方形ビーム波による光ファイパモードの励振

(1)

長崎大学工学部研究報告第 1 3 号昭和 5 4

年

7 月

方形ビーム波による光ファイパモードの励振

辻裕邦 * ・田中和雅ネ

E x c i t a t i o n o f O p t i c a l F i b e r Modes by a R e c t a n g u l a r Wave Beam

b y

H i r o k u n i TSUjI a n d Kazumasa TANAKA

( D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g )

The mode c o u p l i n g c o e f f i c i e n t s between fundamental modes o f r e c t a n g u l a r and c i r c u a l r wavebeams areused t o d i s c u s s t h e e x c i t a t i o n o f o p t i c a l f i b e r modes. The e f f e c t s o f t i l t o r o f f s e t ofaxes a r e i n v e s t i g a t e d through t h e c o e f f i c i e n t s . The f i b e r i s assumed t o be a graded index o p t i c a l f i b e r i n which t h e modes have t h e Laguerre‑

Gaussian f i e l d d i s t r i b u t i o n .

トまえがき X

‑WIS

‑ ‑ ‑ ‑

‑旬

、 . ・

45 F i g . 1 . C o u p l i n g b e t w e e n a n o f f ‑ a x i s r e c t ‑ a n g u l a r beam a n d a c i r c u l a r b e a m .

Z

光通信システムの光源として利用される半導体レーザの出力光は，その伝搬方向 (z 軸)に垂直な面上で正規分布した振幅をもつが，その界の広がり方が x 方向と

y

方向とでは一般に異なった方形ビーム波である.このようなビーム波が軸対称な光学系，たとえば光ファイパや円形開口に入射する場合の励振や回折の問題を議論するのは，異なった座標系が用いられるため一般に簡単ではない1)このような論議を行なうために，方形ピーム波を軸対称な任意の円形ビーム波の重ね合わせとして表わし，この重ね合わせの係数〈モード結合係数〉を用いて解析する方法が提案されている

2)

本論文ではこの解析法を発展させ，傾きや軸ずれのある方形ピーム波を円形ビーム波の重ね合わせとして表現し，光ファイパモードの励振問題を考察する.入射ビーム波は基本モードとし，偏波は直線偏波を仮定し議論はすべてスカラーで取り扱かう.

にそれぞれビームウェイスト

ZIS

，

Z2S

，そこでこの最小のスポットサイズ

WlS

，

W2S

を持つような方形ビ

2 . 軸ずれした方形ビーム波と円形ビーム波のモード結合係数

F i g . 1 に示すように， z 正方向に伝搬し， x ， y 方向

昭和5 4

年

4

月

2 6

日受理

本電気工学科

ーム波が x 方向に dだけずれた伝搬軸をもっとき，その基本モードは次のように表わされる

3)

ぽ f 〉勺 ( 伐

x

，

μ

一すす γ η 12 σ12( 匂 x 一d の ) 2 一 f を rη2 2 σ 内 2 2 匂 y2

十j

すくt a n ‑

¹~1 十 tan-¹

' 2 ) } ( 1 )

(2)

46 辻裕邦・田中和雅

ここで

ξ、＝2（・一…），

腎

η ＝ @V、＋ξ餐・（＝1・2）

σi2＝1＋jξi，

…一Z J・

で，k。は自由空間中での波数を表わす．

晦姻εps！q！（P＋q）！僻）

雨袴腔ρ魑繋

・砂｛j（一・）÷一一器｝｛（・＋2q）！

ρ確却（aoρo）＋（一・）m（・＋2q＋m）！

好mL謡群m（aoρo）｝（7）

n OQ Oo

ΣΣΣコ

^{（一1）s＋q}

（2）

いまモード展開法を用いて（1）式で与えられる方形ビーム波の基本モードを，z軸を伝搬軸とする任意の円形ビーム波の重ね合わせとして次のように表わす．

φεξ）（x，y，z）＝．ΣB器nψmn（r，θ，z）（3）

皿，n＝0

ここでψmn（r，θ，Z）は一般に次式で与えられる4）．

ψ一。・θ・の一蕩，m論！蜘恥圓｝

η（ηr）mL晋（η2r2）θ⑫｛一側η2σ2r2

＋j（2n＋m＋1）彦αη軸1ξ｝co5（mθ）

ただし

・m一 o1舗，

ξ＝2（z−Zcs）

η ＝：

ko Ws2

／7

， w・〆1＋ξ2

（4）

（5）

：曙1（X）は：Laguerreの多項式である．（4）式はz軸

を伝記軸とし，Z＝Z・・に最小のスポットサイズW・・

を持つ円形ビーム波を表わしている．

（3）式の｛B謝｝すなわち方形ビーム波の基本モードを円形ビーム波の重ね合わせとして表現するさいの重ね合わせの係数はこの式に（4）式の複素共役をかけ，任意のZ＝ZO面上で積分すればビームモードの直交性を用いることによりただちに次のように表わすことが出

来る．

劇『∫四三ψ温仏轍dθ

（6）

ここで＊は複素共役を示す．（6）式は前節で述べたよう

に座標系が異なる被積分関数を含んでいるため多少複雑となるが，回折問題と異なりrに関して無限積分であるので次のように解析的に表わすことが出来る．5）

ただし

α・一捻（η1・2σ・・2一…2σ・・2）

ρ・÷（…2σ・・2＋…2…2＋2・・2σ・2＊）（8）

・・一÷…4σ1・・d2

とした．また各パラメータの添字電曜0 はz＝・Zoでの値

を示している．⑦式は軸ずれがある場合の方形ビーム波め基本モードを任意の円形ビーム波の重ね合わせとして表わしたときの係数すなわちモード結合係数を表

わす．

3．傾いた方形ビーム波と円形ビーム波のモード結合係数

（Xノ，．y ， Z ）座標系においてZ 軸を伝搬軸とし，

X

Cy 方向にそれぞれzl， Z6に最小のスポットサイ

・ズW1・，W2・を持つ方形ビーム波を考える．このビーム波をFig．2に示すような，この座標系に対して θ0だけ回転した（X，y， Z）座標系からみた方形ビー

ム波は次式で表わされる．6）

φ診・（・，・，かノ

_η1η2

B謝一2／総藍1！ゆ｛焔・一・・）

一う「互％σ蜜od2＋j（ α7z−1ξ10＋渉α7z−1ξ20）

一j（2n＋m＋1）彦απ閏ユξ。｝

■

π2 ＋μμ団oo∫θo

Fig．2 Coupling between a tilted rectangular

beam and a circular beam．

〜

(3)

方形ビーム波による光ファイバ一モードの励振 47

ここで

θ⑫｛一jko sづπθo（x−XLS）

一jko OO∫θ0（Z−ZLS）一壱η12σ、2

（X−Z∫απθ0）2一一塗rη22σ22y2 十j（μ岩壁）渉απ一1ξ1十1（〃十壱）

オα7z−1ξ2｝H：μ〔η1（x−zψαπθo）〕

g （η2y）

η1＝・η2＝

w2・／1＋ξ22

w、、〆1＋ξ、2

ξ・一

ﾈ職・魏一2（Zr認co3妬・

ゾ！2co∫θo γ／7

，

（9）

（10）

とした．H〃（X）はH：ermiteの多項式である．

いま（9）式で与えられる傾いた方形ビーム波の基本モ

ードを任意の円形ビーム波の重ね合わせとして次のよ

うに表現する．

φ68）（x，y，z）＝ΣC論nψmn（r，θ，z）（11）

皿，n鷺0

ここで｛C器n｝は傾いた方形ビーム波に対する円形ビーム波の重ね合わせの係数である．これを求める方法はすでに前節で示したのでその結果だけを示す．5）

C譜一2／、ml鵠！嘱・ψ［jk・

｛zo（1−co5θo）→一（zLs 605θo圃一zcs）

十XLS CO∫θ0｝一う一η102σ102 ZO2渉αη2θ0 十5一査〈 αη一1ξ10十乱zπ鞠1ξ20）一j（2n

＋m＋・）・・ガ・島］二黒属

・，話言1〜詳q）1鱒）轡1

（争〉㌦膿1畢1ゆ｛j（m一・）

号一一筈｝｛（・＋2q）！ρ・m

Ll剛岳）＋（一・）血（・＋2q＋m）！

bゴmL彗翻誓）｝（・2）

ただしρo，αoは（8）式と同じ式で定義され，また

bo＝一を（ko s∫πθo−jη102σ102 zo渉απθo）2 （13）

とした．

4．光ファイバの励振

これまで多くの文献によって報告されている光ファイノミの励振問題はおもに円形ビーム波を入射波として

議論されている．7）・8）一方光通信に用いられる光源と

しての半導体レーザの出力光は方形ビーム波であり，

これを光ファイバに入射する際シリンドリカルレソズを用いて円形ビーム波に変換する方法が一般に行なわれているが，このときの調整が容易でなく，完全な円形からずれたビーム波となる場合がある．これらの影響を考慮するには一般に方形ビーム波による励振問題を解析する必要がある．そこでいまFig．3のようにグレイディッドイソデヅクス型ファイバに方形ビーム波の基本モードが入射した場合を考えてみる．

入射ビーム波をFiとし，ファイバ内の界をFt，、

また反射波をF・とする，入射ビーム波は直線偏波しているとして磁界方向にy軸をとり，TEM波近似を使えば電界はx方向のみとなるから，境界条件とMax・

we11の方程式により境界面z＝Zoにおいて次式が得

られる．

X

Fiber

、Fi 〜胎、、、、隔

｝隔一 Fr、、、＿鯛一

＝二

鱒脚一一一

」一

vf

一W6 1 _開

，一一 C

一一一一@ 一一一鵯鴨

@ ，

@ ZLS／

＝

Zo

噂＿一隔＿＿』一扁，＿＿

（a） off−axis incidεnce

×

Z

Fr、、

Fiber

、

！ F†

m ^{．一輯幽一}

@一一一

ZLS ／

Wf

輪s， 1 ^θo

1 ｛

Eレノ

@ ，一z禁

、

一麟鱒脚一，．騨@一一剛

，託 XLS ZQ

Z

（b）tilted incidence

Fig．3 Excitation o f a graded−index optical fiber by a rectangu1母r wave beam．

Fi，Fr，and Ft are incident， reflected，

and transmitted waves， respectively．

(4)

48

辻・

裕邦・由中・和誤

断晶㌧券■御）

ここでnをグレイディッドイソデックスの屈折率としこれが次式で与えられるとする．

n2＝ no2− no n1（x2十y2）（15）

noはファイバの中心での屈折率であり，ゾn1／noは屈折率の集中の程度を示している．入射ビーム波を方形

ビーム波の基本モードとし，反射波と透過波をモード展開法を用いてそれぞれ

Fi＝φoo（i）（x， y， Zo），

F・＝ B翻蹄（・…勾・（、6）

Ft・＝ΣTi鈷nψ畠盈（r，θ， Zo），

m，n＝0

と表現することにより，反射ビーム波は入射ビーム波『

と逆方向に進む方形ビーム波の重ね合わせ，また透過ビーム波はファイバの固有ビームモードの重ね合わせとして表わされる．この重ね合わせの係数｛R｛鈴，

｛T論n｝はそれぞれ入射波と反射波の（μ，のモード，

入射波とファイバの固有（m，n）モードの結合係数を表わす．光ファイバの固有ビーム、モードは光ファイノミの屈折率分布によって決定され，それが⑮式で与え

られるとき次式のように表わされる．5）

ψ61）（・・…）一〆÷w，事／（諄お！！εp

（rWf）PL号（器）・⑫｛一（÷）琴

一」βpq Z｝co5（pθ）（17）

ここでWfは固有スポットサイズと呼ばれ，βpqはz 方向への伝搬定数を示し，それぞれ

w高取恥／

煽一一2（P＋2q＋・W司（18）

である．⑯式を⑭式に代入し，ビームモード関数の直交性を利用すれば次式を得る．

R耀一謡謡1∫∫》ωα…勾

φ躍＊（・・y…）d・dy

T認斎鴇∫『∫：鞭國

ψ5ξ）＊（r，θ，Zo）rdrdθ

（19）

（20）

⑲式において，反射波を表現するために用いたビーム

モード｛φ鋤総意である・そこで・・ま・このビーム波のパラメータを入射ビーム波φ68）と入射面に対して鏡像の関係になるように選べば⑩式の積分は次式となる．

R誰一1：器：；≡謡｝編器、。1，。δ・・輪（21）

ここでδmnはKroneckerのデルタ記号である．

つぎに⑳式は直接計算するには煩雑であり，得られる結果も見通しのよい議論を行うには不適当である．

そこでさきに述べた方形ビーム波を円形ビーム波の重ね合わせで表わす方法を利用することにより同じ座標系の議論に帰着させることが出来る．これを用いれば

次式を得る．

T認一・∫『∫1胤1脚ψ一瞬

ψ6｛）＊（r，θ，Zo）rdrdθ （22）

ここで

・一

[鴇（23）

であり，また瑞nは軸ずれ入射の場合（7）式のB81n，傾め入射の場合⑫式のC31nを示し，軸上垂直入射の場合は文献2）の⑭式によって与えられる．㈱式のψm。

（r，θ，Zo），ψ1｛）（r，θ，Zo）はそれぞれ（4）式と⑰式で示さ

れるが，θに関する積分を行うことによりp≒mのときこの積分は0となることがわかる．rに関しては展開に用いた円形ビーム波のパラメータの任意性を利用し，Z＝ZO， Ws・＝Wf とおくことによりビームモードの直交性が利用出来る．すなわち光ファイノミの入射面は伝搬軸に垂直な平面となっているが，展開に用いたビーム波のビームウェイストの位置をこの入射面上におき，そこでのスポットサイズを光ファイバの固有スポットサイズと一致させる．この条件の下で㈲式は

次のように表わされる．

T88＝tI瀦nθ彫｝｛」βpqzo｝δmPδnq （24）

5．数値計算

前節の議論からも明らかなように方形ビーム波によ

る光ファイバモードの励振問題は方形ビーム波と円形

ビーム波の結合係数を利用することにより解析が容易

になる．実験では多くの場合パワーが測定されるがそ

の値は（24）式の絶対値に比例する．また（23）式のtは

光ファイバの屈折率分布で決まるので（24）式より透過

(5)

方形ピー1ム波による光ラァイバ㌫モードの励振 49 波のモード結合係数は単に方形ビーム波と円形ビーム

波のモード結合係数：に比例することになり，lI瀦nl の解析に帰着する．しかしながらこの解析は（7）式および（12）式からわかるように二重無限級数と含んでおり，パラメータの値によっては計算機を用いてもかなりの演算時間を必要とする．しかし反射波および光ファイ・ミ中のモードを軸対称なもの，すなわちm＝0に限れば無限級数が消え，結合係数を次のような有限級数として表わすごとが出来る．すなわち，

軸ずれした場合

B83−2加411識御｛焔・一・？・》．

＋寺（伽『1ξ・・伽一1ξ・・）一j（2・＋・）

・・ガ1ξ・一青η1・2σ・・2d2（1＿η10臼σ 10 ρ02）｝

嵩≒1）s（2（n−sI1一S））歩（舞）s

（審r呪鷹雛］（25）

傾きのある場合

C88−2・・聯1。翫・⑫［jk・｛・・（・一…θ・｝

＋（ZLS OO3θ。一ZGS）＋XLS 5ゴπθ。｝

＋÷伽一1ξ・・＋・ガ1ξ・・）

一j（2n＋m＋1）如π一1ξ。一青η1。2σ1。2z。2

酬（j下賜一ﾃ鯉回

気（量｝〉（2〜握s））歩幅（缶）心

ψ（η102σ102ZO απθ0−jko∫ゴπθ0 （ρ1。α、1）査）］

（26）

となる．ここで、

lll＝霧之欝｝（i一・・2）（27）

とした．これらの式の絶対値を計算したのがFig・4ッ6 である．Fig．4は軸ずれした方形ビ「ム波と円形ビー

ム波の結合係数を示している．（a）はw1、＝w2，のとき

で）これは方形ビーム波が円形ビーム波となってしま

うので，軸ずれのない場合には基本モーF㊧みで表わされる．軸ずれが生じると重ね合わせに必要な高次モードの数が増加するが，軸ずれ量がスポットサイズの 50％以下であればほとんど基本モードのみで表わされ

る．（b）はwエ，／w2、＝0．5のときである．軸ずれのな

lB：：1

Lo

O．5

n乙Q

2 3

覇麓：；1：8

d／w、、

3，0 4．o

w16／w2、＝1．0

1B：：1 1．o

O．5

。ρδ．o

1，0 20

（a）w、／w2、＝1．0，

n＝o

2

1B：謎

［ρ

n＝o

添地：占：1，

O，5

2 3

㍑1鞄：占：ε

oρQO I．0 2．0 30 40 d／W」s

（c） ws／w2s＝1．0， wls／w2s＝・0．25

iB謝しO

O．5 nゴO

2 3

W巴！W璽520，707 W5！Wa830．5

αo・。 1．・ 2。 … 。d／w・・。％．・ 1。，。旦。。。d／鴨

（b） ws／w2s＝1．0， wls／w2s＝0．5 （d） ws／w2s＝ 0．707， wls／w2s＝・0．5 Fig．4 CoupIing coefficients between an off−axis rectangular fundamental beam mode TEMoo and circular beam modes．｛TEMon｝．

宙1s and w2s are the spot sizes of the rectangular wave beam in x and y direc−

tions， respectively， and ws is the spot size of the circular wave beam．

(6)

50･ tf ws' su･M *･ iFP me

IC:n.I l.O

O.8

O.6

OA

O.2

o,o

n=o

l

2

3

/

W,,ISAE,=O.5 1:lt¥!ir,s#t.o '

IC:zl O.3

O.2

o.t

5 10

e

7 (deg}

Zo= Zs

o･Oo

(c)

5

IO 2

l

n=Q

WtslSAEs=O.5 va/Nftts=1,O zoto,o Zs=O.5mm

l2 Wls/W2s =O o

(a) Wls/W2,==O.5 456 , Ws/W2s==1,O,

34 ,5, ws/w2s =1･

5 o,

6 7(deg}

lzo‑zs] =o.smm.

e

ICg",I 1.0

O.8

O.6

O.4

O.2

o.o

ntO

s

3 5

thn,1ve,!o.2s va!VVtss= 1 .0 Ze= Zs

IC::l

‑i .o

O.8

O.6

O.4

O,2

IO

Ol (b)

O,5nm

t.Omrn

5.0 rnm

zs ‑‑ O.Omm

WTs!YNEs=b.5 thig1vvas= 1 .o

k=O.Orm

2 3 4 5 6 7cdeg) (E)' O l 2 3 4 5

'

wis/w2s==O.25, ws/w2s=1.0, zo==zs (d) wis/w2s==O.5, ws/w2s=:1.0,

Fig. 5 Coupling coefficients between a tilted rectangular fundamental mode TEMoo and circular beqm modes {TEMen}.

o.o

6

zo =O.O,

e

7{deg)'

(7)

方形ビーム波による光ファイバモードの励振

⁵¹

いときでもビーム波が方形であるための効果が出ているが，重ね合わせに必要なモード数はわずかである．

軸ずれが生じると高次モードに対してはその結合係数に変動が見られる．これらのことからファイバを方形ビーム波で励振する場合，伝搬軸をその固有スポットサイズの40〜50％程度ファイバの軸からずらしてもかなりの基本モードが励振されることがわかる．（c）は w1、／w2，＝0．25のときで，方形ビーム波のスポットサイズが長方形になるにつれて重ね合わせに必要な項が増す．また軸ずれに対しても敏感になる．以上のことから，それほど円形からずれていない方形ビーム波は軸ずれの影響はあまり大きくないと考えられる．

（d）はw1、／w2、＝0．5のとき，円形ビーム波のスポットサイズが基本モード間の最大の結合係数を与える

W、＝｝／Wエ、W2，の場合の曲線である．図からWB／W2、

＝1．0からずれるにしたがって高次モードの変動は小さくなり，反面多くのモードが必要となることがわかる．これらのことから，軸ずれ量がその方向のスポットサイズの50％以下であれば方形ビーム波のx，y方向のスポットサイズの比が1．0から多少ずれてもw・＝

〆W1，W2，に円形ビーム波のスポットサイズを選ぶことでほとんど基本モードのみで表現できることがわかっ

た．

つぎに傾きに対する影響を解析したのがFig．5である・（a），（b）は両ビームウエイストの位置が一致

した場合で，n＝10まで示している．w1，／w2，＝0．5の

場合，θ＝0のときでも多くのモードの重ね合わせを必要としている．傾きが生じると変換される基本モー

ドは急速に減少しθ＝4．5。になると（0，1）モードの方

が大きくなり方形ビーム波の基本モードを円形ビーム波の基本モードのみで表わすにはwユs／w23＝0．5でせいぜいθ＝1．0。程度までにすぎない．w1、／w2、＝

0．25と方形ビーム波が長方形になるにつれて，傾きが小さくとも非常に多くの重ね合わせが必要となり，また角度に対しては鈍感となる．（c）は両ビーム波のビームウエイストの位置がずれた場合のもので，角度に対して非常に複雑な変化を示す．また変換された円形ビーム波のモードは同程度の大きさで，ずれない場合の数倍の重ね合わせを必要とする．（d）はビームウエイストの位置がずれた場合の基本モードの変化を示している．図よりずれが0．5mmでも基本モードの大き

さは1／3以下となることがわかる．

6．むすび

光通信に用いられる半導体レーザは方形のスポットサイズを持っており，これをシリソドリカルレンズを

用いて円形ビーム波に変換してファイバに入射させるが，この調整が一般に容易でない．本論文では完全な円形でない場合に軸ずれや傾きが生じたときの解析の方法を示した．入射方形ビーム波のx，y方向のスポットサイズの比が1．0よりずれるにしたがって，これを円形ビーム波の重ね合わせで表わすには多くの高次モードを必要とするが，軸ずれや傾きに対しては次第に鈍くなる．またファイバの基本モードを多く励振するには軸ずれはせいぜいスポットサイズの40〜50％，また傾きに対しては1。程度までである．さらに入射面とビーム波の等位相面の曲率を一致させることが重要で

あることがわかった．

本論文の解析方法は重ね合わせに用いる円形ビーム波の任意パラメータを適当に選択することによって議論を非常に簡単にするという利点を持ち，ここで示した例以外にも多くの応用が出来ると考えられる．

おわりに日頃御指導いただく九州大学福光教授に感謝する．

参考文献

1）田中：聖鯉口によるビーム波の回折に関する一考察，電気四学会九州支部連合会，・117，1976．

2）辻，松橋，田中：般ビーム波の回折問題に対するモード展開法の一応用，長崎大学工学部研究報告，第10号，pp．7−12（昭和52年12月）

3） G．D． Boyd and J． P． Gordon：璽℃onfocal

Multimode Resonator for Millimeter Through Optical Wavelength Masers ，耳． S． T． J．，

Vo1．40， No．3， pp．489−508（March 1961）．

4） G．Goubau and F．Schwering：更ぐOn the guid−

ed propagation ofelectromagnetic wave beams ， IRE Trans．Antennas Propagation， Vol．Ap−9，

No．5， pp．248−256（May 1961）．

5）辻：璽ヒ方形ビーム波と円形ビーム波の結合係数およびその応用，長崎大学大学院工学研究科修士論文（昭和54年3月）

6） K：．Tanaka：聖qDiffraction of an obIiquely in−

cident wave beam by a rectangular aperture ， 0pt． Commun．， VoL 12， No．2， pp．168−174 （1974）．

7）R．Sammut， C． Pask， and A． W． Snyder：

璽量Excitation and power of the unbound modes

within a circular dielectric waveguide ， Proc．

IEE， VoL 122， No．1， pp．25−33（Jan．1975）．

8）M．Mostafavi， T． Itoh， and R． Mittra：

(8)

52 re

16 $･as * $p #B

ttExeitation‑ Of

beam", Appl.

‑2193 (Sept.

an optical fiber by a Gaussian Opt., Vol. 14, No. 9, pp.2190

1975).

9) D. Marcuse Van Nostrand

: Light Transrnission Reinhold, New York,

Optics

1972.

方形ビーム波による光ファイパモードの励振

長崎大学工学部研究報告第 1 3 号 昭 和 5 4

7 月

方形ビーム波による光ファイパモードの励振

辻 裕 邦 * ・ 田 中 和 雅 ネ

E x c i t a t i o n o f O p t i c a l F i b e r Modes by a R e c t a n g u l a r Wave Beam

b y

H i r o k u n i TSUjI a n d Kazumasa TANAKA

( D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g )

Gaussian f i e l d d i s t r i b u t i o n .

ト まえがき X

‑WIS

‑ ‑ ‑ ‑

、 . ・

45

F i g . 1 . C o u p l i n g b e t w e e n a n o f f ‑ a x i s r e c t ‑ a n g u l a r beam a n d a c i r c u l a r b e a m .

Z

光通信システムの光源として利用される半導体レー ザの出力光は，その伝搬方向 (z 軸)に垂直な面上で 正規分布した振幅をもつが，その界の広がり方が x 方 向と

にそれぞれビームウェイスト

，

，そこでこの最 小のスポットサイズ

，

を持つような方形ビ

2 . 軸ずれした方形ビーム波と円形ビーム波のモード 結合係数

F i g . 1 に示すように， z 正方向に伝搬し， x ， y 方向

昭和5 4

4

2 6

本電気工学科

ーム波が x 方向に dだけずれた伝搬軸をもっとき，そ の基本モードは次のように表わされる

ぽ f 〉 勺 ( 伐

，

一 す す γ η 12 σ12( 匂 x 一d の ) 2 一 f を rη2 2 σ 内 2 2 匂 y2

すくt a n ‑

' 2 ) } ( 1 )

46 辻 裕邦・田中和雅

腎

σi2＝1＋jξi，

…一Z J・

で，k。は自由空間中での波数を表わす．

晦姻εps！q！（P＋q）！僻）

雨袴腔ρ魑繋

・砂｛j（一・）÷一一器｝｛（・＋2q）！

好mL謡群m（aoρo）｝ （7）

ΣΣΣコ

いまモード展開法を用いて（1）式で与えられる方形ビ ーム波の基本モードを，z軸を伝搬軸とする任意の円 形ビーム波の重ね合わせとして次のように表わす．

ここでψmn（r，θ，Z）は一般に次式で与えられる4）．

ψ一。・θ・の一蕩，m論！蜘恥圓｝

η（ηr）mL晋（η2r2）θ⑫｛一側η2σ2r2

ただし

・m一 o1舗，

ξ＝2（z−Zcs）

／7

， w・〆1＋ξ2

を伝記軸とし，Z＝Z・・に最小のスポットサイズW・・

を持つ円形ビーム波を表わしている．

劇『∫四三ψ温仏轍dθ

（6）

に座標系が異なる被積分関数を含んでいるため多少複 雑となるが，回折問題と異なりrに関して無限積分で あるので次のように解析的に表わすことが出来る．5）

ただし

を示している．⑦式は軸ずれがある場合の方形ビーム 波め基本モードを任意の円形ビーム波の重ね合わせと して表わしたときの係数すなわちモード結合係数を表

3．傾いた方形ビーム波と円形ビーム波のモード結合 係数

（Xノ，．y ， Z ）座標系においてZ 軸を伝搬軸とし，

Cy 方向にそれぞれzl， Z6に最小のスポットサイ

・ズW1・，W2・を持つ方形ビーム波を考える．このビ ーム波をFig．2に示すような，この座標系に対して θ0だけ回転した（X，y， Z）座標系からみた方形ビー

φ診・（・，・，かノ

B謝一2／総藍1！ゆ｛焔・一・・）

π2 ＋μμ団oo∫θo

beam and a circular beam．

〜

方形ビーム波による光ファイバ 一モードの励振 47

一jko OO∫θ0（Z−ZLS）一壱η12σ、2

w、、〆1＋ξ、2

ﾈ職・魏一2（Zr認co3妬・

とした．H〃（X）はH：ermiteの多項式である．

ードを任意の円形ビーム波の重ね合わせとして次のよ

うに表現する．

φ68）（x，y，z）＝ΣC論nψmn（r，θ，z） （11）

皿，n鷺0

ここで｛C器n｝は傾いた方形ビーム波に対する円形ビ ーム波の重ね合わせの係数である．これを求める方法 はすでに前節で示したのでその結果だけを示す．5）

長崎大学工学部研究報告第 1 3 号昭和 5 4

辻裕邦 * ・田中和雅ネ

トまえがき X

光通信システムの光源として利用される半導体レーザの出力光は，その伝搬方向 (z 軸)に垂直な面上で正規分布した振幅をもつが，その界の広がり方が x 方向と

，そこでこの最小のスポットサイズ

2 . 軸ずれした方形ビーム波と円形ビーム波のモード結合係数

ーム波が x 方向に dだけずれた伝搬軸をもっとき，その基本モードは次のように表わされる

ぽ f 〉勺 ( 伐

一すす γ η 12 σ12( 匂 x 一d の ) 2 一 f を rη2 2 σ 内 2 2 匂 y2

46 辻裕邦・田中和雅

好mL謡群m（aoρo）｝（7）

いまモード展開法を用いて（1）式で与えられる方形ビーム波の基本モードを，z軸を伝搬軸とする任意の円形ビーム波の重ね合わせとして次のように表わす．

に座標系が異なる被積分関数を含んでいるため多少複雑となるが，回折問題と異なりrに関して無限積分であるので次のように解析的に表わすことが出来る．5）

を示している．⑦式は軸ずれがある場合の方形ビーム波め基本モードを任意の円形ビーム波の重ね合わせとして表わしたときの係数すなわちモード結合係数を表

3．傾いた方形ビーム波と円形ビーム波のモード結合係数

・ズW1・，W2・を持つ方形ビーム波を考える．このビーム波をFig．2に示すような，この座標系に対して θ0だけ回転した（X，y， Z）座標系からみた方形ビー

方形ビーム波による光ファイバ一モードの励振 47

φ68）（x，y，z）＝ΣC論nψmn（r，θ，z）（11）

ここで｛C器n｝は傾いた方形ビーム波に対する円形ビーム波の重ね合わせの係数である．これを求める方法はすでに前節で示したのでその結果だけを示す．5）

bゴmL彗翻誓）｝（・2）

これまで多くの文献によって報告されている光ファイノミの励振問題はおもに円形ビーム波を入射波として

また反射波をF・とする，入射ビーム波は直線偏波しているとして磁界方向にy軸をとり，TEM波近似を使えば電界はx方向のみとなるから，境界条件とMax・

輪s， 1 ^θo

裕邦・由中・和誤

ここでnをグレイディッドイソデックスの屈折率としこれが次式で与えられるとする．

n2＝ no2− no n1（x2十y2）（15）

noはファイバの中心での屈折率であり，ゾn1／noは屈折率の集中の程度を示している．入射ビーム波を方形

ビーム波の基本モードとし，反射波と透過波をモード展開法を用いてそれぞれ

F・＝ B翻蹄（・…勾・（、6）

と逆方向に進む方形ビーム波の重ね合わせ，また透過ビーム波はファイバの固有ビームモードの重ね合わせとして表わされる．この重ね合わせの係数｛R｛鈴，

入射波とファイバの固有（m，n）モードの結合係数を表わす．光ファイバの固有ビーム、モードは光ファイノミの屈折率分布によって決定され，それが⑮式で与え

w高取恥／

である．⑯式を⑭式に代入し，ビームモード関数の直交性を利用すれば次式を得る．

モード｛φ鋤総意である・そこで・・ま・このビーム波のパラメータを入射ビーム波φ68）と入射面に対して鏡像の関係になるように選べば⑩式の積分は次式となる．

R誰一1：器：；≡謡｝編器、。1，。δ・・輪（21）

つぎに⑳式は直接計算するには煩雑であり，得られる結果も見通しのよい議論を行うには不適当である．

そこでさきに述べた方形ビーム波を円形ビーム波の重ね合わせで表わす方法を利用することにより同じ座標系の議論に帰着させることが出来る．これを用いれば