第9、10回（FM変調）

通信方式　Ｈ１９－＃9,1 0

1

通信方式＃ 9 、＃１０

Ｈ１９－６－２２、２９

古川　浩

通信方式　Ｈ１９－＃9,1 0

2

情報伝送系

～アナログ音声信号の伝達例

アナログ情報源

伝送路 (channel)

再生されたアナログ情報源 　　　　　　　

帯域制限（ＬＰの Ｆ）

m

m ^

 ~



で標本化^m

T 

2 2

 1

　　　　　　　 帯域制限（ＬＰの

Ｆ）

m

m ^

 ~



波形整形

ＰＣ Ｍ復

号

送信機

受信機

ＰＣＭ

..1011011..

整合フィルタ 1,0 判定

..1011011..

高周波変調

（アップコンバータ）

高周波復調

（ダウンコンバータ）

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3

変（復）調の分類

アナログ

デジタル

ベースバンド変調 高周波変調

パルス変調（ 6.2 節～ 6.5 節） アナログ変調（３，４，５章）

パルス符号変調（７章） ディジタル（高周波）変調（８章）

Pulse Amplitude Mod. (PAM) Pulse Width Mod. (PWM) Pulse Position Mod. (PPM)

Pulse Code Mod. (PCM) Delta Mod. (_⊿M)

Delta-Sigma Mod. (_⊿-ΣM) Differential PCM (DPCM) Adaptive _{⊿M (A ⊿M)} Adaptive PCM (APCM) Adaptive DPCM (ADPCM)

Amplitude Mod. (AM) Frequency Mod. (FM) Phase Mod. (PM)

Single SideBand Mod. (SSB)

Amplitude Shift Keying (ASK) Frequency Shift Keying (FSK) Phase Shift Keying (PSK)

Quadrature Phase Shift Keying (QPSK) Quadrature Amplitude Modulation (QAM)

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4

角度変調 , Angle Modulation

( でも AM とは言わない！ )

   

 ^t   ^t 

A

t

A

t

f

s

c

c

c

c













cos

cos

搬送波 被変調波

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5

位相変調、 Phase Modulation [PM]

  ^{t A}  ^{t k f}   ^t 

f _c  _c cos  _c  _{PM s}

  ^{t k} _PM ^f _s   ^t

s ^



つまり、

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6

周波数変調、 Frequency Modulation [FM]

   

 

  _

 _





t

s

FM

c

c

c ^{t A t k f t dt}

f cos 

  ^{t k} _FM ^{t f} _s   ^{t dt}

s ^ _{  }



つまり、

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7

（角）周波数 ω とは・・・

  ^t

 ^{   t}

  ^{t k f}   ^t   ^t

dt

d

s c

s FM

c

^{ }



    

となり、周波数に情報を乗せている。 ゆえに周波数変調と呼ぶ

位相平面

定義

t

cos 

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8

PM _{と FM の類似性}

PM _{は   f   t}

dt

k d

dt t

d

s PM

s

^

 を被変調波とする FM とみなせる。

FM _{は }

_{ } t dt k

_

f

_{ } t dt を被変調波とする PM とみなせる。









^{ }

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9

角度変調波の生成法

     

  ^{t t A}   ^{t t}

A

t

t

A

t

f

c s

c c

s c

s c

c c













sin

sin

cos

cos

cos









＋ X

X

c

t

cos 

c

t

sin 

  t

A

cos 

  t

A

sin 

  t

f

より

直交変調器

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10

PM 波、 FM 波の生成回路

＋ X

X

c

t

cos 

c

t

sin 

 ^f

  ^t 

＋ X

X

c

t

cos 

c

t

sin 

 ^f

  ^t 

 k f   t 

A

cos

 ^{k f}   ^t 

A

sin

   ^

 



s FM

c

^{k f t dt}

A cos

   ^

 



s FM

c

^{k f t dt}

A sin

FM PM

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11

０－ IF 平面で眺めた PM 波と

FM _波

c

t

cos 

c

t

sin 

の係数成分 の係数成分

  t

f

k

c

t

cos 

c

t

sin 

の係数成分 の係数成分

PM _波 FM _波



 

t s

FM

^{f t dt}

k

A

_A

Im

Re

Im

Re

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12

狭帯域角度変調 (Narrowband

Angle Modulation)

     

 ^{k d}   ^t  ^{t A}  ^{k d}   ^t  ^t

A

t

t

A

t

t

A

t

f

c ang

c c

ang c

c s

c c

s c

c













sin

sin

cos

cos

sin

sin

cos

cos









1

 ^{ k}

^d   ^t

1

ang



k

このような角度変調を特に狭帯域

FM(PM) _という。

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13

狭帯域角度変調波の発生方法

～ AM 波との類似性

＋ X

X

c

t

cos 

c

t

sin 

 ^f

  ^t 

A

＋ X

X

c

t

cos 

c

t

sin 

 ^f

  ^t 

0

  t

f

A



  t

d

k

A

狭帯域角度変調

AM _変調

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14

狭帯域角度変調波と AM 波の類似

性

A

Im

Re ^A

Im

Re

 

f_s

  t

d

k

A

狭帯域角度変調波 AM _波

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15

FM _{波の変調指数}

     

 

  _

 _



 t

s FM

c FM c

c

^{t A t k f t dt}

f cos 

  ^{t A t}

f



cos 

被変調波として を考える

より、

 

 



 



m m m

FM c

c

A t

k

t

A 

 ^sin 

cos

m

m

m

f FM

A

m k







 



最大周波数偏移：変調指数、被変調波の振幅により変化

 ^f _c   ^t  _FM ^{ A} _c ^cos _ ^ _c ^{t  m} _f ^{sin } _m ^t _

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16

狭帯域 FM

狭帯域 FM とは、経験的に、

5

.

0

f 

m

の場合をさす

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17

FM _{波のスペクトル}

• _{導出の考え方}

– FM 波生成回路（直交変調器）への２つの入力信号の

スペクトルを導き、それらの cos, sin 変調後のスペク

トルを足し合わせることで導く

＋ X

X

c

t

cos 

c

t

sin 

直交変調器

 ^f

  ^t 

   ^

 



s FM

c

^{k f t dt}

A cos

   ^

 



s FM

c

^{k f t dt}

A sin

スペクトルの導出困難！

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18

FM 波のスペクトル導出～１

  t A t

f



cos 

＋ X

X

c

t

cos 

c

t

sin 

 ^f

  ^t 

 ^{m t} 

A

cos

sin 

 ^{m t} 

A

sin

sin 

m m FM f

A

m k

 

変調指数

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19

FM 波のスペクトル導出～２

FM 変調波の複素ベースバンド表現

とすると、求めたい FM 変調波のスペクトルは、

 

  ^

BP

c

^{t F}

f



 ^F

  ^ 

^{ F}

 ^{  }

 ^{ F}

 ^{   }



  ^

BP

F c _,

で与えられる。つまり、

  ^{t A} _ ^{m t} _ ^jA _ ^{m t} _

f



cos

sin 



sin

sin 

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20

FM 波のスペクトル導出～３

 

BP c

m

e

A

t

f



  _







n

t jn n c

BP

c

^{t A F e}

f

 

n

t m

t n j T

T

t t jn

jm n

m

J

dt

T e

dt

e

T e

F

m m

m f

m

m m f































 

/ /

) sin (

2 /

2 /

sin

1

1

これを第１種ベッセル関 数という。教科書の付録 １参照

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21

FM 波のスペクトル導出～４

結局、

  _

_{ }







n

t jn f

n c

BP

c

^{t A J m e}

f

両辺をフーリエ変換すると、

  _

   









n

m f

n c

BP

c

^{A J m n}

F

 2   

となる。 実際の FM 波のスペクトルは、

 ^F

  ^ 

^{ F}

 ^{  }

 ^{ F}

 ^{   }



より、 ±ω_c を中心とするスペクトルとなる。

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22

FM _{スペクトルの一例}

  ^

BP

F

ω 0

ω_m

  ^

F

0 ^ωc ω

-ω_c

複素信号なので必ずしも偶関数ではない

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23

FM _の帯域幅

 ^m _f  _m

B  2  1 

定義

上記定義に従うと、帯域 B 内に変調信号の全送信エネルギーの９０

％以上が含まれる。それを帯域と定めるのである。厳密には帯域は

∞である。

m

m





 

^{B  2    2 }

m_f>>1 ならば、周波数偏移⊿ ω>>ω_m なので、

B 2 ^{ }

変調指数 m_f が十分に大きい場合、 FM 変調波の帯域幅は被変調 波の帯域幅によらない。

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24

角度変調波の電力

  ^{t A}  ^t   ^t 

f _c  _c cos  _c   _s

  ²

2

2

1

c

c ^{t A}

f 

となり、変調信号の振幅にのみ比例する。