産業連関論における／価格分析
に関する一考察
木 村
1．序
レオンティエフの投入産出分析においては、投入係数は、生産物一単位 を生産する軋必要な投入物の畳を示すものであるとされている。しかしな がら、実際に．は、物量に．関する投入産出表を得ることほ不可能であり、金額 に関するものを用いて分析を行うより外はない。レオンティエフほ、物量 を「一定の価格において100万ドルをもって買い得る量」を単位として計量 するならば、金額表示の表も、物量表示の表と考えることが出来るとのぺて いる。ここではこの問題を考えるために、理論的にのみ可能な通常の単位で 測った物量に」矧するシステムと、金額表示のシステムの比較を問題にする。
レオンティエフのオ−プン・モデルにおいてほ、最終需要をあたえるこ と．により、生産鼠が決定し、その時の附加価値率をあたえ．ることにより、
価格が決定する。そこで第二節に．おいて（分析の必要のない程簡単なこと ではあるが）最終需要を基準時の価格で評価しておけば、一金額表示のシス テムから得られる、生産額は、物量表示のシステムから得られる生産額を、
基準時の価格で評価したものと等しいことを示す。発三節においては、金 額表示のシステムから得られる価格の「上昇率は、物量表示のシステムか
ら得られる価格に．よってもとめられる上昇率に等しいことを示す。又第四 節でほ、ある産業での価格の上昇が他産業の生産物の価格にあたえる影響 を求める。
2．生産量の推定
Ⅹ￡によって、第i産業の一年間の総生産量をあらわし、Ⅹりに・よ・つて第 i産業の生産物で、第．ラ産業に投入されたものをあらわし、Y仁によって、
家計その他によっ七消費されたものをあらわすとすれば、産兼全体につい て、次の式がなりたつ。
Ⅹ11一十Ⅹ18・＋・・1ヰⅩ1殉・＋・Yl＝Ⅹ1
Ⅹ21＋Ⅹ如・十…十Ⅹ℡乃＋・Y2＝Ⅹ2
（1）
Ⅹ乃1＋Ⅹ如＋…十Ⅹ殆殆＋Y乃＝Ⅹ舛
66（652）
ここで、滞．ラ産業の生産物一単使を生産するノ紅必撃な、第i産業の生産 物の員aり＝Ⅹgブ／Ⅹプは、一億であ単と考え．られ、これ∴を投入係数又ほ技術 係数とよんでいる。この投入係数をもちいれほ、（1）ほ
allXl＋・a12Ⅹ2十‥‥ヰal杓Ⅹ乃十Yl＝Ⅹ1 a飢Ⅹ1十a22Ⅹ2十‥＋a2乃Ⅹ殉」一Y2＝Ⅹ2
（2）
a殉1Ⅹ1・十a，る2Ⅹ2」一… 一卜a殉兜Ⅹ柁」一Yか＝Ⅹ殉
とかきかえられる。叉aもプのつくる行列をAであらわし、列ベクトル（Ⅹ1，
Ⅹ2，，Ⅹ乃）をⅩで、（Yl，Y2，，Y乃）をYであらわせば、（2）は AX＋・Y＝＝Ⅹ
となる。これはまた、単位行列をⅠとして、
（Ⅰ−・A）Ⅹ＝Y
となるから、
（3）Ⅹ＝（トA）一￣1Y
がなりたつ。（3〉を各要素をもちいて普きかえると、
bllb12…bl乃＼
b21b22…b釦さ
bれ1b柁公 b乃ね とかける。但し（b豆．メ）＝（Ⅰ・−A）￣1である。
又第i産業の生産物の価格をPg とすれば、金額に．ついて、（1）と同様な 式
Ⅹ11Pl十Ⅹ1虫Pl＋両・十Ⅹ1殆Pll十YIPlニⅩ1Pl X21P分＋Ⅹ立2P宜＋・1・‥・＋Ⅹ2乃P望＋y2Pセ＝Ⅹ2P2
（5）
Ⅹ乃1P乃＋・Ⅹ乃2Pクる＋…・＋Ⅹ殉柑P殉・十Y殉P乃＝Ⅹ乃P殉
がなりたつ。ここで金額に．ついての投入係数
αり＝＝a
をもちいれば、（5）ほ
α11Ⅹ1Pl十α12Ⅹ℡P2＋…＋α1乃ⅩねP殆ヰ・YIPl＝Ⅹ1Pl α21Ⅹ1Pl十α22Ⅹ2P倉＋・十α2乃Ⅹ宛P乃・十YgP2＝Ⅹ2Pさ
（6）
α射Ⅹ1Pl十αね2Ⅹ2P2＋…・十α循乃ⅩねP乃＋・Y循P兜＝＝Ⅹ乃P匁
（653）67
となる。このαりは、技術係数a慮．′と価格とに関係するものであって、常 数ではないが、前と同じように．あつかう。すなわち、（5）の係数の行列から つぎの行列式をもとめる。
（トall）昔−al茂…
1・−α11−・α1幻・…」−・α1，l
一−α211−α文王 …・−・αさ循
（6）d＝
P，暮 Pn
焔1試 ＿ 一−α舛1・−−・α兜2…・トーα殉搾
l・−all・−alセ・・1‥−al乃
・一・a飢トーa幸男…・−・a2拍
・−a机・−・a舛2‥（1・−a外循）
− PIP2…P乃
pIP2l‥P外 ＝D
d及びDに．おける、（i，j）要素の余因数をそれぞれdり，D8．，とすれば
1−・α11・‥・−α1，．ト1−・α1，ル1‥・…−α1弗
−αg＿．1，1…−α名−1，．ト1・−α￡・−・1，什1…・−α慮−1，舛
−α什1，1…−・α叶1，ノー・1一一α叫・1，．ル1…−■α叫力作
（7）dり＝（−1）帰1ブ
−・αね1・・−−・α恥ト1・−・α桝ル1…・・・1・−・α乃搾
Pl
（トall）昔…恥卜1 拓 一恥
Pト1 PJ＿1
・−・a砧1‥・− a冊1・−・ a刷＋1訂・・・−・ ＿ P叶1
・−・a恥…鴫 ＋1，・ト1一 官
＝（一1）叶ノ
−a托1昔…こ…・a刷畜一−・a刷患…（トa循）意
1・−all…・…− al，ノ−1−al，ル1・‥ −al殉
ーai−1Il…−a慮−1，．ト1・−a −1I∫＋1…−a名−1，
−・a名＋1，1・‥−a叶1り−1・−a坤1一升1…−・a牲1，乃 Pl…・P名＿1P毎11い−P殉 （・−11妬，
Pl‥サト1PJ＋㍗いりPね
1−・a机…… ・−a獅．ト1−a乃，ルl・・・（1−anね）
￠8（654）
＝意恥
そこで
1一−α11・−α12… −α1，a β11β12 …β1乃
β21β舶∵∴ β‰
」α211・−α2虫‥川 −α2循
（8）
ーα殉1・−α殉21・−・α醐 β如β銅2…β乃乃
D乃1Pl ■●● ・■
D P乃 D戒 P2 ■ D P‥，
DllPI D飢 Pl ● ・ ●
D PI D P9
D12 P望 D22 P2 ∵●一●
i㌻官甘盲㌻
D乃乃 P拘
れ■ −−▼・一w−−・○ ＋
D PJ〜
Dl乃 P陀 D望乃 P乃
」い，」空・ユ ムり
」 」 」 D PI D P3 FI
Pl bl∵bl殉 bll
−1こ妄：∴二…ニニ ÷一三 、一
そこで、（6）から前と同様な手続に．よって β11β1宏1β1閃
β21β封‡・‥ β21る
β乃1β拘望 β押乃
blbl ・bl
音穏…量 bわ告・bが告b2乃告
b循1阜b云2要一…心乃乃至 一b乃2￣…心乃犯 ・ が得られる。
キの分析は2憮点の比較が問題であるので、変数紅 0 及び 1 をつ ゆ1て、r
くられた年、基準時に∵ついでの（裏，．i）投入係数をあらわし、αり1は1時点
すなわち、推定すべき年についての（i，j）投入係数をあらわす。簡裁、例 えば、a乞わb￡ブは添字なしで用いる。 ′ 一＼
扱終需要が1時点について予測されれば、この最終需要（Ylさ，￥21，芸Lミ」
Y殉1）に対して（2）を満足する生産量（Ⅹ119Ⅹき1，ノ，Ⅹ柁1）ほ
Ⅹ11＝bllYll十b12Y21十 ＋blクaY殉1
Ⅹ21ニb21Yll＋b22Y2ユ十＋b2殉Y柁1
（10）
Ⅹnl＝bnlYll＋bn2Y21＋＋bnnYnl と．して得られる。
実際の分析においては、投入係数住金額表示のシステム紅つヤ、て、基準 時点におけるもの（αり0）が求め繰るもゐセある。したがっ七、鹿行列も
（β￡ブ0）が求められる。そこで最格繹箋を基準時の価格で帯解レ 答，vY㌔P名0
としてあたえれほ、これに対する堕産療は（9）によって 、←
β110β120 β1乃0 β210β220 β2乃0
β如0β乃20 βね乃0
（Ⅹ1Pl）1
（Ⅹ2P望）1 甘21P20
（Ⅹ乃P乃）1
′bll詳bl芯bl量 lYll P10
Y21P20
Yクあ1P狗0
b21b飽b餌 欝富
b酵‖b？乃
（bllYll・十b12Y21・ト十bl乃Y拘りPlO
（b21Yll十b22Y21・十 ヰb；乃Y殉1）P20
（b柁1Yll＋b乃2Y21＋…十b乃乃Y杓子）P乃？．
を得る、したがって
（12）（Ⅹ名P名）1＝Ⅹ￡1P名0
となる。これほ、最
額表示のシステムをもちいて求め・た生産額鱒、物量表示の打ステムから求め られる生産量を、基準時の価格で評価したものに等ごしいこ
78（656）
写価し裾巨 分∵粁
各産業の総生産額と、各産業においてもちいられる他産業の生産物の金 額の間にほつぎのような関係がなりたつ。
Ⅹ11Pl＋Ⅹ飢P2＋‥ヰⅩ殉1P乃＋Rl＝Ⅹ1Pl
Ⅹ12Pl一＋Ⅹ22P乏＋…・十Ⅹ乃2P殉一＋・R2＝Ⅹ2P望
（13）
Ⅹl乃Pl十Ⅹ2乃P2・十…・＋Ⅹ搾殉Pか＋Rか＝Ⅹ紹P乃
但し。R或は第i産業に．おける附加価値をあらわす。
（1劫の各式の両辺を・それぞれのⅩgでわれほ、
allPl十a21P2十＋a飽1P犯＋＝Pl
a晶十a22P2ト＋a晶卜＝P2
（1心
al晶＋a全品＋‥…蟻如鵠
を得る0この連立方程式をあたえられた意 価格P名が決定する。
f＝1，2，nに．ついてとけほ
しかしながら、実際に得られる投入係数はa￡Jでほなぐて、α￡．メ0である から、舶）をつぎのように．変形する。
α11摘1卜 十αね1＋・晶＝1
旭α1両2立＋…ヰα鶴2＋＝1 α1が十α如＋＋α醐・＋＝1
；
ここでR名／（ⅩgPg）がどのような値になるかを考えてみる。R は二つの 部分、賃銀W と、利潤刀花に分割できる。いま、これらの変数について つぎのような関係式が0時点と1時点に．ついてなりたつとする。
W名1＝S￡WgO ＼よ■＝1，2，…，n
乃冗1＝t電灯￠0 よ−＝1，2，‥‥㌧n
ヨ打貰 そこで
R11 Wil＋7rils￡WiO＋ti7｛iO W10＋，riq− ⅩiOPiO
＝＝￣￣●●￣
（川 東痢河「両手蒜㌻爾「 諏
S名W名○・＋t 汀慮O R￡0 Ⅹ名OP ￠
＝＝＝−−・■ − ● ● ■
W ？十方iO X名OP￡0 Ⅹ 1P 0
この関係式において、W蜜0，方￡0，R官0，Ⅹ名OPを0は0時点のものとして、既 知のものであり、Ⅹ￡1P名0ほ前節にのべたように・して得られるものである。
そこで、賃銀、及び利潤の上昇を示すsゎ t があたえられれほ、Rl／Ⅹ1PiO をもとめることが出来る。
q慮 をつぎの関係式を満足するものであるとする。
Rll
α110ql十α封Oq針＋‥‖十α押10q柁」￣吏澗＝ql R21 α1獅1十穐がp之十…＋α殉20q宛■■1￣豆；窄去6＝q望
α血＋α鍋汁‥−トα紬十吏q花 ＝
このq或は、価格変化をしめすもので、実際に．計算できるものである。レ
オンティエフの計算したのもこれと同様なものである。qgほ（1母を満足する ものであるから、つぎのように．してもとめられる。
1−α110−αBlO −αれ10
−α1201−α220 叫α乃20
−α1杓0−α2花01−α循乃0
b21い・b飽1 Ib,l
こ‥1−…二∴；二 王−…＿
（bll＋b21＋L1十b殉1）
（bl瑞十b22貰・十・い＋b乃去器）
（bl花・影十b2，る意＋‥十b乃長老）姦
他方（15）の関係式ほ1時点に．おいてづぎのようにかける。
72（658）
鋸1橘11ト＋αれ11′＋更＝1 α121・十α221＋・・小α佗21十＝1
・ン・
α1乃1相打・‥十α乃乃1十＝1 これを行列をもちいてあらわすと
α111α飢1川 α乃11 α121α221■…α畑1
α17る1α2乃1‥ α乃柁1 したがって
1−・α111−・α飢1…・−α7〜11
「α1211・−α221…−α弗21
−α1ケ乙1−・α2花1…い1・−α 乃ユ
1 1
1
よって
1−・α111・−・α21l…−・α犯11
・−・α1211・−・α2虫1…− α7Z21
ーα1，乙1−α2花1l…1−・α犯ね1
′ R11 Ⅹ11Pll R21 Ⅹ21P21
β111β211…・メ‰11
β1食1ノ包21‥りβ和之1
R，あ1 Ⅹ花1P符1
β1乃1β望花1…・β㍑陀1
bll掛飢賢一・b瑠 bl量b22芸…b乃2茎
bl桜−b2花器・b堵
1
宇戸
1
両
（bll芸トb幻謎T…・痛け諾）
（bl茹＋b包虫覧ト▲十b門桜）
（bl芯＋b乞7者＋∴＋b柁凝）孟
したがつで
（や1愚一b鋸覧巨＋b凝）右＝1
であるから
￡ニ1，2，」｝n
1吏一1常
超 b ＋
（bl＋b2 ⊥l 壁 去 ＝1，2，，n
P名0
￣ ＝， ＿．．．． †
儀＋…∴」−bれ￡憲）
1・（bl思一・b公
このようにしてq＝ま1時点と0時点の価格の比を正しく示すものである
こ．とがわかるっq￡は．金額表示のジステムから得られた・ものであり、金額表 示のシステムは、レオンティエフのト足の価格に刺〕て、100万ドルで
買いうる星」を単位として測った鼠による、物畳表示のシステムと数値的 には．一徹するものであるから、レオンティユ・フの考えは価格変化を求める
ことについてほ充分妥当する。
。繊0品・埴0品ト 欄0文 であり
R威1 s乞W￡0・十t乞方z？R￡0．Xま0
＼ ・
であるから、賃銀、利潤の増加は⊥価格を上げるようにはたらき、生産量
の増加は価格を下げるように・はたらく◇しかし生産物一博位あたりの附加 価値Rせ1／Ⅹ￠1がR￡0／Ⅹ 0と同じであれば価鱒はゃやらない0
了4（る6￠）
4・一産業における価格の変動が他産琴の生産物の鱒格にあ声える影響 この節では一つの産業における価格の変化が他の産業の価格に・およぽす 影響を論ずる。或産業、例えばk一産蓋の価格がヾPえ。からP孟1に．変ったと する。その上他の産蔑にづいては生産財一単位あたりの附加価値ほ変化し ないことを仮定して溶く。そうすれほ＝，i＝1，…‥木1，k＋い・
n，であるから（18）はつぎのように．書きかえられる。
α110ql欄10肝ト・斗瑚qね＋ニql 闘・α㌦ql＋α軸卜十αね鮎十＝q孟
α1れ十α抽十‥‥ヰα抽・十＝恥 Pたユ、R名0
この式に・酎、て、独立変数はqゎ＝＝・抒，嘉㌻玩石，iニ1，‖…，k−−−1，k＋レ
とである。そ
nであり。従属変数はqゎi＝1，…，k…1，k＋1，‥り，n
こで掛からk番目の方程式をのぞいたn−1個の方程式からなる、連立方 程式をといて−。q名を決定することもできるが、多くの場合、逆行列（蝕0）
がすでに計算されているので、この逆行列をつかって計算することに．する。
このため紅闘のk番目の式をのぞかないや闘ほ行列式をもちいて、
1−α110・一α210…り−・α循10
−ノα1た0・−α立た0…・−−現ゎ克0
ql
ql・
q舛
Ⅹ10Plり
Rぉ1
Ⅹた1PたO
R乃0
ⅩねOPれ0
闇
・−α1ね0−α2乃0…1・一α乃ね0
を得る。
叉、・・−・方もとの物価体係紅おいては 1■−α110一α210…− α乃10
−α1201一句浸）・帖一 α乃20
ーα1乃0・−・α餌0…トα個○
（661）75 がなりたつ、体）から臣Ⅵを辺辺引せ算をすれは、
1−αヱユ0 −一・αglO −−α乃10
榊 ーα1た0 −α蝕0 【α離0
ーα1乃0・−α餌0・‥トーαね乃0
但しここでSた＝品一品である。
これを・といて
†／ql−一1 ／β110β210 ‥ βク石10＼
ニ ＼1．■．﹂J．ノ l l 一 一 た
・ 萄 q q ■︼一■一■．∫一︷． β ︑疋 ︑問 ︵U ︐超 β
一応 〃
− 0 鋼 1
知 −揮 0
︑′抑
を得る。 したがって
ql−iニ＝／免ユOSた
qぶ−一1＝β抽OSた
q乃一1＝βた乃OSた
故に
q官−1ニ（qた−−1） iニ1，2，：，n である。
このようにして、−一一・産業における価格変化の影響ほ、n一一・1個の連立方程 式をとくよりlも、ずっと簡単に．もとめることが出来る。またいくつかの産 業で価格変化がある場合の問題も同様に．とりあつかうことができる。
参 考 文 献
Leontief，W．W∴The Structure of American Economy1919−−1939。
New Yok，1950
