第
4
章 逆行列4.1
逆行列と行列式逆行列の定義
Iをn次単位行列とする．n次正方行列Aに対して，
AX=I, YA=I (4.1)
を満たすn次正方行列行列X，Yが存在するとき，行列Aは可逆もしくは正則であるという．(4.1) より，
X=IX= (YA)X=Y(AX) =YI=Y
となるので，XとYは等しい行列である．(4.1)を満たすX，Y をAの逆行列といい，A−1と表す．
A，Bが可逆なら，その積ABとBAも可逆である．なぜなら，
(AB)(B−1A−1) =A(BB−1)A−1=AA−1=I (BA)(A−1B−1) =B(AA−1)B−1=BB−1=I だからである．すなわち，(AB)−1=B−1A−1，(BA)−1=A−1B−1である．
練習問題4.1
次のように行列AとBをおく．
A=
1 2 0 0 1 0 1 0 2
B=
1 −2 0
0 1 0
−0.5 1 0.5
AとBが互いに逆行列の関係にあることを，実際にABとBAを計算して確かめよ．
練習問題4.2
Aをn次正方行列とし，次のように行列Bを定義する(右辺は収束すると仮定)．
B=I+A+A2+A3+· · · BがI−Aの逆行列であることを確認せよ．
行列式の性質
2次正方行列Aを
A= (a b
c d )
と定義する．
ad−bc6=0のとき，Aの逆行列A−1を A−1= 1
ad−bc
(d −b
−c a )
と表すことができる．一般の次元の行列では，このような簡便に逆行列を求めることはできない．
n次正方行列Aは，必ず行列式と呼ばれる値を持つ．行列式は，行列の性質に深く関わっている．
n次正方行列Aは，必ず行列式と呼ばれる値を持つ．行列式について，特に次の定理が重要である．
¶ ³
定理4.1
n次正方行列Aが可逆であることの必要十分条件は，その行列式が零でないことである．¥
µ ´
Aの行列式を，
detA， |A| 等と表す．
2次正方行列の場合，
A= (a b
c d )
とすると，detA=ad−bcである．
【参考】 参考として，一般の行列の行列式を示しておく．
まず，置換σを定義する．{1, 2, 3, . . . , n}が与えられたとき，それを並べ替えた 数字の列をつくることができる．例えば，{1, 2, 3, 4}を並べ替えて{2, 3, 4, 1}とした り，あるいは{3, 1, 2, 4}などとすることができる．このような並べ替えを置換とい い，後者の例であれば，
σ=
(1 2 3 4 3 1 2 4 )
とかく．上の行がもとの数字の並び，下の行が並べ替えた後の数字の並びを表し，
その対応関係をσ(2) =1，σ(3) =2と書く．一般のn文字の場合も同様である．
次に，signという関数を定義する．σを置換としたときに，
sign(σ) =Y
i6=j
σ(i) −σ(j) i−j
とおく．任意の置換σに対して，sign(σ)は1または−1をとる．実際，上の例で計 算すると，
sign(σ) = σ(1) −σ(2)
1−2 ·σ(1) −σ(3)
1−3 ·σ(1) −σ(4)
1−4 ·σ(2) −σ(3)
2−3 ·σ(2) −σ(4)
2−4 · σ(3) −σ(4) 3−4
= 3−1 1−2 ·3−2
1−3 ·3−4 1−4·1−2
2−3· 1−4 2−4 ·2−4
3−4·=1
である．二つの置換σ，τを合成した(まずσで置換し，それをさらにτで置換し た)置換をστと表すと，sign(στ) =sign(σ)sign(τ)が成り立つ．
行列A= (aij)が与えられたときに，その行列式は，
detA= X
σ∈Sn
sign(σ)aσ(1),1· · ·aσ(n),1
と定義される．ここで，Snは，n文字のすべて置換の集合である．
以下の性質は，行列式の定義から導くことができる．
性質1) 対角行列の行列式は，対角要素の積である．
Aを以下のようにおく．
A=
λ1 0 0 · · · 0
0 λ2 0 0
0 0 λ3 ...
... ... 0
0 0 · · · 0 λn
detA=λ1λ2· · ·λnである．
このことから，単位行列Iの行列式が1であることもわかる．
性質2) A, Bをn次正方行列とすると，その積C=ABもn次正方行列である．このとき，detC= detAdetBである．
このことと，detI=1であることから，Aが可逆の場合，det(A−1) = det1Aである．
練習問題4.3
2次正方行列において上記の性質が成り立つことを示せ．
性質3) n次正方行列Aのある行の要素がすべて0であるとき，detA=0である．Aのある列の 要素がすべて0であるとき，detA=0である．
練習問題4.4
次の行列が可逆かどうか調べ，可逆であれば逆行列を求めよ．
1 0 0 0 1 0 0 0 1
2 0 0 0 3 0 0 0 0
4.2
行列の基本変形行列Aが与えられたとき，Aのある行（列）を別の行（列）と入れ替える，Aのある行（列）を 定数倍する，Aのある行（列）を定数倍して他の行（列）に加える，などの操作を行列の基本変形 という．行への操作は左から，列への操作は右から特殊な行列をかけることで実現される．
以下では，Aとして，
A=
(1 2 3 4 5 6 )
という(2, 3)-型行列を用いて基本変形について例示する．
例 4.1 行の入れ替え:
Aの1行目と2行目をいれかえるには，以下のようにする．
(0 1 1 0
) (1 2 3 4 5 6 )
=
(4 5 6 1 2 3 )
列の入れ替え:
Aの2列目と3列目をいれかえるには，以下のようにする．
(1 2 3 4 5 6
) 1 0 0 0 0 1 0 1 0
=
(1 3 2 4 6 5 )
例 4.2 行の定数倍：
Aの2行目をt倍するには，以下のようにする．
(1 0 0 t
) (1 2 3 4 5 6 )
=
(1 2 3 4t 5t 6t
)
列の定数倍:
Aの2列目をt倍するには，以下のようにする．
(1 2 3 4 5 6
) 1 0 0 0 t 0 0 0 1
=
(1 2t 3 4 5t 6 )
例 4.3
行の定数倍を別の行に加える：
Aの2行目をt倍して1行目に加えるには，以下のようにする．
(1 t 0 1
) (1 2 3 4 5 6 )
=
(1+4t 2+5t 3+6t
4 5 6
)
列の定数倍を別の列に加える：
Aの3列目をt倍して1列目に加えるには，以下のようにする．
(1 2 3 4 5 6
) 1 0 0 0 1 0 t 0 1
=
(1+3t 2 3 4+6t 5 6 )
これらの基本変形を行う行列の行列式は，以下の値を持つ．
行（列）の入れ替えをする行列をE1とするとdetE1= −1 行（列）をt倍する行列をE2とするとdetE2=t
行（列）をt倍して別の行（列）に加える行列をE3とするとdetE3=1
練習問題4.5
行の入れ換えをする行列E1，行をt倍する行列E2，行をt倍して別の行に加える行列 E3が2次正方行列だった場合，
detE1= −1 detE2=t detE3=1 となることを示せ．
練習問題4.6
Aを4次正方行列とする．Aの2行目を3倍して4行目に加える行列E1を求めよ．ま た，Aの1列目と４列目を入れ替える行列E2を求めよ．
練習問題4.7
練習問題4.6で求めたE1とE2の逆行列を求めよ．
行列の基本変形に関する性質から，行列式について次の性質を導くことができる．
性質4) 行列Aのある行だけをα倍した行列をBとしたとき，detB=αdetAである．
行列Aのある列だけをα倍した行列をCとしたとき，detC=αdetAである．
例 4.4
2次正方行列Aを以下のようにおく．
A=
( 2 1
−1 4 )
Aの1行目を3倍した行列をBとすると，
B=
( 6 3
−1 4 )
となる．detA = 2∗4−1∗(−1) = 9であり，detB = 6∗4−3∗(−1) = 27なので，
detB=3detAを満たしている． ¥ 性質5) 行列Aのある行の定数倍を，別の行に加えた行列をBとする．detB=detAである．
例 4.5
例4.4の行列Aを用いる．Aの2行目をt倍して，1 行目に足すと，
B=
(2−t 1+4t
−1 4 )
となる．detB= (2−t)∗4− (1+4t)∗(−1) =9となり，detAと等しい．
性質6) 性質3，5から，次のことが言える．
行列Aを構成する行ベクトルが線形従属なら，detA=0である．行列Aを構成する列 ベクトルが線形従属なら，detA=0である．
これは，次のように示すことができる．行列Aがn個の列ベクトルa1, . . . , anで構成さ れているとする．このとき，Aは
A=(
a1 a2 · · · an
)
と書ける．a1, . . . , anが線形従属であるならば，
c1a1+· · ·+cn−1an−1+cnan =0
を満たすc1, c2, . . . , cn−1が存在する．cn 6=0の場合，λi=ci/cn (i=1, . . . , n−1)と おく．第n列に第i列をλi倍して加える行列をEiとおき，E1, E2, . . . , En−1を左からA にかけると，
AE1E2· · ·En−1= (
a1 a2 · · · an+Pn−1 i=1 λnai
)
=(
a1 a2 · · · 0)
≡B
となる．性質3よりdetB=0であり，性質5よりdetA=detBとなる．
行が線形独立の場合も同様にして示せる．
例 4.6 Aが
A=
(2 −6 1 −3 )
である場合，Aを構成する列ベクトルが線形従属である（行ベクトルも線形従属である）．
detA=2∗(−3) − (−6)∗1=0である．Aの1列目を−3倍して2列目に足すと，
B=
(2 −6+ (−3)∗2 1 −3+ (−3)∗1 )
= (2 0
1 0 )
となる．detB=2∗0−0∗1=0である．
次の性質は，実際に行列式を求める際に重要である．
性質7) Aをn次正方行列とする．以下のようにAに行と列を足して，n+1次正方行列Bをつ くる．
A=
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 a2n
... ... ...
an1 an2 · · · ann
B=
1 0 0 · · · 0
0 a11 a12 · · · a1n
0 a21 a22 a2n
... ... ...
0 an1 an2 · · · ann
このとき，detB=detAである．
例 4.7
2次正方行列の行列式はすでに与えてあるが，3次正方行列の行列式を求めてみよう．
以下のようにAをおく．
A=
2 4 8 0 3 −1 4 0 −2
Aの1行目を1/2倍する．
1/2 0 0 0 1 0 0 0 1
2 4 8 0 3 −1 4 0 −2
=
1 2 4 0 3 −1 4 0 −2
≡B
次に，Bの1行目を−4倍して3行目に加える．
1 0 0 0 1 0
−4 0 1
1 2 4 0 3 −1 4 0 −2
=
1 2 4
0 3 −1
0 −8 −18
≡C
Cの1列目を−2倍して2列目に加える．
1 2 4
0 3 −1
0 −8 −18
1 −2 0
0 1 0
0 0 1
=
1 0 4
0 3 −1
0 −8 −18
≡D
Dの1列目を−4倍して3列目に加える．
1 0 4
0 3 −1
0 −8 −18
1 0 −4 0 1 0 0 0 1
=
1 0 0
0 3 −1
0 −8 −18
≡E
性質7より，
detE=¯¯
¯¯ 3 −1
−8 −18
¯¯¯¯=3∗(−18) − (−1)∗(−8) = −62
である．一方，
E=
1 0 0 0 1 0
−4 0 1
1/2 0 0 0 1 0 0 0 1
A
1 −2 0
0 1 0
0 0 1
1 0 −4 0 1 0 0 0 1
なので，detE=1∗ 12∗detA∗1∗1となる．detA= −124である． ¥ 例 4.8
行列式を求めるのに，例4.7では基本変形を行う行列を明示的に用いた．基本変形を行 う行列の行列式はすぐにわかるので，以下のようにして求めてもよい．
detA=
¯¯¯¯
¯¯
2 4 8 0 3 −1 4 0 −2
¯¯¯¯
¯¯=2
¯¯¯¯
¯¯
1 2 4 0 3 −1 4 0 −2
¯¯¯¯
¯¯ ←1行目を1/2倍した
=2
¯¯¯¯
¯¯
1 2 4
0 3 −1
0 −8 −18
¯¯¯¯
¯¯ ←1行目を−4倍して3行目に足した
=2
¯¯¯¯
¯¯
1 0 4
0 3 −1
0 −8 −18
¯¯¯¯
¯¯ ←1列目を−2倍して２列目に足した
=2
¯¯¯¯
¯¯
1 0 0
0 3 −1
0 −8 −18
¯¯¯¯
¯¯ ←1列目を−4倍して3列目に足した
=2¯¯
¯¯ 3 −1
−8 −18
¯¯¯¯=2∗(−62) = −124
なお，上の例において，３行目と４行目の操作は最後の行列の形を変えていないので 不要である．
例4.8でおこなったように，i行j列の要素aijを軸に，aij以外のi 行の要素とj列の要素をすべ て0にするような変形を，aijを軸とする掃き出しという．
練習問題4.8
次の行列の行列式を求めよ．
2 1 3
−2 1 −1
3 0 3
−1 3 2 2 −4 −1
0 2 5
1 0 1 1
1 −1 0 1 0 0 1 −1 1 1 0 −1
練習問題4.9
対角要素の左下にある要素がすべて0である行列を上三角行列という（対角要素より 右上の要素は何でもよい）．上三角行列の行列式は，対角行列の場合と同じく対角要素 の積となる．3次の上三角行列を自分でつくり，この事実を確認せよ．
4.3
逆行列の計算基本変形による方法
逆行列を計算する方法はいくつも存在する．ここでは，行列の基本変形を用いる方法を説明する．
3次正方行列Aを次のようにおく．
A=
2 2 −4
3 1 −2
−1 −1 0
以下では，Aに対して行方向の基本変形のみをほどこして，単位行列Iにすることを目指す．
Aの1行目を12倍して，A2を得る．
E1=
1 2 0 0 0 1 0 0 0 1
として，E1A=
1 1 −2
3 1 −2
−1 −1 0
=A2
A2の1行目を−3倍して2行目に加え，1倍して3行目に加えたものをA3とする．
E2=
1 0 0
−3 1 0 0 0 1
, E3=
1 0 0 0 1 0 1 0 1
としてE3E2A2=
1 1 −2 0 −2 4 0 0 −2
=A3
A3の2行目を−12倍する．さらにその行列の2行目を−1倍して1行目に加えたものをA4とする．
E4=
1 0 0 0 −12 0
0 0 1
, E5=
1 −1 0
0 1 0
0 0 1
としてE5E4A3=
1 0 0 0 1 −2 0 0 −2
=A4
A4の3行目を−12倍する．さらにその行列の3行目を2倍して2行目に加える．
E6=
1 0 0 0 1 0 0 0 −12
, E7=
1 0 0 0 1 2 0 0 1
としてE7E6A4=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
以上の操作をまとめると，
E7E6E5E4E3E2E1A=I である．AA−1=Iの両辺にE7E6E5E4E3E2E1をかけると，
左辺=E7E6E5E4E3E2E1AA−1=A−1
右辺=E7E6E5E4E3E2E1I=E7E6E5E4E3E2E1 となり，逆行列A−1は
A−1=E7E6E5E4E3E2E1=
−14 12 0
1
4 −12 −1
−14 0 −12
となる．
上記の方法では，基本変形を行う行列E1, E2, . . . , E7を明示的に用いた．以下のように，これらの 行列を省略して計算することもできる．まず，次のような表を書く．左半分には逆行列を求めたい 行列，右半分には単位行列を記入する．
2 2 −4 1 0 0
3 1 −2 0 1 0
−1 −1 0 0 0 1
以下，左半分を単位行列にすることを目標に基本変形を行う．
2 2 −4 1 0 0
3 1 −2 0 1 0
−1 −1 0 0 0 1
（ア）−−→
1 1 −2 12 0 0
3 1 −2 0 1 0
−1 −1 0 0 0 1
（イ）−−→
1 1 −2 12 0 0 0 −2 4 −32 1 0 0 0 −2 12 0 1
（ウ）−−→
1 1 −2 12 0 0 0 1 −2 34 −12 0 0 0 −2 12 0 1
（エ）−−→
1 0 0 −14 12 0 0 1 −2 34 −12 0 0 0 −2 12 0 1
（オ）−−→
1 0 0 −14 12 0 0 1 −2 34 −12 0 0 0 1 −14 0 −12
（カ）−−→
1 0 0 −14 12 0 0 1 0 14 −12 −1 0 0 1 −14 0 −12
（ア）1行目を1
2 倍する，
（イ）1行目を−3倍，1倍して，それぞれ2行目3行目に加える，
（ウ）2行目を−1
2 倍する，
（エ）2行目を−1倍して1行目に加える，
（オ）3行目を−1
2 倍する，
（カ）3行目を2倍して，2行目に加える こうしてえられた表の右半分が，求める逆行列である．
正方行列の階数
可逆な行列は基本変形を行うことで，必ず単位行列に変形することができる．では，可逆でない行 列の場合に同じような操作を行ったとき，どのような行列に帰着するだろうか?
以下の行列Bにたいして，単位行列を目標に基本変形を施していく．
B=
2 2 −4 3 1 −2
−1 0 0
上の操作で用いた行列E1, E2, E3, E4, E5によって，Bは次のように変形される．
E5E4E3E2E1B=
1 0 0 0 1 −2 0 1 −2
=B2
B2の2行目を−1倍して3行目に加えると，
1 0 0 0 1 −2 0 0 0
=B3
を得る．これ以上B3に基本変形を施しても単位行列にすることはできない．すなわち，Bは可逆 ではない．このことは，detB3=0であることからも確認できる．
一般的に，n次正方行列Aは，行方向のみの基本変形を施すことによって以下の形の行列に帰着 させることができる．
A~ =
1 0 · · · 0 ∗ · · · ∗
0 1 ... ∗ · · · ∗
... ... 0 ... ...
0 · · · 0 1 ∗ · · · ∗
0 0 · · · 0 0 · · · 0
... ... ... ... ... ...
0 0 · · · 0 0 · · · 0
r行
n−r行
(4.2)
行列中の∗の部分は適当な数値である．(4.2)にたいして，列方向の基本変形を行うことで(4.3)に 変形することができる．
A~~ =
1 0 · · · 0 0 · · · 0
0 1 ... 0 · · · 0
... ... 0 ... ...
0 · · · 0 1 0 · · · 0
0 0 · · · 0 0 · · · 0
... ... ... ... ... ...
0 0 · · · 0 0 · · · 0
r行
n−r行
= (Ir 0
0 0 )
(4.3)
上記のB3は(4.2)の形式になっており，列に関する基本変形を一度だけ行えば，(4.3)の形式に変
形することができる．
B3
1 0 0 0 1 2 0 0 1
=
1 0 0 0 1 0 0 0 0
行列Aを(4.3)の形式に変形したとき，そこにあらわれる対角成分の1の個数rを行列Aの階数
といい，rankAとあらわす．行列Aが可逆であれば，rankA=nである．
例 4.9
63ページの行列Aと64ページの行列Bの階数は，それぞれ，
rankA=3 rankB=2
である． ¥
行列Aの階数と，行列Aの行ベクトル，および列ベクトルの間には次の関係が成り立つ．
rankA=行列Aの行ベクトルの中に含まれる線形独立なベクトルの最大個数
=行列Aの列ベクトルの中に含まれる線形独立なベクトルの最大個数 例 4.10
行列Bで確認しよう．
B=
2 2 −4 3 1 −2
−1 0 0
すでに見たとおり，rankB=2である．
列ベクトルでみると，
0
2 3
−1
+2
2 1 0
−
−4
−2 0
=0
が成り立っており，行ベクトルでみると，
(2 2 −4)
−2(
3 1 −2) +4(
−1 0 0)
=0
が成り立っていることから，3つの列ベクトルおよび3つの行ベクトルが線形従属と なっていることがわかる． 行ベクトルであれ，列ベクトルであれ，二つの組では線形 独立となっており，これはBの階数に等しい． ¥ 練習問題4.10
練習問題4.8の3つの行列の階数を調べ，可逆かどうか判定せよ．もし可逆な行列があ れば，その逆行列を求めよ．
可逆であるための条件
n次正方行列Aが可逆であるための条件を定理としてまとめておく．
¶ ³
定理4.2
以下のi)〜iv)はすべて同値である．
i) Aが可逆 ii) detA6=0
iii) 行列Aの行（列）ベクトルが線形独立 iv) rankA=n
µ ´
一般の行列の階数
一般の(m, n)型行列Aに対しても，行方向の基本変形を施すことによって，
A~ =
1 0 · · · 0 ∗ · · · ∗
0 1 ... ∗ · · · ∗
... ... 0 ... ...
0 · · · 0 1 ∗ · · · ∗
0 0 · · · 0 0 · · · 0
... ... ... ... ... ...
0 0 · · · 0 0 · · · 0
r行
m−r行
(4.4)
| {z } | {z }
r列 n−r列
と変形させることができる．行列中の∗の部分は適当な数値である．さらに列方向の基本変形を行 うことで
A~~ =
1 0 · · · 0 0 · · · 0
0 1 ... 0 · · · 0
... ... 0 ... ...
0 · · · 0 1 0 · · · 0
0 0 · · · 0 0 · · · 0
... ... ... ... ... ...
0 0 · · · 0 0 · · · 0
r行
m−r行
(4.5)
| {z } | {z }
r列 n−r列
とすることができる．一般の行列Aに対しても階数が定義され，正方行列の場合と同様に，
rankA=r とする．また，
rankA=行列Aの行ベクトルの中に含まれる線形独立なベクトルの最大個数
=行列Aの列ベクトルの中に含まれる線形独立なベクトルの最大個数 も同様である．
練習問題4.11
次の行列A，Bの階数を求めよ．
A=
5 4 3 2 1 0 4 3 2 1 0 0 3 2 1 0 0 0 0 0
B=
1 0 1 −1 −1
1 2 1 3 1
3 0 3 −3 −3
−2 1 −2 4 3
4.4
連立一次方程式成分の調整
¶ ³
例題4.1
ある製品の品質は，色，透明度，密度の3種類の指標で評価される．製品に3種類の添加物を 加えたり，減らしたりすることで品質を調整する．添加物1，2，3を1単位加えたときの指標 の変化量は以下の表で与えられる．負の数値は，添加物を加えることで指標の数値が減少す ることを示す．
添加物1 添加物2 添加物3
色 2 2 -4
透明度 3 1 -2
密度 -1 -1 0
指標値の増加・減少量は，添加物の量に比例するものとする．
製品の指標値を，色については+12単位，透明度については−4単位，密度については+8単 位，現状より変化させたい．3つの添加物をそれぞれいくら増減すればよいか．
µ ´
添加物1の増加量をx，添加物2をy，添加物3をzとする．負の場合は，減少量を表す．指標の 目標値を達成するには，以下の関係が成り立たなくてはいけない．
2x+2y−4z=12 3x+y−2z= −4
−x−y=8 これは，行列とベクトルを用いて
2 2 −4
3 1 −2
−1 −1 0
x y z
=
12
−4 8
と表現できる．係数からなる行列をAとおく．
A=
2 2 −4
3 1 −2
−1 −1 0
Aは係数行列と呼ばれる．Ax=bの両辺にA−1を左からかけると，x=A−1bとなる．前節(63 ページ)ですでに，A−1を求めているので，
x y z
=
−14 12 0
1
4 −12 −1
−14 0 −12
12
−4 8
=
−5
−3
−7
が解である．したがって，添加物1を5単位，添加物2を3単位，添加物3を7単位減らせばよい．
¥ n変数，n本の等式からなる連立方程式は，n次正方行列Aを用いて，
Ax=b
と書くことができる．Aが可逆であれば，どんなbに対しても x∗=A−1b
として，解x∗を表すことができる．また逆行列の一意性より，解が一意に定まることもわかる．
練習問題4.12
練習問題4.10の結果を利用して，次の連立方程式を解け．
x1+x3+x4=4 x1−x2+x4=4 x3−x4=4 x1+x2−x4=4
可逆な行列でない場合
係数行列Aが可逆な場合は，Ax=bを満たす解が一意に定まる．では，可逆ではない場合はどう だろうか．
例 4.11
例題4.1の連立方程式の係数行列を以下のように変えた．
2x+2y−4z=12 3x+y−2z= −4
−x=8 xを消去すると，
2y−4z=28 (4.6)
y−2z=20 (4.7)
となる．(4.7)を2倍すると2y−4z=40となるので，(4.6)(4.7)を同時に満たすx, y は存在しない．すなわち，連立方程式には解がない． ¥ 例 4.12
例4.11の右辺の係数を変えた，次の連立方程式はどうだろうか．
2x+2y−4z= −4 3x+y−2z=4
−x= −3
xを消去して，
2y−4z= −10 (4.8)
y−2z= −5 (4.9)
を得る．(4.9)の両辺を2倍すると(4.8)になるので，y−2z= −5を満たすy, zはす べて解となる．すなわち任意のtに対して，(x∗, y∗, z∗) = (3,−5+2t, t)が解になって
いる． ¥
以上の例から，係数行列が可逆でない場合，右辺の値によって解が存在しなかったり，無数に存在 したりすることがわかる．このことをいままで学んだ行列の知識を使って整理しておこう．
行列Bを
B=
2 2 −4 3 1 −2
−1 0 0
とおくと，以下のような基本変形によって，B~に変形できる．
1 0 0
0 1 0
0 −1 1
1 −1 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0 0 1 0 1 0 1
1 0 0 0 −12 0
0 0 1
1 0 0
−3 1 0 0 0 1
1 2 0 0 0 1 0 0 0 1
B
=
1 0 0 0 1 −2 0 0 0
≡B~
基本変形を行う6つの行列をまとめてEとする．
E=
1 0 0
0 1 0
0 −1 1
1 −1 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0 0 1 0 1 0 1
1 0 0 0 −12 0
0 0 1
1 0 0
−3 1 0 0 0 1
1 2 0 0 0 1 0 0 0 1
=
−14 12 0
3
4 −12 0
−14 12 1
v = (x, y, z)>とおき，Bv=bの両辺に左からEををかけることで，Bv~ =Ebと等価な連立方程 式に変形できる．右辺をb~とおいて，具体的に成分で表すと，
左辺：Bx~ =
1 0 0 0 1 −2 0 0 0
x y z
=
x y−2z
0
右辺：b~≡Eb=
−14 12 0
3
4 −12 0
−14 12 1
b1
b2 b3
=
−14b1+ 12b2 3
4b1−12b2
−14b1+ 12b2+b3
となる．可逆でない行列は基本変形によって，ある行をすべて0にすることができる．B~は3行目 がすべて0である．このことにより，左辺の第3成分が0となる．したがって，もしb~の第3成 分−14b1+12b2+b3が0でない場合，方程式は矛盾してしまう．このとき，連立方程式を満たす 解は存在しない．実際，例4.11では，b1=12，b2= −4，b3=8だったので，b~3=36=0となっ ている．
一方，第3成分が0である場合（例4.12），必要な方程式は2本だけである．
x=b~1
y−2z=b~2
ここで，b~iはb~の第i成分である．ベクトルを使って書き直すと，
x y z
=
~b1
~b2
0
+
0
−2 1
z
と書くことができる．この表現は次のことを意味する．連立方程式Bv=bの解は，(0,−2, 1)>で 張られる線形部分空間に属するベクトルに，(~b1,~b2, 0)>をくわえたベクトルとして表すことがで きる．
例 4.13
4変数，4つの等式からなる連立方程式Ax=bを考えよう．係数行列，変数，右辺は 次のとおりである．
A=
1 0 2 1
0 1 −1 1
−1 1 −3 0
3 1 5 4
, x=
x1
x2
x3
x4
, b=
2 3 1 9
基本変形を行うことで，この連立方程式は，
1 0 2 1
0 1 −1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
x1 x2
x3 x4
=
2 3 0 0
と書き換えることができる．必要な部分だけを取り出すと，
(x1
x2
)
= (2
3 )
+
(−2 −1 1 −1
) (x3
x4
)
となる．したがって，この連立方程式の解は，s, tを任意の実数として，
x∗1 x∗2 x∗3 x∗4
=
2 3 0 0
+s
−2 1 1 0
+t
−1
−1 0 1
と表現することができる． ¥
可逆でない係数行列を持つ連立方程式が解を持つならば，その解は線形部分空間に属するベクトル に定数ベクトルを加えるという形で一般的に表現できる．同じ線形部分空間を異なるベクトルで張 ることができるので，解の表現も一意ではない．たとえば，例4.13の解を，
x∗1 x∗2 x∗3 x∗4
=
0 0
−13
8 3
+s
1 0
−13
−13
+t
0 1
1 3
−23
と表現することもできる．詳しくは，基底の変換という概念が必要になるので，ここでは表現が一 意ではないという事実のみを知っていればよい．
練習問題4.13
練習問題4.11で定義した行列Bによって，連立方程式を次のように定める．
B
x1
x2
x3
x4
x5
=
4 8 12
−6
この連立方程式を満たす解を全て求めよ．
係数行列が一般の行列の場合
連立方程式の係数行列がn次正方行列である場合をみてきた．最後に，連立方程式が，n変数，m 本の等式からなる場合について説明する．
まず，n > mの場合を考えよう．
例 4.14
例題4.1の連立方程式に変数を一つ加えて，以下のようにする．
2x1+2x2−4x3+x4=12 3x1+x2−2z3−3x4= −4
−x1−x2−2x4=8 係数行列，変数ベクトル，右辺ベクトルは
C=
2 2 −4 10
3 1 −2 3
−1 −1 0 −1
, x=
x1 x2
x3
x4
, b=
12
−4 8
となる．例題4.1の係数行列をAとおくと，
A=
2 2 −4
3 1 −2
−1 −1 0
であり，A−1が存在する．Cx=bの両辺に左からA−1をかけると，以下のようになる．
1 0 0 −1 0 1 0 2 0 0 1 −2
x1
x2 x3
x4
=
−5
−3
−7
可逆でない行列の例と同様に，この連立方程式の解は，任意の実数tを用いて，
x∗1 x∗2 x∗3 x∗4
=
−5
−3
−7 0
+t
1
−2 2 1
と表現することができる． ¥
n < mの場合は，以下の３つの可能性がある．
矛盾する等式が存在して，解が存在しない．
必要のない等式（他の等式から導かれる等式）が存在し，それを省くと係数行列がn次正方 行列になる．
必要のない等式が存在し，それを省くと等式の数が変数の数よりnよりすくなくなる．
練習問題4.14
例4.13の連立方程式から等式を1本取り除いた問題を考える．係数行列，変数，右辺を
D=
1 0 2 1 0 1 −1 1
−1 1 −3 0
, x=
x1
x2 x3
x4
, b=
2 3 1
とおいたとき，連立方程式Dx=bを解け．
