは.. t.ca). 120-K1）. G <za). たf などがd t - _ - が 1. た： X の C.f.，. +. を使った）. とする。. にもE R ). である。. 玩では1E E ならたけ）も0とできる。たけ）=1 （にも： H I E E ) である。は t o で千数分可能で、 OMG)=0（したE 1）である。. t ，は連続で中（0）=1 . このとき、よ、. 2.ly. より、. である。実はこの時.たけらくである特に中卒な）=0 (Dune#Th.3.3.9）すると.だとの-_-だけが成り立ち、 ECでた0を得る. 演習解答6. 4/6.

(5) すると、. マルコフの不等式より PCM E E ) E E [ 等. （とつ。）. o. すれば N に。 Las.）を得る.. となる. E H 0 と. い）. ニ. 方針：. 例えば、 X のは . がいい）に台を持つ分布を考える. （つまり. 虬の二0(H: I t I n ) ）. I t . I)では .が一致し、その外で異なる分布を持っ. Y. Z として .. て来れば良い. 例： (Durr e tt の. Example3.3.11より）. a-_-う、b こうとすれば. （8）より、. え/ どが. 心（き） d t （(x)+=1川. （ 1-K1）+. =. であった.. fH)=. とする）. たと水を逆車云させて、. j. s i n d（き）. =. （ 1 - 興とすれば T ) （2. ( f f aH. M)はだ者率密度関数になる.. ,. fat. T h /. ど3が3 . 1 0（1-14M 1) + の. 対応する c .f r. は. 4. f. （川d)1. の判定規準： Poly a Parrett,. =. である。これは Polya 分布と呼ばれる。 X .Y ことで.. は独立で Poly 分布に従うものとする a. Z の分布のは、として.. 三角波とする：人. た H ) =（1-M)+ ( U. '！！一一斗一-yf 、 Jeff演習解答6. （1-HI)+を周期的にさせた =. t . z . i n とする。ただし、n は. 整数で2に1なく2n +1をみたり 5/6.

(6) この三角波は次のように Fourierなな数展開できることが知られている：. た H)= I. +. '品店川、exp(a （2m ) 大 t. ). ( t ER) これは. P( E O ) =I. , P( Z =（2n -1 ） - ） = _ 2 n ( n e 区）を2（2n-1）2. なる分布の af.になっている.. たの台は H . 1 ] た. で .. El,I ) では. 女（かたけ）= 4×（かた(t). が成り立っ.. dyH ) = たけ）が成り立つ. ( U tE R ). s. 演習解答6. 6/6.

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演 習 問 題 解 答 6

演習問題解答 6