第２章偏微分方程式と解析解

(1)

第２章偏微分方程式と解析解

1. ( 9/ 2) 数値シミュレーションの手続き (テキスト第１章)

2. ( 9/ 9) 偏微分方程式と解析解 (テキスト第２章)

3. ( 9/16) 休講

4. ( 9/30) 差分方程式とそのスキーム (テキスト第３章) +変換 (テキスト第４章)

5. (10/ 7) 計算 (テキスト第５章)+連立一次方程式の解法(テキスト第６章)

6. (10/21) 流れ関数‐ポテンシャルによる解法(テキスト第７章)

7. (10/28) 流速‐圧力を用いた解法 (テキスト第７章)

8. (11/ 4) 熱流体解析と多相流解析

9. (11/11) 乱流の数値解析 by 金子暁子先生

10. (11/18) 数値解析の実際 by 渡辺正先生(JAEA)

11. (11/25) 試験 (レポート評価の場合: 予備日)

(2)

変換ー変化する方程式の定性的性質ー

物理現象 (熱流体挙動)

計算モデル (差分方程式)

厳密解

代数方程式数学モデル

(偏微分方程式)

差分解数値解

工学への応用

(開発、設計、性能評価) 仮説

(定式化)

変換

(差分近似) (離散化)

数値計算

適切性安定性

収束性適合性

Lax

の同等定理

(3)

偏微分方程式とその解析解

－数値解のための物差しとしてー

工学機器の設計のためには、あらかじめ

偏微分方程式を数値的に解き数値解を得ることが極めて有効な手段となる。

仮に数値解が得られたとして

数値解の精度を吟味することが必須。

その際の尺度となるのが、厳密解。

(4)

数値解析結果と理論値との比較

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

X

Y

Theory

Numerical

e

ax

y x

y ( ) =

₀

1 ,

i i

i ay

x y

y =

Δ

+ −

dx ay

dy =

(5)

偏微分方程式の分類

= 0

∂ + ∂

∂

x B u t

A u

( ) ⁰

det A λ + B =

•

すべての固有値が実数のとき方程式は：双曲型

•

すべての固有値が

0

のとき方程式は：放物型

•

すべての固有値が複素数のとき方程式は：楕円型一階の連立方程式

固有方程式：

線形二階の偏微分方程式：

u ( x , t )

_または

u ( x , y )

(6)

拡散方程式あるいは熱伝導方程式

( ⁰ )

2

>

∂

= ∂

∂

∂ α α

x u t

u

固有方程式

x u u

u

u ∂

= ∂

=

₂

1

,

変数

u

を次式のようにおく

0 0

det ⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

λ α λ

すべての固有値は

0

放物型

(7)

波動方程式

x 0 c u t

u

2 2 2 2

2

=

∂

− ∂

∂

固有方程式

x u u

t u u

∂

= ∂

∂

= ∂

₂

1

,

変数

u

0 det ⎟⎟ ⎠ =

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

− λ λ

c

固有値

（

c

：波動の伝播速度）

± c

λ =

双曲型

(8)

Laplace方程式

2

0

2 2

2

=

∂ + ∂

∂

y u x

u

固有方程式

y u u

x u u

∂

= ∂

∂

= ∂

₂

1

,

変数

u

1 0

det 1 ⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

− λ

λ

固有値

λ = ± i

^楕円型

(9)

境界条件と初期条件

工学の問題では、

偏微分方程式の性質そのものよりも、

現実に与えられた境界条件ならびに初期条件の下で、

現象を記述する偏微分方程式の解がどの

ような挙動をとるのか、が求められる。

(10)

境界条件

γ β

α + =

∂

∂ u

x u

( )

γ β

α

β α α

γ

β β α

γ

=

∂ +

∂

=

≠

∂ =

∂

≠

=

x u u x u u

0 ,

0 0 ,

0

α，βによって継の

3

種類に分けられる

Neumann

条件

Robin

条件

Dirichlet

条件

(11)

初期条件

γ β

α + =

∂

∂ u

t u

( )

( ⁰ ^, ⁰ ^, ⁰ )

t u u

0 ,

t 0 u

0 ,

0 u

≠

=

∂ +

∂

=

≠

∂ =

∂

≠

=

γ β

α γ

β α

β α α

γ

β β α

γ

α，βによって継の

3

種類に分けられる

Cauchy

条件

(12)

解析解のための準備

偏微分方程式の各型毎に、

工学の問題として、直感の働きやすいものを選択し、

初期条件や境界条件を与えて、

あらかじめ解析解を求めておくことにする。

通常、解析解の多くは、関数列で展開される

(13)

関数展開の原理

関数

F(x)

が既知関数

∑

^∞

=

+ +

=

1

2 2 1

1

) (

) ( )

( )

(

k k k

m m

x c

x F

ϕ

ϕ ϕ

ϕ _K _K

) ( ,

), ( ),

(

₂

1

x ϕ x ϕ

_m

x

ϕ _K

線形結合によって記述されるとする。

係数

c

₁

, c

₂

, K , c

_m が適切に算出されれば、

任意関数

F(x)

は、既知関数

^{ ϕ

_m

⁽ ^x ^)}

によって記述できたことになる。

(14)

関数展開のために望ましい性質 ( ^m ⁿ )

dx x

b

x

a m n

= ≠

∫ ϕ ( ) ϕ ( ) 0

１．直交条件

(orthogonal)

：

) ( )

( x

_n

x

m

ϕ

ϕ =

のときノルム

(norm)

が定義できる

= ∫

_a^b _m

m

ϕ

²

( x ) dx ϕ

2

．正規化条件

(normalize)

：

正規直交関数

(15)

正規直交関数による展開係数の決定

∫

_a^b

ϕ

_m

( x ) ϕ

_k

( x ) dx = δ

_mk

正規直交関数

⎩ ⎨

⎧

≠

≡ =

) (

0 ) (

1 k m

k m

δ

mk クロネッカのデルタ関数

dx x x

c dx

x F

b

x

a k

ab m k

k

∫

m

∑

^∞

∫

=

= 1

) ( )

( )

( ϕ ϕ

ϕ

m b

a

b a m m

m

x F x dx = c x dx = c

∫ ^ϕ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ∫ ^ϕ

²

⁽ ⁾

ここで

}

{ c

_m

(16)

長方形のsin波による展開

( 0 1 )

1 )

( x = ≤ x ≤ u

区間

[0 1]

における関数

( 0 1 )

) 1 2

sin(

1 )

(

1

≤

−

=

= ∑

^∞

=

c m x x

x

u

m m

π

を正弦波で展開すると、

ここで、展開係数

c

_m は、

( ² ⁴ ⁻ ¹ ) ^π

= m

c

_m

長方形を展開するのに十分な展開項数は？

Program: ORTHG

(17)

偏微分方程式の厳密解(1/3)

( 0 1 )

2

≤ ≤

∂

= ∂

∂

∂ x

x u t

u

熱伝導方程式

初期条件

1 )

0 ,

( x =

u

境界条件

0 )

, 1 ( )

, 0

( =

∂

= ∂ u t t x

u

(18)

偏微分方程式の厳密解(2/3)

u(x,t)

を

( )

で展開

(m=1,2,3,…..)

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ −

2 1 sin 2m πx

( )

2 1 sin 2

) ( )

, (

1

x t m

c t

x

u

m m

π

=

∑^∞

−

=

原方程式に代入

∑

∑ ^∞

=

∞

=

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

− =

1

2

1

2 1 sin 2

2 1 2

2 1 sin 2

m m

m

m m x

dt c x dc

m π π π

m

m c

dt

dc

²

2 1

2 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

= π

直交条件より

よって、

( )

^t

m m

e

m

c

c =

₀ ⁻ ² ²⁻¹^π ²

(19)

偏微分方程式の厳密解(3/3)

初期条件より

∑

^∞

=

= −

1 0

2 1 1 2

m m

m x

c π

よって解析解は

( ) ^∑

^∞

=

−

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

=

1

2

0

2 1 sin 2

2 1 exp 2

,

m m

m x

m t c

t x

u π π

( 2 1 ) π 4

0

= −

c

_m

m

展開係数は

(20)

双曲型方程式とその厳密解

－モデル問題１－

波動方程式：

( ⁰ ¹ )

2

0

2 2 2

2

= ≤ ≤

∂

− ∂

∂

∂ x

x c u t

u

初期条件と境界条件：

( ) ( )

⎩⎨

⎧

≤

−

≤

= ≤

1 2

1 1

2

2 1 0

0 2

, x x

x x x

u

( )

0 0 , =

∂

∂ t x u

（解）

( ) ( )

( ) ( [ ) ] [ ( ) ]

∑^∞

=

+ +

+

= −

0 2

sin 2 1 cos 2 1

1 2

8 , 1

m

ct m

x m m

t x

u π π

π

弦の振動を記述するのに十分な展開項数は？

Program: WAVEXVB

(21)

弦の振動の物理(1/2)

弦の微小部分

ΔS

に作用する力

x x

x

T

F = − sin θ + sin θ

₊_Δ

釣合いの位置より弦の位置が小さいとしたら

x

u

∂

= ∂

≈

≈ θ θ

θ tan

sin

従って、

x x T u

x x u x

u x

T u x

T u F

x

x x x

∂ Δ

≈ ∂

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛ Δ +

∂ + ∂

∂

− ∂

∂ = + ∂

∂

− ∂

=

Δ +

2 2

L

(22)

弦の振動の物理(2/2)

弦の単位長さ当りの質量を

ρ

とすると、

2

0

2 2 2

2

=

∂

− ∂

∂

x c u t

u

2 2 2

2

x u t

u

T ∂

= ∂

∂

ρ ∂

あるいは

ρ T /

c =

：弦の変位が伝播する速度

この方程式に減衰効果を加えると、電信方程式となる。

1 0 1

2 2 2

2

=

∂

− ∂

∂ + ∂

∂

x u t

u t

u

c σ

損失のある電線を伝わる電波はこの方程式に従う。

(23)

初期条件による波動方程式の解の違い

－モデル問題２－

( ⁰ ¹ )

2

0

2 2 2

2

= ≤ ≤

∂

− ∂

∂

∂ x

x c u t

u

( ) ^x ^x

u , 0 = sin π

( ) ( ) ⁰ ^, ^t ⁼ ^u ¹ ^, ^t ⁼ ⁰

u

（解）

^u ( ) ^x ^, ^t ⁼ ^sin ^π ^x ^cos ^π ^t

波動方程式：

弦の振動を記述するのに十分な展開項数は？

Program: WAVEXVB

(24)

対流方程式についての厳密解

= 0

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

∂

⎟ ∂

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

∂ u

c x t c x

t

波動方程式

= 0

∂ + ∂

∂

x c u t

u

対流方程式

(advection equation):

双曲型

( ⁰ ¹ )

2

0

2 2 2

2

= ≤ ≤

∂

− ∂

∂

∂ x

x c u t

u

(25)

対流方程式の厳密解の挙動ーモデル問題３－

= 0

∂ + ∂

∂

x c u t

u

対流方程式：

( ) ( )

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

≤

=

) 1 5

/ 2 ( 0

) 5 / 2 5

/ 1 ( 1

) 5 / 1 0

( 0 0

,

x x x x

F x

u

( ) ⁰ ^, ^t ⁼ ^g

₀

^g

₀

⁼ ⁰

u ( )

, 0

1 =

∂

∂ x

t u

（解）

^u ( ) ^x ^, ^t ⁼ ^F ( ^x ⁻ ^ct ) Program: ADVEX

(26)

対流の物理

∂ = Δ ∂

t

x u

（境界

x

におけるインクの流入量）

-

（境界

x+δx

におけるインクの流出量）

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

∂ + ∂

−

=

−

=

₊

2

L

2 2

x x

x

x x x

x c u 2 x

1 x

xc u u

c u

c

u c u

c

Δ Δ

Δ

よって、

x c u t

u

∂

− ∂

∂ =

∂

2 2

x u x

c u t u

∂

= ∂

∂ + ∂

∂

∂ α

濃度拡散の効果を考慮すると、対流・拡散方程式：

(27)

放物型方程式とその厳密解ーモデル問題４－

熱伝導方程式： ₂

( 0 1 )

2

≤ ≤

∂

= ∂

∂

∂ x

x u t

u

u ( ) x ^, ⁰ ⁼ ¹ ^u ( ) ⁰ ^, ^t ⁼ ⁰ ( ) 1 , 0

∂ =

∂ x

t u

（解）

( ) ( )

∑^∞

=

⎥ −

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

−

=

1

2 2

2 1 sin 2

4 1 exp 2

,

m m

m x

m t c

t x

u π π

展開係数

( 2 1 ) π 4

= −

c

_m

m Program: HEATX

(28)

熱伝導の物理

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

−

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

∂

ける熱の流出にお境界

熱の流入

における境界

熱発生

の中での

x x Δx

Δx t

Δx u

x x x

x x

x

q u x

q u

Δ + Δ

+

∂

− ∂

∂ =

− ∂

= α α

+ L

∂ Δ

− ∂

∂ Δ

− ∂

∂

− ∂

∂ =

− ∂

=

Δ + Δ

+ 2

3 3 2

2

2 1 x

x x u

x u x

u x

q u

x x x

x

α

=1

とする。

2 2

x Δx u t Δxg

Δx u

∂ + ∂

∂ =

∂

x g u t

u +

∂

= ∂

∂

2 2

(29)

拡散方程式

x g D u t

u +

∂

= ∂

∂

2 2

x D u j

_x

∂

− ∂

=

Fick

則

拡散方程式

(diffusion equation)

熱伝導方程式と拡散方程式は同じ放物型方程式となる

(30)

熱伝導方程式の厳密解

― モデル問題５－

( ⁰ ¹ )

2

≤ ≤

∂

= ∂

∂

∂ x

x u t

u

( ) ^x ^x

u , 0 = sin π

( ) ( ) 0 , t = u 1 , t = 0 u

（解）

( ) ^x ^t ^e ^x

u , =

⁻^π²^t

sin π

Program: HEATX

熱伝導方程式：

(31)

楕円型方程式の厳密解

－モデル問題６－

Poisson

方程式：

( 0 1 , 0 1 )

2 0 2 2

2

= − ≤ ≤ ≤ ≤

∂ + ∂

∂

∂ g x y

y u x

u

境界条件：

（解）

( )

^∑^∞

( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ]

=

⎟⎟ + +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= +

1 2 ,

0

sin 2 1 cos 2 1

1 2

2 1

2 2 , 4

n

m

m x m y

n m

t g x

u π π

π π

π

( ) ( )

( ) , 1 0 ( 0 1 )

1 0

0 0 ,

1 0

0 ,

1 1 0

0 ,

0 ≤

≤

=

≤

=

≤

=

≤

=

x x

u

x x

u

y y

u

y y

u

（

Dirichlet

条件）

Program: POLAX

(32)

Poisson方程式が代表する物理

２次元非定常熱伝導方程式

2 0 2 2

2

y g u x

u t

u +

∂ + ∂

∂

= ∂

∂

定常状態とすると

2 0 2 2

2

y g u x

u = −

∂ + ∂

∂

一様加熱される平板上の温度分布、その変化

(33)

楕円型方程式の厳密解

－モデル問題７－

Laplace

方程式：

( ⁰ ¹ ^, ⁰ ¹ )

2

0

2 2

2

= ≤ ≤ ≤ ≤

∂ + ∂

∂

∂ x y

y u x

u

境界条件：

（解）

( ) [ ( ) ]

( ) ( ) ( )

∑^∞

=

−

= −

1

sin sinh sinh

1 1

, 2

m

x m y

m m t m

x

u π π

π π

( ) ( )

( )

,1 1

(

0 1

)

1 0

0 0 ,

1 0

0 ,

1

1 0

0 ,

0

≤

=

≤

=

≤

=

≤

=

x x

u

x x

u

y y

u

y y

u

（

Dirichlet

条件）

Program: POLAX

(34)

変係数の１次元Laplace方程式の厳密解

定数σ（σ

>0

）として変係数の１次元

Laplace

方程式：

( 1 ) ⎥⎦ ⎤ = 0 ( 0 ≤ ≤ 1 )

⎢⎣ ⎡ + x

dx u du dx

d σ

境界条件：

（解）

( ) x x

u σ

σ σ

σ

+ + +

−

= 1 1 2

2

( ) ⁰ ⁼ ⁰ ^, ^u ( ) ¹ ⁼ ¹ ^,

u

Program: LAP1X

(35)

Laplace方程式の物理

比例定数αが温度

u

の関数であるとする：

( ) = ¹ + σ ( σ > ⁰ )

α u u

変係数の１次元

Laplace

方程式が得られる。

( ¹ ) ( ^> ⁰ )

∂ + ∂

−

= σ α

x u u

より

q

( 1 ) ⎥⎦ ⎤ = 0 ( 0 ≤ ≤ 1 )

⎢⎣ ⎡ + x

dx u du dx

d σ

高温であるほど熱伝導係数が大きくなる高温領域ほど温度勾配が緩やか

低温領域ほど温度勾配が急峻となる

(36)

一次元Laplace方程式の解ーモデル問題９－

一次元Laplace方程式

:

(

⁰ ¹

)

2 0

2 = ≤ x ≤

dx u d

境界条件

:

( ) ( ) ¹ ⁰ = ¹ ⁰

= u

u

（解）

( ) ^x ⁼ ^x ( ⁰ ^≤ ^x ^≤ ¹ )

u

(37)

対流方程式の数値解の挙動

～スキームの選択

ーモデル問題３－

以下の対流方程式を

以下の境界条件と初期条件の下で、

以下の各スキームを用いて数値的に解析しなさい。

• FTCS

• 蛙とび法

• 風上差分

= 0

∂ + ∂

∂

x c u t u

( ) ( )

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

≤

=

) 1 5

/ 2 ( 0

) 5 / 2 5

/ 1 ( 1

) 5 / 1 0

( 0 0

,

x x x x

F x

u

( )

⁰^,t = g₀ g₀ = ⁰ u

( )

1, 0

∂ =

∂ x

t u

Program: ADVEC

(38)

提出課題 (4)

前ページに指定する微分方程式を、与えられた境界条件の下で、指定する差分スキームを用いて数値的に解析しなさい。

提出期日： 10 月 21 日（木）

提出物は、

・内容の説明したレポート

・プログラムリスト

・解析結果（数値出力、作図結果）

以上の全てを、A4レポート用紙ならびに電

子媒体(CD)の両方により提出すること。

(39)

第２章偏微分方程式と解析解

1. ( 9/ 2) 数値シミュレーションの手続き (テキスト第１章)

2. ( 9/ 9) 偏微分方程式と解析解 (テキスト第２章)

3. ( 9/16) 休講

4. ( 9/30) 差分方程式とそのスキーム (テキスト第３章) +変換 (テキスト第４章)

5. (10/ 7) 計算 (テキスト第５章)+連立一次方程式の解法(テキスト第６章)

6. (10/21) 流れ関数‐ポテンシャルによる解法(テキスト第７章)

7. (10/28) 流速‐圧力を用いた解法 (テキスト第７章)

8. (11/ 4) 熱流体解析と多相流解析

9. (11/11) 乱流の数値解析 by 金子暁子先生

10. (11/18) 数値解析の実際 by 渡辺正先生(JAEA)

11. (11/25) 試験 (レポート評価の場合: 予備日)

第２章 偏微分方程式と解析解