区間縮小法

極限が存在することを示すための、有名な区間縮小法を紹介する。まず図形的なイメージを 頭に浮かべやすい形で述べる。

定理 5.1 (区間縮小法の原理) {I_n}n∈N を縮小するR の閉区間列とする。すなわち任意の n∈N に対して I_n は R の閉区間で

I₁ ⊃I₂ ⊃ · · · ⊃I_n⊃I_n+1 ⊃ · · · を満たすとする。このとき ∩

n∈N

In̸=∅ が成り立つ。[a_n, b_n] := I_n とおくとき、lim

n→∞(b_n−a_n) = 0 が成り立つならば、

(∃c∈R) lim

n→∞a_n= lim

n→∞b_n=c (そして ∩

n∈N

I_n ={c}).

言葉で表すと「縮小する閉区間の列の共通部分は空でない，幅が 0 に収束するならば共通 部分は1点のみからなる」。

念のため復習: ∩

n∈N

I_n ={x|(∀n ∈N)x∈I_n}.

∩∞ n=1

I_n とも書く。

実際に証明をするには、次のように述べた方がやりやすいと思われる。

26この講義ではRⁿの有界閉集合のこと。

命題 5.2 (書き直し) {an}_n∈N は単調増加数列、{bn}_n∈N は単調減少数列で (∀n∈N) a_n< b_n

を満たすならば、次の(1), (2)が成り立つ。

(1) {a_n}_n∈N と{b_n}_n∈N は収束列である。そして A:= lim

n→∞a_n, B := lim

n→∞b_n とおくとき、

A≤B, (∀n ∈N) an ≤A≤B ≤bn. (2) lim

n→∞(b_n−a_n) = 0 ならば、lim

n→∞a_n= lim

n→∞b_n.

(証明に用いるのは、定理 2.15 と、命題 2.11 (の系) くらいである。) 証明

(1) ∀n ∈N に対して an ≤bn ≤b1 であるから、{an}n∈N は上界 b1 を持つので上に有界であ り、単調増加であるから、{a_n}_n∈N は収束し、極限は上限に等しい: A= sup{a_n|n ∈N}. 同様に、∀n ∈ N に対して b_n ≥ a_n ≥ a₁ であるから、{b_n}n∈N は下界 a₁ を持つので 下に有界であり、単調減少であるから、{b_n}_n∈N は収束し、極限は下界に等しい: B = inf{bn |n∈N}.

任意のn ∈Nに対して an ≤bn であるから (極限でも順序は保たれ) A = lim

n→∞an≤ lim

n→∞bn =B.

また

an ≤sup{an |n∈N}=A, B = inf{bn|n ∈N} ≤bn. (2) lim

n→∞(b_n−a_n) = 0 と仮定すると B−A= lim

n→∞b_n− lim

n→∞a_n = lim

n→∞(b_n−a_n) = 0 であるから A=B.

区間の記号 [A, B] は、普通 A < B の場合にのみ用いるが、次の証明では、A =B の場合 も [A, B] ={A} という意味で使うと約束する。

定理5.1の証明 In= [an, bn] で {an},{bn} を定めると、命題5.2 の仮定が満たされる。

A:= lim

n→∞a_n, B := lim

n→∞b_n とおくと、∀n∈N に対して a_n≤A≤B ≤b_n であるから、

[A, B]⊂[a_n, b_n] =I_n. ゆえに [A, B]⊂ ∩

n∈N

I_n である。

一方、x ∈ ∩

n∈N

I_n とするとき、任意の n ∈N に対して、x ∈ I_n であるから、a_n ≤x ≤ b_n. n → ∞として、A ≤x≤B. すなわち x∈[A, B]. ゆえに ∩

n∈N

I_n⊂[A, B].

ゆえに ∩

n∈N

I_n= [A, B]. 特に

∩∞ n=1

I_n̸=∅. A=B ならば c:=A=B とおくと、lim

n→∞a_n=A=c, lim

n→∞b_n =B =c,

∩∞ n∈N

I_n={c}. 余談 5.1 上の証明では用いなかったが

(∀m, n∈N) an < bm

が成り立つ。実際 n ≥m のときは、a_n < b_n ≤b_m. n < m のときは a_n ≤a_m < b_m であるか ら、いずれの場合も a_n< b_m.

問 65. 定理5.1 から、I_n が閉区間という条件を除くと、結論が成り立たないことを示せ。

(次の例は、後で中間値の定理を証明すれば、もっと簡単に議論できるので、授業では飛ば すと思う。)

例 5.3 (正数 p の m 乗根 ^m√

p の存在) p >0, m∈ N とするとき、p の m 乗根が存在する、

すなわち

(∃x >0) x^m =p が成り立つことを証明する²⁷。

a1 := 0, b1 :=

{

1 (p≤1) p (p >1) とおくと、0< a₁ < b₁, a^m₁ < p ≤b^m₁ .

n ∈N, 0< a_n< b_n, a^m_n < p < b^m_n とするとき、x:= a_n+b_n

2 とおく。x^m < p ならば

an+1 :=x, bn+1 :=bn, x^m ≥p ならば

a_n+1 :=a_n, b_n+1 :=p とおくと、

0< a_n≤a_n+1 < b_n+1 ≤b_n, a^m_n+1 < p≤b^m_n+1, b_n+1−a_n+1 = (b_n−a_n)/2.

ゆえに数列 {a_n}, {b_n}で、

0< a₁ ≤a₂ ≤ · · · , b₁ ≥b₂ ≥ · · · , (∀n ∈N) a_n < b_n∧a^m_n < p ≤b^m_n,

nlim→∞(b_n−a_n) = lim

n→∞

b₁−a₁ 2ⁿ⁻¹ = 0

27後で、連続関数を定義して、中間値の定理を証明して、色々な方程式の解の存在を示すことになるが、f(x) =x^m については、連続性に相当することが、命題2.7からすぐに導けるので、現時点で (連続性を定義することなし に)m乗根 ^m√pの存在証明が出来る。これは杉浦[2]に載っている例であるが、なかなか面白い。もちろん、中 間値の定理を知っていればその系になってしまうので、スキップしても問題はない。

を満たすものが作れる。区間縮小法の原理から (∃c∈R) lim

n→∞an = lim

n→∞bn=c.

このとき

c^m = (

nlim→∞a_n )m

= lim

n→∞(a^m_n)≤p, c^m = (

nlim→∞b_n )m

= lim

n→∞(b^m_n)≥p.

ゆえに

c^m =p.

問 66. 自然数m と正数p, εを入力したとき、例5.3 のa₁, b₁,a₂,b₂, a₃,b₃,· · · をb_n−a_n < ε となるまで計算するプログラムを作成せよ(ε は「要求精度」で、10⁻⁶ や 10⁻¹⁵ のような “小 さい”数を入力すると ^m√

p の近似値が高精度で求まる)。