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(1)

高校入試模擬テスト第３回 1 / 6 １ ⑴ 与式＝－３＋８＋１＝６

１ ⑵ 与式＝３ａ＋６ｂ－２ａ＋ｂ＝ａ＋７ｂ１ ⑶ 与式＝２(５ｘ＋３)－３(３ｘ＋２)

６＝10ｘ＋６－９ｘ－６６＝ｘ

６

１ ⑷ 与式＝ｘ²＋３ｘｙ－(ｘ²＋ｘｙ＋２ｘｙ＋２ｙ²)＝ｘ²＋３ｘｙ－(ｘ²＋３ｘｙ＋２ｙ²)＝

ｘ²＋３ｘｙ－ｘ²－３ｘｙ－２ｙ²＝－２ｙ²

１ ⑸ 与式＝( ６)²－２×２× ６＋２²＋３６＝６－４６＋４＋３６＝10－６２ ⑴ 両辺に２をかけて，ｘ＋４＝２ｘｘ－２ｘ＝－４－ｘ＝－４ｘ＝４１ ⑵

与式＝ｘ²＋(－６＋５)ｘ＋(－６)×５＝(ｘ－６)(ｘ＋５) １ ⑶

１ｍ当たりの重さは30ｇ＝ 30

1000㎏＝３

100㎏なので，ｘｍのときは３

100×ｘ＝３

100ｘ(㎏)となる。

よって，求める式はｙ＝３

100ｘである。

３

白色の花の本数について，８ｘ＋６ｙ＝200…①が成り立つ。また，売り上げの合計について，

800ｘ＋400ｙ＝16000…②が成り立つ。①より，４ｘ＋３ｙ＝100…③ ②より，２ｘ＋ｙ＝40…④

③－④×２でｘを消去すると，３ｙ－２ｙ＝100－80 ｙ＝20

④にｙ＝20 を代入すると，２ｘ＋20＝40 ２ｘ＝20 ｘ＝10

よって，花束Ａに使われた赤色の花の本数は 10×10＝100(本)，花束Ｂに使われた赤色の花の本数は２×20＝40(本)である。花束をつくった後に赤色の花は80本残っていたので，花束をつくる前の赤色の花の本数は，100＋40＋80＝220(本)である。

白色の花の本数と，売り上げの合計について，連立方程式を立てる。花束Ａに使われた白色の花の本数は８ｘ本，花束Ｂに使われた白色の花の本数は６ｙ本であり，花束Ａの売り上げは 800ｘ円，花束Ｂの売り上げは400ｙ円である。

攻略へのアプローチ

この問題では，単位がｇと㎏で異なるので，ｙの単位である㎏に合わせて考える。

かけると－30，足すと－１となる２数を探す。かけると－30 になる２つの整数の組み合わせは限られるので，そちらを先に探すのがポイントである。

(2)

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４

⑴ 大小２つのさいころを同時に投げるとき，目の出方は全部で６×６＝

36(通り)ある。そのうち，出る目の和が４となるのは，資料１の●印の３通りだから，求める確率は，３

36＝１ 12

⑵ 出る目の和が３の倍数となるのは，資料１の〇印の12通りだから，

求める確率は，12 36＝１

３

⑶

ａｂは最大で６×６＝36 であり，36 以下の平方数は，１²＝１，２²＝４，

３²＝９，４²＝16，５²＝25，６²＝36である。ａｂがこれらの値になる出方は，資料２の☆印の８通りある。よって，求める確率は，８

36＝２９５ ⑴

関数ｙ＝１

４ｘ²において，ｘ＝－４のときｙ＝１

４×(－４)²＝４，ｘ＝－２のときｙ＝１

４×(－２)²＝１となる。よって，(ｘの増加量)＝－２－(－４)＝２，(ｙの増加量)＝１－４＝－３だから，求める変化の割合は，－３

２＝－３２

関数ｙ＝１

４ｘ²は，比例定数が１

４だから，求める変化の割合は，１

４×{－４＋(－２)}＝－３２

⑵

関数ｙ＝１

４ｘ²において，ｘ＝２のときｙ＝１

４×２²＝１，ｘ＝４のときｙ＝１

４×４²＝４となる。

よって，直線ＣＤの式をｙ＝ａｘ＋ｂとすると，Ｃ(２，１)より，１＝２ａ＋ｂ…㋐，Ｄ(４，４)より，

４＝４ａ＋ｂ…㋑である。この２式を連立方程式として解く。㋑－㋐でｂを消去すると，

４－１＝４ａ－２ａ３＝２ａａ＝３２

㋐にａ＝３

２を代入すると，１＝２×３

２＋ｂ１＝３＋ｂｂ＝－２直線ＣＤの式はｙ＝３

２ｘ－２であり，切片の座標は(０，－２)なので，求める座標は(０，－２)である。

すべての場合を表にまとめ，条件に合うさいころの目の出方が何通りあるか数える。

資料１

小１２３４５６

大

１〇 ● 〇２〇 ● 〇３ ● 〇〇４〇〇５〇〇６〇〇

(変化の割合)＝(ｙの増加量)

(ｘの増加量)である。

□

^１

直線ＣＤとｙ軸との交点は，直線ＣＤの切片なので，直線ＣＤの式を求める。

直線の式はｙ＝ａｘ＋ｂと表せる(ａ，ｂは定数であり，どのような文字で表してもよい)。

２点Ｃ，Ｄの座標をそれぞれｙ＝ａｘ＋ｂに代入することでａとｂについての連立方程式ができるので，それを解けばよい。切片はｂの値である。

□

１

関数ｙ＝ｐｘ²において，ｘの値がｍからｎまで増加したときの変化の割合は，

(変化の割合)＝(ｙの増加量)

(ｘの増加量)＝ｐｎ²－ｐｍ²

ｎ－ｍ＝ｐ(ｎ²－ｍ²)

ｎ－ｍ＝ｐ(ｎ＋ｍ)(ｎ－ｍ)

ｎ－ｍ＝ｐ(ｍ＋ｎ) と表せることを利用する。

□

^２

ａｂが自然数となるのは，ａｂが平方数(自然数を２乗してできる数)のときである。

資料２

小１２３４５６

大

１ ☆ ☆ ２ ☆ ３ ☆ ４ ☆ ☆

５ ☆

６ ☆

(3)

高校入試模擬テスト第３回 3 / 6

⑴より，直線ＡＢの変化の割合は－３

２なので，直線ＡＢの傾きは－３

２である。よって，直線ＣＤの傾きは，３

２とわかる。したがって，直線ＣＤ上ではｘが２増えるとｙは３増えるので，Ｃ(２，１)から，ｘが２減って０になると，ｙは３減って１－３＝－２になるので，直線ＣＤの切片は(０，－２) である。以上より，直線ＣＤとｙ軸との交点は(０，－２)である。

直線ＣＤの切片は，－１

４×２×４＝－２なので，直線ＣＤとｙ軸との交点は(０，－２)である。

⑶

Ａ(－４，４)，Ｂ(－２，１)，Ｅ(０，４)，Ｆ(０，１)である。

直線ＡＢと直線ＣＤはｙ軸について対称であり，２直線はｙ軸上で交わるので，Ｇ(０，－２)である。ＡＥ＝(ＡとＥのｘ座標の差)＝４，

ＧＥ＝(ＧとＥのｙ座標の差)＝４－(－２)＝６，ＢＦ＝２，ＧＦ＝

(ＧとＦのｙ座標の差)＝１－(－２)＝３である。よって，四角形ＡＢＦＥをｙ軸を軸として１回転させてできる立体の体積は，

１

３×４²π×６－１

３×２²π×３＝32π－４π＝28πである。

ＡＥ＝４，ＢＦ＝２より，底面の半径がＡＥで高さがＥＧの円すいと，底面の半径がＢＦで高さがＦＧの円すいの相似比は４：２＝２：１だから，体積比は２³：１³＝８：１となる。よって，四角形ＡＢＦＥを，ｙ軸を軸として１回転させてできる立体の体積は，底面の半径がＡＥで高さがＥＧの円すいの体積の８－１

８＝７

８(倍)だから，１

３×４²π×６×７

８＝28πである。

６ ⑴

台形ＡＢＣＤの面積は，１

２×(２＋６)×４＝16(㎠)である。

直線ＡＢとｙ軸との交点をＧとすると，できる立体は，資料３のような底面の半径がＡＥ，

高さがＧＥの円すいから，底面の半径がＢＦ，高さがＧＦの円すいを切り取った立体となる。

□

^１

資料３

Ａ

ＢＥ

Ｆ

Ｇ

Ｏｘ

ｙ

Ｄ

Ｃ

直線ＡＢと直線ＣＤはｙ軸に対して線対称なので，直線ＣＤの傾きは，直線ＡＢの傾きの符号を逆にすることで求められる。次に，傾きの性質から切片の座標を求める。また，２点間の変化の割合とその２点を通る直線の傾きは等しいことを利用する。

□

^２

関数ｙ＝ｐｘ²において，ｘ座標がｍとｎの２点を通る直線の切片は，－ｐｍｎと表せることを利用する。

□

^３

台形の面積は，１

２×{(上底)＋(下底)}×(高さ)で求められる。

直線ＡＢとｙ軸との交点をＧとすると，ＡＥ//ＢＦより，底面の半径がＡＥで高さがＥＧの円すいと，底面の半径がＢＦで高さがＦＧの円すいは相似なので，体積比は相似比の３乗に等しいことを利用する。

□

^２

(4)

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⑵

ＥＦ//ＢＣより，△ＡＥＧ∽△ＡＢＣであり，相似比はＡＥ：ＡＢ＝１：４である。よって，ＥＧ＝１

４ＢＣ＝３

２(㎝)である。

また，△ＣＡＤ∽△ＣＧＦであり，相似比は，ＡＣ：ＧＣ＝ＡＢ：ＥＢ＝４：(４－１)＝４：３よって，ＧＦ＝３

４ＡＤ＝３

２(㎝)である。したがって，ＥＦ＝３２＋３

２＝３(㎝)

ＨＦ＝ＩＣ＝ＡＤ＝２㎝である。ＥＦ//ＢＣより，

△ＡＥＨ∽△ＡＢＩ，相似比は，ＡＥ：ＡＢ＝１：４であり，ＢＩ＝ＢＣ－ＩＣ＝６－２＝４(㎝) なので，ＥＨ＝１

４ＢＩ＝１(㎝)である。したがって，ＥＦ＝１＋２＝３(㎝)

⑶

ＨＦ＝ＩＣ＝ＡＤ＝２㎝だから，ＥＨ＝４－２＝２(㎝)，ＢＩ＝６－２＝４(㎝)である。

△ＡＥＨと△ＡＢＩの相似比はＥＨ：ＢＩ＝２：４＝１：２なので，ＡＥ＝１

２ＡＢ＝２(㎝) よって，ＥＢ＝４－２＝２(㎝)なので，台形ＡＥＦＤの面積は，１

２×(２＋４)×２＝６(㎠)，台形ＥＢＣＦの面積は，１

２×(４＋６)×２＝10(㎠)である。したがって，台形ＡＥＦＤと台形ＥＢＣＦの面積比は，６：10＝３：５

△ＰＡＤと△ＰＥＦと△ＰＢＣの相似比は，ＡＤ：ＥＦ：ＢＣ＝２：４：６＝１：２：３なので，

面積比は，１²：２²：３²である。よって，台形ＡＥＦＤと台形ＥＢＣＦの面積比は，

(２²－１²)：(３²－２²)＝３：５

資料５

Ａ

ＢＣ

ＤＥＨＦ

Ｉ

点Ａを通り線分ＤＣと平行な直線を引き，ＥＦ，ＢＣとの交点をそれぞれＨ，Ｉとする(資料５参照)。四角形ＡＩＣＤと四角形ＡＨＦＤが平行四辺形であることを利用して，

ＥＦ＝ＥＨ＋ＨＦで求める。

□

^２

⑵の「攻略へのアプローチ

□

^２」と同じように線分ＡＩを引き，△ＡＥＨ∽△ＡＢＩからＡＥ，

ＥＢの長さをそれぞれ求める。次に，台形ＡＥＦＤと台形ＥＢＣＦの面積をそれぞれ求める。

□

^１

資料４

Ａ

ＢＣ

Ｄ

ＥＦ

Ｇ

線分ＡＢ，ＤＣをそれぞれ点Ａ，Ｄの向きに延長し，交点をＰとする(資料６参照)。

(台形ＡＥＦＤの面積)＝△ＰＥＦ－△ＰＡＤ，

(台形ＥＢＣＦの面積)＝△ＰＢＣ－△ＰＥＦを利用して面積比を求める。また，△ＰＡＤ∽△ＰＥＦ∽△ＰＢＣであり，面積比は相似比の２乗に等しいことを利用する。

□

^２ ^資料６

ＡＤ

ＥＦ

ＢＣ

Ｐ

線分ＡＣを引き，ＥＦとの交点をＧとする(資料４参照)。

相似比からＥＧ，ＧＦを求め，ＥＦ＝ＥＧ＋ＧＦで求める。

□

１

(5)

高校入試模擬テスト第３回 5 / 6 ７ ⑴

⑵①

ＡＣ＝２ＯＡ＝12(㎝)なので，三平方の定理より，ＡＢ＝ＡＣ²－ＢＣ²＝ 12²－３²＝３ 15(㎝)

②

ＡＢ：ＢＦ＝ＡＣ：ＣＥ＝12：２＝６：１なので，ＢＦ＝１

６ＡＢ＝１

６×３ 15＝ 15 ２ (㎝)

③

△ＡＥＦ∽△ＡＣＢより，ＥＦ：ＣＢ＝ＡＥ：ＡＣＥＦ：３＝10：12 よって，ＥＦ＝10×３

12 ＝５

２(㎝)なので，△ＥＢＦ＝１

２×ＢＦ×ＥＦ＝１２× 15

２ ×５

２＝５ 15 ８ (㎠)

△ＥＢＦについて三平方の定理より，ＥＢ＝ＥＦ²＋ＢＦ²＝ (５

２)²＋( 15

２ )²＝ 10(㎝)

△ＡＣＤと△ＥＢＦの面積比は，ＡＣ²：ＥＢ²＝12²：( 10)²＝144：10＝72：５したがって，△ＡＣＤの面積は，72

５△ＥＢＦ＝72

５×５ 15

８＝９ 15(㎠)

高さの等しい三角形の面積比は，底辺の長さの比に等しいことを利用して，△ＥＢＦの面積から，△ＡＢＥ，△ＡＥＤ，△ＡＣＤの順に面積を求める。また，ＢＣに平行でＯを通る直線とＢＤとの交点をＰとする(資料８参照)と，△ＢＣＥ∽△ＰＯＥであり，

相似比はＣＥ：ＯＥ＝２：４＝１：２なのでＰＯ＝２ＢＣ＝６(㎝) となる。ＯＤも６㎝であることから，ＰとＤは同じ点だとわかる。

よって，△ＢＣＥ∽△ＤＯＥであり，ＢＥ：ＤＥ＝１：２である。

□

^２

面積比は相似比の２乗に等しいから，△ＥＢＦの面積と△ＡＣＤと△ＥＢＦの面積比から

△ＡＣＤの面積を求める。△ＡＣＤについて長さがわかる辺がＡＣだけなので，三平方の定理を用いてＥＢを求め，ＡＣ²：ＥＢ²で△ＡＣＤと△ＥＢＦの面積比を求める。

□

１

図形の証明問題を解くときは，正確な図をかくことが重要である。

問題に図があるときは，資料７のように，与えられた条件(仮定)と自分がすでに示した内容を表す記号をかき入れながら，考えるとよい。

また，三角形の相似を証明する問題は，２組の角がそれぞれ等しいことを示すものがほとんどである。この問題の場合，同じ弧に対する円周角は等しいこと，平行線の錯角は等しいことを利用する。証明の書き方には一定の型があるので，よく練習して慣れておこう。

資料７

ＡＯＢ

ＣＤ

Ｅ

Ｆ

ＥＦ//ＣＢなので，平行線と線分の比より，ＡＢ：ＢＦ＝ＡＣ：ＣＥである。

直径に対する円周角は 90°なので，△ＡＢＣについて，三平方の定理からＡＢを求める。

Ｄ(Ｐ)

ＥＣ

資料８

Ｏ

Ｂ

ＡＦ

(6)

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□

１より，△ＥＢＦ＝５ 15 ８ (㎠)

△ＥＢＦ：△ＡＢＥ＝ＢＦ：ＡＢ＝ 15

２：３ 15＝１：６なので，△ＡＢＥ＝６△ＥＢＦ＝15 15 ４ (㎠)

△ＡＢＥ：△ＡＥＤ＝ＢＥ：ＤＥ＝１：２なので，△ＡＥＤ＝２△ＡＢＥ＝15 15 ２ (㎠)

△ＡＥＤ：△ＡＣＤ＝ＡＥ：ＡＣ＝10：12＝５：６なので，△ＡＣＤ＝６

５△ＡＥＤ＝９ 15(㎠)

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