ランダム系列に関する一考察
小 野 英 夫＊
序
いくつかの標識の集合を考える場合，その要素を全く無規則に並べたものがランダム系 列である。例えば，乱数表などはその一例である。1919年，Richard Von Misesがこの
ようなものをコレクティブ（Kollektiv）と呼んでそれの満足すべき条件を提唱し，確率論 の基礎としようとした。M三sesは，一つの系列のランダム性をその系列から「項位選出」
によって部分系列を選出し，その部分系列の各標識の相対頻度の極限が，もとの系列にお けるその標識の相対頻度の極限に等しいということにその特徴をもとめた。
Misesの確率論の基礎をなすものは， Kollektivである。
二つの標識0，1をもつ標識系列
7211， 7／Z2， 力23， ・．舎・．・
が・つぎの二つの条件を満足するとき，この系列をKollektivといっている。
（条件1）標識系列の最初の11項のうち，0と1なる標識をもつ項の数をそれぞれ210，
11エとすれぽ
短．．÷＝P・煙÷＝9＝1−P なる極限値が存在する。
（条件2）標識系列f721，711，，…， 711。， ・・なる原系列からある「項位選出」によって得ら れる「すべて」の部分系列をつくるとき，その部分系列において最初の71「項のうち，0，
1なる標識をもつ項の数をそれぞれn o，ヵ 1とすれぽ
4↑t MI
1im牛一あlim与一9−1−P
n「→oo lln「→oo n ηt→co n
である。ここでいう「項位選出」とは，系列のある項をぬき出すかどうかを，その項の標 識が何であるかによらないで定めるものである。例えば標識系列7121，7112，7113，…から部 分系列1，Zil，111i2，7ni3，…を抜き出す方法で，次のようなものを考える。まず711、を抜き 出して，部分系列の第1項にするか否かは，m、の何であるかには無関係に定める。次に 7n2を抜き出して部分系列の項とするか否かは，1711が何であるかという知識を使っても良 いが，1112の何であるかには無関係に定める。一殻に111iを抜き出すか否かは，7711， M2，
7713，…，7？li．1の知識は使っても良いが，11ti自体何であるかということは用いずに定める。
このようにして，原標識系列から部分系列を抜き出すことを「項位選出」とMisesは，
定義した。
＊ 一般教養助教授 数学
最初にMisesが条件2において「すべての」項位選出を許すといったこのような考え に対して批判がなされ，論理的矛盾の例が作られている。このような異議に対し，1937年 Von A． Waldは，「項位選出」の数が，せいぜい可附番個ならば，そのような矛盾は起 らないことを示した。Misesのいった「すべて」という言葉も，人間の行為として出来る すべてと考えれぽ，その数は可附番以上にでることはないから，その制限は不適当でない
と考えられる。したがって，「項位選出」が可附番個であるならば，Kollektivは存在する ということが証明されたのは，非常に都合のよいことである。
本論文では，これらのことを見渡した上で0，1系列についてその中に現われる順列を パターンとして注目し，考察することを考えた。この考えは，Popperが1935年に取り上 げていたのでこれを参照，検討して考察を進めた。そしてまずPopperの論文から示唆さ れるものを，具体的現実の取扱いに適応させることを考えた。ここで行なわれる主な考え 方は，0，1系列の中に一つの7z項順列πnが現われるとき，その直後にくる0，1の頻 度を着眼することである。そしてこの頻度が2n個のフ2項順列rnについてすべて等しく かつこれがもとの系列の0と1の頻度と同じ場合に，その系列をn・freeとよぶ。これは パターソXnの後につづくものが，このパターンに無関係なことを示すと考えられて，π。
による「after effectがない」とみなされる。
Popperの論文は，標本空間Mがもっばら二つの要素から成り立っている場合につい て，「after effectのない系列」を作る為に，一つのある構成方法を提示し，ランダムな経 験に近似する数学系列（mathematical sequence）を見つけ出そうと試みている。これは71−
free O，1系列なるものを出発点として， absolute freeな0，1系列なる概念を導き，その absolute freeな0，1系列をランダム系列と定義している。ここでいうabsolute freeと はあらゆる自然数71についてn・freeである系列のことである。
さて，これらのことを参考にここでは次のことを私は提案した。すなわち，ある系列の ラソダム性を検定する場合にこの「71・freeの性質」を使うことである。日常の作業におい てある系列のランダム性を検定する手段として，「連による検定」やrz2一検定（組合せ検 定）」などが行なわれている。実際これらの二つの検定によってランダム系列と認められ た系列にafter effectのあるか否かを調べると，確かに「after effectがない系列」とな っていることが確認される実例もある。しかしこれらの両検定によってランダム系列と認 められた系列でも必ずしも rafter effectがない」といえない系列があるかも知れないと 考え，その実例を捜索した。その結果，この両検定のいずれにも十分に合格した系列であ りながら，after eft ectがある系列，すなわち7z−freeでない系列を二，三見い出すことが 出来た。after effectがあるということは，ランダム性としては当然望ましくない性質で ある。この実例から「z2一検定」や「連による検定」によって，系列の大域にわたっての頻 度の安定性が確かめられるとしても，after effectをともなうというような系列のこまかい
ところでのdisorderは，これらの検定によっては見破られないという注目すべき事実を 発見した。このようなことから，ある系列がランダムであるか否かを検定するとき，この
r72・freeの性質」を使うことを提案した。以上のことに関しては第3節において論じる。
これらは，この論文の主要点の一つである。
の顯元㌶惣㌶1蕊監㌘灘蕪語号
の頻度比が，1：1のときだけしか示されていなかったものを頻度比が，任意の整数比のと
きまでに一般化したものである。Popperは，その論文の中でn・freeの作り方において1−
・・ee，・2−f・ee，・3−・・ee，…，の系 ‖の・と・の樹頻貯一丁の場合・・つ・・ての一つの具 体的な作り方をのべ，71・freeということを土台にして議論を展開している。しかし相対頻
度力埼とかほとか・…・搬・・h− （既約微…＞r）のときに…どの・うにし て作るのかはっきり示していない。これらの問題に対して，一つのn・free系列を作ると
き，0と1の配列の可能なすべての71項順列πnを考えて，これに続く項の選択法に着 目した。そしてランダムな経験に近似する数学系列（mathematical sequence）を作ること
を試輪本講究では，・の欄頻度aF（・）一｝却）一る剛）一§の場合を取り上
げ，実際にn・free系列を作る実例を示した。
て使用することができる。この場合，すべてのll項順列πnの中であるπ項順列π。は 頻繁に使われ，あるn項順列ππは，頻繁に使われないが，しかし，0と1の割り合い，
順序は一定になっており相対頻度Pは，与えられた値を持っている。したがってこの方 法はPopperのn・free系列の作り方より明確になり，拡張使用できる。これらに関して は第4節において論じられる。これは本論文における主要点の一つである。
第5節においては，lz−free系列中には，0，1の2n個の71項順列πnのいずれもが，
必ず現われてくるということについて論じる。したがって，71−freeな0，1系列は， Iz がどのように大きな整数であっても，またαにおける0の相対頻度aF（0）＝772．（既約分 数，771＞r）が，どんな771，7 でも作れることが示された。
つぎに，無限O，1系列αが，「71・freeであるならば，αは（ll−1）・freeである」こと を示した。すなわち，71・freeが検証されれば，71より小さい整数KにっいてのK−free をいちいち検証する必要はなくなる。これによってある十分大きな72について系列が71・
freeであることを示せば，それが， absolute free系列に良く接近することが示される。
これに関しては，第6節において論ぜられる。なお，これらの検討については，佐藤良一 郎氏（未発表論文）の示唆に負うところが多い。
以上lz項順列πnをパターンとして注目し，これにもとついて，π・freeなる概念を基 礎にし，after effectについての問題について論ぜられた。実は， after effectに関しては，
これに先立ち，一殻の標識系列について，H． Reichenbachが考察した業績があり，これ を結びつけて前節までの考察を補完することも意味があると思われたので以下にこれに関
して取り上げた。
Hans Reichenbachは， normal系列というものを考えた。 Reichenbachによれば，ラ ンダム系列であるというためには，「after effectから自由」という性質は必要であるが十 分ではない。その十分条件としては，規則的分割（the regular division）（例えば，7番目
の項的の選出）によって，原系列Aより項位選出（この選出をSとする）された部分 系列においてのBの頻度P（A．S， B）が，原系列におけるBの頻度P（A， B）と等しい
ことを条件とした。
ランダム系列の一つの特性としてafter effectがないということが望ましく，Popper の11・freeはこのことを実現する一つの手段であった。またabsolute freeといったくり 返して作った数学系列をもってランダムへの近似を試みたわけだが，Popperの作った方 法は長さ2n＋1でもとにもどり，以後はこの循環節のくり返しになる。また第5節で示し
20
た作り方においてもmn＋1の循環節のくり返しになる。しかし，このような数学系列はそ の循環が，十分に長けれぽその一部分をとってランダムと考えられる有限系列に近似でき るであろうが，これを無限に循環させては，周期的になるというランダムとしては，不適 格な性質をもつことになる。したがってrafter effectがない」だけでは不十分で， periodic の選出を調べなけれぽならない。これを解決するためにReichenbachの理論を参照し，
前節であげた2，000回のサイコロ投げで作った自然系列などをReichenbachの理論にあ てはめたらどうなるかを調べた。その結果，良き一致を得られることを確認した。これら に関しては，第7節，第8節，第9節において論じられる。
第1節 n・free系列 定義
0，1を項とする有限または無限の系列を，0，1系列（altemative sequence）という。
つぎの系列αを0011を循環節とする無限0，1系列であるとする
（α）0011001100110011001−・・
ここで，この系列αにおける0の相対頻度を。F（0），1の相対頻度をaF（1）と表わす ことにする。
系列αにおいて
aF（・）−aF（・）−S
である。
つぎに，この系列αから「1の直後」の項をすべて選出してできた部分系列α、 は （αエ ）101010101…
なる10．を循環節とする系列である。このα、 においては a・ F（・）−a・ F・（1）一丁
であり，これはもとの系列αにおける。F（0）， al7（1）と同じである。すなわち 。iiF（0）＝。F（0），。itF（1）＝。F（1）
となる。このとき系列αは「1をPredecessorとする項位選出に対してはinsensitive」
という。ここで，系列αから「1の直後」の項位選出してできるαの部分系列の0と1 の相対頻度を。F（0［1），。F（111）と表わすことにする。そうすると上述のことは
。iiF（0）＝。F（Ol1）， a！F（1）＝。F（111）
となるから
（1） 。F（011）＝。F（o），。F（111）＝aF（1）
である。
同様にして，この系列αから「0の直後」の項をすべて選出してできた部分系列α2 についても
a・・F（・）一調・）−S
21 となり，もとの系列αにおける。F（0），。F（1）と同じである。このとき系列αは，「0を predecessorとする項位選出に対してはinsensitive」という。すなわち
（2） 。F（0［0）＝aF（0），。F（110）＝。F（1）
である。
PoPPerは，（1），（2）をみたすような系列αを，「1・free系列」という。
また，0，1系列
（β）00011101000111010001110100011101…
00011101を循環節とする系列とすると βF（o）＝pF（1）＝⊥
2 である。
ここで，系列βから「対11の直後」にある項を選出すると，その部分系列β は
（β ） 10101010・・◆
となる。系列β において
・〃（・）−IF（・）一ご…F（・）一・F（・）一÷
である。したがって
（3） pF（Olll）＝pP（0），β1ア（1ill）＝β2？（1）
が成り立つ。
同様にして，系列βにおいて「対10，対01，対00の直後」にある項を選出するとき，
得ら2xk pの各部分系列における・と・の相対願暢である．した…て
（4） βF（OlIO）＝βF（0），β17（1110）＝β］？（1）
（5） βF（OIOI）＝pF（0）， pF（1101）＝β1ア（1）
（6） βF（OlOO）＝＝βF（0）， pF（1【00）＝βF（1）
が成り立つ。
このような（3），（4），（5），（6）を同時に満たすような系列βを「2−free系列」という。
そしてこの考え方を一般化して，つぎのようにn−freeを定義する。
定義
O，1系列αから，0と1から成る一つのn項順列π。の直後にある項を選出して得 られた部分系列をα とする。この部分系列αtにおける1（または0）の相対頻度が，も との系列αの1（または0）の相対頻度に等しいとき，αは 「π。をPredecessorとす るという項位選出に対してinsensitiveである」といい，2n個の71項順列のいずれに対 してもinsensitiveであるときはαはn・freeであるという。
すなわち，すべての11項順列π。について
。F（11r、n）＝。F（1），。F（01πn）＝。F（0）
が成り立つとき，αはn−freeであるという。
ここで0，1から成るIz項順列というのは， Kを負でない整数として， K個の0と
（n−K）個の1を，任意の順に一列に並べたものである（可能な刀項順列の個数は2n個
である）。
第2節 absolute freeな系列
0，1系列αが無限のとき，系列αの最初からN個のなかにある0の個数を710とし，
・の頻度をaF（・）とす・とaF（・）−lilであ…の場合・もし敵概芸一P赫
在するとき，Pをαにおける0の頻度といい，記号。F（0）で表わす。すなわち aF（o）一眠昔一R
定義
無限O，1系列αにおいて。F（0）＝P，。F（1）＝1−Pとするとき，フ2をどのような整数 と定めても，そして0，1π項順列πnのどれをとっても
aF（0【πn）・＝。F（0）＝P 。F（11πれ）＝。F（1）＝1−P ならぽαはabsolute freeな0，1系列という。
これは，すべての整数nについて，71−freeである系列である。 PoPPerは， absolute freeな0，1系列をランダム系列またはchance like系列といっている。
第3節 ll−freeによる検定
「連による検定」や「z2一検定（組合せ検定）」によって，ランダム系列と認められた系列 でも，必ずしもrafter effectがない」といえない系列が，あるかも知れないという考えを もち，その例を捜索した結果，両検定に合格してもなお「after effectのある系列」を二，
三見出すことができた。after effectのあるということは，ランダム性としては当然望まし くない性質である。 「z2一検定」や「連による検定」によって系列の大域にわたっての頻 度の安定性が確かめられるとしても，after effectをともなうというような系列のこまか いところでのdisorderは，これらの検定によっては見破られない。このようなことから 71・freeの性質をもってランダム性の検定を行うことを提案したい。
以下に上のことに関する具体例を示す。具体例の例1においては，考える系列がrZ2・検 定」と「連による検定」の両検定によってランダム系列と認められ，そして「after effect がない系列」となっていることが確認される実例を示す。例2以降は考える系列が「Z2・検 定」や「連による検定」の両検定によってランダム系列と認められる結果が得られるが，
しかしrafter effectのある系列」の実例を示す。
また，各系列の計算結果のところでZR，ピとあるのは次に示す通常行なわれている（イ）
と（ロ）における実現値である。
（イ）連による検定
0，1系列において，1，0の個数をそれぞれ72A，11Bとし＠λ十71B＝N），連（run）の総
数をRとする。nが大のとき
R−（2nA・llB 十111A十刀B）
〜 AT（0，1）
ZR＝
へ／
2nA・7rB．（2nA．22B−flA−11B）
（72A十71B）2（21A十71B−1）
（ロ）z2一検定（組合せ検定）
系列Xl，エ，，…， Xtfを（X、⇒、，…，鋤，（XK＋1， VK・、，…， X，K），（X、K＋1， X2K・，，…， X、K），
… というようにK個のクラス間隔（class interva1）に分割する。そしてゼ番目のクラス間 ズ 隔における実測度数をf ，i番目のクラス間隔に入る理論度数をFtとするとき（Σf，＝ぷ i＝1
ΣF，＝Aア），
i＝1
z2 ＝i2i（ff−Fi）2 （A Fi ）
を求める。
式（A）は，πが大きいとき，ピは自由度K−1のZ2分布にしたがって分布する。（本 講究では，クラス間隔をK＝10として計算を行なった。）
3・1n・freeで合格する例 例1
サイコロ投げを2，000回行ないつぎの表1における系列を得た。（p．24）
表1の系列からつぎの計算結果を得た。（1の個数をIZA，0の個数を21B，71A＋IZB＝Nと
する）。
N 21A／AT ltBiN run ZR ZC．l
2000 0．4955 0．5045 1012 ・・49S7244 1・…8…3．
これより表1の系列における1と0の相対頻度は，
乏・1F（・）一表・F（0）−S
である。
また「連による桧定」におけるZRの実現値が，1．96より大きいか，−1．96より小さ ければ，有意水準5％でランダム性は認められないことになる。表1の系列は，ZR＝
0．4957244であるから， 「連による検定」によってランダム性とみなせる結果を得た。
またZ2＝3・4184103であるから，自由度6のZ2一分布の有意水準5％で棄却域（Z62（。）＝
12．592より大きい部分）に入らず，表1の系列は，Z2・検定によってもランダム性とみなせ る結果が得られた。
つぎに，表1の系列が1−freeであるかどうか調べるために，表1から1の直後の項と0 の直後の項を項位選出し，それぞれ表2，表3なる各部分系列を得た。（p．25）
表2，表3の各系列よりつぎの結果を得た。
N 1 A／Nい・／N run ZR x2
表2 989 ・・49・391・…96・ 536 ・・58953・gl・・2348537
表・1…9 ・・…4gl・・4985・ 4951−・・66・・52・i・・8377・23
一→
0111100000010101010111010010000111010011
01010 11001 11010 11010 00110 1ユ101 01010 11110
00100 11010 10111 01111 01100 11011 01011 10110 ・
11100 00011 11101 00000 11111 10110 00010 10000 10101 01110 10001 11010 01001 01010 01000 11001 10000 00011 00010 11011 11011 10110 100・11 10000 10001 01110 11010 00001 11000 01001 11011 01100 10011 01111 00101 10100 11000 11001 0111 1 11000 10011 01001 00010 00110 01001 11011 11101 10101 01100 00110 01010 00111 11001 11101 11000 00001 00101 01011 10110 00101 11001 11001 11011 11001 11001 01101 11011 00111 01100 00000 01100 11010 00000 00111 11000 11100 01100 01000 00001 10111 00100 11110 11000 00011 10110 01011 00011 01100 00010 01111 10111 01001 11011 10110 01110 10110 11000 01110 00111 10111 10001 10000 11111 00111 0 −1100 01100 10110 10110 01001 00101 11100 01010 10011 10111 01110 00100 11000 001 11 11001 10110 10000 01000 00000 0014ユ0 00110 01000 01010 00010 10011 01101 11011 11011 11000 00011 10010 11100 10000 10000 11101 00100 00010 10101 10111 11101 00011 10111 00111 10001 01100 11010 10110 00101 01011 00100 01101 11000 00101 00000 01000 00111 10101 00001 10101 00110 01001 10101 01010 00100 11000 11100 10111 00011 00110 10110 11101 10100 11101 11001 00011 00100 11010 00010 00010 10011 10000 01010 01001 10111 01100 11010 01011 01011 00001 10110 01100 01110 11110 00110 01110 11011 01000 11100 01111 01110 10000 01100 10111 01111 11010 11101 10101 10111 00000 01001 00111 10100 00001 01010 11101 00010 10001 11011 11100 01101 11010 00001 10101 00100 10111 01110 00000 11000 11111 00001 00101 10101 10010 00100 10010 11010 10111 10010 00010 01101 00111 11000 11001 00000 10001 11000 00101 01001 11101 11010 01001 11000 01110 00000 11111 00100 11001 10000 11001 01011 11011 01011 01110 11001 11010 01100 01100 01111 01001 11000 11001 10110 00111 11001 10011 01100 11000 01001 00101 01101 00001 10101 01010 11101 01100 11101 01001 11000 00101 00101 01101 10101 01101 01111 11100 00001 01011 00100 00010 11000 00000 11100 10110 01010 01100 10010 00000 01110 01010 00101 01110 11001 11100 11010 01101 11101 11100 00101 00011 10000 11101 11101 00000 10100 01100 01010 01101 10011 10001 01110 11110 01001 01000 11101 01000 00000 11011 11100 00011 11010 11111 00110 00010 00011 11101 10010 10100 10011 11011 10011 00110 10010 00011 11010 11001 01101 11011 00000 10010 11100 11100 11100 01010 10001 01001 00011 11000 01010 11010 00111 11101 00101
（例1） 表1
→11100 00011 00011 00 1 00 0 1 0 1 1 001 00 1 0 1 1 0 0001 1
10010 00110 11101 01 01 0 0 1 101 0 1 1 0 1 1 1 1 00 1 1 1 1 1
01000 00011 00110 00000 0 1 01 0 1001 0 1 1 1 0 1 1 01 00
11000 11010 01100 1 1 0 1 0 1 001 0 1 1 1 00 1 001 0 1 001 1
11100 10000 10011 0 1 1 1 1 01 000 101 00 01 1 1 1 0 1 1 1 0
11000 00110 10011 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 01 1 00 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0
10101 00111 10110 10010 11001 11010 11010 01010 10011 11011 00110 1 1 0 1 0 1 1001 01 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 01
01111 01101 01001 00 1 00 001 1 1 0000 1 1 01 1 0 1 100 1
01111 01010 00101 00000 0101 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 00
11000 11000 00010 1 1 1 1 1 00 1 1 0 1 1 0 1 1 1 001 0 1 000 1
00001 00101 10000 1 1 1 0 0 0 1 000 1 00 10 00000 1 01 10
01101 01001 01101 00110 11001 00100 00011 00001
01101 01000 10010 1 0 1 0 1 01 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 01 0 1 001 1
01110 11001 00110 1 1 1 1 1 00 1 1 0 1 00 1 0 1 1 000 1 1 1 00
00011 00001 10111 1 0 1 01 1 00 1 0 0000 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1
10001 00100 00010 00 1 1 1 0001 0 01 1 1 1 0 1 00 0 1 1 000
01110 11000 11011 0 1 1 1 1 001 01 0 1 000 1 1 1 0 1 00 1 0 1
10101 10010 10111 00 1 1 0 1 01 01 01 1 1 1 0 1 0 1 0 1 01 00
00010 01000 00110 0 1 0 1 1 000 1 1 00000 1 0 1 0 0 0 1 001
11111 00010 00101 1 00 1 0 001 00 01 1 00 0 00 1 1 0 1 0 1 1
10100 10111 01110 00 1 1 0 1 1 01 1 1 00 0 0 1 000 1 1 0 1 1 0
01101 11000 01100 0 1 01 1 1 1 01 1 1 00 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1
01000 00111 01101 0 1 000 1 1 1 00 1 00 1 0 1 1 0 1 0 00 1 1 0
11011 00000 00111 0001 0 0 1 1 1 1 1 000
（例1）
→
表2
1000001111110100011011110111100111111001 0111111011111100001100001100011000111110 0110101110100101000000100111111010001001 111000010001011101t）110111010010110010110 1001001010111111000101100101100000010111 1100110101101011110110000000101100000001 00．10010010000001101011000001101100110000 1011101110111100010011001000101100101111 0101011001110111001010000101110000100000 0000100101000110001101111100000101101000 1000110100001111110011010011011110011110 1001100001100000100001110001110101011111 0010100101100101111110110100101011000100 0110100001101011101101111000110100110010 1111001001110000101111111110000010101100 0001111100110011001110000111010111000001 0010001011110100101011111010001011010010 10000100100001110111010ユ0001000001010101 0001011111111011010010011010010110010101
］010001010111100011111111011101000110011 1111ユ11000001110100001100000001011011010 1010000001011001111010110111000110010001 1100001100100110110100111010110011100000 0011000011101000100011011101011010110100 0111011110000101101010011100110100100011
11001 1011
（例1） 表3
この結果より
表1F（011）＝＝表1F（0），
表IF（111）＝表1F（1），
表1F（0！0）＝表IF（0），
表1F（1【0）＝表11♪（1）・
を得た。したがって表1の系列は1・freeであることが確かめられた。また表2，表3の各 系列は rz2一検定」の結果より（自由度6，有意水準5％）ランダムの特徴を示しているこ
とがわかる。「連による検定」によっては，表3の系列は有意水準5％でランダム性であ ると認められる。（表2の系列は有意水準5％ではランダムであると認められない）。
つぎに，表1の系列が2−freeであるかどうか調べるために，対11，対10，対01，対00 の直後の項を，項位選出して，表1｛における各部分系列表4，表5，表6，表7を得た。
11010 10001 00010 11001 01100 00100 10111 01111 00101 00000 11010 01010 01010 00011 00001 11100 01011 10000 11101 10101 00101 01011 01001 00100 00111 01000 10110 01000 00111 01010 10010 00101 10110 01110 10000 01101 01010 01110 00000 01011 01101 01010 01111 01010 11000 00010 11000 00101 00001 00101 00010 01000 00000 10110 01000 10110 10010 11110 10001 01101 01011 10010 01010 01110 00011 00111 00101 10101 01011 10000 11000 10010 00110 10000 11100 00000 10010 10000 11111 00010 00101 00110 00110 11010 10110 00010 10110 10011 10110 11100 11100 11010 00110 00100 10101 01100
111ユ0
（例1） 表4
00001 1001 1 10101 11000 1000100100 1011110110
00001 01100 1 01 00 01001 1111101101 1101011100
1 1011 00000 1101 1 11110 0000011000 0001010101
00000 11100 00110 10001 1110010101 0011011111
01 101 1 0001 1 0001 00000 0001011001 0011000011
1 0010 01 1 00 0101 1 01101 1010001000 0100010011
11『011 01101 1 11 01 11001 0011000111 1100110101
101 01 00011 00001 11000 0101010100 0111000010
1 0011 10111 10011 10110 0010100011 1100100001
11100 1 11 10 1011 0 ユ1011 1100111001 1100101000
01100 01000 0001 1 11110 0000110111 1001010010
00101 011 10 11101 00000 0100011001 0011111110
01 100 011 11 0101 1 01001 011
（例1） 表5
100001001010011010110001010011111．0111101 10000010100000011101 11101001101011101101 01101 0100010111 00110011100001101111 10111
1111011101101111011101101111011111111110 101000100011101 1110011000001111110100100 00011 0111011001 0001011000100100101000001 10111 01110110101000010001111001011111111 11011 10101 1011011001 00001000111101000011 11001 010000100100101 10010001100111011100 11011 11011 1011111111 100001010000101 10010 00011 00101 001001101001001 000011110111001 1100010011 101100010011101101100001111001
01011 10011 10000 00100 10100
（例1）
→
表6
0111110010111011101111100111110111110101 01011110100110000011 11100011100011001011 0001001000001111100100100111101001001110 1001000001001010101001101101110010001001 110001011011000011000001『0101111001000100 1111101001011101110010100110110001111000 0100111110100001001001001101011101001001 1」00110011，111111000101111010101101100110 0001110000111100010000001101100000000011 111ユ101000100010001000011101111111011001 0111111110110010010100000101110010110100 1ユ01001010011001011010110001011001001001
10111 00100 01101 00011 10101 （例1） 表7 この表4〜表7の各系列から，つぎの結果を得た。
N 7z∠／N 7ZB／N ・u・ 1 ZR z2
表4 485 0．44536 0．55464 272 12．8887463 9．1351595
表5 503 0．49105 0．50895 別・卜・・93・3886 7．4917612一
表6 505 0．53267 0．46733 246 ［一・・574556・
8．8227396
表7 505 0．51089 0．48911 250 1−・・…2・49 1．1083860
上の計算結果より
表1F（0［11）＝表1F（0｜10）＝表1F（Opl）＝表117（0｜00）＝表IF（0）
ic IF（1111）＝表11汀（1110）＝＝表11ア（1［01）＝表1F（1100）＝表1F（1）
となる。
したがって，表1の系列は2−freeであることが確かめられた。
また，rz2・検定」によると，表4〜表7の各系列は，ランダム性と認められ，「連による 検定」によって表4，表5，表6，表7の各系列はランダム性と認められる。
今度は，表1の系列が3−freeであるかどうか調べるために1と0からなる3項順列 の直後の項を項位選出し，表1における各部分系列を得た。3項順列が，100，101，110，
111，000，001，010，011のときのそれぞれの部分系列はそれぞれ表8，表9，表10，表11，
表12，表13，表14，表15である。
一
01011 00110 00001 11010 01000 01111 10101 10011→ 010．10 10111 1101000001 101001110000101 1110101010001001011001001 0101000001 1101010111 011001011110100100010110000011 0001101110
11010 00111 00111 01110 01010 11101 10110 00100 11111 01011 10000
0010001 00110 11000 10011 11110 10111
（例1） 表8
00010000101010001001 11101 1101000100001111011011i10101100101001111111101111110110
1111101100 1110001111 10001 1011001001 10000 00000 10111 01000 11010 11111 01011 01101 10001 0011000111 01100 10001 00110 11100 1101000001 0100001100 10101 11000
00100 1111100001 00
11011 01000 11100 01011
（例1） 表9
01110 11110 11101 11101 10001 01110 00101 00010 11110 11001 00010 01001 00100 10110 10000 11111 11011 11101 11011 11000
10110 00111 10110 11010 01101 00100 01010 10010 10001 10011 11000 11110 00101 10110 10010 01110 10101 00011 00000 01111 01001 00100 01001 11010 11100 00000
01001 01101 00101 00110 11000 0011 10011 10011
（例1） 表10
一→
1000001001000110111000100000010111001101 101000000100001 1000100110000001010110010 0001100101000011100010010000000001000100
01！1．Q．∫）0100011000011010110010000110100010 01：1：00QO111100001010100010001001101011011 0100100000101110
（例1） 表11
一o−−−i ri oolooOO100 →1凸01占0ーユ 00010 1110010010 1100000100
01001 00000 00101 11110
0011011011
10011ololo
−⊥11弓工ーユー11oo−o −0 elーユーユー001占01占−凸ーユoooo−⁚−土−ふ001︽O−ふ−Ovよooo11
lOOlO 10111ooOoo ri−elOr⊥ 11 oOo 01110 O1001 OO11O 1001000011 elOOlO 100010111o r⊥o−Oo
10001 00100 00010 00011 01101 00111
iO10101001111011 1100000100
（例1） 表12
00111 10111
1011000111
01110 11000
1010010011 1110010101
011鴫⊥111o−よ−占orl o−OOotr⊥ーエー占HOr⊥ハU−占
0011rO100101010 1100100101 1101011010111111111000001 100110100100111 01011011101111000100111001100000000 1011111111 111000111000001 0010010011・10110
0001010 1011000111101001110100011
（例1） 表13
30
（例1） 表14
（例1） 表15
この表8，表9，表10，表11，表12，表13，表14，表15の各系列より，
結果を得た。
つぎの計算
N
表sl 247
表9 257
nAIN
0．51012 0．51362 表10 269 0．50929 表11 216 0．37037 表12 256
表・3i 247 表14 236
0．47266 0．55061
表15
0．51271 269 0．50558
lZB／N run 0．48988 132 0．48638 125 0．49071 142 0．62963
0．52734
104 130
ZR
0．9632234 一〇．5509974 0．8000627
0．44939
0．3304814 0．1737130 121 1−・．2879376 0．48729 115
0．49442 129
一〇．5122480 一〇．7921610
この結果によると・麹F（11111）と表1・P（Olll1）は，他の系列の場合と比べると，それ ぞれ表11？（1）と表1F（0）よりやや離れるが，それほどの差はなく，各表の系列における 1と0の相対頻度は，もとの表1の系列における1と0の相対頻度に等しい。
すなわち
表1F（11100）二表1F（11101）＝表1F（1｜110）＝表IF（11111）二表1F（11000）
＝＝表127（1旧01）＝＝表1F（11010）＝表1F（1｜011）二表IF（1），
表11ア（olloo）＝表IF（ollo1）＝表1F（o［110）＝表1F（olll1）二表IF（01000）
＝表1F（OIOOI）＝表IF（OIOIO）二表1F（0｜011）＝表1F（0）
となる。
したがって・表1の系列は，3・freeであるといえる。また，表8〜表15の系列にお いて，データ数（項数）が少ないためにrz2一検定」を行なうのは無理であるが，「連によ る検定」に関しては，これらの部分系列がランダム性の特徴を示すことが分った。
以上のことより，サイコロ投げを行なって得た表1の系列は，「連による検定」と「Z2・
検定」の両検定においてランダム系列と認あられ，また3・freeであり，2−freeであり，1．
freeとなっていることが確認された。
3・2？z・freeでは不合格となる例
例2
→00010 10101 00101 00101 01001 11100 10111 10010 01010 01111 01001 00111 00011 10100 11110 10011 10010 00111 01010 11101 00001 01110 10100 10100 1111001 110 1（〕00101σ01 f101001 ．111 10000・01110．
00101 01000 01111 01110 01011 10011 10010 11100 00111
11100 10111 00001 01110
10101 11101 00111 11000 01010
00101 11100 11010 00111 11101 00010 11100 10111 01110 00010
11100 10100 10101 01000 01000 11110 10001 11100 00001 00010 10101 00001 00101 11101 00011 11000 10001 11010 00111 00101 00001 11001 00001 11110 01001 11001 01000 10100 10011 11001 00100 01000 01110 10011 11101 11001 01000 01111 00010 10011 10100 01000 01010 01110 01010 11101 00111 11010 00001 00111 11000 01110 01010 10010 00101 11001 00011 10011 11001 01010 11110 01110 00011 10000 10100 10011 11000 11110 11110 10011 11001 11101 00000 10101 00010 11110 01011 10011 11100 01000 00101 01111 00111 00000 10100 01111 11100 00011 10000 01110 001 01 11100 01001 01110 01000 10111 10100 10000 10111 01111 00010 11100 00101 00001 01110 01010 01111 01111 00001 00101 00001 11100 01010 10111 00111 01110 10111 10000 10001 00111 01111 10010 00010 10111 10011 11000 00111 00010 01110 01110 00111 00000 01010 10001 01000 11110 01111 01010−1 110σ 01110
（例2） 麦16
表16よりつぎの結果を得た。
これより，表16の系列における0と1の相対頻度は，
表16F（・）−S・表16F（1）一丁
である。
また上のZRとピの実現値から，「連による検定」（有意水準5％）や「Z2・検定」（自 由度6，有意水準5％）によって，表16の系列がランダム系列と認められる結果を得た。
つぎに，表16の系列が，rafter effectのない系列」となっているかどうか詞べるため に，まず0の直後と1の直後の項を項位選出して二つの部分系列を得る。
その部分系列からつぎの結果を得る。
表16」P（010）＝o．50501， 乏《16」9（110）＝o．49499 2《16F（0【1）ニ0．49400， 乏《16F（ll1）＝0・50600
したがって
表16F（010）二表16F（o）， 表16F（1P）＝表16F（1），
表16F（0【1）＝表16F（0），表16F（1［1）二表16F（1）
である。
したがって，表16の系列は，0または1をPredecessorとする項位選出に対しては，
after effectがない系列である。
すなわち，表16の系列は，1・freeとなっている。
つぎに，表16の系列において，対00の直後，対01の直後，対10の直後，対11
の直後の項の項位選出をして得られた各部分系列から，つぎの結果を得た。
ヨξ1610（0100）＝0．44048，
享ξ161？（0101）＝o．59919 乏ξ16F（0110）＝0．56911 表16F（0［11）＝0．39921
7E16F（1100）＝0．55952，
∂（−16F（1101）＝0．40081 乏ξ16F（1ilO）ニ0．43089 表16F（1【11）＝0．60079
・の結果より，酬分系列・・おけ・・と・の相対頻度C・・，それぞれ表16F（・）一吉表16 F（・）＝・tから・や嚥れていると・ろ莇る・と・・わか・・
つぎに表16の系列において，000の直後，001の直後，010の直後，011の直後，100 の直後，101の直後，110の直後，111の直後の項の項位選出をして得られた各部分系列 からつぎの結果を得た。
老ξ161P（OIOOO）＝0．38739， 表16F（1【000）＝0．61261 表16F（0］OOI）＝0．52857， 表16F（1［001）＝0・47143 2（−16F（OIOIO）＝0．50000， ？《16F（11010）＝0・50000 乏ξ16F（OiOI1）＝0．00000， 表16F（11011）＝1・00000 表16F（0【100）＝0．47857， 表16F（11100）ニ0・52143 表16F（OIIO1）＝0．70093， 表16F（11101）＝0．29907
表16F（01110）＝0．67347， 表16F（11110）＝0。32653 享ξ16F（0［111）＝0．61039， 芝《16F（11111）＝0．38961
上の結果より，表161ア（01011）＝o，表16F（i【011）＝1となっており，明らかに 表16F（OIOII）≒・表16F（0），表16F（11011）≒表16F（1）である。
また，101の直後，110の直後，111の直後の項の項位選出から得られた各部分系列に おける0とユの相対頻度も，表16の系列における0と1の相対頻度表16F（0）＝表16F（1）＝
丁から離一・．した…て表・6の系列e・・と・｝・よるP・edecess・・に対・て完全 に「after effectがある系列」となっていることが示された。
ゆえに，rZ2検定」と「連による検定」に合格した系列でありながら，表16の系列の ように「n−freeでない系列」があることを見い出した。 after effectがあることはランダ ム性としては望ましくない性質である。このことより，「after effectがある」という性質 を，この両検定によっては，完全に見破ることができないということが示された。
例3
→0ρ111 11101 00001 0100001000 1111001101 01010
00111 10100 11111 1001000101 0001110011 01001
10001 11010 01110 1000110101 0101001001 11101
01001 01001 00111 1001101010 1010010100 11111
001 00 1 1 1 10 1001 0 0001010011 1010001110 10011
1 1001 01 000 0111 1 1100001100 1111000011 10100
10011 11100 10011 0100000111 0100111100 10100
10100 10000 11101 0011111001 0100111001 01001
11 100 00111 00001 1010011000 1111100011 00101
00111 10011 00001 0000011111 0010011101 01010
01100 01000 11101 0011101001 1010100111 10010
00001 10010 10101 0011110010 1000111111 01001
10000 11110 10101 0000011110 0110001100 11000
11111 00101 00111 1001010010 1010100110 10011
10011 00000 10001 0010011111 1111000110 10011
01001 00110 01110 0101010011 1110101001 00110
00011 10010 01111 1010011001 1100110000 10011
01010 01000 11001 1111100001 1111010100 11000
10100 11001 00100 1111001110 1001100000 01111
00110 10000 10011 1111101001 1001111000 10100
10100 11111 00010 0100010011 0011110010 10011
11101 01001 01000 0110011001 1100010100 11111
00100 11100 10011 0010100111 0011110010 01111
01001 00111 01000 0110011000 0100111101 01001
01001 11110 00111 0010010011 0010100111 01001
（例3） 表17
表17よりつぎの結果を得た。
N 7i AiPti ltB／N run ZR Zりl
1000 0．500 0．500 510 O．5694941 4．0619650
これより，表17の系列における0と1の相対頻度は，
表17F（0）−S・表17F（・）−t である。
また「連による検定」（有意水準5％）やrz2一検定」（自由度6，有意水準5％）によっ て表17の系列は，ランダム系列と上の計算結某より認められる。
つぎに表17の系列が，after effectがあるか否かを詞べるために，例1と同様のPre・
decessorsを選び計算を行なった結果は次の通りである。
表17」7（0［0）＝0．49000 表171ア（OI1）ニ0．50902 表17」7（0［00）＝0．31837 表rtF（OIO1）＝0．58268 表17F（Ol10）＝0．65354 表17F（0111）＝0．43265 表17F（OIOOO）＝0．39744 表17F（OIOOI）＝0．36145 刀ξ17F（OIOIO）＝0．66216 表17F（OIOlI）＝0．37736 乏E17F（OllOO）＝0．28313 表17F（0［101）＝1．00000 芝ξ17」デ（01110）＝0．64151 表17F（OIIlI）＝0．47482
乏《17F（110）＝0．51000
≡受17」7（lll）ニ0．49098 芝ξ17F（1100）＝0．68163 表17F（1｜01）＝0．41732 乏《17」7（1｜10）＝0．34646 表17F（1［11）＝0．56735
≡受1727（llOOO）＝0．60256 表17」デ（11001）ニ0．63855 表171♪（1［010）＝0．33784 表17F（11011）＝0．62264 表17」9（11100）＝0．71687 表17F（1！101）ニ0．00000 表17F（1［110）＝0．35849 表17F（11111）＝0．52518 上の結果から
2ξ17F（0【0）ニ≡1ξ17F（0）， 乏ミ171ア（110）＝乏ξ1717（1）
乏ξ171ア（0［1）＝表171ア（0）， 乏ご17F（111）＝芝ξ171ア（1）
を得る。
したがってSingle predecessorに対して，表17の系列はafter effectがない。すなわ ち1・freeである。
しかし，0，1からなる2項ほ列，または3項順列をPエedecessorとして得られた各部
分系列・・おけ・・と・の樹頻度は・表17F（・）⇒17F（・）一去に等しくな・・．
すなわち，表17の系列はafter effectが現われている。特に表17F（OilOl）＝1，表17F
（11101）＝0となって表17の系列は完全にrafter effectがある系列」であることがわか る。したがって「Z2・検定」や「連による検定」でランダムと認められる場合でも， after effectがあることが示された。
例4
表18よりっぎの結果を得た。
N 71A／N 71B／N
1000 0．499 0．501
run ZR Z2
493 一
・…6・8・・「・・4838・66
例4
−00011 11100 00111 11100 01001 10101 11000 10000→ 01011 11001 11100 01001 00111 11010 00101 10100 00110 01010 00111 00100 11111 00011 01100 00111 01100 01100 01101 00111 11111 10001 00100 10010 11000 10100 10110 00011 10100 10111 11000 11000 01101 00101 11101 00010 11110 01110 10010 10110 00100 01101 10011 11110 00010 00111 11100 01000 11010 11110 11010 00111 11001 01000 10100 10100 01000 11110 00110 01000 11001 11000 10100 10111 10001 00111 11110 01000 1000 1 01110 00011 11010 11110 10100 01001 00101 10001 11100 10001 101 11 10110 01010 00101 01100 00111 11000 10010 11010 10001 00111 01000 10001 01111 10001 11100 11000 01111 11100 01000 10001 10100 01011 11000 11110 01011 00111 10001 00101 11110 11000 10010 10010 10111 10101 111 00 1 101 0 00101 11100 00100 00010 10111 11100 01110 01000 10001 01011 11010 00100 01010 00100 11011 11100 01011 11100 00101 10010 01010 01011 1101 0 11000 01000 11111 01000 10110 00100 10001 011 11 00001 10010 00100 10111 11011 01010 00100 01 11 1 00011 10111 10001 01000 10011 00010 00100 11111 00010 00101 00111 10111 11100 10011 10110 01010 00101 00001 01111 11010 00110 01011 11000 10100 01000 10101 00100 01111 01111 00101 00101 10011 00010 01101 11010 1111 1 10010
（例4） 表18
これより表18の系列における0と1の相対頻度は
＊−1sF（0）＝o．499 乏ξ18F（1）＝＝O．501 である。
また「連による検定」（有意水準5％）やrz2一検定」（自由度6，有意水準5％）によって 表18における系列はランダム系列と上の計算結果より認められる。
つぎに，例2と同様のPredecessorsに注目して計算した結果は，つぎのようになった。
表18F（0【0）＝0．50800 孝ξ181汀（0｜1）＝0．49299 2ξ827（0100）＝o．42353 2《1sF（0［Ol）＝0．58130 StElsF（0μ0）＝0．59426 表18F（0【11）＝0．40711
￥（−1sF（OIOOO）＝：0．16800 孝ξ18F（0｜001）＝0．63946 2ξ18」テ（0［010）＝0．56300
￥ξls10（OIOII）＝0．39806 ヨi18F（Ol100）＝0．60300
表181♪（110）＝0．49200 芝《181ア（111）＝o．50701 表18F（1［00）ニ0．57647 表1sF（1101）＝0．41870 表1sF（1110）＝0．40574 表18F（1111）＝0．59289 芝ξ18］7（11000）＝o．83200 芝ξ18F（1［001）＝0．36054 芝ξ1829（IIOIO）＝0．43700 芝ξ18F（1P11）＝0．60194 芝ξ181汀（11100）＝0．39700
36
表1sF（01101）＝0．49495 表lsF（1［101）＝0．50505 表lsF（OlllO）＝0．64078 乏（・1sF（11110）＝0．35922．
表lsF（Ollll）＝0 41333 乏乏18F（11111）＝0．58667 上の結果より．．
表18F（0旧）＝表1sF（0），表lsF（IIO）二表1sF（1）
表1sF（011）＝表18F（0）， 表1sF（111）＝表1sF（1）
となる。
したがって，表18の系列は1と0のPredecessorに対してはafter effectはない。す なわち1・freeとなっている。しかし他のPredecessorsに対しては， after effectがある ことは，上の計算結果より明らかである。特に，表1sF（o【000），表1sF（11000）は，それぞれ 表18F（0）＝0．499，表181P（1）＝0．501とは大きく異なっている。
したがって，例3においても，「z2一検定」や「連による検定」によってはランダムネス と認められたが，表18の系列は，rafter effectがある系列」であることが示された。
第4節 一つのπ一freeの作り方 定義
各順列に対してある順序で77z回のうちr回は0，＠2−r）回は1をつけるとき， f7z回 のうちの最初を第1循環目，第2回目を第2循環目，第3回目を第3循環目，…，第i回 目を第i循環目，…，（m＞のということにする。
ア
nを任意の整数とし，。F（0）＝P＝一（既約分数，〃n＞r）なるll・free系列の作り方は，
れ
次のようにする。ここでは，0と1の割り合いが，r：（m−r）であるから， m回ごとのう ちr回は0をつけ，（m−r）回は1を使うようにする。そしてある順列に対して，0と1 をある順番につけたとき，この順列に対しては，その順番を変えないものとして作ってい
く。そこでこのような約束のもとでつぎのようにして作る。
nコ 刀コ
① 刀個の0からなるll項順列000…0を最初に書き，第1循環目はll項順列000…0 久
のあとにr個の0をつけ足して，そのあとに1を1個つける（000…01）。第2循環目か 二
らは，71項頗列000…0の現われるごとに，1を1個つつ合計（71t−r−1）回までつける。
久
そして次回以降に72項順列000…0が現われるがごとにまた最初と同じ順番に，0，1をっ けていく。
久
② はじめて現われたn個の1からなる7z項順列111…1のあとには，（ z−r）個の1
（m−r）コ n＝
とそのあとに0を1個つける（111…10）。第2循環目以後π項順列111…1が現われるが 久
ごとに0を1個つつつけて合計（r−1）回まで0をつける。そして次回以降に72項順列111…1 が現われるがごとに，また最初と同じ0と1の順番につけていく。
nコ nコ
③ 12項順列ooo…oと111…1を除いた他の順列に移ったとき各72項順列のあとは，
初回から（f7z−r）循環目まで許すかぎり1をつける。許すかぎりというのは，1をつけて できるll項順列が，その循環中にまだ出ていない限りということである。
④ すでに，その循環中に前にでたところには，1のかわりに0をつけて，またそのつ
