歩数分布の極限定理．

(iv) xc と違ってβc の値や領域D の具体形は軌道の大局的な振舞に依存するため，求めにくい．そのた め，通常これらの量の詳細研究は「後回し」になっている．

✸

6.4.2 固定点以外からの平均歩数行列の収束．

(77)の Wn と (79)の Wn,1 の上にMx= (x₁, x₂)∈R²₊\ {(0,0)} をパラメータとする確率測度 µ_n(Mx)と µ_n,1(Mx)を以下で定義する．

µn(Mx)[w] = 1

X_n,1(Mx) +X_n,2(Mx) 2 i=1

x^s_i^i(w), w∈ Wn, µ_n,1(Mx)[w] = 1

X_n,1(Mx) 2 i=1

x^s_i^i(w), w∈ Wn,1.

ここで，si(w),Xn,i(Mx)は§6.3のとおり．この µn(Mx),µ_n,1(Mx)の下でのL の分布のn→ ∞での漸近形 を求める．

n∈Z+ に対して2×2行列∂Xn を

∂X_n(Mz) = ( ∂

∂x1

tXM_n(Mz), ∂

∂x2

tXM_n(Mz)), Mz∈C², で定義し，∂Φ =∂X1とおく．くりこみ群(命題36)から，

∂Xn+1(Mz) =∂Φ(XMn(Mz))∂Φ(XMn−1(Mz))· · · ∂Φ(Mz), n∈Z+, Mz∈C². (93) (84)のD と (92)のΞ1 を用いてΓ =∂D∩Ξ1とおく．

命題 45 Mx= (x₁, x₂)∈Γ ならばΛ(Mx) = lim

n→∞λ⁻ⁿ∂X_n(Mx)が存在し，i, j= 1,2 に対してΛ_ij(Mx)0，か つ，Λ₁₁(Mx)>0 である．ここでλは (91) で与えられている．

証明. Mx∈Γ をとる．平均値の定理から，0< θ <1 が存在して，Mu=Ma+θ(Mx−Ma)とおくとき，

(∂Φ)ij(Mx)−(∂Φ)ij(Ma) = 2 k=1

( ∂

∂x_k∂Φij)(Mu) (xk−ak). (94) Γ⊂R² は有界で ∂

∂xk

∂Φ_ij(Mx)は Mxの多項式なので，M >0 がとれて，

| ∂

∂xk

∂Φij(Mu)|M, Mu=Ma+θ(Mx−Ma), 0< θ <1, Mx∈Γ, i, j, k= 1,2. (95) 他方， 命題44から，各 Mx∈∂D∩Ξ₁ に対してC >0と 0< ρ <1がとれて，

|X_n,i(Mx)−a_i|Cρⁿ, i= 1,2, n∈Z+. (96) (94), (95), (96)からC₁>0 が存在して，

%%%∂Φ(XM_n(Mx))−∂Φ(Ma)%%%C₁ρⁿ, n∈Z+. (97) これと 補題71から lim

n→∞ λ⁻ⁿ∂Xn(Mx)の存在を得る．補題71のQはΛ(Ma)なので，(136)から，mが十 分大きければ

nlim→∞ λ⁻ⁿ ∂Φ(XM_n+m(Mx))· · ·∂Φ(XM_m+1(Mx))

11>0．他方，命題36からΦ₁(Mx)は x²₁ とい う項を持つので，

∂Φ(XM_k(Mx))

11>0, k= 1,· · ·, m, Mx∈∂D∩Ξ₁. よってΛ11(Mx)>0．

✷

6.4.3 特性関数と歩数分布のスケーリング極限．

M

x∈Γ,Mt∈C², i= 1,2,n∈Z+に対して，

Xn,i(Mxe^λ−n=t) =Xn,i(x₁e^λ−nt1, x₂e^λ−nt2), という略記法を用いる．

命題 46 (i) Mx∈Γ に対して，Xn,i(Mxe^λ−n=t), i= 1,2,は n→ ∞でMt= (t1, t2)∈C² に関して広義一様 にある整関数 X_i^∗: C²→Cに収束する．さらに， X₂^∗ は恒等的に0 である．（XM^∗ は Mx依存性を持 つが，表記を略す．）

(ii) XM^∗= (X₁^∗,0)とおくとき，

XM^∗(λMt) =MΦ(XM^∗(Mt)), Mt∈C². (98) さらに，

∂

∂tj

X_i^∗(M0) =x_jΛ_ij(Mx).

証明. 命題43 から B = ∂Φ(Ma) の最大固有値 pに対応する左固有ベクトルの各成分 αi は正なので，Mz = (z1, z2)∈C²に対して

|Mz|∗=α1|z1|+α2|z2| とおくと，| · |∗ はノルムである．定義から，

|(∂Φ)(Ma)^tMz|∗λ|Mz|∗. (99) M

x∈Γを固定し，wM ∈R² とする．Mv_n=XM_n(Mx)−Ma，および，Mw_n=XM_n(Mx+w)M −XM_n(Mx)とおくと，

XMn(Mx+w) =M Ma+Mvn+wMn, (100) 平均値の定理と(99)からC1>0 がとれて，

|MΦ(Ma+Mv_n+w)M −Φ(MaM +Mv_n)|∗λ(1 +C₁|Mv_n|∗)(1 +C₁|wM|∗)|wM|∗, |wM|∗1, n∈Z+. (101) 他方， 命題44からC₂>0 と0< ρ <1 が存在して，

|Mv_n|_∗C₂ρⁿ, n∈Z+. (102)

C₃=C₁C₂ とおいて，b ∞ k=0

(1 +C₃ρ^k)(1 +C₁λ^−k)1を満たすb >0をとると，(101)と帰納法によって，

|wM_k|∗λ^k|wM|∗ k−1 j=0

(1 +C₃ρ^j)(1 +C₁λ^−(n−j))1 bλ^k|wM|∗, n=k, k+ 1,· · ·, k∈Z+, Mw∈R²; |wM|bλ⁻ⁿ.

(103)

(100), (102), (103)から，δ >0と C₄>0が存在して，

|Xn,i(Mx e^λ−n=t)|∗C4, Mt∈R²; |Mt|∗< δ. (104) Xn,i は正係数の多項式なので，必要ならばC4を少し大きくすることで，(104)は原点の複素近傍Ω ={Mt∈ C²| |Mt|_∗< δ}でも成り立つ．よって，{{Xn,i(Mx e^λ−n=t)|i= 1,2, n= 1,2,· · ·}はΩ上の正則関数の正規族 をなす．従って，任意の部分列に対して広義一様収束部分列がとれるので，あとは，例えばテーラー係数が 収束することを言えば，極限が部分列によらないことが言えて，極限X_i^∗ のΩにおける存在が言える．そ こで次にこれを証明する．

Xn,i(Mx e^λ−n=t) =

=k=(k₁,k₂)∈Z²₊

an,i(Mk)t^k₁¹t^k₂² (105) とおく．定理41から

nlim→∞an,i(M0) =ai, i= 1,2. (106)

i, j = 1,2, に対して e⁽ⁱ⁾_j = δij (Kronecker のデルタ)とおいてMe⁽ⁱ⁾ = (e⁽ⁱ⁾₁ , e⁽ⁱ⁾₂ ) ∈ Z² を定義する．

命題45から，

nlim→∞a_n,i(Me^(j)) =x_jΛ_ij(Mx), i, j= 1,2. (107) (105)をくりこみ群(命題36)に代入してn→ ∞を考える．(106)と(107) から帰納的に，極限

a^∗_i(Mk) = lim

n→∞an,i(Mk), i= 1,2, k∈Z+, の存在が分かる．

以上から，整関数X_i^∗ : Ω →Cが存在して，Xn,i(Mx e^λ−n=t)はMt∈Ω に関して広義一様に n→ ∞で X_i^∗(Mt)に収束する．(98)はくりこみ群でn→ ∞とすれば(Ωでは)得られ，命題の主張の最後の微分に関

する式は(107)から得られる．

あとは，収束範囲を全複素平面に拡張できればよいが，R >0とし，λ^−mR < δ/2を満たす m∈Nを 選ぶと，

X_n+m,i(Mx e^λ−(n+m)=t) =X_m,i(XM_n(Mx e^{λ−n(λ−m=t)})) → X_m,i(XM^∗(λ^−mMt)), n→ ∞, が{Mt∈C²| |Mt|∗R}で一様に成り立つので，問題ない．

最後にX₂^∗ が恒等的に0であることを言う．Xn,2 は正係数多項式なので，(t1, t2)∈R²に対して，

|X_n,2(Mx e^{√−1λ−n=t})||X_n,2(Mx)| となるので，定理41から，

nlim→∞X_n,2(Mx e^{λ−n(√−1=t)}) = 0

を得る．このことと，X₂^∗が整関数であることから，恒等的にC²上で0 であることが分かる． ✷ 特性関数のスケーリング極限が分かったので，これを測度の極限に翻訳する．µn(Mx)と µn,1(Mx)の下で の，λ⁻ⁿL(w)の分布をそれぞれp_n(Mx)と p^∗_n(Mx)とおき，その母関数を，

g⁽ⁿ⁾(t) = _∞

0

e^tξpn(dξ), t∈C, (108)

および，

g₁⁽ⁿ⁾(t) = _∞

0

e^tξp^∗_n(dξ), t∈C, (109)

とおく．（以下，混乱がなければ，確率測度や母関数のMx依存性は書かない．）

t∈Cに対して，Mxn,t = (x1e^λ−nt, x2e^2λ−nt)とおくと，(78)と母関数の定義(§6.3)から，

g⁽ⁿ⁾(t) =Xn,1(Mxn,t) +Xn,2(Mxn,t) X_n,1(Mx) +X_n,2(Mx) , g⁽ⁿ⁾₁ (t) =Xn,1(Mxn,t)

X_n,1(Mx) .

命題 47 Mx= (x₁, x₂)∈∂D∩Ξ₁ とすると，整関数g: C→Cが存在して，t∈Cに関して広義一様に，

lim

n→∞g⁽ⁿ⁾(t) = lim

n→∞g⁽ⁿ⁾₁ (t) =g(t).

g は以下の条件で一意的に決まる．(88) のφ に対して，

x_cg(λt) =φ(x_cg(t)), t∈C, (110)

および，

∂g

∂t(0) = 1 xc

(x₁Λ₁₁(Mx) +x₂Λ₁₂(Mx)). (111) 証明. 定理41と 命題46から，Mx∈∂D∩Ξ₁ ならば，t∈Cに関して広義一様に，

nlim→∞g⁽ⁿ⁾(t) = 1 xc

X₁^∗(t,2t),

nlim→∞g⁽ⁿ⁾₁ (t) = 1

x_cX₁^∗(t,2t).

これより主張を得る．

✷

命題47と 命題45から，最終的に次を得る．

系 48 (i) Mx= (x1, x2)∈∂D∩Ξ1 に対して，R上の確率測度p(Mx)が存在して，n→ ∞のとき，pn(Mx) および p^∗_n(Mx)はともにp(Mx)に弱収束する．

その母関数は，g(t) =

R

e^tξp(Mx)(dξ)で与えられる．

(ii)

R

ξ p(Mx)(dξ)>0.

(iii) p(Mx)は単位分布ではない(分散正である)．

6.4.4 極限分布の密度の存在．

極限分布の性質を調べること自体も，SAWの漸近的な振る舞いを調べる上で意味があるが，特に以下の事 実はmean square displacementの指数の存在を証明する際に必要になる．

(91)のλを用いて

ν = log 2

logλ (112)

とおく．

命題 49 Ci>0,i= 1,2,が存在して，

|g(√

−1t)|C2e^−C1|t|ν, t∈R. 証明. 命題47から

g(√

−1λt) = 1 xc

φ(x_cg(√

−1t)), t∈R, (113)

なので，G(t) =−|t|^−νlog|g(√

−1t)|とおいて|g(√

−1t)|1に注意すると，(88)から

G(λt)G(t), t∈R. (114)

他方，系48から，δ >0 と0< C <1 が存在して，

0<|g(√

−1t)|< C , t∈R; λ⁻¹δ|t|< δ.

よって，C₁=−δ^−νlogC(>0)とおけば，(114)から，G(t)C₁, tδ．従って，

|g(√

−1t)|e^−C1|t|ν, tδ.

C2> e^C1δν にとれば主張を得る．

✷

命題 50 pは C^∞ 密度関数ρ を持ち，ρ(ξ) = 0,ξ0,と ρ(ξ)>0,ξ >0,を満たす．

証明. g がC^∞密度関数を持つことは 命題49から得られる（定理65参照）．よって(110)と (88)から，

λ⁻¹ρ(λ⁻¹ξ) =xcρ∗ρ(ξ) + 2x²_cρ∗ρ∗ρ(ξ) + 2x³_cρ∗ρ∗ρ∗ρ(ξ), ξ∈R. (115) ここで∗は convolution．ρの supportをAとすると，A∈[0,∞)であることは明らか．さらに，(115) から，x,y,z∈Aならばλ⁻¹(x+y),λ⁻¹(x+y+z)∈A．系48から0=x0∈Aなるx0がある．よって，

(2λ⁻¹)ⁿx₀∈A,n∈Z+．2< λ <3かつAが閉集合であることから0∈A．よって，0,λ⁻¹x₀, 2λ⁻¹x₀, 3λ⁻¹x₀∈A．帰納法とAが閉集合であることによって，主張を得る．

✷ (89)の総歩数L の母関数 Zn,i(β)に対応する測度µ^∗_n はMxc = (exp(−βc), exp(−2βc))としたときの µn(Mxc)に等しい．（βc の定義からMxc∈Γ．）系48 and命題50をこれに即して述べることも容易である．

問 16 µ^∗_n のスケーリング極限に対する主張を書き下せ．

✸ 注 18 総歩数に対する母関数は，くりこみ群のパラメータ空間で曲線x₂=x²₁ に対応する．この部分空間 はくりこみ群の物理学でいうcanonical surface のアナロジーになっている． ✸

ドキュメント内 数理物理学 － Random walk と self-avoiding walk (ページ 55-60)