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(1)

１ ⑴ 与式＝８－25×２

５＝８－10＝－２１ ⑵ 与式＝３ｘ－５－２(ｘ－７)

４＝３ｘ－５－２ｘ＋14

４＝ｘ＋９４１ ⑶ 与式＝－18ｘｙ²×６ｘ⁴ｙ

27ｘ³ ＝－４ｘ²ｙ³

１ ⑷ 与式＝(ｘ²＋２ｘ－15)－(ｘ²－４ｘ＋４)＝ｘ²＋２ｘ－15－ｘ²＋４ｘ－４＝６ｘ－19 １ ⑸ 与式＝２²×６＋ 30× ６

６× ６－６＝２６＋30 ６

６－６＝２６＋５６－６＝６６２ ⑴

与式より，２(ｘ＋７)＝５(ｘ－２) ２ｘ＋14＝５ｘ－10 ２ｘ－５ｘ＝－10－14

－３ｘ＝－24 ｘ＝８１ ⑵

２＝２²＝４，３＝３²＝９より，４＜ｎ＜９だから，４＜ｎ＜９とわかる。

よって，あてはまる自然数ｎは，５，６，７，８である。

１ ⑶

２枚の硬貨の表裏の出方は，資料１のように４通りあり，

１枚は表で１枚は裏となる出方は☆印の２通りである。

よって，求める確率は，２４＝１

２１ ⑷

１ ⑷ 関数ｙ＝１

２ｘ²のグラフは上に開いた放物線であり，ｘの変域が－４≦ｘ≦２だからｙの最小値は０，

１ ⑷ｙの最大値は１

２×(－４)²＝８となる。

よって，求めるｙの変域は，０≦ｙ≦８である。

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ａ：ｂ＝ｃ：ｄならばａｄ＝ｂｃであることを利用する。

攻略へのアプローチ

すべての数を ○の形にして，根号の中の数の大小関係で考える。

関数ｙ＝ａｘ²のグラフにおいて，ｙの変域を求める問題では，次の手順で考える。

①グラフは上に開いた放物線(ａ＞０)か，下に開いた放物線(ａ＜０)かを確認する。

②ｘの変域がｘ＝０を含む場合，ａ＞０ならばｙの最小値は０，ａ＜０ならばｙの最大値は０である。

③ａ＞０の場合，ｘの絶対値が大きいほどｙの値は大きくなり，ａ＜０の場合，ｘの絶対値が大きいほどｙの値は小さくなることからｙの変域を考える。

すべての場合の数がそれほど多くないので，２枚の硬貨の表裏の出方をすべて樹形図にまとめる(資料１参照)。

100 円 500 円資料１

表表裏☆

裏表☆

裏

(2)

３ ⑴

資料２のように，直径ＡＢと線分ＣＤとの交点をＥとする。

半円の弧に対する円周角の大きさは 90°だから，

∠ＡＣＢ＝90°より，∠ＢＣＤ＝90－44＝46(°)

△ＢＣＥの内角の和より，∠ＣＢＥ＝180－80－46＝54(°) 同じ弧に対する円周角は等しいから，∠ｘ＝∠ＣＢＡ＝54°

１ ⑵

１ ⑵ 資料３の円の直径は正方形の１辺の長さと等しく４㎝だから，円の半径，つまり球の半径は１ ⑵４×１

２＝２(㎝)とわかる。よって，求める体積は，４

３π×２³＝32

３π(㎤) ４ ⑴

スタート地点からＡ地点までの道のりは 150×８(ｍ)，

スタート地点からゴール地点までの道のりは３㎞＝3000ｍより，

コースの全長について，150×８＋ｘ＋ｙ＝3000 が成り立つ(資料４参照)。

この式を整理すると，ｘ＋ｙ＝1800…①

また，教子さんがそれぞれの区間を進むのにかかった時間は，スタート地点からＡ地点までが８分，

Ａ地点からＢ地点までがｘ

120分，Ｂ地点からゴール地点までがｙ

180分だから，教子さんがスタートしてからゴールするまでにかかった時間について，８＋ｘ

120＋ｙ

180＝22 が成り立つ(資料４参照)。

資料３

球の半径４㎝

４㎝

ＤＣ

Ｂ

ＡＯＥ

80°

ｘｘ 44°

資料２

資料４

分速 150ｍで８分分速 120ｍ分速 180ｍ

ｘｍｙｍ

Ａ地点Ｂ地点ゴール地点

スタート地点

資料３は，この立体を球の中心を通るように底面に垂直な面で切ったときの断面図である。

立方体に球がぴったり入っていることから，資料３のように考えることで球の半径がわかる。球の半径をｒとすると，球の体積は４

３πｒ³で求められる。

ｘとｙの２つの値を求める問題であることから，連立方程

式を利用して解く問題であることが予想できる。この問題では，コースの全長と，スタートしてからゴールするまでにかかった時間がわかっているので，この２つのことについての方程式をつくって，連立方程式として解く。

円があって角度を求める問題では，

①半円の弧に対する円周角は 90°である

②同じ弧に対する円周角は等しい(円周角の定理)

③同じ弧に対する中心角と円周角の比は２：１である(円周角の定理)

以上の３つからわかる角度を，まず図にかきこむ。

3000ｍ

(3)

この式を整理すると，３ｘ＋２ｙ＝5040…②

①×２－②でｙを消去すると，２ｘ－３ｘ＝3600－5040 －ｘ＝－1440 ｘ＝1440

①にｘ＝1440 を代入すると，1440＋ｙ＝1800 ｙ＝360 １ ⑵

スタート地点からＢ地点までの道のりは 150×８＋1440＝

2640(ｍ)だから，その道のりを進むのにかかった時間は2640

ａ分と表せる。また，Ｂ地点からゴール地点までの道のりは 360ｍだから，その道のりを進むのにかかった時間は360

180＝２(分)である。

したがって，スタートしてからゴールするまでにかかった時間について，2640

ａ＋２＝22 が成り立つ (資料５参照)。これより，2640

ａ＝20 ａ＝2640 20 ＝132 よって，求める速さは分速 132ｍである。

５ ⑴

∠ＡＰＤ＝∠ＣＰＢ(対頂角)，∠ＰＡＤ＝∠ＰＣＢ(平行線の錯角)より，△ＡＰＤ∽△ＣＰＢであり，相似比はＡＤ：ＣＢ＝５：10＝１：２である。したがって，ＡＰ：ＣＰ＝１：２となる(資料６参照)。ＡＰ：ＡＣ＝１：(１＋２)＝１：３だから，ＱＰ：ＢＣ＝ＡＰ：ＡＣ＝１：３となるため，

ＱＰ＝１

３ＢＣ＝10 ３(㎝)

また，ＰＣ：ＡＣ＝２：(１＋２)＝２：３だから，ＰＲ：ＡＤ＝ＰＣ：ＡＣ＝２：３となるため，

ＰＲ＝２

３ＡＤ＝10 ３(㎝)

よって，ＱＲ＝ＱＰ＋ＰＲ＝10 ３＋10

３＝20 ３(㎝) １ ⑵

ＱＲ

ＰＤ

ＣＢ

Ａ

８㎝

５㎝

10㎝ｈ

資料６

資料７速さを求める問題だから，求める速さを分速ａｍとして，

スタートからゴールするまでにかかった時間についての方程式をつくって求める。

資料５

△ＡＢＣついて，ＱＰ//ＢＣだから平行線と線分の比の定理からＱＰ：ＢＣ＝ＡＰ：ＡＣであることを利用する。

△ＡＣＤについても同様にＰＲ：ＡＤ＝ＰＣ：ＡＣであることを利用する。まず，ＡＰ：ＣＰを調べる。

以上の考えではＡＰ：ＣＰに注目しているが，ＤＰ：ＢＰに注目してもよい。

ＱＲ

ＰＤ

ＢＣＡ

８㎝

５㎝

10㎝

①

②

ＡＤとＢＣの長さがわかっているので，高さがわかれば面積を求められ，その高さ(ｈ㎝とする)は，△ＢＣＤの底辺をＢＣとしたときの高さと等しい。ＢＣの長さがわかっているから，△ＢＣＤの面積がわかればｈを求められる(資料７参照)。

分速ａｍ

ゴール地点

スタート地点Ａ地点Ｂ地点

2640ｍ 360ｍ

分速 180ｍ

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(4)

直角三角形ＢＣＤにおいて，三平方の定理よりＢＤ＝ＢＣ²－ＤＣ²＝ 10²－８²＝ 36＝６(㎝)

△ＢＣＤ＝１

２×ＢＤ×ＤＣ＝１

２×６×８＝24(㎠) したがって，△ＢＣＤの面積について，１

２×10×ｈ＝24 が成り立つ。これを解くとｈ＝24

５となる。

よって，台形ＡＢＣＤの面積は，１

２×(５＋10)×24

５＝36(㎠) ６ ⑴

０＝３

４×(－８)＋ｂｂ＝６より，直線ℓの式は，ｙ＝３

４ｘ＋６となる。

よって，求める切片は６である。

直線ℓ上では，ｘが８増えるとｙは３

４×８＝６増える。点Ｃのｙ座標は０だから，求める切片は，

０＋６＝６１ ⑵①

直線ℓの式を⑴と同様にｙ＝３

４ｘ＋ｂとし，直線ℓはＰ(－８，ｔ)を通るからｘ＝－８，ｙ＝ｔを代入すると，

ｔ＝３

４×(－８)＋ｂより，ｂ＝ｔ＋６となる(⑴の「このように考えよう

□

^２」のように考えると，直線ℓの切片はｔ＋６とすぐにわかる)。

ｔ≧０だから，ｔ＋６＞０となるため，ＯＱ＝ｔ＋６である。

よって，△ＯＱＰ＝１

２×(ｔ＋６)×８＝４ｔ＋24 １ ⑴②

傾きがａである直線の式はｙ＝ａｘ＋ｂと表せる。その直線が点(ｃ，ｄ)を通るとき，

ｙ＝ａｘ＋ｂにｘ＝ｃ，ｙ＝ｄを代入してｂの値(切片)を求めることができる。

直線ℓの式は，傾きが３

４だからｙ＝３

４ｘ＋ｂと表せる。点Ｃを通るので，ｘ＝－８，ｙ＝０を代入する。

□

^１

△ＯＱＰの底辺をＯＱとしたときの高さは，点Ｐのｘ座標の絶対値である８だから，ＯＱの長さを調べるために，点Ｑのｙ座標について考える(資料８参照)。

資料８

資料９

ＣＰ

ＢＱ

12

Ｏｘｙ

Ａ

－８

ℓ

傾きが３

４だから，ｘが１増えるとｙは３

４増える。点Ｃのｘ座標が－８だから，点Ｃからｘ座標を８増やしたときのｙの値を求める。

□

^２

ＯｘＣ

ＢＡ

ＱＰ

ｙ

－８

12 ℓ

点Ｑが辺ＡＢ上にあるとき，点Ｑのｙ座標は常に 12 だから，直線ℓの式にｙ＝12 を代入したときのｘの値が点Ｑのｘ座標である(資料９参照)。また，求めた式が題意を満たすかどうか，つまり点Ｑのｘ座標が０以下になるかどうかを確認するために，先にｔの範囲を調べる。

(5)

１ ⑴② 点Ｑが点Ａと重なるとき，ｔ＋６＝12 より，ｔ＝６となり，２点Ｐ，Ｑが点Ｂと重なるとき，

ｔ＝12となるから，点Ｑが辺ＡＢ上にあるとき，６≦ｔ≦12である。

①より，直線ℓの式はｙ＝３

４ｘ＋ｔ＋６と表せる。

１ ⑴②この式にｙ＝12 を代入すると，12＝３

４ｘ＋ｔ＋６３

４ｘ＝－ｔ＋６ｘ＝－４

３ｔ＋８よって，点Ｑのｘ座標は－４

３ｔ＋８であり，６≦ｔ≦12 のとき，－４

３ｔ＋８は０以下となるから，

題意にあう。

７ ⑴

40 人の記録を回数の多い順に並べたとき，40÷２＝20(番目)と 21 番目に並ぶ値は68と 66だから，

求める中央値は，68＋66

２＝67(回)である。

１ ⑵

平均値と中央値の違いについて理解しているかどうかを問う問題であり，よく出題される。この問題のように記述式の場合もあるので，説明できるようにしておきたい。

中央値は，資料を大きさの順に並べたとき中央にくる値で，資料の総数が偶数のときは，中央に並ぶ２つの値の平均値を中央値とする。

上位に入るかどうかは平均値からはわからず，中央値と比べなければならない。したがって，

教子さんの記録を中央値と比べるという内容を中心に答えを書く。

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