電気回路学のまと め

電気回路学のまと め

山田 博仁

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平成 20 年度開講分

8 章　回路に関する諸定

8.1 重ね合わせの理

理

・線形回路においては、重ね合わせの理が成り立つ

・重ね合わせの理とは、複数の電源 (電圧源或いは電流源 )からなる回路網の各節点で の電圧、各枝に流れる電流は、どれか一つの電源のみを残し、残りは全て殺した状態 を、全ての電源に対して重ね合わせたものになる

・電源を殺すとは、電圧源は除去して短絡し、電流源は除去して開放すること

8.2 逆回路

R₀ に関して 互いに逆回路

R R₀² /R

Z R₀² /Z

L C  L/ R0²

= + +

線 形 回 路 網

E₁

E₂ J₁

3つの電源がある場合

E₁ ^線形 回 路 網

E₁のみを残した場合

J₁

線 形 回 路 網

J₁のみを残した場合

E₂

線 形 回 路 網

E₂のみを残した場合

・二つの回路のインピーダンスを Z₁, Z₂ とするとき、その積が周波数 ω に関係なく Z₁ Z₂ = R₀²

(R₀ は正の定数) となるならば、二つの回路は R₀ に関して互いに逆回路である

8 章　回路に関する諸定 理

R2

D

R3

R1

L1

2 2 0

R R

D L R

2

 0

3 2 0

R R

1 2 0

R R

1 2 0

1 L

D  R

8.2 逆回路の求め方

1 1

1 1

C D D C



ただし、 

・まず、双対な回路を求めて、次に、対応する素子同士が、互いに逆回路の関係を満た すように　素子の値を決めていけばよい

・双対な回路を作るには、素子が直列なら並列に、並列ならば直列に接続し直し、対応 する素子　同士も互いに双対(RはG(R) に、L ならばC に、 C ならばL に)な関係となるように 作っていく

8 章　回路に関する諸定 理

定抵抗回路の例

R0

Z R₀²

8.2 定抵抗回路

定抵抗回路とは、そのインピーダンスの値が周波数 ω に依存しない二端子回路のこと 逆回路を組み合わせることによって、様々な定抵抗回路が得られる

以下は定抵抗回路の例であり、端子間のインピーダンスの値はいずれも R₀ である

Z

R0

(a)

R0

Z R₀² Z

R0

(b) (c)

R0 Z R₀² Z

Z

R₀² Z

(d)

R0

2

R0

C  L L

L

2

R0

C  L

8 章　回路に関する諸定

8.3 相反定理

理

内部に電源を含まない相反回路において は、ある枝 p に電圧源 E_pを入れた場合 に、別のある枝 q を流れる電流が I_q だったとすると、

逆に枝 q に電圧源 E_q’を入れた場合に

、枝 p を流れる電流が I_p’ となると き、 E_pI_p’=E_q’I_q の関係が成立つ (これを 相反定理というE_p p )相反回路 q I_q

I_p’ p _相反回路 q E_q’

内部に電源を含まない相反回路において は、ある枝 p に電流源 J_p を入れた場合 に、別のある枝 q に生じる電圧が V_q だったとすると、逆に枝 q に電流源 J_q’

を入れた場合に、枝 p に生じる電圧が V_p’ となるとき、J_pV_p’ =J_q’V_q の関係が成 立つ ( これも相反定理である)

V_q

J_p p 相反回路 q

V_p’ p _相反回路 q J_q’

補足 Tellegenの定理





2 

1

) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1

( } 0

{

j

j j j

j v i v

i

v₁⁽¹⁾ 1 ^回路1 2

1 回路2 2

i₁⁽¹⁾

v₂⁽¹⁾ i₂⁽¹⁾

v₁⁽²⁾

i₁⁽²⁾

v₂⁽²⁾ i₂⁽²⁾

相反定理は、より一般的には同じグラフを 持つ異なる回路の間でも成り立ち、この場 合は以下の式で表され、 Tellegen の定理と 呼ばれる

8 章　回路に関する諸定

8.4 等価電源の定理

理

周波数の等しい複数個の電源を含む回路がある場合、その回路の一端子対から見た回路は、

下記の等価電源に置き換えられる。ただし、端子対から見たインピーダンスを Z₀ 、端子を 開放した時に現れる電圧を V₀ 、端子を短絡した時に流れる電流を I₀ とする。また、V₀ = Z₀ I₀ の関係がある。

複数の電源を 含む回路

or Z₀

V₀

等価電圧源

Z₀ I₀

等価電流源

Z₀

0 0

0 Z

I  V

従って、この端子対に負荷インピーダンス Z を接続したとき、負荷に流れる電流 I は、

Z Z

I V

 

0

0で与えられる。( テブナンの定理　or

　　　　　　ヘルムホルツの定理)

また、この端子対に負荷アドミタンス Y を接続したとき、負荷の両端に現れる電圧V は、

Y Y V I

 

0

0 で与えられる。( ノートンの定理)

0 0

1 Y  Z

ただし、

複数の Z I

電源を含む回 路

Y V

複数の電源を 含む回路

V₀I₀

例題8.5

補足　等価電

下の回路と等価な電源を求めよ (ただし、電圧源と電流源は同相とする

源

3 5A 6

1A

6

1A 3 5A



6A 3 5A 6

6V

6

6V

または、



12V ^{とも表せる}

例題8.6

補足　等価電

下の回路と等価な電源を求めよ (ただし、全ての電圧源は同相である

源

E₁ Y₁

E₂ Y₂

E_l Y_l

V₀

I₁=Y₁E₁ I₂=Y₂E₂ I_l=Y_lE_l

I₁+I₂+ +‥ I_l Y₁+Y₂+ +‥ Y_l V₀

l l l l l

Y Y

Y

E Y E

Y E Y

Y Y

Y

I I

V I











 











 









2 1

2 2 1 1

2 1

2 1 0

帆足- ミルマンの定理

I₁ Y₁ I₂ Y₂ I_l Y_l

J₁

Z₁ Z_lJ_l Z_l

J₂

Z₂

J_l

Z_l Z₁

Z₁J₁ Z₂J₂ Z₂



n

n nJ Z

1



n

Zn 1

演習問題(8.16)

補足　供給電力最大の法 則

Z = Z₀ 即ち、 R = R₀, X = X₀ Z = Z₀^* 即ち、 R = R₀, X = － X₀

共役整合

反射係数

インピーダンス整合条件

0 0

Z Z

Z Z



 



0

*

' 0

Z Z

Z Z



 



或いは

Z₀ = R₀ の時、 = ’

'2

 ^:電力 ( パワー) 反射率

Z = R + jX P: 負荷で消費 　　される電 力

負荷に向かう電力

P_max

負荷から反射され る電力

max

'2P



max

'2

1 '*

'

1 P

 P





   

つまり、

または、

電源から最大の電力を引き出すに は、インピーダンス整合を行う

E

Z₀ = R₀ + jX₀

Z = R + jX

電源側負荷側 電源の内部インピーダンス

負荷インピーダンス

インピーダンス行列　 (Z 行列 )

9 章　二端子対回路

9.3 インピーダンス行列　 (Z行列)

網

V₂ I₂ I₁

V₁ z₁₁ z₁₂ z₂₁ z₂₂ 1

1’

2 2’

V₁ = z₁₁ I₁ + z₁₂ I₂ V₂ = z₂₁ I₁ + z₂₂ I₂



 







 



 



 





2 1 22 21

12 11

2 1

I I z

z

z z

V V

z₁₁, z₁₂, z₂₁, z₂₂ を

インピーダンスパラメータ or Zパラメータと言う

相反回路なら、

z₁₂ = z₂₁

各々の Zパラメータの意味とその求め方

1 0 1 11

2

 I I

z V

2 0 1 12

1

 I I

z V

1 0 2 21

2

 I I

z V

2 0 2 22

1

 I I

z V

(開放駆動点インピーダンス )

(開放駆動点インピーダンス ) ( 開放伝達インピーダンス )

( 開放伝達インピーダンス )

I₂ = 0 、即ち出力端(2-2’) を開放した状態でのV₁/I₁の値

I₁ = 0 、即ち入力端(1-1’) を開放した状態でのV₁/I₂の値

I₂ = 0 、即ち出力端(2-2’) を開放した状態でのV₂/I₁の値

I₁ = 0 、即ち入力端(1-1’) を開放した状態でのV₂/I₂の値

2-2’ にI₂ を流した 場合の V₁ を求め

、その比をとる 1-1’ にI₁ を流した 場合の V₂ を求め

、その比をとる 対称回路なら、

z₁₁ = z₂₂

アドミタンス行列　(Y 行列)

9 章　二端子対回路

9.2 アドミタンス行列　(Y行列 )

網

V₂ I₂ I₁

V₁ y₁₁ y₁₂ y₂₁ y₂₂ 1

1’

2 2’

I₁ = y₁₁ V₁ + y₁₂ V₂ I₂ = y₂₁ V₁ + y₂₂ V₂



 







 



 



 





2 1 22 21

12 11

2 1

V V y

y

y y

I I

y₁₁, y₁₂, y₂₁, y₂₂ を

アドミタンスパラメータ or Y パラメータと言う

相反回路なら、

y₁₂ = y₂₁

各々の Yパラメータの意味とその求め方

1 0 1 11

2

 V V

y I

2 0 1 12

1

 V V

y I

1 0 2 21

2

 V V

y I

2 0 2 22

1

 V V

y I

(短絡駆動点アドミタンス )

V₂ = 0 、即ち出力端 (2-2’)を短絡した状態での I₁/V₁ の値

V₁ = 0 、即ち入力端 (1-1’)を短絡した状態での I₁/V₂ の値

V₂ = 0 、即ち出力端 (2-2’)を短絡した状態での I₂/V₁ の値

V₁ = 0 、即ち入力端 (1-1’)を短絡した状態での I₂/V₂ の値

2-2’ にV₂ を印加し た場合の I₁を求め

、その比をとる 1-1’ にV₁ を印加し た場合の I₂を求め

、その比をとる

(短絡駆動点アドミタンス ) (短絡伝達アドミタンス )

(短絡伝達アドミタンス )

対称回路なら、

y₁₁ = y₂₂

縦続行列　(K 行列 or F 行列 )

9 章　二端子対回路

9.4 縦続行列　 (K 行列 or F 行列 )

網

V₂ I₂ I₁

V₁ A B

C D

1 1’

2 2’

V₁ = A V₂ + B I₂ I₁ = C V₂ + D I₂



 







 



 



 





2 2 1

1

I V D C

B A I

V

A, B, C, D を

K パラ、F パラ、

四端子定数などと言う 相反回路なら、

AD – BC = 1

各々の Kパラメータの意味とその求め方

2 0 1

2

 V I

A V

2 0 1

2

 I V

B V

2 0 1

2

 V I

C I

2 0 1

2

 I V

D I

(出力端開放時の電圧帰還率 )

I₂ = 0 、即ち出力端(2-2’) を開放した状態での V₁/V₂ の値

V₂ = 0 、即ち出力端 (2-2’)を短絡した状態での V₁/I₂ の値

I₂ = 0 、即ち出力端(2-2’) を開放した状態でのI₁/V₂の値

V₂ = 0 、即ち出力端 (2-2’)を短絡した状態でのI₁/I₂ の値

1-1’ にV₁ を印加し た場合の I₂を求め

、その比をとる 1-1’ にI₁ を流した 場合の V₂ を求め

、その比をとる (出力端短絡時の電流帰還率 )

(出力端短絡時の伝達インピーダンス )

(出力端開放時の伝達アドミタンス ) 向きに注意

1-1’にV₁を印加し た場合のV₂ を求 め、その比をとる

1-1’ にI₁ を流した 場合の I₂を求め、

その比をとる 入出力を逆にした回路 に対しては、



 



 

A C

B K D

9 章　二端子対回路

9.3 直列接続　( 回路の直列接続を扱うには Z行列が便利

網

I₂

I₂ I₁

V₁

z₁₂’ z₁₁’

z₂₁’ z₂₂’

z₁₂” z₁₁”

z₂₁” z₂₂” I₁

V₂ 



 







 











 



 





2 1 22

22 21

21

12 12

11 11 2

1

"

'

"

'

"

'

"

'

I I z

z z

z

z z

z z V

V

9.2 並列接続　 ( 回路の並列接続を扱うには Y行列が便利 )

V₂ I₂

I₂ I₁

V₁ I₁

y₁₂’ y₁₁’

y₂₁’ y₂₂’

y₁₂” y₁₁”

y₂₁” y₂₂”



 







 











 



 





2 1 22

22 21

21

12 12

11 11

2 1

"

'

"

'

"

'

"

'

V V y

y y

y

y y

y y

I I

9 章　二端子対回路

9.4 縦続接続　 ( 回路の縦続接続を扱うには K行列が便利

網



 







 







 



 



 





2 2 1

1

I V D"

C"

B"

A"

D' C'

B' A'

I V₁ V

I₁

V₂ I₂

B’

A’

C’ D’

B”

A”

C” D”

Z₁₂

Z₃₁ Z₂₃

Z₁

Z₃

Z₂

 形回路 (接続 ) T形回路 (Y 接続)

9.8 Y- 変換

3

1 3 3

2 2

1

12 Z

Z Z Z

Z Z

Z  Z  

1

1 3 3

2 2

1

23 Z

Z Z Z

Z Z

Z  Z  

2

1 3 3

2 2

1

31 Z

Z Z Z

Z Z

Z  Z  

31 23

12

12 31

1 Z Z Z

Z Z Z



 

31 23

12

23 12

2 Z Z Z

Z Z Z



 

31 23

12

31 23

3 Z Z Z

Z Z Z



 

補足　諸行列間の関 係



 







 



 







 



 



 

A K D

B z

z

z z

Z y

y

y Y y

1 1 1

11 21

12 22

22 21

12 11



 



 



 







 



 



 

D K A C y

y

y y

Y z

z

z Z z

1 1 1

11 21

12 22

22 21

12 11



 



 



 



 

 



 



 

22 11

11 21 22

21 1

1 1 1

z Z z

y z Y

y y D

C B K A

21 12 22

11z z z

z

Z  

21 12 22

11y y y

y

Y  

ただし、

BC AD

K  

10 章　二端子対回路

10.1 二端子対網における入力、出力インピーダンス

網

Z_G : 電源の内部インピーダンス

E Z_L

Z_G

電源 負荷

二端子対回路 右の図のように、二端子対回路に

電源と負荷を繋いだ場合

入力インピーダンス Z_in : 電源から負荷側を見たインピーダンス

出力インピーダンス Z_out : 電源を殺した状態で、負荷から電源側を見たインピーダンス

Z_in ^二端子対 Z_L

回路

Z_out Z_G

二端子対回路

E = 0

1 1

I Z_in  V

2 2

I Z_out  V

V₁ I₁

V₂ I₂

補足　伝送 量

電圧、電流の比

] dB [ log

20

2 1 10 V

V

対数( デシベル) 表示

] dB [ log

20

2 1 10 I

I

電力( パワー )の比

] dB [ log

10

2 1 10 P

P

絶対レベル

] dBm [

0 ]

mW [

1 

 P

覚えておくと便利

・ 絶対レベルで1 mW = 0 dBm

・ 電力比で 10 倍 = 10 dB ( 電圧比、電流比なら20 dB)

・ 電力比で 2 倍 = 約 3 dB (電圧比、電流比なら約6 dB)

・ 電力比で 5 倍 = 約 7 dB (電圧比、電流比なら約14 dB)

10 章　円線 図

円線図とは、回路の何らかの特性を複素平面上に円や直線の軌跡として描いたもの

Z_in  Z_L



 





D C

B A D

CZ

B Z AZ

L L

in 

 

例えば、 Z_L の変化に応じて Z_in が変化する様子は、

(z の一次分数関数)

D Cz

B w Az



 

複素平面上で z が円 ( 直線も r = ∞の円と考える) を描くならば、 w も円を描く このような式の形を、一次分数関数 ( 双一次関数) という

つまり、一次分数関数は、複素平面上の円を円に写像する で表される

( 平行移動)

H1

z

w   w  H₂z _{( 相似回転)}

z の円

w の円 H₁

j

0 z の円

w の円

|H₂|z の円

ejr

H H₂  ₂

j

0

r

e^jr

相似変換 回転

w  1z _{( 反転鏡像)}

z の円を反転 (　　をとること )し、実軸に対しての鏡像( その複素共役) をとる

j

z の円

w の円 鏡像

反転

0 z

1

反転操作とは、

(a) z が原点を含まない円を描く場合(b) z が原点を含む円を描く場合 (c) z が直線を描く場合

j A

0

B

z

z / 1 (1, 0)

A j

0 B

z

z / 1

(1, 0)

点 A に対しての反転である点 B は、点 A と原点 0 を結ぶ直線上にある

A j

0

B z

z / 1 (1, 0)

10 章　円線

図

jX R

Z   R

Z jX

R と jX の直列接続

Z R jX

R と jX の並列接続 jX R

Z 1 1

1





X 固定、 R 可変

1/X R = ∞

jX R

1 1 

R = 0 X

X

R = ∞

R = 0

R = ∞

鏡像

反転

R 固定、 X 可変 (X > 0)

1/R X = ∞

X=0 ^{R jX} 1 1 

反転 鏡像

X = 0 X = +∞

R 増大

X 増大

R j

0

j

0 j

jX

X 固定、 R 可変 (R > 0) の場合

0

R = 0

R = ∞

j

R 固定、X 可変

R

0

X = 0 X = +∞

X = -∞

R 固定、 X 可変 (X < 0)

X = -∞

X 減少

10 章　円線図の描き 方

インピーダンスの場合

ZI V 

jX R

Z  

電圧線図を描いてみよう

Z R

jX V

I

R と jX の直列接続

j

I RI

jXI

X 固定、 R 可変 (R > 0) の場合

V 0

R = 0

R = ∞

I

X 固定、R 可変の場合

j

0

電流フェーザを実軸上にとると

R = 0 の時

V jXIV

R が大きくなるにつれてさらに大きくなると

V

j

I

jXI

R 固定、X 可変の場合

RI V 0

X = 0 X = +∞

X = -∞

jXI

電圧線図

10 章　円線図の描き 方

電圧、電流の場合

どちらかを基準 (実軸上 ) にとる

第 8 章　分布定数線

8.1 線路の伝送方程式

路

i

v+v v

i+i Rx Lx

Cx Gx

x

R: 線路単位長当りの抵抗 (/m)

L: 線路単位長当りのインダクタンス (/m) C: 線路単位長当りの容量 (F/m)

G: 線路単位長当りのコンダクタンス (S/m) 伝送線路の一次定数

伝送線路の一部を切り取ったものの等価回路

) / (

} / ) (

{ )

(

t v x C v x G i

t i i x L i

i x R v







































伝送路微小区間 x の等価回路に対してキルヒホッフの法則を用いると、

t C v x Gv

i

t i L i

i i x R

v



 

 









 





 

 ( )

) 従って、 (

t C v x Gv

i x

i

t L i x Ri

v x

v

x x



 

 

 







 

 

 













0 0

lim

lim 伝送の

基礎方程式 v, i は t および x の関数、即ちv(t, x), i(t, x)

第 8 章　分布定数線 路

t j x

t j x

e I x t i

e V x

t v







 ) , (

) ,

正弦波交流の場合、v(t, x), i(t, x) は、 (

ででででででで

でででで : 角周波数 伝送の基礎方程式に当てはめて解くと、

x x

x x

dx zyI I d

dx zyV V d





2 2

2 2

波動方程式

　　　　　　が得られる。 ただし、 R + j L = z, G + j C = y と置いた

x zy x

zy x

x zy x

zy x

e I e

I I

e V e

V V

 



 











0 0

0 0

この波動方程式の解は、以下の形で与えられる。









0 0 0

0 ,V , I , I

V は境界条件 (電源や負荷の状態 )に よって定まる積分定数

y z V

I y z V

I₀^  ₀^ / , ₀^   ₀^ /

x x

x

x x

x

Z e e V

Z I V

e V e

V V









 

















0 0 0

0

0 0

従って、    j  yz, Z₀  z y

Z₀ : 特性インピーダンス　単位 : オーム ()

 : 伝搬定数

 : 減衰定数　単位 : ネーパ (Np)

 : 位相定数　単位 : ラジアン (rad) ここで、

8.2 伝送方程式の定常解

伝送線路の二次定数

+x 方向に進む波

-x 方向に進む波

第 8 章　分布定数線 路

( 入射波) ( 反射波)

} 1 {

) 1 (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

0 0

反射電圧波 入射電圧波

反射電流波 入射電流波

反射電圧波 入射電圧波





































V Z Z V

I I

I

V V

V

x x

x x x

x x

x

0 0 0

0 0 0

0 0

, ,

Z e e V

I Z I

e e V

I I

e V V

e V V

x x

x x

x x

x x

x x

 

 







 



 





























ただし、

) (

0 ) 0

( 0

0

) (

0 ) (

0

x t j x x

t j x t

j x

x t j x x

t j x t

j x

e Z e

e V Z e

e V I

e e V e

e V e

V































 

 



















時間依存因子 e ^jt を含む伝送式

e ^{j(t±x)} は、∓ x 方向に進む角周波数

 , 位相定数 の正弦波を表す

) ( v_p



 v_p: 位相速度 ここで、

8.3 波の伝搬

Z_L

受電端 送電端

E

x

入射波 反射波

x = 0



  2 _{ : 波の波長}

第 8 章　分布定数線 路

x x

x

x x

x

e I Z Z V

e I Z Z V

I

e I Z V e

I Z V V





























) 2 (

) 1 2 (

1

) 2(

) 1 2(

1

0 0 0

0 0

0 0

0

0 0 0

0 0 0

x I

Z x I V

x I

Z x V

V

x x









cosh sinh

sinh cosh

0 0

0

0 0 0





















 



 





l Z l

l Z

l D

C B A









cosh 1 sinh

sinh cosh

0

0

特性インピーダンス : Z₀, 伝搬定数 : , 長さ : l の線路に対するK 行列

受電端電圧 V₀ および電流 I₀ で、伝送線路上の任意の点 x での電圧 V_x および電流 I_x を表すと、

または、

1

,  

 D AD BC A

線路は、対称、相反 (可逆 ) 回路 8.4 線路の縦続行列

受電端

送電端 l 送電端 受電端

D C

B V₀ A

I₀ V_x

I_x

x x = 0

Z₀, 

I₀ I_x

I_s

I_x I_s

第 8 章　分布定数線 路

1. 半無限長線路 (x →∞)

l s

x V e

V  ^

l s l s

x V Z e I e

I  ( / ₀) ^  ^

2. 線路の特性インピーダンスに等しいインピーダンスの値の負荷 Z₀で終端した場合 無反射

Z0

I Z V

x x

x  

0 0

0 Z

I V  Z₀

送電端

V_s

l x

Z_x Z_in

x_s

V_x V₀

x = 0

受電端 送電端

V_s

l x

Z₀,  Z_x Z_in

x_s = x + l

V_x ^無限長

l s x

x V e V e

V  ₀ ^  ^

l s l s

x

x V Z e V Z e I e

I ( ₀ / ₀) ^  ( / ₀) ^  ^

無反射

インピーダンス整合

0

in Z

Z 

8.5 波の反射

Z₀, 

0

in Z

Z 

Z0

I Z V

x x

x  

3. 受電端を短絡した場合

第 8 章　分布定数線 路

送電端

V_s

l x

Z_x Z_in

x_s

V_x I_x I_s

V₀= 0 I₀

x = 0

受電端 短絡

x I

e e

I I

x I

Z e

e I Z V

x x

x

x x

x













cosh )

2 ( 1

sinh )

2 ( 1

0 0

0 0 0

0

















全反射

x I Z

Z V

x x

x   ₀ tanh

8.5 波の反射 (続き )

Z₀, 

x_s x = 0

短絡 2 x=0

 2

3

  2 2

5

 3

電圧 電流

 0

t

4

 t  2

 t  4 3

 t 

 t

定在波