物質世界とイデア

(1)

物質世界とイデア

2019年8月26日

意識物理学研究所研究会 in 東京

(2)

次元の原理

(1) 次元は観察によって構成される。（次元の違いとは観察位置の違いである）

(2) 観察者はより上位の観察者によって、観察空間に「投げ込まれる」。

(3) 上次元から下次元は観察することができるが、その逆はできない (4) ３つの次元（三角形）が1つ（点）に「凝縮化」することによって、物質世界の多層的（フラクタル）な構造が形成される。

(3)

観察と次元の構造

（観察ダイアグラム）

観察と次元の構造。人間の意識のカタチをあらわす。

a b

c

d

e

f i

(4)

点と線分のイデア

(1) 点（頂点）

存在（顕在化した観察者および観察対象）を表す。ひとつの次元に対応する。

(2) 線分（辺）

観察者と観察対象（または２つの観察対象）という２つの存在（次元）の間の関係性を表わす。潜在化した次元という言い方もできる。

２つの存在の間に差異がある場合を「対化」、差異が消失した場合を「中和」とよぶ。

物理学において、モノ（または粒子）とモノとの間にはたらく力（またはゲージボゾン）を表す。

例えば電磁気力の場合、電荷には正と負とがあり、引力と斥力の２種類があるので対化、重力の場合は引力しかないので中和といえる。

a b

存在存在

関係性

SO(2)≅U(1) 対化 O(1,1) 中和

(5)

正三角形のイデア

３つの存在（頂点）abcと３つの関係性（辺）

ab,bc,caが一体となってひとつのシステムを構

成する。３辺ab,bc,caはすべて対化である。

正三角形abcにおいて頂点aはbおよびcを観察

（等化）する存在であると同時に、bやcによって観察（等化）される存在でもある。

ある頂点とそれに向かい合う辺（aとbcなど）

は対（対化）の関係になるが、正三角形において頂点と辺の数が等しいので、両者が入れ替わった（つまり存在と関係性の役割が逆になった）イデアが発生し、それは逆向きの正三角形で表される。両者を組み合わせたカタチである六芒星が、対化の関係の消失（中和）をあらわす。

正三角形のイデアは物理学において、３つのクォークがひとつの陽子を構成するさまを表す。イデアは崩壊しないので、陽子が崩壊することもない。

a b

c 存在

存在存在

関係性関係性

関係性

正三角形のイデア。３つの存在（頂点）と３つの関係性（辺）が一体となってひとつのシステムを構成する。

六芒星。上向きの正三角形と下向きの正三角形の組み合わせが頂点と辺（存在と関係性）の中和をあらわす。

SU(2)/Z₂ ≅ SO(3)

(6)

正四面体のイデア

４つの頂点(abcd)と６つの辺(ab,bc,ca,ad,bd,cd)からなるプラトン立体である。「３＋１」が三角形abcとその観察者dの対化をあらわす。この両者にはさらに高次元の観察者によって対化と中和の関係が発生する（リー群SO(4)

とO(3,1)の関係）。対化の場合、６つの辺すべてが対化

の関係であり、中和の場合、３辺ab,bc,caが対化、残りの３辺ad,bd,cdが中和の関係となる。

存在

存在関係性関係性

関係性

関係性関係性

b

c d

a

正四面体のイデア。４つの存在（頂点）と６つの関係性（辺）からなる。

(7)

正六面体と正八面体

＋

正六面体は２つの双対な（逆向きの）正四面体を組み合わせることによって得られる。

正八面体は正四面体の６つの辺の中点同士を結ぶことによって得られる。辺→点変換に対応する。

正四面体の辺を頂点に変換（「関係性」を「存在」に変換）したイデアが、正八面体である。

正八面体は正四面体の６つの辺の中点同士を結ぶことによって得ることができる。

一方、正四面体を２つ組み合わせたイデアが、正六面体である。このとき、存在（頂点）の意味はそのまま継承され、「関係性」（辺）は面として継承される。従って、正八面体は正六面体の面を頂点に変換（面点変換）することによって得ることができる。

(8)

正五胞体のイデア

正五胞体は4次元空間に埋め込まれた立体（超立体）で、５つの頂点と10の辺からなる。それの２次元への射影が、五芒星と五角形を組み合わせたカタチとなる。

SO(5)は、変換される５つの次元がすべて対称である。

Sp(2)は「３」と「１」の対化を５番目の次元が観察する、３＋１

＋１の構造をしている。「３」が１つの次元に「凝縮化」することで、再び「３」が形成される。

(9)

数学・物理学との対応

(10)

（１）線分： SO(2)≅U(1) または O(1,1)

（≅は群同型を表す）

２つの次元の関係性を表す。U(1)(SO(2))の回転 𝑒^𝑖𝜃（または cos 𝜃、sin 𝜃）を擬回転 𝑒^𝜃

（または cosh 𝜃、sinh 𝜃）に置き換えたのが、ローレンツ群O(1,1)である。前者が２つの次元の間に差異がある（実数と虚数の関係）ことを表し（対化という）、後者は２つの次元の間に差異がない（ともに実数の関係）ことを表す（中和という）。両者の２行２列の行列による表現は、それぞれ

cos𝜃 −sin𝜃 sin𝜃 cos𝜃

および cosh𝜃 −sinh 𝜃

−sinh𝜃 cosh𝜃 であり、対応するリー環は

0 −𝜃

𝜃 0 = −𝑖𝜃𝜎₂

および 0 −𝜃

−𝜃 0 = −𝜃𝜎₁ である。ただし、𝜎₁, 𝜎₂, 𝜎₃ は３つのパウリ行列を表す。

𝜎₁ = 0 1

1 0 , 𝜎₂ = 0 −𝑖

𝑖 0 , 𝜎₃ = 1 0 0 −1

(11)

（２）三角形： SU(2)/Z₂ ≅ SO(3)

３つの次元の三つすくみの関係を表す。以下の３つの関係

三角形abcにおいて、

aおよびbの対化を観察（等化という）するのがc bおよびcの対化を等化するのがa

cおよびaの対化を等化するのがｂが３つのパウリ行列の間の交換関係

𝜎_𝑗, 𝜎_𝑘 = 2𝑖𝜀_𝑗𝑘𝑙𝜎_𝑙 (𝑗, 𝑘, 𝑙 = 1,2,3) によって表現されている。

群の次元（正三角形の辺の数に対応）3と、回転を受けるベクトル空間の次元（正三角形の頂点の数に対応）3が等しい。その結果、存在を表す頂点と関係性を表わす辺の間に混同（同一化）が発生する（辺abと頂点cなど）。六芒星によって表されるこの中和が、次で説明される電場と磁場の中和の要因となる。

(12)

（３）正四面体： SO(4) または SL(2,C)/Z₂≅O(3,1)

正四面体の１つの頂点dが正三角形abcを観察する。このとき、正三角形abcとdの対化がSO(4)によって、中和が O(3,1)によって表される。

SO(4)は、４つ（ベクトル空間の次元）の頂点がすべて対等な関係であり、６つ（群の次元）の辺がすべて対化を表し、独立で対等な関係である。

O(3,1)の場合、三角形abcの三辺ab,bc,caが等化（部分群 SO(3)）、頂点dからabcに下ろされた３辺ad,bd,cdが中和となる（それぞれ部分群O(1,1)）。

(13)

SL(2,C)/Z₂≅O(3,1)

I↔σ₃混合によって第３軸方向に観察者が投げ込まれる

1 0 0 1

1 0 0 −1 I

σ₁

σ₂

σ₃

擬回転O(1,1)

回転(SO(3)~SU(2))

0 1 1 0

0 −𝑖 𝑖 0

ローレンツ群SL(2,C)と正四面体との対応。SL(2,C)によって変換される４つのR-基底である単位行列 𝐼 および３つのパウリ行列 𝜎_𝑖 が正四面体の４頂点に対応する。 𝐼 − 𝜎₃ 混合によって３次元直交座標における第3軸方向に観察者が投げ込まれる。

ワインバーグ＝サラム理論（電弱統一理論）における𝑍₀ボゾンと光子（電磁場）

の混合に対応

(14)

𝑆𝑝(1) × 𝑆𝑝(1)/𝑍

₂

≅ 𝑆𝑂(4)

写像 𝑓: 𝔰𝔭 1 × 𝔰𝔭 1 → 𝔬 4 = 𝔬(𝑯) 𝑓 𝑝, 𝑞 𝑥 = 𝑝𝑥 − 𝑥𝑞 𝑥 ∈ 𝑯

が、𝑹-Lie環としての同型を与える。行列表示は

𝑓 𝑝, 𝑞 =

0 −𝑝₁ + 𝑞₁ 𝑝₁ − 𝑞₁ 0

−𝑝₂ + 𝑞₂ −𝑝₃ + 𝑞₃

−𝑝₃ − 𝑞₃ 𝑝₂ + 𝑞₂ 𝑝₂ − 𝑞₂ 𝑝₃ + 𝑞₃

𝑝₃ − 𝑞₃ −𝑝₂ − 𝑞₂

0 −𝑝₁ − 𝑞₁ 𝑝₁ + 𝑞₁ 0 𝑝₁ − 𝑞₁ → 𝐸_𝑥, 𝑝₂ − 𝑞₂ → 𝐸_𝑦, 𝑝₃ − 𝑞₃ → 𝐸_𝑧 𝑝₁ + 𝑞₁ → 𝐵_𝑥, 𝑝₂ + 𝑞₂ → 𝐵_𝑦, 𝑝₃ + 𝑞₃ → 𝐵_𝑧 と置き換えると、電磁場テンソルになる。

2017/8/20

(15)

SO(4)と電磁場

電磁場テンソル 𝐹^𝜇𝜈 はSO(4)のリー環の構造をしている。電場と磁場が中和した結果、発生するのが電磁波（光）である。

SO(4) ≅SU(2)ｘSU(2)/Z₂ 𝐹^𝜇𝜈 = 𝜕^𝜇𝐴^𝜈 − 𝜕^𝜈𝐴^𝜇 =

0 −𝐸_𝑥 𝐸_𝑥 0

−𝐸_𝑦 −𝐸_𝑧

−𝐵_𝑧 𝐵_𝑦 𝐸_𝑦 𝐵_𝑧

𝐸_𝑧 −𝐵_𝑦

0 −𝐵_𝑥

𝐵_𝑥 0 j_x(A_x)

j_y(A_y)

j_z(A_z) ρ（Φ）

E_z E_x

E_y

B_z B_x B_y

正四面体と電磁場との対応。４つの頂点が四元ポテンシャル Φ, 𝐴 または四元電流 𝜌, 𝑗 に対応し、６つの辺が電場 𝐸 および磁場 𝐵 に対応する。

(16)

（４）正五胞体： Sp(2)/Z₂≅SO(5)

𝐸

𝑚 𝑝

𝛾^𝑖= 0 −𝜎_𝑖 𝜎_𝑖 0

𝛾⁰= 0 𝐼 𝐼 0

𝐸

𝑚 𝑝

𝛾^𝑖= 0 𝜎_𝑖

−𝜎_𝑖 0

𝛾⁰= 𝐼 0 0 −𝐼

𝐼 = 𝐼 0 0 𝐼

相対論的極限（𝑚 → 0）

カイラル表示 𝑚が𝑝 と𝐸 を観察

古典論的極限（𝑝 → 0）

パウリ・ディラック表示 𝐸（𝑚と中和）が𝑝を観察中和

観察

𝑝 = 𝑚 𝑣 𝐸 = 𝑝𝑐

対化中和

(17)

𝐸 + 𝑚

𝐸 − 𝑚 𝑝

他者自己

モノ

－𝑝

古典論的極限（𝑝 → 0）においてエネルギー 𝐸 と質量 𝑚 の中和によって生じるゲシュタルト。中和の結果、両者は自己（𝐸 + m）と他者（𝐸 − 𝑚）とに分離し、モノ（運動量）をはさんで両者が向かい合うというゲシュタルトを形成する

(18)

（５）SU(4)/Z₂≅SO(6)

SU(2)xSU(2)/Z₂≅SO(４)の関係を２重化して得られる。

SU(4)の場合、四面体の４つの頂点に１つの複素数を対応させる。

１つの辺に、実―実の対応と実―虚の対応の２種類があることから、２ｘ６辺＝１２の回転（次元）。それに、頂点自体の回転が、「特殊」性から、4-1=3。合計で１５次元となる。

一方、SO(6)の場合、６つの頂点を六角形に配置すると、

合計１５の辺（＝次元）は六芒星（６次元）、六角形

（６次元）および対角線（３次元）の和となる。このうち六芒星と六角形の12の辺を、３角形の３辺がそれぞれ２ｘ２＝４重化しているとみなすと、正四面体（SO(4)）の６辺と正三角形（SU(2)）の３辺の関係が２重化したものが、SU(4)の１２の回転とSO(6)の１２の回転の関係と考えることができる。

(19)

「カタチの輪廻」

回転群の発展とそのカタチの関係。SO(3)は正三角形によって、SO(4)は正四面体によってそれぞれ表される。

SO(5)の平面への射影が五芒星であり、３次元空間への射影のひとつが、ピラミッド形（正八面体の半分）で

ある。SO(6)の平面への射影は六芒星（および六角形とその対角線）である。また、３次元空間への射影は、

正八面体（対角線を除く）である。SO(6)は２つの正三角形(SO(3))に分離し、また発展を続ける。