グラム行列と直交射影

グラム行列と直交射影

戸瀬 信之

年 月 日 駒場 年 月 日 

Slim ^L04 Part 3.

tener

G^-Sの

直 弘

ぶ

問題設定

~,~,~ 2 として~ ,~を仮定します．~,~が張る部分空間

:={ ~+ ~ 2 ; , 2 } に対して~の への直交射影~ を求めます．

ter t

2こと〒

しか が

直交射影

直交射影~ は条件

~ 2 と

~ ~ ?

すなわち （~ ~ ,~) = (~ 2 ) で特徴付けられます． ^.

i

直交射影

= (~ ~) として

~ = ~+ ~ = (~ ~) ( ) = ( )

~ = ~+ ~ = (~ ~) ( ) = ( ) と表すと は

(~ ( ), ( )) = となります．内積の右側の を左側に移すと

( ~ ( ),( )) =

となりますが，これが任意の( )2 に対して成立するので ( ) = ~

が従います．

EE が ₍E

, E ) ^{= o} (^日で EN)

1

いく 思想

。

馬

nerves (¹)

①

S TE

○

)

cnn.nu

も D 2に 刈 ^{w a}

「DD ^"で

もDD^が正則 ^ならば ₍

T

が

グラム行列

は 次正方行列で成分は

= ^~_~ (~ ~) =⇣

~~ ~~

~~ ~~

⌘=⇣

k~k (~,~) (~,~)k~k

⌘

となります．後に

は正則,~ ,~ であることを示します．

D⁼ 心 が₎

もD =

( が

nnn

0

で

tit

EY 後

解答

~ ,~ を仮定していますから は正則です．従って は

( ) = ( ) ~ さらに ~ = ( ) ~

となります．

t DD

( た )

DS

in

n e

19

話

)

グラム行列の正則性

まず

は正則,⇣

( ) =~ )( ) =~⌘

~ ,~ ,⇣

( ) =~ )( ) =~⌘ に注意します．

◆ ⇣

⇣ ( ) =~ )( ) =~⌘ )⇣

( ) =~ )( ) =~⌘

✓ ⌘

( ) =~ ならば ( ) =~ となりますから，( ) =~ となり ます．

とDD 正日) ^{を EH}

も

さ ^X 2

~ Bears)

⇐ ⁼1⁸3

I

心+ yt =」 の ^く En^(D)

-ハ ⁼

いる 大前提

に

は

renren.si ^mere nine

\\ 4^」

もD8

グラム行列の正則性

◆ ⇣

⇣ ( ) =~ )( ) =~⌘ (⇣

( ) =~ )( ) =~⌘

✓ ⌘

( ) =~ とします．このとき

k ( )k = ( ( ), ( )) = ( ( ),( )) = ⇣

~,( )⌘

= から ( ) =~従って( ) =~ となります．

が 楽器

に

礐

で

A

実行 るい

AA

い X

いい こと 正方 行

り

the LA )

1 で

が ; AE

Et

を un し

)

( EE が j

AA ら が

JAE

E

E

= t

AS

で

hu

で the EAA

.at/tAE=?e~SllAEIR=CAT@ で )

is

AE

が

に

で

E )

=

心

、

いが )

ke

{

)

ke EAA)

{ で J

D

心 E

行

より

DD

( 嶇 心 に 」 でも において

)

✓ ( DD )

ババ

いも バー で も )

3

くま

い _の下

等式

.e e # で DD 正日

り

心 11211 で は

DE

「

DD

り ⇐

た が 11 も バニ

で も ) で

で ない

で

不等式

が 心

の 。 別

証明

考える

具体例

~ =⇣ ⌘

, ~ =⇣ ⌘

, ~ =⇣ ⌘

とすると

= ( ), ~ = ( ) となりますから

( ) = ( ) ( ) = ( ) = ( )

従って

~ = ⇣ ⌘

+ ⇣ ⌘

= ⇣ ⌘

tb ^た

に 長 )

( 孌 品 )

"

(

」

い、^が いで に

)

」

に、 𧪄 )

しも なぶ ) で 塙

も L

北

に ) な じ )

( G )

y

を こ

者 たち

y

で

存在 の

解

存在

( も ) 4 いる が )