～アナログ音声信号の伝達例

通信方式＃ 13

Ｈ２３－ 1 －１９ Ｈ２３ 1 １９

古川 浩

情報伝送系

～アナログ音声信号の伝達例

アナログ情報源

2 1

送信機 ..1011011..

の 帯域制限（ＬＰＦ）

m

m ω

ω ~

−

で標本化^m T ω

π 2 2

<1

波形整形

ＰＣＭ 高周波変調

（アップコンバータ）

伝送路 (channel) 伝送路 (channel)

受信機 の

帯域制限（ＬＰＦ）

m

m ω

ω ~ ＰＣＭ −

整合フィルタ 1,0判定 復号 高周波復調

（ダウンコンバータ）

変（復）調の分類 変（復）調の分類

ベースバンド変調 高周波変調 ベースバンド変調 高周波変調

パルス変調（6.2節～6.5節） アナログ変調（３，４，５章）

アナログ

Pulse Amplitude Mod. (PAM) Pulse Width Mod. (PWM) P l P iti M d (PPM)

Amplitude Mod. (AM) Frequency Mod. (FM) Phase Mod. (PM)

パルス符号変調（７章） ディジタル（高周波）変調（８章）

Pulse Position Mod. (PPM) ( )

Single SideBand Mod. (SSB)

デジタル

Pulse Code Mod. (PCM) Delta Mod. (⊿M)

Delta-Sigma Mod. (⊿-ΣM)

Amplitude Shift Keying (ASK) Frequency Shift Keying (FSK) Phase Shift Keying (PSK)

デジタル

Quadrature Phase Shift Keying (QPSK) Quadrature Amplitude Modulation (QAM)

角度変調 , Angle Modulation

( でも AM とは言わない！ )

( ) ^{t A} ( ) ^t

f _c ( ) = _c cos θ ( )

[ ^t ( ) ^t ]

A f

s c

c

c c

θ ω −

= cos

搬送波 被変調波

位相変調 Phase Modulation [PM]

位相変調、 Phase Modulation [PM]

( ) ^A [ ^{k f} ( ) ]

f ( ) ^{t A} [ ^{t k f} ( ) ^t ]

f _c = _c cos ω _c − _{PM s}

( ) ^{t = k f} ( ) ^t

θ

つまり

^θ _s ( ) ^{t = k} _PM ^f _s ( ) ^t

つまり、

周波数変調 Frequency Modulation [FM]

周波数変調、 Frequency Modulation [FM]

( ) ^{t = A} _⎢ ^{⎡ t k} ∫ ^{t f} ( ) ^{t dt} _⎥ ^⎤

f c ( ) t ⁼ A c ^cos _⎢⎣ ^⎡ ω c t ⁻ k FM ∫ − ∞ f s ( ) t dt _⎥⎦ ^⎤

f ^cos ω

( ) ^{t k} ∫ ^{t f} ( ) ^{t dt}

θ

つまり

θ _s ( ) ^t = ^k _FM ∫ − ∞ ^f _s ( ) ^{t dt}

つまり、

（角）周波数 ω とは・・・

（角）周波数 ω とは・・・

位相平面

cos ω t

( ) θ ( ) ^t

位相平面

cos ω t

FM変調波の位相

( ) ^t

θ θ ( ) ^t

( ) ^{k f} ( ) ( )

d θ

FM変調波の位相

( ) ^{t k f} ( ) ^t ( ) ^t

dt d

s c

s FM

c

ω ω

ω

θ = − = −

定義 となり、周波数に情報を乗せている。

ゆえに周波数変調と呼ぶ

定義

ゆえに周波数変調と呼ぶ

PM と FM の類似性 PM と FM の類似性

PMは

^{d θ} ( ) ^{t = k}

^{d f} ( ) ^t

PMは

( ) ^f ( ) ^t

k dt

dt θ

t

FMは

∫ ∫

^ω ω

( ) ^{( ) t t dt dt = k k}

∫ ∫

^{f f}

( ) ^{( ) t t dt dt}

角度変調波の生成法 角度変調波の生成法

( ) ^A [ ( ) ]

f ( ) [ θ ( ) ]

( ) ^{t t A} ( ) ^{t t}

A

t t

A t

f

c s

c c

s c

s c

c c

ω θ

ω θ

θ ω

sin sin

cos cos

cos

+

=

−

=

( )

( )

s

c

θ ω θ ω

( ) ^t

A θ

直交変調器

＋ X

ω t cos

( ) ^t

A

cos θ

( ) ^t

f

X

c

t ω cos

( ) ^t

A

sin θ

( )

f

c

t

ω

sin

PM 波 FM 波の生成回路 PM 波、 FM 波の生成回路

( )

[ ^{k f t} ]

A

＋ X

c

t ω

cos [ ^f

( ) ^t ]

[ ^{k f} ( ) ^t ]

A

cos

X

i

( )

[ ^{k f t} ]

A

sin

t

ω

sin

( ) _⎥⎦ ^⎤

⎢⎣ ⎡ ^k

∫

^{f t dt}

A cos

PM

＋ X

c

t ω

cos [ ^f

( ) ^t ]

( ) _⎥⎦

⎢⎣

∫

c

k f t dt

A cos

( ) ^⎤

⎡ ^k ∫

^{f t dt}

A sin

c

t ω sin

( ) _⎥⎦ ^⎤

⎢⎣ ⎡

∫

c

k f t dt

A sin

FM

０－ IF 平面で眺めた PM 波と FM 波 ０－ IF 平面で眺めた PM 波と FM 波

c

t ω

sin sin ω t

I ^s

^ω

^t I ^sin

^ω

^t

A _A

Im Im

( )

f

k ^k ∫

^f ( ) ^{t dt}

A

A

c

t ω cos

( ) ^t

f k

c

t ω cos

∫

( )

FM

f t dt

k

の係数成分 の係数成分

Re Re

PM波 FM波

Re

狭帯域角度変調 (Narrowband Angle Modulation)

( ) ( ) ( )

{ ^{k d} ( ) ^t } ^{t A} { ^{k d ( ) t} } ^t

A

t t

A t

t A

t

f

ω ω

ω θ

ω θ

sin sin

cos cos

sin sin

cos cos

+

=

+

= { ^{k d} ( ) ^t } ^{t A} { ^{k d ( ) t} } ^t

A

cos

cos ω

+

sin

sin ω

=

<< 1

k

( )

<< 1

k

≈ 1 ^{≈ k}

^d ( ) ^t

角

このような角度変調を特に狭帯域

FM(PM) という。

狭帯域角度変調波の発生方法

～ AM 波との類似性

A

＋ X

c

t ω

cos [ ^f

( ) ^t ]

A

X

i

g

( ) ^t

d k

A

狭帯域角度変調

c

t ω sin

( ) ^t

f A

+

狭帯域角度変調

＋ X

c

t ω

cos [ ^f

( ) ^t ]

0

c

t ω sin 0

AM変調

狭帯域角度変調波と AM 波の類似性 狭帯域角度変調波と AM 波の類似性

狭帯域角度変調波 AM波

Im Im

狭帯域角度変調波 AM波

( )

f_s

( ) ^t

d k

A

A

Re

A

Re

( )

f_s

FM 波の変調指数 FM 波の変調指数

( ) ^{t A t}

f

=

cos ω

被変調波として を考える

[ ( ) ]

∫

( )

t s FM

c FM c

c t A t k f t dt

f cos

ω

⎤

⎡ ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

=

m m m

FM c

c

A t k

t

A ω

ω ^sin ω cos

A

k Δ ω

最大周波数偏移：変調指数、被変調波の振幅により変化

m m

m FM

f

A m k

ω ω ω

= Δ

=

[ ( ) ] ⁼ [ ^{ω − ω} ]

狭帯域 FM 狭帯域 FM

狭帯域 FM とは、経験的に、

5 .

≤ 0 m f _f

の場合をさす

の場合をさす

FM 波のスペクトル FM 波のスペクトル

導出の考え方

• 導出の考え方

– FM 波生成回路（直交変調器）への２つの入力信号のスペ クトルを導き、それらの cos, sin 変調後のスペクトルを足し クトルを導き、それらの cos, sin 変調後のス クトルを足し 合わせることで導く

直交変調器

⎤

⎡

[ ( ) ] ( ) _⎥⎦ ^⎤

⎢⎣ ⎡ ∫

s FM

c

k f t dt

A cos

＋

X

c

t ω

cos [ ^f

( ) ^t ]

( ) _⎥ ^⎤

⎢ ⎡ ^k ∫

^{f t dt}

A sin

スペクトルの導出困難！

X

ω t sin

( ) _⎥⎦ ^⎤

⎢⎣ ⎡

∫

c

k f t dt

A sin

ω t

sin

FM 波のスペクトル導出～１ FM 波のスペクトル導出～１

( ) ^{t A t}

f ( ) ^t = ^A cos ω ^t

f

=

cos ω

m FM

A

m = k

変調指数

m

m

= ω

変調指数

X

[ ( ) ]

[ ^{m t} ]

A

cos

sin ω

＋

X

c

t ω

cos [ ^f

( ) ^t ]

[ ^{m t} ]

A sin sin ω

ω t sin

[ ^{m t} ]

A

sin

sin ω

ω t

sin

FM 波のスペクトル導出～２ FM 波のスペクトル導出～２

FM変調波の複素ベ スバンド表現 FM変調波の複素ベースバンド表現

( ) ^{t A} [ ^{m t} ] ^jA [ ^{m t} ]

f

=

cos

sin ω

−

sin

sin ω

とすると、求めたいFM変調波のスペクトルは、

( )

( ) ^ω

BP

t F

f ⇔

f f

,

とすると、求めたいFM変調波のス クトルは、

( )

( ) ^ω

BP

c

t F

f

⇔

[ ^F ( ) ^{( )} ] ¹ { ^F ( ) ^F

( ) }

[ ^F

^ω ]

⁼ { ^F

( ^{ω − ω}

) ^{+ F}

( ^{− ω − ω}

) }

2

で与えられる。つまり、

( ) ^ω

BP

F

、

FM 波のスペクトル導出～３ FM 波のスペクトル導出～３

( )

BP c

m

e

A t

f

=

( ) ^{t = A} ∑

^{F e}

f ( ) ∑

−∞

=

=

n

n c

BP

c

t A F e

f

T jm t j t

∫

1

T

t t jn

jm

n

e e dt

F = T ∫

− ω ω

/

2 /

2 /

sin

1 1

( )

t m

t n

j

dt

T e

m

m

m f

= ∫

ω − π

ω π

ω ω

/ /

) sin

1

これを第１種ベッセル関数と

( )

=

FM 波のスペクトル導出～４ FM 波のスペクトル導出～４

結局、

^f

( ) ^{t = A}

_{∑ ∑}

^J

( ) ^m

^e

−∞

= n

f ,

両辺をフーリエ変換すると、

( ) ⁼

_∑

( )

^{( −}

⁾

BP

c

A J m n

F

ω 2 πδ ω ω

−∞

=

n となる。

実際のFM波のスペクトルは、

[ ( ) ( ) ] ( )

( )

[ ^F

^ω ]

^{= F}

( ^{ω − ω}

) ^{+ F}

( ^{− ω − ω}

)

より、±り、 ω_ccを中心とするスペクトルとなる。を中 す ク 。

FM スペクトルの一例 FM スペクトルの一例

( ) ^ω

F

( ) ^ω

F

ω ω_m

ω 0

( )

F

( ) ^ω

F

ω ω

0 ω_c

-ω_c

FM の帯域幅 FM の帯域幅

( )

B 2 1

定義 ^{B = 2} ( ^m

^{+ 1} ) ^ω

定義

上記定義に従うと、帯域B内に変調信号の全送信エネルギーの９０％以上 が含まれる。それを帯域と定めるのである。厳密には帯域は∞である。

m

mf

ω ω

= Δ ^より、

B = 2 Δ ω + 2 ω

m_f>>1ならば、周波数偏移⊿ω>>ω_mなので、

B ≈ 2 Δ ω

変調指数m_fが十分に大きい場合、FM変調波の帯域幅は被変調波の 帯域幅によらない。

角度変調波の電力 角度変調波の電力

( ) ^{t A} [ ^t ( ) ^t ]

f _c = _c cos ω _c − θ _s

( ) 1 ²

2

2 1

c

c t A

f =

2

となり 変調信号の振幅にのみ比例する となり、変調信号の振幅にのみ比例する。