電気回路学のまと め

電気回路学のまと め

山田 博仁

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平成 18 年度後期開講分

8 章　回路に関する諸定

8.1 重ね合わせの理

理

・線形回路においては、重ね合わせの理が成り立つ

・重ね合わせの理とは、複数の電源 ( 電圧源或いは電流源) からなる回路網の電圧、

電流の分布は、どれか一つの電源のみを残し、残りは全て殺した状態を、全ての電 源に対して重ね合わせたものになる

・電源を殺すとは、電圧源は除去して短絡し、電流源は除去して開放すること

8.2 逆回路

逆回路

R R₀² /R

Z R₀² /Z

L C  L/ R0²

= + +

線 形 回 路 網

E₁

E₂ J₁

E₁

線 形 回 路

網 J₁ ^{線形回路網}

E₂

線 形 回 路 網

8 章　回路に関する諸定 理

R2

D

R3

R1

L1

2 2 0

R R

D L R

2

 0

3 2 0

R R

1 2 0

R R

1 2 0

1 L

D  R

8.2 逆回路の求め方

1 1

1 1

C D D C



ただし、 

8 章　回路に関する諸定 理

定抵抗回路の例

R0

Z R₀²

8.2 定抵抗回路

定抵抗回路とは、そのインピーダンスの値が周波数に依存しない二端子回路のこと。

逆回路を組み合わせることによって、様々な定抵抗回路が得られる

Z

R0

(a)

R0

Z R₀² Z

R0

(b) (c)

R0 Z R₀² Z

Z

R₀² Z

(d)

R0

2

R0

C  L L

L

2

R0

C  L

8 章　回路に関する諸定

8.3 相反定理

理

内部に電源を含まない相反回路において

、枝 p に電圧源E_pを入れた場合に、枝 q を流れる電流をI_q 、逆に枝 q に電圧 源 E_qを入れた場合に、枝 p を流れる電 流を I_p とすると、E_pI_p=E_qI_q の関係が成 り立つ ( 相反定理)

I_q

E_p p _相反回路 q

I_p p _相反回路 q E_q

内部に電源を含まない相反回路において

、枝 p に電流源J_p を入れた場合に、枝 q に生じる電圧をV_q 、逆に枝 q に電流 源J_q を入れた場合に、枝 p に生じる電 圧をV_p とすると、J_pV_p=J_qV_q の関係が成 り立つ ( 相反定理 )

V_q

J_p p _相反回路 q

V_p p _相反回路 q J_q

8 章　回路に関する諸定

8.4 等価電源の定理

理

内部に複数の電源を含む回路があったとき、その一端子対から見た回路は、下記の等価電 源に置き換えることができる。ただし、端子対から見たインピーダンスをZ₀ 、端子を開 放した時に現れる電圧を V₀ 、端子を短絡した時に流れる電流を I₀ とする。この場

合、 V₀=Z₀ I₀ の関係がある。

複数の電源を 含む回路

Z₀

V₀ or I₀ Z₀

等価電圧源 等価電流源

Z₀

0 0

0 Z

I  V

従って、この端子対に負荷インピーダンス Z を接続したとき、負荷に流れる電流 I は、

Z Z

I V

 

0

0で与えられる。 ( テブナンの定理　 or

　　　　　　ヘルムホルツの定理)

また、この端子対に負荷アドミタンス Y を接続したとき、負荷の両端に現れる電圧V は、

Y Y V I

 

0

0 で与えられる。 ( ノートンの定理 )

0 0

1 Y  Z

ただし、

複数の Z I

電源を含む回 路

Y V

複数の電源を 含む回路

例題8.5

補足　等価電 源

下の回路と等価な電源を求めよ

3 5A 6

6V 3 5A

6

6V 6

1A

6

1A 3 5A



6A

または、



12V

例題8.6

補足　等価電 源

下の回路と等価な電源を求めよ

E₁ Y₁

E₂ Y₂

E_l Y_l

V₀

I₁=Y₁E₁ I₂=Y₂E₂ I_l=Y_lE_l

I₁+I₂+ +I‥ _l Y₁+Y₂+ +Y‥ _l V₀

l l l l l

Y Y

Y

E Y E

Y E Y

Y Y

Y

I I

V I











 











 









2 1

2 2 1 1

2 1

2 1 0

帆足- ミルマンの定理

I₁ Y₁ I₂ Y₂ I_l Y_l

補足　供給電力最大の法 則

Z=Z₀ 　即ち、 R=R₀, X=X₀

Z=Z₀^* 即ち、 R=R₀, X= － X₀

共役整合

反射係数

インピーダンス整合条件

0 0

Z Z

Z Z



 



0

*

' 0

Z Z

Z Z



 



或いは

Z₀=R₀ の時、 = ’

'2

 ^: 電力( パワー )反射率

Z=R+jX

P: _{負荷で消費}

　　される電 力

負荷に向かう電力

P_max

負荷から反射され る電力

max

'2P



max

'2

1 '*

'

1 P

 P





   

つまり、

または、

電源から最大の電力を引き出すに は、インピーダンス整合を行う

E

Z₀=R₀+jX₀

Z=R+jX

電源側負荷側 電源の内部インピーダンス

負荷インピーダンス

インピーダンス行列　 (Z行列)

9 章　二端子対回路

9.3 インピーダンス行列　(Z 行列)

網

V₂ I₂ I₁

V₁ z₁₁ z₁₂ z₂₁ z₂₂ 1

1’

2 2’

V₁=z₁₁ I₁+z₁₂ I₂ V₂=z₂₁ I₁+z₂₂ I₂



 







 



 



 





2 1 22 21

12 11

2 1

I I z

z

z z

V V

z₁₁, z₁₂, z₂₁, z₂₂ を

インピーダンスパラメータ or 　Z パラメータと言う

相反回路なら、

z₁₂=z₂₁

各々の Zパラメータの意味とその求め方

1 0 1 11

2

 I I

z V

2 0 1 12

1

 I I

z V

1 0 2 21

2

 I I

z V

2 0 2 22

1

 I I

z V

( 開放駆動点インピーダンス)

( 開放駆動点インピーダンス) ( 開放伝達インピーダンス)

( 開放伝達インピーダンス)

I₂=0 、即ち出力端 (2-2’) を開放した状態での V₁/I₁の値

I₁=0 、即ち入力端 (1-1’)を開放した状態での V₁/I₂ の値

I₂=0 、即ち出力端 (2-2’)を開放した状態での V₂/I₁ の値

I₁=0 、即ち入力端 (1-1’)を開放した状態での V₂/I₂ の値

2-2’ にI₂ を流した 場合のV₁を求め

、その比をとる 1-1’ にI₁ を流した 場合のV₂を求め

、その比をとる

アドミタンス行列　 (Y 行列)

9 章　二端子対回路

9.2 アドミタンス行列　(Y 行列 )

網

V₂ I₂ I₁

V₁ y₁₁ y₁₂ y₂₁ y₂₂ 1

1’

2 2’

I₁=y₁₁ V₁+y₁₂ V₂ I₂=y₂₁ V₁+y₂₂ V₂



 







 



 



 





2 1 22 21

12 11

2 1

V V y

y

y y

I I

y₁₁, y₁₂, y₂₁, y₂₂ を

アドミタンスパラメータ or 　 Y パラメータと言う

相反回路なら、

y₁₂=y₂₁

各々の Y パラメータの意味とその求め方

1 0 1 11

2

 V V

y I

2 0 1 12

1

 V V

y I

1 0 2 21

2

 V V

y I

2 0 2 22

1

 V V

y I

( 短絡駆動点アドミタンス)

V₂=0 、即ち出力端 (2-2’) を短絡した状態でのI₁/V₁ の値

V₁=0 、即ち入力端 (1-1’)を短絡した状態での I₁/V₂の値

V₂=0 、即ち出力端 (2-2’)を短絡した状態での I₂/V₁の値

V₁=0 、即ち入力端 (1-1’)を短絡した状態での I₂/V₂の値

2-2’ にV₂を印加 した場合の I₁ を求 め、その比をとる 1-1’ にV₁を印加 した場合の I₂ を求 め、その比をとる

( 短絡駆動点アドミタンス) ( 短絡伝達アドミタンス)

( 短絡伝達アドミタンス)

縦続行列　 (K行列 or F 行列 )

9 章　二端子対回路

9.4 縦続行列　(K 行列 or F 行列)

網

V₂ I₂ I₁

V₁ A B

C D

1 1’

2 2’

V₁=A V₂+B I₂ I₁=C V₂+D I₂



 







 



 



 





2 2 1

1

I V D C

B A I

V

A, B, C, D を

K パラ、F パラ、

四端子定数などと言う 相反回路なら、

AD-BC=1

各々の K パラメータの意味とその求め方

2 0 1

2

 V I

A V

2 0 1

2

 I V

B V

2 0 1

2

 V I

C I

2 0 1

2

 I V

D I

(出力端開放時の電圧帰還率 )

I₂=0 、即ち出力端 (2-2’) を開放した状態での V₁/V₂ の値

V₂=0 、即ち出力端 (2-2’)を短絡した状態での V₁/I₂の値

I₂=0 、即ち出力端 (2-2’)を開放した状態での I₁/V₂ の値

V₂=0 、即ち出力端 (2-2’)を短絡した状態での I₁/I₂ の値

1-1’ にV₁を印加 した場合の I₂ を求 め、その比をとる 1-1’ にI₁ を流した 場合のV₂を求め

、その比をとる

(出力端短絡時の電流帰還率 )

(出力端短絡時の伝達インピーダンス )

( 出力端開放時の伝達アドミタンス) 向きに注意

1-1’ にV₁を印加 した場合の V₂ を 求め、その比をと る

1-1’ にI₁ を流した 場合のI₂ を求め、

その比をとる

9 章　二端子対回路

9.3 直列接続　( 回路の直列接続を扱うには Z行列が便利

網

I₂

I₂ I₁

V₁

z₁₂’ z₁₁’

z₂₁’ z₂₂’

z₁₂” z₁₁”

z₂₁” z₂₂” I₁

V₂ 



 







 











 



 





2 1 22

22 21

21

12 12

11 11 2

1

"

'

"

'

"

'

"

'

I I z

z z

z

z z

z z V

V

9.2 並列接続　( 回路の並列接続を扱うには Y行列が便利 )

V₂ I₂

I₂ I₁

V₁ I₁

y₁₂’ y₁₁’

y₂₁’ y₂₂’

y₁₂” y₁₁”

y₂₁” y₂₂”



 







 











 



 





2 1 22

22 21

21

12 12

11 11

2 1

"

'

"

'

"

'

"

'

V V y

y y

y

y y

y y

I I

9 章　二端子対回路

9.4 縦続接続　( 回路の縦続接続を扱うには K行列が便利

網



 







 







 



 



 





2 2 1

1

I V D"

C"

B"

A"

D' C'

B' A'

I V₁ V

I₁

V₂ I₂

B’

A’

C’ D’

B”

A”

C” D”

Z₁₂

Z₃₁ Z₂₃

Z₁

Z₃

Z₂

 形回路 ( 接続) T 形回路 (Y接続 )

9.8 Y- 変換

3

1 3 3

2 2

1

12 Z

Z Z Z

Z Z

Z  Z  

1

1 3 3

2 2

1

23 Z

Z Z Z

Z Z

Z  Z  

2

1 3 3

2 2

1

31 Z

Z Z Z

Z Z

Z  Z  

31 23

12

12 31

1 Z Z Z

Z Z Z



 

31 23

12

23 12

2 Z Z Z

Z Z Z



 

31 23

12

31 23

3 Z Z Z

Z Z Z



 

補足　諸行列間の関 係



 







 



 







 



 



 

A K D

B z

z

z z

Z y

y

y Y y

1 1 1

11 21

12 22

22 21

12 11



 



 



 







 



 



 

D K A C y

y

y y

Y z

z

z Z z

1 1 1

11 21

12 22

22 21

12 11



 



 



 



 

 



 



 

22 11

11 21 22

21 1

1 1 1

z Z z

y z Y

y y D

C B K A

21 12 22

11z z z

z

Z  

21 12 22

11y y y

y

Y  

ただし、

BC AD

K  

10 章　二端子対回路

10.1 二端子対網における入力、出力インピーダンス

網

Z_G: 電源の内部インピーダンス

E Z_L

Z_G

電源 負荷

二端子対回路 右の図のように、二端子対回路に

電源と負荷を繋いだ場合

入力インピーダンス Z_in : 電源から負荷側を見たインピーダンス

出力インピーダンス Z_out : 電源を殺した状態で、負荷から電源側を見たインピーダンス

Z_in ^二端子対 Z_L

回路

Z_out Z_G

二端子対回路

E=0

補足　伝送 量

電圧、電流の比

] dB [ log

20

2 1 10 V

V

対数 ( デシベル) 表示

] dB [ log

20

2 1 10 I

I

電力 (パワー ) の比

] dB [ log

10

2 1 10 P

P

絶対レベル

] dBm [

0 ]

mW [

1 

 P

覚えておくと便利

・ 絶対レベルで 1 mW=0 dBm

・ 電力比で 10 倍 = 10 dB ( 電圧比、電流比なら20 dB)

・ 電力比で 2倍 = 約 3 dB ( 電圧比、電流比なら約 6 dB)

・ 電力比で 5倍 = 約 7 dB ( 電圧比、電流比なら約 14 dB)

第 9 章　分布定数回路としての 線路

Z₀₁, ₁ Z₀₂, ₂

l₁ l₂

1 1

1 1

D C

B A

2 2

2 2

D C

B A

































 



 







 



 



 





2 2 2

2 02

2 2 02

2 2 1

1 1

1 01

1 1 01

1 1

2 2

2 2

1 1

1 1

cosh 1 sinh

sinh cosh

cosh 1 sinh

sinh cosh

l Z l

l Z

l l

Z l

l Z

l D

C

B A

D C

B A D

C B A

















複合線路の縦続行列 9.1 複合線路 ( 続き)

Z₀₁, ₁ Z₀, j

l =/4

Z₀₂, ₂

特性インピーダンスが Z₀₁およびZ₀₂ の線路の間に、特性インピーダンスZ₀の値が 　　　　　　長さ l = /4 の無損失線路を挿入すれば、インピーダンス整 合がとれる。

02 01

0 Z Z

Z 

2 4

2  



 l   

インピーダンス整 合

伝搬定数 = j(無損失 )

第 8 章　分布定数線

8.1 線路の伝送方程式

路

i

v+v v

i+i Rx Lx

Cx Gx

x

R: 線路単位長当りの抵抗 (/m)

L: 線路単位長当りのインダクタンス (/m) C: 線路単位長当りの容量 (F/m)

G: 線路単位長当りのコンダクタンス (S/m) 伝送線路の一次定数

伝送線路の一部を切り取ったものの等価回路

) / (

} / ) (

{ )

(

t v x C v x G i

t i i x L i

i x R v







































伝送路微小区間 x の等価回路に対してキルヒホッフの法則を用いると、

t C v x Gv

i

t i L i

i i x R

v



 

 









 





 

 ( )

) 従って、 (

t C v x Gv

i x

i

t L i x Ri

v x

v

x x



 

 

 







 

 

 













0 0

lim

lim 伝送の

基礎方程式 v, i は t および x の関数、即ちv(t, x), i(t, x)

第 8 章　分布定数線 路

t j x

t j x

e I x t i

e V x

t v







 ) , (

) ,

正弦波交流の場合、 v(t, x), i(t, x) は、 (

ででででででで

でででで : 角周波数 伝送の基礎方程式に当てはめて解くと、

x x

x x

dx zyI I d

dx zyV V d





2 2

2 2

波動方程式

　　　　　　が得られる。 ただし、 R + j L= z, G + j C= y と置いた

x zy x

zy x

x zy x

zy x

e I e

I I

e V e

V V

 



 











0 0

0 0

この波動方程式の解は、以下の形で与えられる。









0 0 0

0 ,V , I , I

V は境界条件( 電源や負荷の状態 ) に よって定まる積分定数

y z V

I y z V

I₀^  ₀^ / , ₀^   ₀^ /

x x

x

x x

x

Z e e V

Z I V

e V e

V V









 

















0 0 0

0

0 0

従って、    j  yz, Z₀  z y

Z₀ : 特性インピーダンス　単位: オーム ()

 : 伝搬定数

 : 減衰定数　単位 : ネーパ (Np)

 : 位相定数　単位 : ラジアン (rad) ここで、

8.2 伝送方程式の定常解

伝送線路の二次定数

+x 方向に進む波

-x 方向に進む波

第 8 章　分布定数線 路

( 入射波) ( 反射波)

} 1 {

) 1 (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

0 0

反射電圧波 入射電圧波

反射電流波 入射電流波

反射電圧波 入射電圧波





































V Z Z V

I I

I

V V

V

x x

x x x

x x

x

0 0 0

0 0 0

0 0

, ,

Z e e V

I Z I

e e V

I I

e V V

e V V

x x

x x

x x

x x

x x

 

 







 



 





























ただし、

) (

0 ) 0

( 0

0

) (

0 ) (

0

x t j x x

t j x t

j x

x t j x x

t j x t

j x

e Z e

e V Z e

e V I

e e V e

e V e

V































 

 



















時間依存因子e ^jt を含む伝送式

e ^{j(t±x)} は、∓ x 方向に進む角周波数

 , 位相定数 の正弦波を表す

) ( v_p



 v_p: 位相速度 ここで、

8.3 波の伝搬

Z_L

受電端 送電端

E

x

入射波 反射波

x=0



  2 _{ : 波の波長}

第 8 章　分布定数線 路

x x

x

x x

x

e I Z Z V

e I Z Z V

I

e I Z V e

I Z V V





























) 2 (

) 1 2 (

1

) 2(

) 1 2(

1

0 0 0

0 0

0 0

0

0 0 0

0 0 0

x I

Z x I V

x I

Z x V

V

x x









cosh sinh

sinh cosh

0 0

0

0 0 0

























 



 





l Z l

l Z

l D

C B A









cosh 1 sinh

sinh cosh

0

0

特性インピーダンス: Z₀, 伝搬定数: , 長さ : l の線路に対する K 行列

受電端電圧 V₀ および電流 I₀で、伝送線路上の任意の点 x での電圧V_x および電流 I_x を表すと、

または、

1

,  

 D AD BC A

線路は、対称、相反 (可逆 ) 回路 8.4 線路の縦続行列

受電端

送電端 l 送電端 受電端

D C

B V₀ A

I₀ V_x

I_x

x x=0

Z₀, 

I₀ I_x

I_s

I_x I_s

第 8 章　分布定数線 路

1. 半無限長線路 (x→∞)

l s

x V e

V  ^

l s l s

x V Z e I e

I  ( / ₀) ^  ^

2. 線路の特性インピーダンスに等しいインピーダンスの値の負荷 Z₀ で終端した場合 無反射

Z0

I Z V

x x

x  

0 0

0 Z

I V  Z₀

送電端

V_s

l x

Z_x Z_in

x_s

V_x V₀

x=0

受電端 送電端

V_s

l x

Z₀,  Z_x Z_in

x_s=x+l

V_x ^無限長

l s x

x V e V e

V  ₀ ^  ^

l s l s

x

x V Z e V Z e I e

I ( ₀ / ₀) ^  ( / ₀) ^  ^

無反射

インピーダンス整合

0

in Z

Z 

8.5 波の反射

Z₀, 

0

in Z

Z 

Z0

I Z V

x x

x  

3. 受電端を短絡した場合

第 8 章　分布定数線 路

送電端

V_s

l x

Z_x Z_in

x_s

V_x I_x I_s

V₀=0 I₀

x=0

受電端 短絡

x I

e e

I I

x I

Z e

e I Z V

x x

x

x x

x













cosh )

2 ( 1

sinh )

2 ( 1

0 0

0 0 0

0

















全反射

x I Z

Z V

x x

x   ₀ tanh

8.5 波の反射 ( 続き )

Z₀, 

x_s x=0

短絡 2 x=0

 2

3

  2 2

5

 3

電圧 電流

 0

t

4

 t  2

 t  4 3

 t 

 t

定在波

第 8 章　分布定数線 路

4. 受電端を開放した場合 送電端

V_s

l x

Z_x Z_in

x_s

V_x I_x I_s

V₀ I₀=0

x=0

受電端 開放

Z x e V

Z e I V

x V

e e

V V

x x

x

x x

x













sinh )

2 ( 1

cosh )

2 ( 1

0 0 0

0

0 0

















全反射

x I Z

Z V

x x

x   ₀ coth

8.5 波の反射 ( 続き )

Z₀, 

x_s x=0

開放 2 x=0

 2

3

  2 2

5

 3

電圧 電流

 0

t

4

 t  2

 t  4 3

 t 

 t

定在波

第 8 章　分布定数線 路

x x

x x

x

x x

x x

x Γ e

Z Z

Z Z

I Z V

I Z V V

Γ V ₀ ^2

0 0 0

0

) (

)

( _



 



 



 



 入射 電圧 波 波 電圧 電圧反射係数 反射

0 0

0 1

1 Γ Γ Z

Z



 

x x x

x

x Γ

Z Γ I

Z V



 

 1

1

0

x x

x

x V e V V e

V^  ₀^{ } , ^  ₀^{ }

0 0 0

0

0 Z Z

Z Z V

Γ V



 

 _^

x x=0

Z₀,  Z_x



Vx



Vx



V0



V0 Z

8.6 反射係数

補足　理想線路と無歪線 路

R = G = 0 の時、無損失 ( = 0) かつ無歪となり、理想線路と呼ぶ

LC j

LC C

j G L j R

j    



    (  )(  )   ² 

でででで   0,   LC,

C L C

j G

L j

Z R 



 





ででで 0

理想線路

) (

)

(t A₀ f t t₀

g  

( )ⅰ 減衰定数 (或いは増幅利得 )が周波数に無関係に一定 (A₀は周波数に依らない ) 無歪線路

( )ⅱ 位相定数は周波数に比例する ( 或いは、位相速度 v_p が一定である )

p

p v

v

f 





  2  2 

伝送線路のパラメータとしてこの条件を与えるには、

で が一定

・  が  に比例

・ Z₀ が一様 G C R

L  _{は無歪の条件でもある}

t A₀ t₀ t

f(t) ^{入力信号波形} g(t) ^{出力信号波形}