行列２
～回転群と指数行列～
直交行列と直交群（回転群）
•
転置行列＝逆行列（
𝒕𝑨 = 𝑨−𝟏または
𝒕𝑨𝑨 = 𝑬）を満たす正方行列
𝐴を直交行列という（成分は通常実数）
• 𝑡𝐴𝐴 = 𝐸
（単位行列）の両辺の行列式をとると、
det 𝑡𝐴 ∙ det 𝐴 = 1。 また、
det 𝑡𝐴 = det 𝐴より、
det 𝐴 2 = 1。よって、
𝐝𝐞𝐭 𝑨 = ±𝟏。
• 𝐴, 𝐵
を直交行列とすると、
𝑡 𝐴𝐵 = 𝑡𝐵 𝑡𝐴 = 𝐵−1𝐴−1 = 𝐴𝐵 −1より、
𝐴𝐵
も直交行列となる。
• 𝑛 × 𝑛
直交行列は群をなす。これを
𝒏次直交群(Orthogonal group) といい、
𝑶(𝒏)と表す。
• 𝑂(𝑛)
のうち特に行列式が１となる行列の集合は再び群をなす（部 分群）。これを特殊
𝒏次直交群（Special Orthogonal group)また は
𝒏次元回転群といい、
𝑺𝑶(𝒏)と表す。
集合Gが群となるための条件
(0) Gの任意の２つの元a,b ∈ Gに対し 積ab ∈ Gが定義される。
(1) 単位元が存在する。
(2) Gの任意の元に対し逆元が存在する。
(3) 結合則が成り立つ。
問）以下の中から直交行列を選んで 記号で答えなさい。
𝑎 1 0
0 1 𝑏 1 0
−1 1 c 1 2
1 −1
1 1
２ × ２直交行列の一般形
正則な2 × 2実行列を 𝐴 = 𝑎 𝑏
𝑐 𝑑 (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑹) とおく。
𝐴 𝑡𝐴 = 𝐸 より、𝑎2+ 𝑏2 = 1 ⋯ 1 , 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 = 0 ⋯ (2) det 𝐴 = ±1 より、𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = ±1 ⋯ (3)
2 , 3 より、 𝑑 = ±𝑎, 𝑐 = ∓𝑏 これより、
𝐴 = 𝑎 𝑏
−𝑏 𝑎 または 𝑎 𝑏
𝑏 −𝑎 ただし、𝑎2 + 𝑏2 = 1
これが 𝑂(2) 行列の一般形である。このうち 𝑆𝑂 2 は行列式が１なの で、
𝐴 = 𝑎 𝑏
−𝑏 𝑎 ただし、𝑎2+ 𝑏2 = 1 と表される。
)' 1 ( 1
) 2 ( 0
) 1 ( 1
1 0
0 1
2 2
2 2
2 2 2 2
d
c bd ac
b a
d c bd ac
bd ac b a d b
c a d c
b a E A At
ると、
それぞれの成分を比べ 右辺
左辺
において、
が得られる。
に代入すると、
これを
または、
より、
因数分解すると、
を掛けると、
両辺に
に代入すると、
より、
b c
a d d
a d
c
d d c a
d ac ad d
d ad ac d b ac
)' 2 (
) 1 (
)' 1 (
) (
1 )
3 (
)' 2 ( )
2 (
2 2
2 2
2 2
2
SO(2)による変換
• 𝑆𝑂(2)
の一般形
𝑎 𝑏−𝑏 𝑎 (𝑎2+𝑏2 = 1)
において、
𝑎 = cos 𝜃, 𝑏 = −sin 𝜃（
𝜃は実数）とおくと、
𝐜𝐨𝐬 𝜽 −𝐬𝐢𝐧 𝜽𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝜽
これを
𝑇(𝜃)とする。
• 𝑇(𝜃)
による点（ベクトル）
𝑣の変換を、
𝑣 → 𝑣′ = 𝑇 𝜃 𝑣と表す。
•
単位円上の点を
𝑣 = cos𝛼sin𝛼
とすると、
𝑣′ = 𝑇 𝜃 𝑣 = cos 𝜃 −sin 𝜃sin 𝜃 cos 𝜃
cos𝛼
sin𝛼 = cos 𝜃 cos 𝛼 − sin 𝜃 sin 𝛼
sin 𝜃 cos 𝛼 + cos 𝜃 sin 𝛼 = cos(𝛼 + 𝜃) sin(𝛼 + 𝜃)
（三角関数の加法定理）。これは、
𝑣を角度θ回転して、別の単位上の点
𝑣′にうつす変換を表す。
• 𝑇 −𝜃
は逆回転（角度
(−𝜃)回転）を表す。
α
θ cos𝛼
sin𝛼 x
y
cos(𝜃 + 𝛼) sin(𝜃 + 𝛼)
cos𝜃 −sin𝜃 sin𝜃 cos𝜃
O
問）
𝜃が以下の値のとき、行列
𝑇(𝜃)の 具体形を求めなさい。
𝑎 0 𝑏 𝜋
6 c 𝜋
2 𝑑 𝜋
変換の不変量
•
2つのベクトル
𝑣1 = 𝑥1𝑦1 , 𝑣2 = 𝑥2
𝑦2
の内積を
𝑣1, 𝑣2 ≡𝑡𝑣1𝑣2 = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2
で定義する。
• 𝑇 ∈ 𝑆𝑂(2)
とすると、
𝑣1′, 𝑣2′ = 𝑡𝑣1′𝑣2′ = 𝑡(𝑇𝑣1) 𝑇𝑣2 =𝑡𝑣1 𝑡𝑇𝑇𝑣2 = 𝑡𝑣1𝑇−1𝑇𝑣2 = 𝑡𝑣1𝑣2 = 𝑣1, 𝑣2
より、内積は変 換の前後で不変である。これをスカラーという。
• 𝑣, 𝑣
をベクトル
𝑣の ノルム（長さ）という。
•
同様に、双一次形式
𝑡𝑣1𝜖𝑣2 = 𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1もスカラーとなる。
ただし、
𝜖 = 0 1−1 0
問）
𝑣1 = 11 , 𝑣2 = −1
2
とする。以下のSO(2)変換に対し、内 積
𝑣1, 𝑣2が不変であることを確かめなさい。
(1) cos𝜋
2 −sin𝜋
2
sin𝜋
2 cos𝜋
2
(2) cos𝜋
6 −sin𝜋
6
sin𝜋
6 cos𝜋
6
SO(2)の可換性
•
単位円上の点（ベクトル）を角度αだけ回転させ、さらに角 度βだけ回転させる変換は、
𝑇 𝛽 𝑇(𝛼)と表される。
•
ここで、
𝑇 𝛽 𝑇 𝛼 = 𝑇 𝛼 + 𝛽 = 𝑇 𝛼 𝑇(𝛽)より、この変換は、
先に角度βだけ回転させ、次に角度αだけ回転させる変換と 同じ結果である（可換である）。
) ( ) (
) cos(
) sin(
) sin(
) cos(
) cos(
) sin(
) sin(
) cos(
cos cos
sin sin
sin cos
cos sin
cos sin
sin cos
sin sin
cos cos
cos sin
sin cos
cos sin
sin ) cos
( ) (
T T
T T
点の回転と座標軸の回転
• 𝑆𝑂(2)
の変換
𝑇(𝜃)によって、
𝑥𝑦座標平面上の点（ベクトル）
10
は、
cos 𝜃
sin 𝜃
にうつされる。
•
このとき、点は動かず、座標軸のほうが回転したと考えてみよう。すると、
新しい座標軸
𝑥′𝑦′は
𝑥𝑦に対して角度－θだけ回転したとみなされる。
点は不動
座標軸が－θ回転
θ－
θ xy
点がθ回転 座標軸は不動
x
y y’
x’
1 0 cos 𝜃
sin 𝜃
O O
指数行列
! 2! 3! 4! 5!
) exp (
5 4
3 2
0
A A
A A A
n E A A
e A
n
n
A
または、
を正方行列とすると、
これを指数行列という（
𝐸は単位行列）。
指数行列の性質（
𝐴, 𝐵を正方行列とする）
（１）
𝒆𝟎 = 𝑬（
0は零行列）
（２）
𝑨, 𝑩 = 𝟎のとき、
𝒆𝑨𝒆𝑩 = 𝒆𝑨+𝑩（３）
𝒆𝑨 −𝟏 = 𝒆−𝑨（４）
𝒕 𝐞𝐱𝐩 𝑨 = 𝐞𝐱𝐩 𝒕𝑨証明（簡略）
（１）指数行列の定義式において、
𝐴 = 0とおく。
（２）省略
（３）（２）において、
𝐵 = −𝐴とおくと、
𝑒𝐴𝑒−𝐴 = 𝑒𝐴−𝐴 = 𝑒0 = 𝐸より。
（４）
𝑡 exp 𝐴 = 𝐸 + 𝑡𝐴 +𝑡 𝐴2 2! +
𝑡 𝐴3
3! ⋯ = 𝐸 + 𝑡𝐴 +
𝑡𝐴 2 2! +
𝑡𝐴 3
3! ⋯ = exp 𝑡𝐴
指数行列（続き）
指数行列の性質（続き）
（１） 𝐴が対称行列( 𝑡𝐴 = 𝐴)ならば、exp 𝐴は対称行列
（２） 𝐴が反対称行列( 𝑡𝐴 = −𝐴)ならば、exp 𝐴は直交行列
（３） det(exp 𝐴) = exp(𝑇𝑟 𝐴) 特に、det (exp A) = 1 ⇔ 𝑇𝑟 𝐴 = 0 証明
（１） 𝑡 exp 𝐴 = exp 𝑡𝐴 = exp 𝐴 より。
（２） 𝑡 exp 𝐴 = exp 𝑡𝐴 = exp(−𝐴) = exp 𝐴 −1 より。
（３）略。ただし、𝐴が対角成分以外すべて 0（対角行列）つまり
𝐴 = 𝑎1
𝑎2 0
0 ⋱
𝑎𝑛
の場合は、𝐴𝑘 = 𝑎1𝑘
𝑎2𝑘 0
0 ⋱
𝑎𝑛𝑘
より、
exp 𝐴 = 𝑘=0∞ 𝐴𝑘
𝑘! =
𝑘=0∞ 𝑎1𝑘 𝑘!
𝑘=0∞ 𝑎2𝑘 𝑘!
0
0 ⋱
𝑘=0∞ 𝑎𝑛𝑘 𝑘!
=
𝑒𝑎1
𝑒𝑎2 0
0 ⋱
𝑒𝑎𝑛 したがって、det(exp 𝐴) = 𝑒𝑎1 𝑒𝑎2 ⋯ 𝑒𝑎𝑛 = 𝑒𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎𝑛 = exp(𝑇𝑟 𝐴)
指数行列の例
1 2
1 2
2 2
0 0
! 4 1
! 3 1
! 2 1 1 1 0
! 0 4 1
! 3
1
! 2 1 1 1
! 4 1
! 3
1
! 2
1 )
, 2 , 1 , 0 (
1 0
0 ) 1
, 2 , 1 , 0 (
1 0
0 1 1
0 0 1
1 0
1 1 0 ) 2 (
0 0 0
0 0 0
0 1 0
e e E
A E
A E e
E n
A
A n
A
E A
A A E e
n A
A A
A n
n A
n
よって、
より、
とすると、
例２）
よって、
より、
とすると、
例１）
SO(2)の指数行列表示
) cos (
sin
sin sin cos
cos
! 5
! 3
! 4
! 1 2
! 5
! 4
! 3
! 2
! 1 ,
1 0
0 1 0
1
1 0
5 3
4 2
5 5 4
4 3
3 2
2 4 3
2
T A
E
A E
A A
A A
A E
e
E A
A A
E A
A
A
より、
（単位行列）、
とすると、
生成子
•
反対称行列
𝐴と実数θによって、SO(2)の元
𝑒𝜃𝐴 = 𝑇(𝜃)が生 成される。→
𝐴をSO(2)の生成子という。
•
オイラーの法則
𝑒𝑖𝜃 = cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃と比較すると、行列
𝐴は
複素数の虚数単位に相当していることがわかる。
U(1)とＳＯ(２)
•
SO(2)は実数-実数平面上の回転。U(1)は実数-虚数（複素数）平面 上の回転
•
ともに次元が１の可換群である。
→ SO(2)とＵ(1)は同型である。(SO(2)≅U(1))
α
θ eiα
ei(θ+α)
実軸 虚軸
eiθ
α
θ cos𝛼
sin𝛼 x
y
cos(𝜃 + 𝛼) sin(𝜃 + 𝛼)
cos𝜃 −sin𝜃 sin𝜃 cos𝜃
O O
SO(2)とO(2)との対応
•
SO(2)はO(2)の部分群となっている
0 1
1 0
1 0
0 1
0 1
1 0
1 0
0 1
SO(2)
O(2)
1 0
0 1
行列式＝－１
行列式＝１
O(2)と複素数との対応
反転
複素共役
入れ替え
え 実部と虚部の入れ替
度回転
度回転
恒等変換
y y
y x
i
1 0
0 1
0 1
1 0 180
1 1 0
0 1 90
0 1
1 0
1 1 0
0 1
SO(2)≅U(1)
座標軸の回転とO(2)
x
y
x
y
y
y
x
x
y x
x
x
x
1 0 1 0
鏡の世界
y
y
y
0 1
1 0
1 0
0 1
90°回転 x
y入れ替え
y
-y反転
O
O
O
O
O
O
O
O
ローレンツ変換
を表す。
これはローレンツ変換 とおくと、
（単位行列）より、
2 2
2 2
1
1 5
3 4
2
5 1 5 4 1 4 3 1 3 2 1 2 1
0
1 2
1 1
1 1 1
1 1
1 tanh
cosh sinh
sinh sinh cosh
cosh
! 5
! 3
! 4
! 1 2
! 5
! 4
! 3
! 2
! ) ( 0 1
1 0
1
c v E
E E
e n
E
n
n n
𝑦 = tanh 𝑥
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
x y
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
x y
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
x y
𝑦 = cosh 𝑥
𝑦 = sinh 𝑥
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 1
x y
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 1
x y
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 1
x y
この集合を
ローレンツ群 O(1,1) という
生成子
ローレンツ変換の不変量
は変換によって不変 よって
θ θ
θ θ
θ θ
を用いると、
θ θ
解）
しなさい。
となっていることを示 つまり、
不変量となっている、
が変換の と変換されるとき、
が、
て、
ローレンツ変換によっ
2 2
2 2 2
2 2
2
2 2 2
2
2 2
2 2 2 2
2 2
) sinh )(cosh
(
) cosh sinh
( sinh
cosh '
'
1 sinh
cosh ' '
cosh sinh
sinh cosh
' '
x t
x t x
t
x t
x t
x t
x t x t
x t
x t x
t
x t
非相対論的極限
𝑃 𝜃 = cosh 𝜃 − sinh 𝜃
− sinh 𝜃 cosh 𝜃 = 𝛾 −𝛽𝛾
−𝛽𝛾 𝛾
ただし、
𝛾 = cosh 𝜃, 𝛽𝛾 = sinh 𝜃, 𝛽 = tanh 𝜃非相対論的極限（
𝛽 ≪ 1）において、
cosh 𝜃~1, sinh 𝜃~𝜃, tanh 𝜃~𝜃
より、
𝑃 𝜃 ~ 1 −𝜃
−𝜃 1 ~ 1 −𝛽
−𝛽 1 𝑡
𝑥
の変換は、
𝑡′
𝑥′ = 1 −𝛽
−𝛽 1
𝑡 𝑥
より、
𝑥′ = −𝛽𝑡 + 𝑥これはガリレイ変換を表す。
S
系（
t,x) S’系（
t’,x’) 𝛽回転と擬回転（イメージ）
𝑇 𝜃 = cos 𝜃 − sin 𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃 𝑃 𝜃 = cosh 𝜃 − sinh 𝜃
− sinh 𝜃 cosh 𝜃
SO(2)
（回転群）
O(1,1)（ローレンツ群）
不変量
t2+x2=1 tx
t x
1 1
