部分領域 − 対応する力学系の不変領域．

そこで，2変数への拡張に際して，第一象限の中に部分領域を考えて，そこでの臨界点の唯一性を論じる．

1変数の場合に問題が極めて簡単だったことを生かすべく，2つ目の変数y は1つ目の変数x に比べて小 さいというイメージ で取り扱う．このため，部分閉領域として

D={(x, y)∈R²+\ {(0,0)} |yx²} をとる．

注 41 もちろん，この選択は必然ではない．1次元に近いというイメージを重視したことと，(離散)力学系 における臨界点の分岐が複雑微妙な問題であることに鑑みて，強い目の条件をおいた． ✸

さらに，wの臨界点はW の勾配写像

gradW = (Wx, Wy) : R²+→R²+

が定義する力学系の固定点である，という視点から，D がgradW の不変領域であるようなW を考察の 対象とする．

以上をまとめて，次の問題を設定する．

問題1 (19981031)．  実2次元平面の第一象限（境界含む）R²+ の中に D={(x, y)∈R²+\ {(0,0)} |yx²}

をとり，次の二つの性質を持つ（恒等的にゼロではない）2変数多項式W を考える：

(i) W は（xとy の合計の）次数が3 以上の項からなる多項式で，各項の係数は正である．

(ii) W の勾配写像gradW = (Wx, Wy)に対して，gradW(D)⊂ {(x, y)∈D |y=x²}である（Wx は W のx偏導関数）．

このとき，W に負係数の2次の項を加えた多項式

w(x, y) =W(x, y)−(x²+y²)/2

の臨界点(gradw(x, y) = 0を満たす点)が Dの中にただ一つ存在するための十分広く，かつ，容易に検証

できる自然な十分条件を求めよ．

注 42 W に対する二つ目の条件は D がgradW の不変領域であることを意味する．（もう少し強く，放物 線 y=x² 上の点がD の内部に移ることも意味する．これは，この先いろんな結果を得る場合に「等号の 場合を除く」煩わしさが起こる可能性を前もって避けるため．） ✸

F.4 1 変数に近い特別な状況 − 臨界点が x 軸上にある場合．

W(x, y)がy について1次の項を含まないとき，ある一つの正数xに対してx軸上の点(x,0) がw の臨 界点になるので，このとき問題1はD\ {(x,0)|x >0} にwの臨界点がないための十分条件を求めるこ とになる．

このとき0< z1,x >0,に対してz(W_x²/Wy)(x, x²z)>1が成り立てば，y/x²はD\{(x,0)} |x >0} において，gradW が定義する力学系(Xn, Yn)のリャプノフ関数になる．即ち，(Xn, Yn)がD\ {(x,0)| x >0}にあるとき，Yn+1/X_n+1² < Yn/X_n² が成り立つ．従って特に，wの臨界点がないための十分条件に なる．

以上に基づいて次の問題を考える．

問題2．

F(x, y) = (y/x²)(W_x²/W_y)(x, y)

とおく．問題1の設定に加えてW(x, y)が yについて1次の項を含まないとき，0< yx² ,x >0,に対 してF(x, y)>1 が成り立つための，「良い」十分条件を求めよ．

W のy への依存が単項式のときは問題2は次の意味で解決する．

命題 105 ((19981226)) 問題2においてW のyへの依存が単項式のときを考える，即ち，W が問題1の 設定を満たし，かつ，正係数1変数多項式f と定数b >0,k0,k2を用いてW(x, y) =f(x) +bx^ky^k と書けるとする．f の項のうち最低次数を L，最高次数をH とおく．

このとき，次のいずれかが成り立てば F(x, y) のD における最小値は D の境界（無限遠を含む）で とる．

(i) k= 0または k = 2,

(ii) L4β/(k+ 2) またはH 4β/(k+ 2)(ここで β=k+ (k/2) とおいた),

(iii) 以上以外の場合で，xf(x)/f(x) = 4β/(k + 2)−1 の（唯一の）正根を x = x0 とするとき，

f(x₀)x¹₀^−2βbk(k+ 2)/(k−2).

注 43 (i) 命題105の十分条件は，2次元領域D の内部で2変数関数W の詳細な性質を調べる必要が ないことに注意．即ち調べるべきことはいずれも高々1変数関数の問題に帰着している．そしてD の 境界においてF(x, y)>1ならばy/x² はリャプノフ関数になって，D の内部ではgradW の固定点 (wの臨界点)がないことを保証する．この意味で w の臨界点のD における唯一性の「容易に検証 可能な」十分条件になる．

(ii) 問題1の設定の下では F(x, x²)>1 なので，D の境界のうち y=x² のところでは自動的に望むべ き性質が成り立つ．

(iii) 命題105で陽にリストされている条件は問題の量が D の内部で最小にならないことを保証するだけ

なので，D の境界におけるチェックが必要．特に「xの大きいところ」を調べる必要がある．（W の 最高次付近を調べればいいので，検証可能性は保たれている．）

例えば，W(x, y) =x³/3 + 4x²y³/3 は命題105の仮定のうちH 4β/(k+ 2) を満たすが，D にお ける w(x, y) =W(x, y)−(x²+y²)/2 の臨界点は，(1,0),(0.939352,0.283324),(0.734382,0.46355) の3つ．

実際，この例では，F(x, y) = (1 + 8y³/(3x))²/(4y)→1/(4y), x→ ∞,となるので，y >1/4のとき xの大きいところで左辺が 1 より小さくなり，y/x² は D でリャプノフ関数ではないことが分かる．

✸ 命題105の証明. まず，問題1 の

W(x, y) =f(x) +bx^ky^k(b >0, k0, k2)

に対する仮定から， L3 (即ち，f の各項は全て3以上)かつk+k3となることに注意．

R(x, z) =F(x, x²z)^1/2=z^1/2(Wx/W_y^1/2)(x, x²z) = (bk)^−1/2(f(x)x^−β+1z^1−k/2+bkx^βz^1+k/2), とおく．ここでβ=k+ (k/2)．

もしk= 0 またはk = 2ならば R(x, z)はz に関して単調だから，F(x, y) =R(x, y/x²)² は D の境 界z= 0またはz= 1で最大，最小となる．よって，最初からk >1 かつk>2とおいてよい．

g(x) =xf(x)/f(x)とおく．R(x, z)が極値を(x, z)でとるとすると，

Rx(x, z) =Rz(x, z) = 0,

となる．ここでRの x偏微分をRx などと書いた．計算すると，極値条件は g(x) = 4β

k+ 2 −1, bkz^k =k−2

k+ 2f(x)x^1−2β, となる．

f が単項式f(x) =ax^m(a >0,m >2)ならば，g(x) = 4β

k+ 2 −1 からL=H =m= 4β/(k+ 2)を 得るので，Rの極値はx→ ∞にあるので，F の極値はD の境界にある．

これより，f は2項以上よりなるとしてよいので，

f(x) =aLx^L+...+aHx^H (aLaH >0, H > L3)

とおく．計算するとg(x)>0,x >0,を得る⁷⁵ ので，L−1 =g(0+)< g(x)< g(∞) =H−1,x >0．特 に，L4β/(k+ 2)またはH 4β/(k+ 2)ならばg(x) = 4β/(k+ 2)−1は x >0に解はないので，F の極値はDの内部ではとらない．よって， H >4β/(k+ 2)> Lと仮定してよい．

このとき，x₀をxf(x)/f(x) =g(x) = 4β/(k+ 2)−1 の唯一の正根とし，極値を(x₀, z₀)とおくと，

Rの極値条件から，

bkz^k₀ = (k−2)f(x₀)x¹₀^−2β/(k+ 2).

よって，この等式の右辺がbk 以上ならば，Rの極値はD の内部では取らない．よって主張の場合は全て

尽くされた． ✷

注 44 境界でのF(x, y)>1のチェックは（特に大きなxで）必要である．例えば，W(x, y) =x³/3+4x²y³/3 は，H 4β/(k+ 2)だから，命題105の仮定を満たす．しかし，対応する w=W(x, y)−(x²+y²)/2 は D の内部に3個の臨界点がある：(1,0),(0.939352,0.283324),(0.734382,0.46355). 実際，

F(x, y) = (1 + 8y³/(3x))²/(4y)→1/(4y), x→ ∞,

なのでy >1/4ならばF(x, y)はxが十分大きければ1 未満になる．よってy/x² はDの内部でLyapnov

関数にならない． ✸

W のy への依存が単項式でない場合は，まず次のことがわかる．

命題 106 ((19981018)) 以下のいずれかの場合，問題1の設定の下で無条件（余分な条件なし）に結論

（D における wの臨界点の唯一性）が成立する：

(i) W が 同次式のとき，

(ii) W が4次以下の項よりなる多項式のとき．

証明. (i) 例えば，3次の同次式

W(x, y;a, b, c, d) =ax³+bx²y+cxy²+dy³

の場合を考える．このとき問題1の仮定はb=c= 0,a, d0, 3a²dに同値．他方，b=c= 0かつ a, d0ならば，w(x, y) =ax³+dy³−(x²+y²)/2の第１象限における臨界点は(0,0), (0,1/(3d)), (1/(3a),0), (1/(3a),1/(3d))．よって，wのD における臨界点は(1/(3a),0)ただ一つである．W は 同次式ならば何次であっても同様の証明が成り立つ．

(ii)

p(x, z) =Wx(x, x²z)/x², q(x, z) =Wy(x, x²z)/(x⁴z), とおく⁷⁶．ここで，Wx,Wy は W の偏導関数．

全次数 4以下の多項式の一般形は

W(x, y) =ax³+bx²y+cxy²+dy³+ex⁴+f x³y+gx²y²+hxy³+ky⁴. 問題1の仮定からb=c=f = 0 なので，特にy次数1の項はない．計算すると，

p(x, z) = 3a+ 4ex+ 2gx³z²+hx⁴z³, q(x, z) = 2g+ 3dz+ 3hxz+ 4kx²z².

751自由度のスピン系(!)にGriffithsの不等式を使う．

76落合啓之氏の変数！

pの各項について，x次数はz次数以上であり，q の各項について，x次数は z次数以下であること に注意．これから，もし 0< z <1 かつx >0 ならば

p(x, z)²p(xz,1)²q(xz,1)q(x, z).

等号が全部成り立つためには a から k までの全ての係数が 0 でなければならず， W が恒等的 に 0 になってしまう．よって p(x, z)² > q(x, z) となり，F(x, y) = (y/x²)(W_x²/Wy)(x, y) > 1 が D\ {(x,0)|x >0} で成り立つ．即ち，主張が成り立つ．

✷

注 45 (i) 実際は W が 同次式のとき，問題1の設定の下ではy を含む項は単項式になって，命題105 に含まれる．例えば，3次同次式

W(x, y;a, b, c, d) =ax³+bx²y+cxy²+dy³

の場合，問題1の条件を満たすのは b = c = 0, a, d 0, かつ 3a² > d の場合だが，このとき w(x, y) = W(x, y)−(x²+y²)/2 の第一象限における臨界点は(0,0),(0,1/(3d)), (1/(3a),1/(3d)),

(1/(3a),0)となり，D にあるのは最後の一つだけとなる．

(ii) W が4次以下の場合は，問題1の条件下で y について1次の項は許されない．従って単項式でない 問題2の十分条件の例になっている．

なお，この場合の証明では，あらわな計算は必要ないが，一般的にやっても5次以上の多項式には適 用できない．

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