物理学とイデア
2017年8月20日 福山
第3回「物質の究極と人間の意識」
意識物理学研究所
佐藤博紀
意識（精神）と物質
•
１７世紀頃、西洋において生まれた近代科学は以後飛躍的発展 を遂げ、それを用いた科学技術の成果は日常生活に浸透し、わ れわれの文明はそれなしでは成り立たないほどになった。また、
科学の及ぶ領域はミクロは素粒子の世界からマクロは宇宙の大
規模構造にまでおよぶようになった。一方、科学の急激な発達
は物質と精神との分離を促進し、物質至上主義（唯物主義）の
蔓延、精神やこころの病、原子核反応を利用した兵器など、多
くの負の側面を生み出した。科学の成果が三次元世界の極限に
まで達した今こそ、科学と意識との関連についての考察を開始
する時期である。そして、物質という暗闇に落ち込んだ現代人
の意識を救済するのがミッションである。（「意識物理学研究
所」ミッションより）
科学とは
•
科学（近代科学）＝「客観性」「再現性」→ 観察者の 観察（観測行為）によって観察対象が影響を受けない
（または影響が無視できるほど小さい）
•
科学の発展 → 「主体」（観察者）と「客体」（観察 対象）の分離をもたらす。→ 「精神」（意識）と物質 との分離 → 物質至上主義（唯物主義）
•
科学の客観性の限界 → 量子力学において表出
観察者
（主体）
観察対象
（客体）
影響しない
観察（観測）
イデアと意識、物質世界
・
意識世界と物質世界をイデア（プラトン立体や 円）によって結びつける
→観察者と観察対象が一体
・正四面体が意識の構造を与える
→ 円と直線によって実装（現実世界）
精神（意識）世界
“２ｘ２”
イデア
“３＋１”
物質世界
物理学、数学
プラトン立体
・プラトン立体→すべての面が同一の正多角形で構成されてあり、かつすべての 頂点において接する面の数が等しい凸多面体
・正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の５種類
・正四面体が意識の構造の最小単位を与える
正四面体の２つの見方
a
b
c
d
“2x2” “3+1”
２本の辺の対として見る
→３組の対（abとcd, ac とbd, adとbc）
三角形abcと頂点dの対→等化「３＋１」
または辺ab,bc,caと
ad,bd,cdの対として見る→中和「３＋３」
a
b c
d
物質（三次元）世界 粒子性
意識の世界 波動性
“２ｘ２”
•
意識、観念、言葉、数学、物理法則（「対化を等化する精神」）
•
量子の「波動性」
•
抽象的な言葉は必ず対になっている。（「大きい」と「小さい」、
「暑い」と「寒い」、「善」と「悪」など） → ２元性の世界に われわれは閉じ込められている。
•
隠れた軸を見つけ出すことで、２元性の世界から抜け出し、４元性 の世界（“２ｘ２”）へ
•
「自己」と「他者」
•
数学的には、実軸に対する虚軸→複素数平面
•
素粒子物理学においては、荷電粒子（陽子・電子）に対する中性の粒子（中
性子、ニュートリノ）
“３＋１”
•
物質世界＝２ｘ２が等化された結果の 世界
•
量子の「粒子性」
•
水素原子の構造（クォーク３つからな る陽子＋電子１つ）
•
時空（空間３次元＋時間１次元）
b
c a
d
観察と次元
点aをbが観察
→ aとbは対化
点dが三角形abcを観察
→ abcは等化
（または中和）
dとabcは対化 c
a b
点cが辺abを観察
→ abは等化
（または中和）
a b
c
d
じゃんけん（等化）
三脚（中和） など
「凝縮化」
a b
観察者
（主体）
観察対象
（客体）
「次元」の原理
・次元は観察により構成される。
・観察者は、より上位の観察者によって、観察空間に「投げ込まれる」
・上次元から下次元は観察することができるが、その逆はできない。
・3つの次元が1つに「凝縮化」することで、自然界の多層的(フラクタル)な構造が形成される。
物質の階層構造
三角形が観察によって点に「凝縮化」（３→１）
観察によって物質のフラクタルな階層構造が発展
a b
c
d
e
f i
1,2 3,4
5,6
9,10
11,12 7,8
13,14
ヌーソロジーとの対応
ミクロ世界
陽子
原子
マクロ世界
太陽系
クォーク
木星、土星 地球、月
素粒子
ゲージ変換とゲージ場
) ( '
, ) ( exp
' '
'
' '
'
1 1
x A
A A
e g x ie U
D U D
U g U
U i UA A
A
igA D
D
igA D
U
は電磁場となり、
のとき、
特に
）
（ゲージ不変性という ラグランジアンは不変
より、
すれば、
と変換（ゲージ変換）
を考える。
共変微分
ンを不変にするため、
に対してラグランジア の局所的ゲージ変換 場
gは場ψとゲージ場𝐴𝜇の相互作用の強さを表す
U（１）対称性という
素粒子とスピン(SU(2))
+1 (Up)
-1
(down) 𝜎+
𝜎−
𝜎3
1 , 0
0 1
0 1
0 0 2
, 1 0 0
1 0 2
1
1 0
0 , 1
0 , 0
0 1
1 0
3
2 1
2 1
3 2
1
down Up
i i
i
i
の固有ベクトル
SL(2,C)~O(3,1)
0E↔σ3混合によって
Z方向に観察者が投げ込まれる 1 0
0 1
1 0 0 −1 E
σ1
σ2
σ3 擬回転
回転(SO(3)~SU(2)) 0 1
1 0
0 −𝑖 𝑖 0 x
y
z t
「３＋１」
同型写像
0 2
2 0
0 2
2 0
) (
2 2
2 2
}
| ) , 2 ( {
) , 2 ( ,
) (
)) , 2 ( ( )
1 , 3 ( )
, 2 ( :
2 1 2
1
2 1 2
1
2 1 2 1
2 1 2 1
3 3
2 2 1 2
2 1
1 2 1 1
2 1 2
2
1 1
0 3
0 2
1
2 1
3 0
b b b
b
a a a
a
b b a a
b b a a D
f
D I
X
a i i a
b b
b ib
a a i
i b a
i b a D i
x I x x
x ix
x
ix x
x X x
Lie R
X X
C M
X C
X XD DX
X D f
C o
o C
sl f
i i i
虚部のみ残るので、
より に対しては反交換関係
の実部のみ、
に対しては の
る。
環としての同型を与え が
写像
†
†
群SL(2,C)のリー環（リー代数）
so(3)
sl(2,C)の元（トレース0）
で定義する ノルムを
は
より とすると、
は共役転置
† 写像
†
†
2 3 2 2 2 1 2
det 0
) , 2 ( , exp ,
)) , 2 ( ( ) 1 , 3 ( )
, 2 ( :
x x x x X defined well
g
C XD
DX
D A
AXA X
C O
O C
SL g
正四面体と電磁場
jx(Ax)
jy(Ay)
jz(Az) ρ（Φ）
Ez Ex
Ey
Bz Bx
By
内接する正八面体
→三次元直交座標のイメージ j
E B
/t ∇×
A
/t ∇×
∇ Φ
∇・
ρ
電磁ポテンシャル
•
スカラーポテンシャルφとベクトルポテンシャルAを導入
• 𝑩 = 𝜵 × 𝑨, 𝑬 = −𝜵𝜙 − 𝜕𝑨
•
四元ポテンシャル（電磁ポテンシャル）
𝜕𝑡 𝐴𝜇 = 𝜙, 𝑨•
反対称テンソル（電磁場テンソル）
𝐹𝜇𝜈 = 𝜕𝜇𝐴𝜈 − 𝜕𝜈𝐴𝜇 =
0 −𝐸𝑥 𝐸𝑥 0
−𝐸𝑦 −𝐸𝑧
−𝐵𝑧 𝐵𝑦 𝐸𝑦 𝐵𝑧
𝐸𝑧 −𝐵𝑦
0 −𝐵𝑥 𝐵𝑥 0
を用いると、Maxwell方程式は
• 𝜕𝜆𝐹𝜇𝜈 + 𝜕𝜈𝐹𝜆𝜇 + 𝜕𝜇𝐹𝜈𝜆 = 0, 𝜕𝜇𝐹𝜇𝜈 = 𝐽𝜈 (= 𝜌, 𝑱 )
•
これをみたすラグランジアン密度
ℒは、
• ℒ = −1
4 𝐹𝜇𝜈𝐹𝜇𝜈 − 𝐽𝜇𝐴𝜇
𝜀0 = 𝜇0= 1の単位系
２ｘ２ ３＋１
𝜕𝑖𝐴𝑗 − 𝜕𝑗𝐴𝑖 → 𝜵 × 𝑨
𝜕0𝐴𝑖 − 𝜕𝑖𝐴0 = 𝜕𝑨
𝜕𝑡 + 𝜵𝜙
𝜕𝜇𝜙 = 𝜕𝜙
𝜕𝑥𝜇 = 𝜕𝜙
𝜕𝑡 , −𝛻𝜙 反変ベクトル
𝜕𝜇𝜙 = 𝜕𝜙
𝜕𝑥𝜇 = 𝜕𝜙
𝜕𝑡 , 𝛻𝜙 共変ベクトル
𝑆𝑝(1) × 𝑆𝑝(1)/𝑍2 ≅ 𝑆𝑂(4)
写像
𝑓: 𝔰𝔭 1 × 𝔰𝔭 1 → 𝔬 4 = 𝔬(𝑯) 𝑓 𝑝, 𝑞 𝑥 = 𝑝𝑥 − 𝑥𝑞 𝑥 ∈ 𝑯が、
𝑹-Lie環としての同型を与える。行列表示は
𝑓 𝑝, 𝑞 =
0 −𝑝1 + 𝑞1 𝑝1 − 𝑞1 0
−𝑝2 + 𝑞2 −𝑝3 + 𝑞3
−𝑝3 − 𝑞3 𝑝2 + 𝑞2 𝑝2 − 𝑞2 𝑝3 + 𝑞3
𝑝3 − 𝑞3 −𝑝2 − 𝑞2
0 −𝑝1 − 𝑞1 𝑝1 + 𝑞1 0 𝑝1 − 𝑞1 → 𝐸𝑥, 𝑝2 − 𝑞2 → 𝐸𝑦, 𝑝3 − 𝑞3 → 𝐸𝑧 𝑝1 + 𝑞1 → 𝐵𝑥, 𝑝2 + 𝑞2 → 𝐵𝑦, 𝑝3 + 𝑞3 → 𝐵𝑧 と置き換えると、電磁場テンソルになる。
正六面体と電磁場
Φ(ρ) Ex
Ey
Ez
Ax
Ay
Az Jx
Jy Jz
Ez
Ey Ex Bx
By Bz
Bx By
Bz
正六面体と時空（粒子）
E(t)
px py
pz
y x
z c
c
c i
i i
Etを含む面で スライス
E
t pz
z
c(v)
c(v)
F(i) F(i)
ℏ 1
2
3
ディラック方程式
0
) (
, ,
0 ,
1 ,
1
) 1 (
) 1 (
3 1
3 1
3 1
1 3
3 1
2 2
2 2
2
m p
E
m p
E
p p
m p
E
m p
E
m p
E
i i
i i
i i
i
はテンソル積を表す。
を用いて に独立なパウリ行列
を３次元化 示 パウリ・ディラック表
表示 とおくのが、カイラル
ディラック表示 とおくのが、パウリ・
ウリ行列 これを満たすのは、パ
になるので、
両辺を２乗して １次元の場合
線形化
0
,
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0 0
5 1
1
0 3
3
2
2 3
3
m i
x t
x m i t
m p E
I I I
I I I
i
m p i E
i i i i i
i i
i i
i i
と表すと、
量子化すると、
）、
とおくと（ガンマ行列
関数が隠れている）
を掛ける（右には波動 左から
SO(5) と凝縮化
𝑋 ∈ ℑ 2, 𝐻 0
= {𝑋 ∈ 𝑀(2, 𝐻)|𝑋† = 𝑋, 𝑡𝑟 𝑋 = 0} ≅ 𝑅5 𝑋 = 𝜉 𝑥
𝑥∗ −𝜉 𝜉 ∈ 𝑹, 𝑥 ∈ 𝑯
+
ℑ フラクトゥールの「I」
𝜏1
𝜏3 𝜏2
𝜎3 𝜎2
𝜎1 SO(6)
15 次元
𝜎𝑖⨂𝑖𝜏2 = 𝛾𝑖 (𝑖 = 1,2,3)
𝐼⨂𝜏3 = 𝛾0
𝐼⨂𝜏1 = 𝛾5
ℑ 2, 𝐻 0 5 次元 SO(6)スピノール
{𝜎𝜇 ⨂ 𝜏𝜇 , 𝜇 = 0,1,2,3} − {𝐼⨂𝐼}
(𝜎0 = 𝜏0 ≡ 𝐼)
𝜎𝑖⨂𝜏1
𝜎𝑖⨂𝜏3 𝐼⨂𝜏2 𝜎𝑖⨂𝐼
SO(5) 10 次元
「カタチの輪廻」
𝜎𝑖
SO(3)~SU(2) 3次元
SO(4) 6次元 𝜎𝑖⨂𝜏3
𝜎𝑖⨂𝐼 観察
𝜏3 SO(5)~Sp(2) 10 次元
観察 𝜎𝑖⨂𝜏1
𝜎𝑖⨂𝜏3
𝐼⨂𝜏2 𝜎𝑖⨂𝐼
𝜏1
𝜏3
SO(6)~SU(4) 15次元 𝜏1
𝜏3 𝜏2
𝜎3 𝜎2
𝜎1 観察
𝜎𝑖⨂𝜏2
𝐼⨂𝜏3
𝐼⨂𝜏1
𝜏𝑖
𝑆𝑈(3)
•
3行3列ユニタリ行列、行列式＝１
•
次元は
32 − 1 = 8•
生成子
𝑇𝑎は次の8つを選ぶ（Gell-Mann）
𝑇𝑟𝑇𝑎 = 0𝑇𝑎 = 1
2𝜆𝑎(𝑎 = 1~8), 𝜆1=
0 1 0 1 0 0 0 0 0
, 𝜆2 =
0 −𝑖 0 𝑖 0 0
0 0 0
, 𝜆3 =
1 0 0
0 −1 0
0 0 0
𝜆4 =
0 0 1 0 0 0 1 0 0
, 𝜆5 =
0 0 −𝑖 0 0 0
𝑖 0 0
, 𝜆6 =
0 0 0 0 0 1 0 1 0
, 𝜆7 =
0 0 0 0 0 −𝑖 0 𝑖 0
, 𝜆8 = 1 3
1 0 0 0 1 0 0 0 −2 交換関係は、
𝑇𝑎, 𝑇𝑏 = 𝑖𝑓𝑎𝑏𝑐𝑇𝑐
カルタン部分環
•
カルタン部分環（互いに可換な部分環）として、T
3,T
8を選ぶ
1 0 0
の固有値 𝑇3, 𝑇8 = 1 2, 1
2 3 = 𝜇1, 0 1 0
の固有値 = −1 2, 1
2 3 , 0 0 1
の固有値 = 0, − 1 3
これらは正三角形をなす
𝜇1 = 1 2, 1
2 3 = 2
3𝛼 + 1 3𝛽 𝜇1 − 𝛼 − 𝛽
𝜇1 − 𝛼
𝑇3 𝑇8
𝜇1が最高の重みの表現
（基本表現） 3 =(1,0)
𝛼(= 𝛼1)
𝛽(= 𝛼2) 𝛼 = 1
2, 3
2 , 𝛽 = 1
2, − 3 2
−𝛼 − 𝛽 𝑇8
𝑇3
−𝛽 −𝛼 ゴール スタート
𝜇2 − 𝛼 − 𝛽
𝜇2 − 𝛽
𝑇3 𝑇8
𝜇2が最高の重みの表現
（基本表現） 𝟑 =(0,1)
𝜇2 = 1
2, − 1 2 3
2𝜇1 − 2𝛼 − 𝛽
2𝜇1
𝑇3 𝑇8
2𝜇1が最高の重みの表現 (2,0)=6
2𝜇1 − 2𝛼
2𝜇1 − 𝛼 2𝜇1 − 𝛼 − 𝛽
2𝜇1 − 2𝛼 − 2𝛽
−𝛼 −𝛽 −𝛼
−𝛼
−𝛼 −𝛽
−𝛽
−𝛽 ゴール
ゴール
スタート
3𝜇1が最高の重みの表現 (3,0)=10
3𝜇1 − 3𝛼 − 3𝛽
3𝜇1 − 3𝛼 − 𝛽
3𝜇1
𝑇3 𝑇8
3𝜇1 − 3𝛼
3𝜇1 − 𝛼 3𝜇1 − 𝛼 − 𝛽
3𝜇1 − 3𝛼 − 2𝛽
3𝜇1 − 2𝛼 3𝜇1 − 2𝛼 − 2𝛽
3𝜇1 − 2𝛼 − 𝛽
𝜇12 = 𝜇1 + 𝜇2 = 𝛼 + 𝛽 が最高の重みの表現
(1,1)=8
𝑇3 𝑇8
𝜇12 𝜇12 − 𝛽
𝜇12 − 𝛼 𝜇12 − 𝛼 − 2𝛽
𝜇12 − 2𝛼 − 𝛽 𝜇12 − 2𝛼 − 2𝛽
−𝛽
−𝛼
−𝛽 −𝛼
−𝛽
−𝛽
−𝛽
−𝛽
−𝛽
−𝛽 −𝛽
−𝛼
−𝛼
−𝛼
−𝛼
−𝛼
−𝛼
−𝛼
−𝛼 −𝛽
ゴール スタート
スタート ゴール
随伴表現
バリオン十重項とバリオン八重項
3⨂3⨂3 = 6 ⊕ 3 ⊗ 3
= 10 ⊕ 8 ⊕ 8 ⊕ 1 𝐼3
Y=B+S
Δ++(𝑢𝑢𝑢) Δ+(𝑢𝑢𝑑)
Δ0(𝑢𝑑𝑑) Δ−(𝑑𝑑𝑑)
Σ∗+(𝑢𝑢𝑠) Σ∗0((𝑢𝑑 + 𝑑𝑢)𝑠)
Σ∗−(𝑑𝑑𝑠)
Ξ∗0(𝑢𝑠𝑠) Ξ∗−(𝑑𝑠𝑠)
Ω−(𝑠𝑠𝑠)
𝐼3 Y=B+S
𝑝(𝑢𝑢𝑑) n(𝑢𝑑𝑑)
Σ+(𝑢𝑢𝑠) Σ0((𝑢𝑑 + 𝑑𝑢)𝑠)
Σ−(𝑑𝑑𝑠)
Ξ0(𝑢𝑠𝑠) Ξ−(𝑑𝑠𝑠)
メソン八重項
𝜋+(𝑢 𝑑) 𝜋−( 𝑢𝑑)
𝐾+(𝑢 𝑠)
𝐾−( 𝑢𝑠) 𝐾0(𝑑 𝑠)
𝐾0( 𝑑𝑠) 𝜋0, 𝜂
𝐼3 Y
3⨂ 3 = 8⨁1
SO(４)=SU(2)
×SU(2)
•
ふたつの根は直交
（単純でない）
重みの空間における基底ベクトル 𝑒1 = 1,0
𝑒2 = 0,1
基本の重み 𝜇𝑖 𝜇1 = 1
2, −1 2 𝜇2 = 1
2,1 2
𝛼1 𝛼2
1 2
単純根
𝛼1 = 𝑒1 − 𝑒2 = 1, −1 𝛼2 = 𝑒1 + 𝑒2 = 1,1
2𝛼𝑖 ∙ 𝜇𝑗
𝛼𝑖 2 = 𝛿𝑖𝑗 となるように選ぶ
最高の重み=𝜇1
−𝛼1 1
2
𝜇1 = 1
2, −1 2
最高の重み=𝜇2
−𝛼2
1 2
𝜇2 = 1 2,1
2
SO(5)
重みの空間における基底ベクトル 𝑒1 = 1,0
𝑒2 = 0,1
基本の重み 𝜇𝑖
𝜇1 = 1,0 （ベクトル表現）
𝜇2 = 1
2,1
2 （スピノール表現）
𝛼1 𝛼2
1 2
最高の重み=𝜇1
−𝛼1
−𝛼2
1 2
𝜇1=(1,0)
最高の重み=𝜇2
−𝛼1 −𝛼2 1
2
𝜇2 = 1 2,1
2 単純根
𝛼1 = 𝑒1 − 𝑒2 = 1, −1 𝛼2 = 𝑒2 = 0,1
正軸体
最高の重み=2𝜇2
（随伴表現）
−𝛼1
−𝛼2 1 2
2𝜇2 = 1,1
SO(６)
重みの空間における基底ベクトル 𝑒1 = 1,0,0
𝑒2 = 0,1,0
𝑒3 = 0,0,1 単純根
𝛼1 = 𝑒1 − 𝑒2 = 1, −1,0 𝛼2 = 𝑒2 − 𝑒3 = 0, 1, −1 𝛼3 = 𝑒2 + 𝑒3 = 0, 1, 1
基本の重み 𝜇𝑖
𝜇1 = 1,0,0 （ベクトル表現）
𝜇2 = 1
2,1
2, −1
2 （スピノール表現）
𝜇3 = 1
2,1
2,1
2 （スピノール表現）
𝛼1 𝛼2
1 2
3
𝛼3
最高の重み=𝜇1
−𝛼1
−𝛼2
1 2
3
−𝛼3
𝜇1
2
最高の重み=𝜇2
−𝛼1
−𝛼2
1 3
−𝛼3
𝜇2 = 1
2,1
2, −1
2
1
2, −1
2,1
2
−1
2,1
2,1
2
−1
2, −1
2, −1
2
最高の重み=𝜇3
−𝛼1
−𝛼2
1 3
−𝛼3 𝜇3 = 12,1
2,1
2
1
2, −1
2, −1
2
−1
2,1
2, −1
2
−1
2, −1
2,1
2 正軸体
（正八面体）
正四面体
SO(6)とベクトル平衡体
単純根
𝛼1 = 𝑒1 − 𝑒2 = 1, −1,0 𝛼2 = 𝑒2 − 𝑒3 = 0, 1, −1 𝛼3 = 𝑒2 + 𝑒3 = 0, 1, 1
最高の重み=𝜇2 + 𝜇3 = 1,1,0
（随伴表現）
−𝛼1 −𝛼2
1
3
−𝛼3
(1,-1,0) (1,0,-1) (1,1,0)
(-1,1,0)
(1,0,1) (-1,0,1)
(0,1,-1)
(0,-1,-1) (-1,-1,0)
(0,1,1) 2
(0,-1,1)
start
goal
−𝛼2
−𝛼2
−𝛼2 (-1,0,-1)
−𝛼3−𝛼1 −𝛼3
SU(4)
𝜈1 = 1
2, 1
2 3, 1
2 6
𝜈2 = −1
2, 1
2 3, 1
2 6
𝜈3 = 0, − 1
3, 1
2 6
𝜈4 = 0, 0, − 3
2 6
𝛼𝑖 = 𝜈𝑖 − 𝜈𝑖+1 𝛼1 = 1,0,0 𝛼2 = −1
2, 3
2 , 0 𝛼3 = 0, − 1
3, 2
6
基本の重み 𝜇𝑖 = 𝑘=1𝑖 𝜈𝑘 𝜇1 = 1
2, 1
2 3, 1
2 6
𝜇2 = 0, 1
3, 1
6
𝜇3 = 0, 0, 3
2 6
𝛼1 𝛼2
𝛼3
1 2
3
1 2
3
𝜈1 𝜈2
𝜈3
𝜈4
−𝛼1
−𝛼2 −𝛼3
最高の重み=𝜇1 正四面体
1 2
3
−𝜈2
−𝜈3
𝜇3 = −𝜈4
−𝛼1
−𝛼2
−𝛼3
−𝜈1
最高の重み=𝜇3 反転した正四面体
正軸体
（正八面体）
1 2
3 最高の重み=𝜇2
−𝛼2
−𝛼1
−𝛼3
SU(4) とベクトル平衡体
最高の重み=𝜇1 + 𝜇3
= 𝜈1 − 𝜈4 = 𝛼1 + 𝛼2 + 𝛼3
→ベクトル平衡体
𝛼1 𝛼2
𝛼3
1 2
3 1
2
3
−𝛼1
−𝛼2
−𝛼3
𝜇1 + 𝜇3 𝛼𝑖 = 𝜈𝑖 − 𝜈𝑖+1
𝛼1 = 1,0,0 𝛼2 = −1
2, 3
2 , 0 𝛼3 = 0, − 1
3, 2
6
SU(4) と正八面体
最高の重み=2𝜇3
→大きな正四面体 内部に正八面体
𝛼1 𝛼2
𝛼3
1 2
3
0, 0, 3 6
1 2
3
