SAW の本数と mean square displacement．

命題37から(xc−(,0)∈D^oであり，D^o⊂R²+ は開集合なので，δ >0 がとれて，(xc−(, δ)∈D^o とで きる．|Zn,i(βc−√

−1λ⁻ⁿt)||Zn,i(βc)|,t∈R,に注意すると，系42からn0n1 なる自然数がとれて，

nn0 で|Zn,2(βc−√

−1λ⁻ⁿt)|δ．よって，

|Z_n+m,1(β_c−√

−1λ⁻ⁿt)|X_m,1(x_c−(, δ), nn₀, m1, t∈A . これと 命題39からC >0と γ >0 が存在して，

|Zn+m,1(βc−√

−1λ⁻ⁿt)|Cexp(−γ2^m), nn0, m1, t∈A, (116) および，

Z_n+m,2(βc+λ⁻ⁿ)Cexp(−γ2^m), nn₀, m1, t∈A . (117) n₀を上記のものにとり，n > n0とする．t∈Rを|t| ∈[1, λⁿ⁻ⁿ⁰⁻¹]を満たすものとし，m=

&

log|t| logλ '

+1

（[·]は整数部分)とおくと，n−mn₀ かつλ⁻¹λ^−m|t|<1を満たす．よって，

|φ_n(t)||Z_n,1(βc−iλ⁻ⁿt)|

Zn,1(βc) =|Zn−m+m,1(βc−iλ^−(n−m)(λ^−mt))| Zn,1(βc)

Cexp(−γ2^m)

Z_n,1(β_c) Cexp(−γ|t|^ν) Z_n,1(β_c) . その上， lim

n→∞Z_n,1(βc) =xc と lim

n→∞φn(t) =g(√

−1t)だから，命題49と優収束定理から，

nlim→∞

R|χ_[0,λn−n0−1](|t|)φn(t)−g(√

−1t)|dt= 0.

他方，

R|χ_[0,λn−n0−1](|t|)φn(t)−φn(t)|dt

2

_∞

λⁿ⁻ⁿ⁰⁻¹

exp(−h²_nt²/2)dt

2 (h²_nλⁿ⁻ⁿ⁰⁻¹)⁻¹exp(−(hnλⁿ⁻ⁿ⁰⁻¹)²/2)

= 2λⁿ⁰⁻¹b⁻²λⁿn⁻¹exp(−λ⁻²ⁿ⁰⁺²b²n/2), となるが，bが十分大きければ，右辺はn→ ∞で0 に収束する．即ち，

nlim→∞

R|φn(t)−g(√

−1t)|dt= 0

を得るので，主張は証明された． ✷

命題 53 正定数 C₁,C₂,および実定数γ₁ γ₂ が存在して，

C₁k^γ1exp(βck)N(k)C₂k^γ2exp(βck), k∈N. 証明. W⁽⁰⁾=

∞ k=0

W^(k)とおき，D: W⁽⁰⁾→Zを，

D(w) = min{n∈Z+|w(i)∈Fn, i= 0,1,· · ·, L(w)} (118) で定義する．

M_n =

w∈W⁽⁰⁾, D(w)n

exp(−β_cL(w)), n∈Z+,

とおいて，くりこみ群(命題36)を証明したときのようにM_n+1 の和を分類すると，2変数正係数多項式f₁ があって，

Mn+1f1(ZMn(βc))Mn, n∈Z+, (119) と書けることが分かる．系42からZMn(βc)は n→ ∞で収束するから，A1>0と A2>1 がとれて，

MnA₁Aⁿ₂, n∈Z+. (120)

定義から2^D(w)−1L(w)なので，

exp(−βck)N(k)M_[logk/log 2]+1A1A²₂A^log₂ ^{k/log 2} となって，主張の上からの評価を得る．

下からの評価を得るために，bを 命題52が成り立つ(十分大きな)数とする．kn =√

2 logλbnλ⁻ⁿ と おくと，

(p^∗_n(Mx_c)∗g_n)(ξ) =

R

g_n(ξ−η)p^∗_n(Mx_c)(dη) において

R\[ξ−kn,ξ+kn]

gn(ξ−η)p^∗_n(Mxc)(dη)gn(kn) = (2πb²n)^−1/2→0, n→ ∞, となるので，命題52から，

nlim→∞sup

ξ∈R|ρ(Mxc)(ξ)−

[ξ−kn,ξ+kn]

gn(ξ−η)p^∗_n(Mxc)(dη)|= 0.

これと 命題50から，自然数 n₂と ( >0がとれて，

h⁻_n¹p^∗_n(Mx_c)([ξ−k_n, ξ+k_n])(, nn₂, ξ∈[λ⁻¹, λ²].

k∈Nとする．nを，λ⁻ⁿk∈[1, λ]なる自然数とする．kが十分大きければnn₂となり，kn1−λ⁻¹ が従うので，

p^∗_n(Mxc)([λ⁻ⁿk−2kn, λ⁻ⁿk])hn(.

w∈W₁⁽ⁿ⁾かつL(w)kならば，まっすぐ外に延長することでL=kなるW⁽⁰⁾ のpathを得ることがで きることを合わせると，

Zn,1(βc)hn(

w∈W₁⁽ⁿ⁾, k−2knλⁿL(w)k

exp(−βcL(w))exp(βc2knλⁿ) exp(−βck)N(k).

よって

N(k)Z_n,1(β_c)(bλ⁻ⁿn^1/2exp(−2β_cb(2 logλ)^1/2n) exp(β_ck).

n logk

logλ なので，これは主張の下からの評価を意味する． ✷

問 17 (119)の証明を図を書いて確認せよ．特に f1 を具体的に与えよ． ✸

注 19 次節のmean square displacementの結果を強化するためには，pathの本数の漸近評価(命題53)も

sub-leading orderまで強化しないといけない． ✸

6.5.2 大偏差型評価とreflection principle． 自然数n, mに対して，

Un,m=

w∈W⁽⁰⁾, D(w)n, L(w)λ^n+m/2

exp(−βcL(w)),

Vn,m=

w∈W⁽⁰⁾, D(w)=n+1, L(w)λ^n−m

exp(−βcL(w)),

とおく．

命題 54 正数A2,C,γ が存在して，

U_n,mCAⁿ₂exp(−γλ^m/2),

Vn,mCAⁿ₂exp(−γ2^m), n∈N, m∈N. A2 は (120) と共通にとれる．

証明. r= (λ−√

λ)/4とおいて，

Sn,m,i =

w∈Wn,i, L(w)λ^n+m/2r

exp(−βcL(w)), n∈N, m∈N, i= 1,2,

を定義する．(119)のときの類似の図形的考察により，そこでのf1 (2変数の正係数多項式，f(0,0) = 1) を用いて，

U_n+1,mf₁(ZM_n(β_c))U_n,m+1+

# ₂

i=1

S_n,m,i∂f₁

∂x_i(ZM_n(β_c))

$ M_n,

を得る．(120)を得たときと同様に，自然数n₁ が存在してf₁(ZM_n(β_c))A₂,nn₁,を得る．ここでA₂ は(120)と同じもの．系42と(120)からC₁>0がとれて，

A⁻₂⁽ⁿ⁺¹⁾U_n+1,m A⁻₂ⁿU_n,m+1+C₁ 2 i=1

S_n,m,i, nn₁, m0. (121)

L(w)2·3^D(w)に注意すると，λ^n+m/2>2·3ⁿ ならばUn,m= 0となるが，条件はm2nかつn >1 ならば満たされる．n1>1 ととってよい．これより，

A⁻₂ⁿUn,mC1 [²₃n]

k=0

2 i=1

Sn−k−1,m+k,i, n4n1, m0. (122) 他方，

S_n,m,iexp(−rλ^m/2)

w∈Wn,i

exp(−(β_c−λ⁻ⁿ)L(w)) = exp(−rλ^m/2)Z_n,i(β_c−λ⁻ⁿ). (123)

系42と 命題47からC2>0 がとれて，

Z_n,1(β_c−λ⁻ⁿ) =g⁽ⁿ⁾₁ (1)Z_n,1(β_c)C₂, n∈Z+. また，命題38から，xc,n= exp(−β_c+λ⁻ⁿ)およびMx_c,n = (x_c,n, x²_c,n)とおくと，

Z_n,2(βc−λ⁻ⁿ)Rn(Mxc,n)Z_n,1(βc−λ⁻ⁿ)R₀(Mxc,n)C₂=xc,nC₂.

よって，Zn,i(βc−λ⁻ⁿ),i= 1,2,n∈Z+,は有界である．これを(122), (123)と合わせると，Un,mについ ての主張を得る．

Vn,mの評価を得るには，

T_n,m,i=

w∈Wn+1,i, L(w)λ^n−m

exp(−β_cL(w)), n∈N, m∈N, mn, i= 1,2,

とおく．上と同様の図形的考察から，TM_n,m= (T_n,m,1, T_n,m,2)とおくと，

Vn,mf1(TMn,m)Mn−Mn= (f1(TMn,m)−f1(0,0,0,0))Mn. L(w)λ^n−m ならば1−λ^m−nL(w)0 となることに注意．これより，

T_n,m,i

w∈Wn,i

exp(−(β_c+λ^m−n)L(w) + 1) =e Z_n,i(β_c+λ^m−n), i= 1,2, n, m∈N, nm.

これと(117)と (120)からVn,mについての主張を得る． ✷

問 18 命題54 の主張を一般のdSGに一般化し，証明も一般化せよ．（rの定義の分母，Sn,m,i,T_n,m,i のi の種類，(121) の下から(122) までの数値，等が変わる．また，Z_n,i(β_c−λ⁻ⁿ)が有界である理由はiに

よって違うが，この部分は，仮定した上で証明してみよ．） ✸

定理51 の証明. 定理51の前半は 命題53で証明されたので，後半を証明する．

k∈Nに対してK(k) =

&

logk logλ '

とおくと，λ^K(k)k < λ^K(k)+1である．命題54から，mK(k)を 満たすm∈Nと k∈Nに対して，

{w∈W⁽⁰⁾|L(w) =k, D(w)K(k)−m}exp(βck)U_K(k)−m,2m Cexp(βck+ (K(k)−m) logA2−γλ^m)

Cexp(βck+ log_λA2 logk−γλ^m). これと 命題53から，十分大きな αに対して，

P˜k[D(w)K(k)−αlog logk]

C C₁⁻¹exp((log_λA2−γ1) logk−γ(logk)^αlogλ)Cexp(−(logk)³). 定義から，2^D(w)−1w2^D(w)である．よって十分大きなαに対して，⁵³

klim→∞

P˜k[w<(logk)^−αk^ν] exp((logk)²) = 0. 次に，m, !∈Nに対して 命題54から，

{w∈W⁽⁰⁾|L(w) =k, D(w) =K(k) +m+!+ 2}exp(β_ck)VK(k)+m++1,m+

Cexp(β_ck)A^K(k)+m++1₂ exp(−γ2^m+)

CA₂exp(βck+K(k) logA₂+mlogA₂−γ2^m−1)A₂exp(−γ2⁻¹).

よって，

P˜k[D(w)K(k) + (α/log 2) log logk] = ∞

=0

P˜k[D(w) =K(k) +!+ (α/log 2) log logk]

C(C₁A₂)⁻¹ ∞

=0

A₂exp(−γ2⁻¹)

×exp((log_λA₂−γ₁) logk+αlog₂A₂log logk−γ

8(logk)^α). よって，十分大きな αに対して，

lim

k→∞

P˜_k[w>(logk)^αk^ν] exp((logk)²) = 0. 以上より，α >0が存在して，

lim

k→∞

P˜k[w<(logk)^−αk^ν または w>(logk)^αk^ν] exp((logk)²) = 0. (124) k∈Nおよびs >0とする．Reflection principle ([35, Lemma (4.2)])により，

E_k[ 2^(D(w)−1)s, |w(k)|2^D(w)−1]E_k[ 2^(D(w)−1)s, |w(k)|2^D(w)−1].

これと|w(L(w))|w2^D(w)から，

2^−s−1E_k[ 2^sD(w)]E_k[|w(k)|^s]E_k[ w^s ]E_k[ 2^sD(w)]. (125) 次に，

Ek[ w^s ]((logk)^−αk^ν)^s(1−P˜k[w(logk)^−αk^ν]). これと(124)から，

lim

k→∞(logk)^sαk^−sνE_k[ w^s ]>0. (126) 同様に，

Ek[ w^s ] ((logk)^αk^ν)^s+k^sP˜k[w(logk)^αk^ν], を得て，これと(124)から，

lim

k→∞(logk)^−sαk^−sνEk[ w^s ]<∞. (127) (125), (126), (127)から主張を得る．

✷

53[32]ではνはκと書かれているが，序章の定理の主張では1/κとなっていたため，証明中の以下の部分では1/κとなってい て，誤って，証明中の以上の部分と逆数になっていた．

注 20 (i) Mean square displacementの指数は，Floryの議論と呼ばれる「物理的近似」（近似の数学的 意味や精度に関する数学的保証のない近似）の数値がZ^dでは良い値を与えているとされる．この議 論を dSG に拡張したものと厳密な結果の数値比較を§A.11に掲げておく．

(ii) Sierpi´nski gasket上のself-avodiding walkの連続極限についてはこの講義では触れないので，[29, 32]

を参照されたい．

✸ 問 19 (i) 定理51の証明中で引用した reflection principleを(必要ならば[35, Lemma (4.2)] を参考に

して)詳しく説明せよ．

(ii) 一般の dSG上のSAWについてくりこみ群軌道の存在と唯一性を証明せよ⁵⁴ ．

(iii) Sierpi´nski gasket上のSAWについて，mean square displacementの指数を∼の意味で(既に知られ ている ≈の意味より強く)証明せよ⁵⁵ ．

✸

補遺．

A _{初等的事項の補遺．}

ドキュメント内 数理物理学 － Random walk と self-avoiding walk (ページ 60-65)