第3章部分分数分解演習問題解答

(1)

6

第3章部分分数分解演習問題解答

<3.1> 次の分数式を部分分数に分解したときの係数 A, B を求めよ．

（1）

2 1

) 2 )(

1 (

3  

 



 x

B x

A x

x

3 ) 1 ( ) 2

(x B x 

A より， x1 を代入して，

A  1

．x2を代入して，

B   1

．

（2）

2 3

) 2 )(

3 (  

 



 x

B x

A x

x x

B x

A( 2) ( 3) より， x3 を代入して，A3．x2を代入して，B2．

<3.2> 次の分数式を部分分数に分解せよ．

(1)

) 3 )(

1 (

) 1 ( ) 3 ( 3 1

) 3 )(

1 (

2



 

 

 



x x

x B x

A x

B x

A x

x x

) 1 ( ) 3 (

2    

 A x B x

x

上式に

x   1

^{を代入すると，}

2  1

A

^．

x   3

2  1 B

^．したがって，

) 3 ( 2

1 ) 1 ( 2

1

 

 x

x

(2)

2 1

) 2 )(

1 (

1

 

 



 x

B x

A x

x

1 ) 1 ( ) 2

(x B x 

A より， x1 を代入して，A1．x2を代入して，B1．したがって，

2 1 1 1

 



 x x

(3)

) 1 )(

3 (

) 3 ( ) 1 ( 1 3 )

1 )(

3 (

7





 

 

 





x x

x B x

A x

B x

A x

x



7

x A(x1)B(x3)

x1を代入して，84B より B2． x3を代入して，44A より A1．したがって，

1 2 3 1

 



 x x

(4)

3 2

) 3 )(

2 (

9 2

 

 



x B x

A x

x

9 2 ) 2 ( ) 3

( x   B x   x 

A

^，

x   3

^{を代入して，}

B   3

^．

x   2

A  5

3 3 2 5

 

 x

x

(2)

7 (5)

4 1

) 4 )(

1 (

3

 

 



 x

B x

A x

x

3 ) 1 ( ) 4

(x B x 

A より， x1 を代入して，A1．x4を代入して，B1．したがって，

4 1 1 1

 

 x

x

(6)

) 2 )(

4 (

) 4 ( ) 2 ( 2 4

) 2 )(

4 (

2



 

 

 



 x x

x B x

A x

B x

A x

x

2  A ( x  2 )  B ( x  4 )

上式に

x   4

A   1

^{．上式に}

x   2

B  1

2 1 4 1

 

 

x x

(1)

) 1 )(

2 (

) 2 ( ) 1 ( 1 2

) 1 )(

2 (

3 2

3 3

2  



 

 

 



 



x x

x B x

A x

B x

A x

x x x

x x

x  3  A ( x  1 )  B ( x  2 )

上式に

x   2

A   1

^{．上式に}

x   1

B  2

^. したがって，

1 2 2 1

 

 

x x

(2）

2 4

) 2 )(

4 (

3 8

2 3

2  

 



 



 x

B x

A x

x x x

x x

B x

A( 2) ( 4)3 ，

x  4

を代入して，A2．

x   2

^{を代入して，}B1．したがって，

2 1 4 2

 

 x

x

(3）

1 5

) 1 )(

5 (

6 5

4 6

2  

 



 



 x

B x

A x

x x x

6 ) 5 ( ) 1

(x B x 

A ，

x  5

x   1

を代入して，B1．したがって，

1 1 5 1

 

 x

x

(4)

) 1 )(

4 (

) 4 ( ) 1 ( 1 4 4

3 5

2  





 

 

 



 x x

x B x

A x

B x

A x

x

5

) 4 ( ) 1

(x B x 

A ,

x  4

^{を代入して，}A1．

x   1

^{を代入して，}B1．したがって，

1 1 4 1

 

 x

x

(3)

8 (5)

3 2

) 3 )(

2 (

7 3 6

5 7 3

2  

 



 





x B x

A x

x x x

x x

A(x3)B(x2)3x7．

x  2

A  1

^．

x  3

B  2

3 2 2 1

 

 x

x

(6)

2 3

) 2 )(

3 (

3 2 6

5 3 2

2  

 



 



x B x

A x

x x x

x x

A(x2)B(x3)2x3．

x   3

x   2

を代入して，B1．

したがって，

2 1 3 3

 

 x

x

<3.4> 次の分数式を部分分数に分解したときの係数 A, B,C を求めよ．

（1）

2 1 )

1 )(

2 (

1 4

2

 

 

 







x x

C Bx x

A x

x x

x

1 4 ) 2 )(

( ) 1

(x² x  BxC x  x

A ．

x   2

を代入して，A1．

x  0

，A1を代入して，C1．

1

A ，

x  1

，C1を代入して，B1．

 1



A

^，

B  1

^，

C  1

（2）

( 2 )( 1 )

²

2  1 

²

  ¹

 

 



 x

C x

B x

A x

x x

x

x x C x

B x

A( 1)²  ( 2) ( 1)( 2) ．

x   2

を代入して， A2 ．

x   1

を代入して， B1．

2



A ，B1，x0を代入して，C2．

 2



A

^，

B   1

^，

C  2

（1）

3 )

3 (

3

2

2 

 

  x

C Bx x A x

x

3 ) (

) 3

( x

²

  Bx  C x 

A

^①

①式に

x  0

A  1

^{． ①式に}

A  1

を代入し，整理すると，

( 1  B ) x

²

 Cx  0

^②

②に

x  1

と

x   1

を代入して，B1,

C  0

^{，したがって，}

3 1

2 

 x x x

(2)

1 1 ) 1 )(

1 (

1

2 2

2



 

 







x C Bx x

A x

x x

x

1 )

1 )(

( ) 1

( x

²

  Bx  C x   x

²

 x 

A

_，

x  1

2  3

A

^．

x  0

^,

2  3

A

2  1

C

^． x1，

2  3

A

^，

2  1

C

2  1



B

．したがって，

) 1 ( 2

1 )

1 ( 2

3

2



 

 

x x x

(4)

9 (3)

      



2



( 2 1)

2 1

2 2 )

1 2 ( 2

4 5 3

2 2

2







 





 

 









x x x

x c Bx x

x A x

x

C Bx x

A x

x x



^x²^²^x^¹



^

^

^Bx^^c

^

^x^²

^

^³^x² ^⁵^x^⁴

A ，

x   2

 0

x

^,A2を代入して，C1． x1，A2，C1を代入して， B1．したがって，

1 2

2

2  

 

 x x

x x

（4）

1 1 )

1 )(

1 (

3 1

3

2 2

3  

 

 



 

 x x

C Bx x

A x

x x



x^x² ^^x^¹



^

^

^Bx^^c

^

^x^¹

^

^³

A ，

x  1

x  0

^,A1を代入して，

2



C ． x 1，A1，C2を代入して， B1．したがって，

1 2 1

1

2 

 

 x x

x x

（5）

1 1 ) 1

1 )(

1 (

4 1

4

2 2

4 

 

 



 

 x

D Cx x

B x

A x

x x

x ¹⁾



¹

 ^

¹

^ 

¹

 ^ ^

⁽ ¹⁾ ⁴

(x x²  B x x²   CxD x²  

A ，

x  1

 1



x

^{を代入して，}B1．

x  0

^,A1，B1を代入して，D2．

2

x ，A1，B1，D2を代入して， C0．したがって，

1 2 1 1 1 1

2

 

 x x x

(6)

1 1 3

) 1 3 )(

1 (

1 12 2 1

2 2

1 12 2

2 2

3 2





 

 











 









x x

C Bx x

A x

x x

x x x

x x



^x² ^³^x^¹



^

^

^Bx^^c

^

^x^¹

^

^^²^x² ^¹²^x^¹

A ，

x   1

^{を代入して，}A3．

 0

x

^,A3を代入して，C2． x1，A3，C2を代入して， B1．したがって，

1 3

2 1

3

2 

 

 

x x

（1）

) 2 2 ( )

2 (

1

2

2  

 

  x

C x

B x

A x

x



x2



² BxC(x2)x1

A ，

x  0

を代入して，

4

1

A ．

x  2

を代入して，

2

1 B ．

3



A を代入して，C2． x1， 4

1

A ，

2

1

B を代入して，

4

1 C ．

したがって，

) 2 ( 4

1 )

2 ( 2

1 4

1

2  

  x x x

(2)

) 1 (

) 1 ( ) 1 ( ) 1

1 (

1

2

2 2

2 



 

 



 



x x

Cx x

Bx x

A x

C x B x

A x

x x

(5)

10 A(x1)Bx(x1)Cx²x1，

x  0

を代入して，A1．

x   1

を代入して，C2．

 1

x

_，A1，C2を代入して，B2．したがって，

1 2 2 1

2   

 x x x

(3)

    

1



( 2)

) 1 ( ) 2 )(

1 ( ) 2 ( 2 1 1

) 2 ( 1

7

2

2 2

2  









 

 

 

 









x x

x C x

x B x

A x

C x

B x

A x

x x

7 )

1 ( ) 2 )(

1 ( ) 2

(x B x x C x ² x

A ，

x  1

 2



x

を代入して，C1．

x  0

_，A2，C1を代入して，B1．したがって，



1



¹¹ ¹²

2

2  

 

 x x

x

(4)

) 1 ( ) 1 (

) 1 ( ) 1 )(

1 ( ) 1 ( 1 ) 1

1 ( ) 1 ( ) 1 (

3 5

2

2 2

2  







 

 

 

 





x x

x C x

x B x

A x

C x

B x

A x

x x

より

)2

1 ( ) 1 )(

1 ( ) 1 ( 3

5x A x B x x C x x1を代入して，84C より C2． x1を代入して，22A より A1． x0,A1,C2を代入して，31B2

より B2．したがって，

1 2 1 2 ) 1 (

1

2  

 

 x x

x

(5)

2 ) 1

2 )(

1 (

1 2

3 1

2 2

2 3

4  

 



 



 







x D x

C x B x

A x

x x

x

) 1 ( )

2 ( ) 2 )(

1 ( ) 2 )(

1 (

1       ²   ² 

 A x x Bx x x Cx x Dx x

x

0

x を代入して， A1/2． x1を代入して， C2． x2を代入して， D3/4．

1



x と_A_,_C_,_Dの値を代入して，

   





 



  

























 



  

 1 2

4 3 3 2 3 2 2

2 2

0 1 B より，

4 /

5

B ．したがって，

) 2 ( 4

3 1 2 4

5 2

1

2  

 

 x x x

x

(6)

) 2 2 1 (

A ) 2 )(

1 (

3 2 4

8 5

3 2

2 2

3 2

 

 



 



x C x

B x x

x x x x

x x

x² 2x3A(x2)² B(x1)C(x1)(x2)

1



x を代入して， A2． x2を代入して， B3．

0

x とA,Bの値を代入して， C1．したがって，

2 1 ) 2 (

3 1 2

2  

 

 x x

x

(1)

3 4 2 )

3 4 )(

2 (

7 6 6

11 4

7 6

2  

 



 





x B x

A x

x x x

x x

(6)

11 )

2 ( ) 3 4 ( 7

6x A x B x x2を代入して，55A より A1． x3/4を代入して，9/275/4B より，B2．

したがって，

3 4

2 2 1

 

 x

x

(2)

) 3 )(

2 (

) 2 ( ) 3 ( ) 3 )(

2 ( 3 2

) 3 )(

2 (

6 6 6

5 6

6 ²

2 3

2



 

 

 



 



x x x

x Cx x

Bx x

x A x

C x

B x A x

x x

x x x x x

x

x よ

り

x² 6x6A(x2)(x3)Bx(x3)Cx(x2) x0を代入して，66A より A1． x2を代入して，4126B(2)1 より 22B，B1．

3



x を代入して，9186C(3)(1) より 33C，C1．したがって，

3 1 2 1 1

 

 

x x

x

(3)

2 2 1

3 2

2 3

2

 

 





x C x

B x A x x x

x

2 )

1 ( ) 2 ( ) 2 )(

1 ( x  x   Bx x   Cx x   x

²

 A

 0

x

A   1

^．

x   1

B  1

^．

x   2

C  1

2 1 1 1 1

 

 x x x

(4)

1 1 1 1

2

3  

 

 





x x

C Bx x

A x

x

1 )

1 )(

( ) 1

( x

²

 x   Bx  C x   x  A

 1



x

3  2



A

^．

x  0

^と

3  2



A

3  1



C

^．

 1

x

^と

A, C

3  2 B

) 1 (

3

1 2 ) 1 ( 3

2

2 

 





x x

(5)

1 1 )

1 )(

1 (

1 1

1

2 2

3 2



 

 







 









x C Bx x

A x

x x x x

x x

) 1 )(

( ) 1 (

1 ²

2 x A x   BxC x

x

 1

x

を代入して，A3/2．

x  0

_，A3/2を代入して，C1/2．

 1



x

^とA,Cの値を代入して， 2

2 2 1

2

1 3 



 



 





 B ．より，

2  1



B

．

したがって，

) 1 ( 2

1 )

1 ( 2

3

2



 

 x

x x

(7)

12 (6)

2 1

) 2 )(

1 (

2 2

3 2

2

3  

 

 

 



 x

C x

B x A x

x x x x x

) 1 ( ) 2 ( ) 2 )(

1 (

2 A x x Bx x Cx x

 0

x

x   1

^{を代入して，}B2．

x   2

C  1

2 1 1 2 1

 

 

x x

x

(7)

1 )

1 (

1

2 2

2

2 

 



 



x D Cx x B x

A x

x x

2 2

2 1) ( 1) ( )

(

1 A x Bx x Cx D x

x      

 0

x

x  1

_，A1を代入して，2BCD0 ・・・①．

右辺の

x

³ の係数は 0 だから，BC0・・・②，

x

² の係数も 0 だから，AD0 ・・・③

① ～③の連立方程式を解くと，D1，B1，C1．したがって，

1 1 1

1

2

2 

 

 x

x x x

(8)

2 1

2 1 2

1 3

2

3  

 

 





x C x

B x

A x

x x

x

) 1 )(

1 ( ) 2 )(

1 ( 1

3x A x x B x x C x x

 1



x

x  1

^{を代入して，}B2/3．

x   2

C   5 / 3

) 2 ( 3

5 ) 1 ( 3

2 1 1

 

 

 x x

x

(9)

) 3 ( ) 3 ( 2 2

) 3 )(

2 )(

2 (

1 36

24 5

6

1

2 2

2 3

4

 

 

 





 





 x

D x

C x

B x

A x

x x x

) 3 )(

2 )(

2 ( ) 2 )(

2 ( ) 3 )(

2 (

1A x x ² B x x ² C x x D x x x

 2

x

^{を代入して，}A1/4．

x   2

^{を代入して，}B1/100．

x  3

C  1 / 5

^．

 0

x

と_A_,_B_,_Cの値を代入して， 4 12D

5 18 1 100

1 4

1 18 



 



 





 



 



 より，

D   6 / 25

．

4  1

A

，

100  1



B

，

5  1 C

,

25

 6



D ，したがって，

 



 



 

 

 

 



 



 

 





 ( 3 )

24 )

3 (

20 2

1 2 25 100

1 ) 3 (

25 / 6 ) 3 (

5 / 1 2 100 / 1 2 4 / 1 ) 3 )(

2 )(

2 (

1

2 2

2

第3章 部分分数分解 演習問題解答

2 1

) 2 )(

1 (

3

 

 



 x

B x

A x

x

A  1

B   1

2 3

) 2 )(

3

(  

 



 x

B x

A x

x x

) 1 ( ) 3 (

2    

 A x B x

x

x   1

2

 1

A

x   3

2

 1 B

9 2 ) 2 ( ) 3

( x   B x   x 

A

x   3

B   3

x   2

A  5

2  A ( x  2 )  B ( x  4 )

x   4

A   1

x   2

B  1

x  3  A ( x  1 )  B ( x  2 )

x   2

A   1

x   1

B  2

x  4

x   2

x  5

x   1

x  4

x   1

x  2

A  1

x  3

B  2

x   3

x   2

2 1 )

1 )(

2 (

1 4

 

 

 









x x

C Bx x

A x

x x

x

第3章部分分数分解演習問題解答

  ¹