物質世界とイデア
2019年8月26日
意識物理学研究所研究会 in 東京
イデアと意識、物質世界
・意識世界と物質世界をイデア（カタチ）によって 結びつける
→観察（観測）者と観察（観測）対象が一体
・正四面体などのカタチが意識の構造を与える
→ 円と直線によって実装（現実世界）
精神（意識）世界
“２ｘ２”
イデア
“３＋１”
物質世界 科学
2
科学とは
• 科学（近代科学）＝「客観性」「再現性」→ 観察者の 観察（観測行為）によって観察対象が影響を受けない
（または影響が無視できるほど小さい）
• 科学の発展 → 「主体」（観察者）と「客体」（観察 対象）の分離をもたらす。→ 「精神」（意識）と物質 との分離 → 物質至上主義（唯物主義）
• 科学の客観性の限界 → 量子力学において表出
観察者
（主体）
被観察者
（客体）
影響しない
観察（観測）
3
観察と次元
点aをbが観察
→ aとbは対化
点dが三角形abcを観察
→ abcは等化
（または中和）
dとabcは対化 c
a b
点cが辺abを観察
→ abは等化
（または中和）
a b
c
d
じゃんけん（等化）
三脚（中和） など
「凝縮化」
a b
観察者
（主体）
観察対象
（客体）
「次元」の原理
・次元は観察により構成される。
・観察者は、より上位の観察者によって、観察空間に「投げ込まれる」
・上次元から下次元は観察することができるが、その逆はできない。
・3つの次元が1つに「凝縮化」することで、自然界の多層的(フラクタル)な構造が形成される。
「３＋１」
a b c
d
e
f i
4
点と線分のイデア
(1) 点（頂点）
存在（顕在化した観察者および観察対象）を表す。ひと つの次元に対応する。
(2) 線分（辺）
観察者と観察対象（または２つの観察対象）という２つ の存在（次元）の間の関係性を表わす。潜在化した次元 という言い方もできる。
２つの存在の間に差異がある場合を「対化」、差異が消 失した場合を「中和」とよぶ。
物理学において、モノ（または粒子）とモノとの間には たらく力（またはゲージボゾン）を表す。
例えば電磁気力の場合、電荷には正と負とがあり、引力 と斥力の２種類があるので対化、重力の場合は引力しか ないので中和といえる。
a b
存在 存在
関係性
SO(2)≅U(1) 対化 O(1,1) 中和
正三角形のイデア
３つの存在（頂点）abcと３つの関係性（辺）
ab,bc,caが一体となってひとつのシステムを構
成する。正三角形abcにおいて頂点aはbおよびcを観察
（ 等化 ） する存在であると同時に 、bやcに よって観察（等化）される存在でもある。
ある頂点とそれに向かい合う辺（aとbcなど）
は対（対化）の関係になるが、正三角形にお いて頂点と辺の数が等しいので、両者が入れ 替わった（つまり存在と関係性の役割が逆に なった）イデアが発生し、それは逆向きの正 三角形で表される。両者を組み合わせたカタ チであ る六芒 星が 、 対 化の関 係の消 失 （中 和）をあらわす。
正三角形のイデアは物理学において、３つの クォークがひとつの陽子を構成するさまを表 す。イデアは崩壊しないので、陽子が崩壊す ることもない。
a b
c 存在
存在 存在
関係性 関係性
関係性
正三角形のイデア。３つの存在（頂点）と ３つの関係性（辺）が一体となってひとつ のシステムを構成する。
六芒星。上向きの正三角形と下向きの正三角形 の組み合わせが頂点と辺（存在と関係性）の中 和をあらわす。
SU(2)/Z2 ≅ SO(3)
「じゃんけん」、「三権分立」、「三國志」、・・・
正四面体のイデア
４つの頂点(abcd)と６つの辺(ab,bc,ca,ad,bd,cd)からなる プラトン立体である。「３＋１」が三角形abcとその観察 者dの対化をあらわす。この両者にはさらに高次元の観察 者によって対化と中和の関係が発生する（リー群SO(4)
とO(3,1)の関係）。対化の場合、６つの辺すべてが対化
の関係であり、中和の場合、３辺ab,bc,caが対化、残り の３辺ad,bd,cdが中和の関係となる。
存在
存在
存在
存在 関係性 関係性
関係性
関係性
関係性 関係性
b
c d
a
正四面体のイデア。４つの 存在（頂点）と６つの関係 性（辺）からなる。
正四面体の２つの投影
a
b
c
d
“2x2” “3+1”
２本の双対な辺として見る
→３組の対（abとcd, ac とbd, adとbc）
三角形abcと頂点dの対 または線分ab,bc,caと ad,bd,cdの対として見る
a
b c
d
SU(2), 物理学の方程式 物質世界の構造（素粒子、時空）
正六面体と正八面体
＋
正六面体は２つの双対な（逆向きの）正四面体を組み合 わせることによって得られる。
正八面体は正四面体の６つの辺の中点同士 を結ぶことによって得られる。辺→点変換 に対応する。
正四面体の辺を頂点に変換（「関係性」を「存在」に変換）したイデアが、正八面体である。
正八面体は正四面体の６つの辺の中点同士を結ぶことによって得ることができる。
一方、正四面体を２つ組み合わせたイデアが、正六面体である。このとき、存在（頂点）の意 味はそのまま継承され、「関係性」（辺）は面として継承される。従って、正八面体は正六面 体の面を頂点に変換（面点変換）することによって得ることができる。
正五胞体のイデア
正五胞体は4次元空間に埋め込まれた立体（超立体）で、５つの頂点と10の辺からな る。それの２次元への射影が、五芒星と五角形を組み合わせたカタチとなる。
SO(5)は、変換される５つ の次元がすべて対称である。
Sp(2)は「３」と「１」の対化を ５番目の次元が観察する、３＋１
＋１の構造をしている。「３」が １つの次元に「凝縮化」すること で、再び「３」が形成される。
（１）線分： SO(2)≅U(1) または O(1,1)
（≅は群同型を表す）
２つの次元の関係性を表す。U(1)(SO(2))の回転 𝑒𝑖𝜃（または cos 𝜃、sin 𝜃）を擬回転 𝑒𝜃
（または cosh 𝜃、sinh 𝜃）に置き換えたのが、ローレンツ群O(1,1)である。前者が２つの 次元の間に差異がある（実数と虚数の関係）ことを表し（対化という）、後者は２つの 次元の間に差異がない（ともに実数の関係）ことを表す（中和という）。両者の２行２ 列の行列による表現は、それぞれ
cos𝜃 −sin𝜃 sin𝜃 cos𝜃
および cosh𝜃 −sinh 𝜃
−sinh𝜃 cosh𝜃 であり、対応するリー環は
0 −𝜃
𝜃 0 = −𝑖𝜃𝜎2
および 0 −𝜃
−𝜃 0 = −𝜃𝜎1 である。ただし、𝜎1, 𝜎2, 𝜎3 は３つのパウリ行列を表す。
𝜎1 = 0 1
1 0 , 𝜎2 = 0 −𝑖
𝑖 0 , 𝜎3 = 1 0 0 −1
数学・物理学との対応
円→直線
円環上の１カ所を 切る
切った場所に自分
（観察者）を入れる
＝
S a
点（観察者）
＋直線（観察対象）
a
接線 b
点と直線の対化
円環＝世界を構成する材料
12
（２）三角形： SU(2)/Z
2
≅ SO(3)３つの次元の三つすくみの関係を表す。以下の３つの関係 三角形abcにおいて、
aおよびbの対化を観察（等化という）するのがc bおよびcの対化を等化するのがa
cおよびaの対化を等化するのがｂ
が３つのパウリ行列（SU（２）の生成子）の間の交換関係 𝜎𝑗, 𝜎𝑘 = 2𝑖𝜀𝑗𝑘𝑙𝜎𝑙 (𝑗, 𝑘, 𝑙 = 1,2,3)
によって表現されている。
群の次元（正三角形の辺の数に対応）3と、回転を受けるベクト ル空間の次元（正三角形の頂点の数に対応）3が等しい。その結 果、存在を表す頂点と関係性を表わす辺の間に混同（同一化）
が発生する（辺abと頂点cなど）。六芒星によって表されるこの 中和が、次で説明される電場と磁場の中和の要因となる。
SU(2)と古典物理学
•
運動方程式（力学）•
Maxwellの方程式（電磁気学）σ1
σ3 σ2
SU(2)
Re1 Im1
Im2 Re2
c
c B E
t x
電磁誘導の法則
Ampere-Maxwellの法則
電磁気学
ℏ p E
t x
力学
運動方程式 物体の速さ
𝑒𝑖𝜃, 𝜃 = (𝑝𝑥 − 𝐸𝑡)/ℏ
SU(2) ≅ SO(3)
• ふたつの複素数の変換→三次元回転
SO(3)
三軸の差異が消失 X軸
Y軸
Z軸 σ1
σ3 σ2
SU(2) Re1 Im1
Im2 Re2
Im1
Re1
Re2
Im2
σ２
直交トーラス Im1
Re1
Im2 Re2
σ１
直交座標
（３）正四面体： SO(4) または SL(2,C)/Z
2
≅O(3,1)0
正四面体の１つの頂点dが正三角形abcを観察する。この とき、正三角形abcとdの対化がSO(4)によって、中和が O(3,1)によって表される。
SO(4)は、４つ（ベクトル空間の次元）の頂点がすべて 対等な関係であり、６つ（群の次元）の辺がすべて対化 を表し、独立で対等な関係である。
O(3,1)の場合、三角形abcの三辺ab,bc,caが等化（部分群 SO(3)）、頂点dからabcに下ろされた３辺ad,bd,cdが中和 となる（それぞれ部分群O(1,1)）。
SU(2)とSO(4)
SU(2) →双対な辺が一緒に 変換 →SO(3)と同型
SO(4)=SU(2)×SU(2) →双対な辺が 独立に変換（パラメータが２倍に）
SL(2,C)/Z
2
≅O(3,1)0
I↔σ3混合によって 第３軸方向に観察者 が投げ込まれる
1 0 0 1
1 0 0 −1 I
σ1
σ2
σ3
擬回転O(1,1)
回転(SO(3)~SU(2))
0 1 1 0
0 −𝑖 𝑖 0
ローレンツ群SL(2,C)と正四面体との対応。SL(2,C)によって変換される４つのR-基底である単位行列 𝐼 および３つのパウリ行列 𝜎𝑖 が正四面体の４頂点に対応する。 𝐼 − 𝜎3 混合によって３次元直交座 標における第3軸方向に観察者が投げ込まれる。
ワインバーグ＝サラ ム理論（電弱統一理 論）における𝑍0ボゾ ンと光子（電磁場）
の混合に対応
𝑆𝑝(1) × 𝑆𝑝(1)/𝑍 2 ≅ 𝑆𝑂(4)
写像 𝑓: 𝔰𝔭 1 × 𝔰𝔭 1 → 𝔬 4 = 𝔬(𝑯) 𝑓 𝑝, 𝑞 𝑥 = 𝑝𝑥 − 𝑥𝑞 𝑥 ∈ 𝑯
が、𝑹-Lie環としての同型を与える。行列表示は
𝑓 𝑝, 𝑞 =
0 −𝑝1 + 𝑞1 𝑝1 − 𝑞1 0
−𝑝2 + 𝑞2 −𝑝3 + 𝑞3
−𝑝3 − 𝑞3 𝑝2 + 𝑞2 𝑝2 − 𝑞2 𝑝3 + 𝑞3
𝑝3 − 𝑞3 −𝑝2 − 𝑞2
0 −𝑝1 − 𝑞1 𝑝1 + 𝑞1 0 𝑝1 − 𝑞1 → 𝐸𝑥, 𝑝2 − 𝑞2 → 𝐸𝑦, 𝑝3 − 𝑞3 → 𝐸𝑧 𝑝1 + 𝑞1 → 𝐵𝑥, 𝑝2 + 𝑞2 → 𝐵𝑦, 𝑝3 + 𝑞3 → 𝐵𝑧 と置き換えると、電磁場テンソルになる。
2017/8/20
SO(4)と電磁場
電磁場テンソル 𝐹𝜇𝜈 はSO(4)のリー環の構造をし ている。電場と磁場が中和した結果、発生する のが電磁波（光）である。
SO(4) ≅SU(2)ｘSU(2)/Z2 𝐹𝜇𝜈 = 𝜕𝜇𝐴𝜈 − 𝜕𝜈𝐴𝜇 =
0 −𝐸𝑥 𝐸𝑥 0
−𝐸𝑦 −𝐸𝑧
−𝐵𝑧 𝐵𝑦 𝐸𝑦 𝐵𝑧
𝐸𝑧 −𝐵𝑦
0 −𝐵𝑥
𝐵𝑥 0 jx(Ax)
jy(Ay)
jz(Az) ρ（Φ）
Ez Ex
Ey
Bz Bx By
正四面体と電磁場との対応。４つの頂点が四元ポテン シャル Φ, 𝐴 または四元電流 𝜌, 𝑗 に対応し、６つの辺 が電場 𝐸 および磁場 𝐵 に対応する。
（４）正五胞体： Sp(2)/Z
2
≅SO(5)𝐸
𝑚 𝑝
𝛾𝑖= 0 −𝜎𝑖 𝜎𝑖 0
𝛾0= 0 𝐼 𝐼 0
𝑚 𝐸
𝑝
𝛾𝑖= 0 𝜎𝑖
−𝜎𝑖 0
𝛾0= 𝐼 0 𝐼 0 0 −𝐼
0 𝐼 相対論的極限（𝑚 → 0）
カイラル表示
𝐸と𝑝が中和
古典論的極限（𝑝 → 0）
パウリ・ディラック表示 𝐸と𝑚が中和
中和
観察
観察
𝑝 = 𝑚 𝑣 𝐸 = 𝑝𝑐
𝛾5= 𝐼 0 0 −𝐼
𝐼 0 0 𝐼
𝛾5= 0 𝐼 𝐼 0
𝐸 + 𝑚
𝐸 − 𝑚 𝑝
他者 自己
モノ
－𝑝
古典論的極限（𝑝 → 0）においてエネルギー 𝐸 と質量 𝑚 の中和によって生じるゲシュタルト。中和の結果、両者 は自己（𝐸 + m）と他者（𝐸 − 𝑚）とに分離し、モノ（運 動量）をはさんで両者が向かい合うというゲシュタルト を形成する
（５）SU(4)/Z
2
≅SO(6)SU(2)xSU(2)/Z2≅SO(４)の関係を２重化して得られる。
SU(4)の場合、四面体の４つの頂点に１つの複素数を対 応させる。
１つの辺に、実―実の対応と実―虚の対応の２種類がある ことから、２ｘ６辺＝１２の回転（次元）。それに、頂 点自体の回転が、「特殊」性から、4-1=3。合計で１５次 元となる。
一方、SO(6)の場合、６つの頂点を六角形に配置すると、
合計１５の辺（＝次元）は六芒星（６次元）、六角形
（６次元）および対角線（３次元）の和となる。このう ち六芒星と六角形の12の辺を、３角形の３辺がそれぞれ ２ｘ２＝４重化しているとみなすと、正四面体（SO(4)） の６辺と正三角形（SU(2)）の３辺の関係が２重化したも のが、SU(4)の１２の回転とSO(6)の１２の回転の関係と 考えることができる。
「カタチの輪廻」
回転群の発展とそのカタチの関係。SO(3)は正三角形によって、SO(4)は正四面体によってそれぞれ表される。
SO(5)の平面への射影が五芒星であり、３次元空間への射影のひとつが、ピラミッド形（正八面体の半分）で
ある。SO(6)の平面への射影は六芒星（および六角形とその対角線）である。また、３次元空間への射影は、
正八面体（対角線を除く）である。SO(6)は２つの正三角形(SO(3))に分離し、また発展を続ける。
