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正多面体

1.1 座標空間で考察

頂点を座標で表して考える。 1.1.1 正四面体頂点 4個 (±1, ±1, ±1) (ただし，−が奇数個) P1(−1, −1, −1), P2(−1, +1, +1), P3(+1,−1, +1), P4(+1, +1,−1) 面 4個（正三角形） P1P4P3, P1P3P2, P1P2P4, P2P3P4 辺 6個辺の長さ 2√2 面の中心 ( ±1 3,± 1 3,± 1 3 ) (ただし，+が奇数個) 辺の長さが2 √ 2 3 の正四面体の頂点になる。面のなす角 cos−1 ( 1 3 ) ; 70.5◦ 外接円半径 2 √ 6 3 一面の面積 2√3 外接球半径 √3 内接球半径 √1 3 表面積 8√3 体積 8 3

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1.1.2 正六面体頂点 8個 (±1, ±1, ±1) P1(−1, −1, −1), P2(−1, −1, +1), P3(−1, +1, −1), P4(−1, +1, +1), P5(+1,−1, −1), P6(+1,−1, +1), P7(+1, +1,−1), P8(+1, +1, +1) 面 6個（正四角形） P1P2P4P3, P1P3P7P5, P1P5P6P2 P8P6P5P7, P8P4P2P6, P8P7P3P4 辺 12個辺の長さ 2 面の中心 (±1, 0, 0), (0, ±1, 0), (0, 0, ±1) 辺の長さが√2の正八面体の頂点になる。面のなす角 cos−1(0) = 90◦ 外接円半径 √2 一面の面積 4 外接球半径 √3 内接球半径 1 表面積 24 体積 8

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1.1.3 正八面体頂点 6個 (±1, 0, 0), (0, ±1, 0), (0, 0, ±1) P1(−1, 0, 0), P2(0,−1, 0), P3(0, 0,−1), P4(+1, 0, 0), P5(0, +1, 0), P6(0, 0, +1) 面 8個（正三角形） P1P3P2, P1P5P3, P1P6P5, P1P2P6, P4P2P3, P4P3P5, P4P5P6, P4P6P2 辺 12個辺の長さ √2 面の中心 ( ±1 3,± 1 3,± 1 3 ) 辺の長さが2 3の正六面体の頂点になる。面のなす角 cos−1 ( −1 3 ) ; 109.5◦ 外接円半径 √ 6 3 一面の面積 √ 3 2 外接球半径 1 内接球半径 √1 3 表面積 4√3 体積 4 3

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1.1.4 正十二面体 ϕ =黄金比= 1 + √ 5 2 とおく。ϕ + 1 = ϕ 2_，_ϕ2_{+ 1 =}√_{5 ϕ}_{を用いて簡単に表す。} 頂点 20個 (0,±1, ±ϕ2), (±1, ±ϕ2, 0), (±ϕ2, 0,±1), (±ϕ, ±ϕ, ±ϕ) P1(0,−1, −ϕ2), P2(0, +1,−ϕ2), P3(0,−1, +ϕ2), P4(0, +1, +ϕ2), P5(−1, −ϕ2, 0), P6(+1,−ϕ2, 0), P7(−1, +ϕ2, 0), P8(+1, +ϕ2, 0), P9(−ϕ2, 0,−1), P10(−ϕ2, 0, +1), P11(+ϕ2, 0,−1), P12(+ϕ2, 0, +1), P13(−ϕ, −ϕ, −ϕ), P14(−ϕ, −ϕ, +ϕ), P15(−ϕ, +ϕ, −ϕ), P16(−ϕ, +ϕ, +ϕ), P17(+ϕ,−ϕ, −ϕ), P18(+ϕ,−ϕ, +ϕ), P19(+ϕ, +ϕ,−ϕ), P20(+ϕ, +ϕ, +ϕ) 面 12個（正五角形） P1P2P19P11P17, P2P1P13P9P15, P3P4P16P10P14, P4P3P18P12P20, P5P6P18P3P14, P6P5P13P1P17, P7P8P19P2P15, P8P7P16P4P20, P9P10P16P7P15, P10P9P13P5P14, P11P12P18P6P17, P12P11P19P8P20 辺 30個辺の長さ 2 面の中心 ( 0,± ϕ 3 √ 5 ,± ϕ2 √ 5 ) , ( ±√ϕ2 5 , 0,± ϕ3 √ 5 ) , ( ±√ϕ3 5 ,± ϕ2 √ 5 , 0 ) 辺の長さが 2ϕ 2 √ 5 の正二十面体の頂点になる面のなす角 cos−1 ( −√1 5 ) ; 116.6◦ 外接円半径 2 √ ϕ √ 5 = 2 √ 5 +√5 10 一面の面積 √ (√5 ϕ )3 = √ 25 + 10√5 外接球半径 √3 ϕ = √ 15 +√3 2 内接球半径 √ ϕ5 √ 5 = √ 25 + 11√5 10 表面積 12√ (√5 ϕ )3 = 12 √ 25 + 10√5 体積 4√5 ϕ4_{= 30 + 14}√₅

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1.1.5 正二十面体 ϕ =黄金比= 1 + √ 5 2 とおく。ϕ + 1 = ϕ 2_，_ϕ2_{+ 1 =}√_{5 ϕ}_{を用いて簡単に表す。} 頂点 12個 (0,±1, ±ϕ), (±ϕ, 0, ±1), (±1, ±ϕ, 0) P1(0,−1, −ϕ), P2(0, +1,−ϕ), P3(0,−1, +ϕ), P4(0, +1, +ϕ), P5(−ϕ, 0, −1), P6(−ϕ, 0, +1), P7(+ϕ, 0,−1), P8(+ϕ, 0, +1), P9(−1, −ϕ, 0), P10(+1,−ϕ, 0), P11(−1, +ϕ, 0), P12(+1, +ϕ, 0), 面 20個（正三角形） P1P2P7, P2P1P5, P3P4P6, P4P3P8, P5P6P11, P6P5P9, P7P8P10, P8P7P12, P9P10P3, P10P9P1, P11P12P2, P12P11P4, P1P7P10, P1P9P5, P2P5P11, P2P12P7, P3P6P9, P3P10P8, P4P8P12, P4P11P6 辺 30個辺の長さ 2 面の中心 ( 0,±ϕ 3 3 ,± ϕ 3 ) , ( ±ϕ 3, 0,± ϕ3 3 ) , ( ±ϕ3 3 ,± ϕ 3 , 0 ) , ( ±ϕ2 3 ,± ϕ2 3 ,± ϕ2 3 ) 辺の長さが2ϕ 3 の正十二面体の頂点になる面のなす角 cos−1 ( − √ 5 3 ) ; 138.2◦ 外接円半径 √2 3 一面の面積 √3 外接球半径 √√5 ϕ = √ 10 + 2√5 2 内接球半径 ϕ 2 √ 3 = 3√3 +√15 6 表面積 20√3 体積 20ϕ 2 3 = 10 ( 3 +√5 ) 3

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1.2 正多面体とその双対多面体

前節で調べたように，正多面体の各面の中心を頂点にもつ多面体はまた正多面体になる。これを元の正多面体の双対多面体という。このとき，大きさは関係なく，形だけを考える。双対多面体の双対多面体は，元の正多面体である。 (1) 正四面体⇐⇒双対正四面体 (2) 正六面体⇐⇒双対正八面体 (3) 正十二面体⇐⇒双対正二十面体

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1.3 まとめ

一辺の長さaで表す正4面体正6面体正8面体正12面体正20面体辺の長さ a a a a a 外接円の半径 √1 3 a 1 √ 2 a 1 √ 3 a √ 5 +√5 10 a 1 √ 3 a 一面の面積 √ 3 4 a 2 _{1 a}2 √ 3 4 a 2 √ 25 + 10√5 4 a 2 √ 3 4 a 2 外接球の半径R √ 6 4 a √ 3 2 a 1 √ 2 a √ 15 +√3 4 a √ 10 + 2√5 4 a 内接球の半径r 1 2√6 a 1 2 a 1 √ 6 a √ 25 + 11√5 40 a 3√3 +√15 12 a 表面積S √3 a2 6 a2 2√3 a2 3 √ 25 + 10√5 a2 5√3 a2 体積V 1 6√2 a 3 _a3 √ 2 3 a 3 15 + 7 √ 5 4 a 3 ( 15 + 5√5 ) 12 a 3 外接球の半径Rで表す正4面体正6面体正8面体正12面体正20面体辺の長さa 2 √ 6 3 R 2 √ 3 R √ 2 R √ 15 −√3 3 R √ 10− 2√5 5 R 外接円の半径 2 √ 2 3 R √ 6 3 R √ 6 3 R √ 10− 2√5 15 R √ 10− 2√5 15 R 一面の面積 √2 3 R 2 4 3 R 2 √ 3 2 R 2 √ 50− 10√5 6 R 2 5 √ 3 −√15 10 R 2 外接球の半径 R R R R R 内接球の半径r 1 3 R 1 √ 3 R 1 √ 3 R √ 5 + 2√5 15 R √ 5 + 2√5 15 R 表面積S √8 3 R 2 _{8 R}2 ₄√_{3 R}2 ₂ √ 50− 10√5 R2 ₂₍₅√₃ ₋√_{15 ) R}2 √ _√