Mobiusの帯について
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(2) . ｆ Ｈｏｋｋａ ｉ ｆＥｄｕｃａ ｉｄｏ Ｕｎｉｖｅｒ ｉ ｉ Ｉ Ａ） Ｊｏｕｒｎａｌｏ ｔ ｔ ｔ ｓ ｏｎ（Ｓｅｃ ｏｎ ｌ ｙｏ. ｌ Ｖｏ ．２４ ．２ ， Ｎｏ. の帯について. Ｍ６ｂｉ ｕｓ. 藤. Ｊａｎｕａｒｙ ｌ９７４. 戸. 伊 佐 美. 北海道教育大学函館分校数学教室. ’ ｉ ｏｎ ｔｈｅ Ｎ［ ６ｂ ｕｓ ｓ Ｂａｎｄ ｌｓａ ｉ ＦＵＪ ・ＴＯ ］ ・ ・ ｆ Ｅｄｕｃａ ｄｏ Ｕｎｉｖｅｌ ｉ Ｄｅｐａｒ ｉ ｉ ｔ ｉ ｔｍｅｎｔｏｆ Ｎ１ ｔｈｅｍａ ｔ ｔ ｓ ｏｎ ｃｓ ａ ｅ Ｂｒａｎｃｈ ｙｏ ， Ｈａｋｏｄａｔ ， Ｈｏｋｋａ. Ａｂｓｔｒａｃｔ ｌ βれ ｄｅｎｏｔｅｓ ａ ｃ ｉｎｅｓ ｗｈ ｉｍｅｓ ｔ。ｒｓ ｉｏｎ， Ｌｅｔ ｕｓ ｄ ｄｅ βれ ａ１ｏｎｇ “⑦ ｉ ｌ ｉ ｉ ｔｈ “－ ｔ － ｃｈ ａｒｅ ｖ ｏｓｅｄ ｂａｎｄ Ｗｉ ｌ ｌ ｌｔｏ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｏ ｉ ｆ βれ １≦Ｚ≦た （ ｅ 刀 ｓ ｄｉ ｓ ｏｎ ｏｆ β （ ） ｖｉ “ ⑦ Ｐａｒａ ⑦ｄｅｎｏｔｅｓ ａ ｂａｎｄ ｏｆｔｈｉ ． （β ／ ，粥》. た＠， 粥）≦ 粥十１ ） ｓｅｅｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｎ ｔｈｉ ｓ ＰａＰｅｒ ． ，（ ｆ ｉ ｉｄｅｒ ｔ ｉｏｎ ｏ ｈ Ｗｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ａ β ｍｏｄｅ ｔｏｒｓ ｌ ｄ ｆ （β ／粥お ａｎｄ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｓｅｃｔ ｎ ｏｎ ｏ ｃ ｏ ｓ ｅ ｎ ａ ，. １≦Ｚ≦た＠，粥） ｛ （β／ ． ｝（ ） ．. １．. 序. Ｍ６ｂ ｉ ｕｓ の帯を， 切断 した時の規則性について考える. ２ ． 模 型について １枚の紙には， １つの記号を対応させる． １枚 の紙を ２ 箇の部分に切断しようと した時には， ２つ の記号を対応させる． 例え ば， １ ２. のようにすれ ばよい． 中央の線分 Ｚ は切断する線分を示す． １つの切断を予想 した， 半回ねじった 紙に対しては，. １. ２. ２. １. のように， 記号を対応させる． 以後， 上の模型の左端と右端を貼り合わせた時について考える． 予 想切断線 Ｚ の上の面 １から出発すると， （ ） ａ. １ ２. ＼. ２. ＼ １. ｂ ） 半回転する． （. . １. ２. ２. １. （６６）. 貼り合わせにより半回転する. .
(3) . 第２４巻 第２号. （ ） ｃ. 北海道教育大学紀要 （第２部 Ａ）. １ 」. ２. ／. メ. ｄ 半回転する． （ ）. ２. ９年１月 昭和４. 貼り合わせにより半回転する．. １. ｂ） ） と た ど っ て， 出 発 点 に 帰 る． こ の 時， ０ ５ 回 転ｘ４＝２ 回 転 して い る 模 の よ う に， （ ） ） ａ ｃ ，（ ，（ ，（ｄ ． ，. 型のどの部分か ら出発しても同じ結果となる， 従 って， 半回ねじって貼り合わせた紙を， 線分 ”こ 沿 っ て 切 断 す る と， ２ 回 転 の ね じれ を 持 っ た １ つ の 紙 と な る．. 次に， １回転ねじった紙を貼り合わせた時を考える， この時の模型は， １. ２. １. ２. Ｉ. ２. １. ２. １. ２. １. ２. と な る． Ｚ の左上の面１ から出発すると，. . ５ 回 転ｘ２＝１ 回 転 して い る こ こ で 貼 り 合 わせ の よ う に 矢 印 を た どり出 発 点 に 帰る． こ の 間 に， ０ ， ．. の行程では回転しない． Ｚ の下の面２から出発 した時も同様に考え られて， 上の面１から出発 した も のと 重 な り を 持 た な い． 従 っ て， Ｚ に 沿 っ て 切 既 した 時 夫 々， １ 回 転 の ね じれを 持 っ た ２ つ の 紙. ５ 回 転 ｘ２ ね と な る， 更 に， こ の ２ つ の 紙は 交 わ っ て い る， そ れ は 左 端 を 止 め て， 右 端 を 右 側 に， ０ ， じ っ た と す る と， １ ２. ※ ノー. ２. ２. １. １. メ メ～. Ｉ. ２. のように， 最初の段階では， １→１の上 方に， ２→２があり， 次の段階では， １→１の下方に， ２→２が あると， 考えられるからである． ５回 転ね じった紙を， 貼り合わせた時の切断については， 以上のように， 考察を続けると， １ ． １ ２. ２. １. １ １ ２. ２ １ １. ５ 回 転 ｘ８＝４ 回 転 の ね じれ を 持 っ た， １ つ の 紙 と な る しか も， 自 己 の ま わ り を， １ 回 転 し よ り， ０ ． ．. た結び目を作る． それは，. １ ２ １ ２ ２. １. ２. . １. のよ う に， １ の 面 を 凡 て 固 定 させ て 考え れ ば よ い．. ５回転×４＝２回転の 同様に して， ２回転ねじった紙を， 貼り合わせた時の切断による結果は， ０ ． ねじれを持った２つの紙となる， 又， ２つの紙は， ２回転交叉の状態にある． （６７）.
(4) . ｉ ｆＥｄｕｃａ ｉ ｉ Ｉ Ａ） ｉｖｅｒ ｉｄｏ Ｕｎ ｌｏｆ Ｈｏｋｋａ ｔ ｔ ｔ ｏｎ（Ｓｅｃ ｏｎ ｌ Ｊｏｕｒｎａ ｓ ｙｏ. ２４ ．２ ， Ｎｏ. ３．. ま. と. Ｊａｎｕａｒｙ ｌ９７４. め. １枚の紙の幅を， ０に近づけると， 線分となる． 図で示すと，. な る， ２ で 見 た よ う に， Ｍ６ｂｉ ｕｓ の帯の切既の結果は， ね じれと分離及び， 交叉状態で示される．. じれは， 面と しての性質であり， 交叉状態は， 線と しての性質である． 分離状態は， 連結性を考 るので， いづれであ ってもよい， 面か ら， 線分への極限移行で， 交叉状態に説明がつけ られる． ｕｓ の帯の， 横に切断した時， ， Ｍ６ｂｉ １. ２. ２. １. ÷－」÷ラ. ｚ. １. ２. ２. １. 貼 り 合 わせ 部分. なる． 又， ２回転のね じれを持つ場合， １ ２. ２. １. ー １ １ ２. な る，. 次に， １枚の紙を， 半回転ねじり， 貼り合わせたものを， ２個の線分 も Ｚ ２ で， 切断する時を考 る， 即 ち，. １ １. ３. ２. ２. ３. １. ら Ｚ２. る． あ ら に沿 っての切断により，１２１２１の部分は， 最初の状態を保つ． これは， 次のよう られる． 最初の状態の境界 （紙の， へり） と，１２１２１の部分の境界を， 上の模型で， 考える. なる． ２重に見える部分の上側の線は， 貼り合わせ部分である． 最初の状態の境界と，１２１２１ の. ２. ｍ. ２. 韮２. （６８）.
(5) . 第２４巻 第２号. ．. 北海道教育大学紀要 （第２部 Ａ）. 昭和４９年１月. のように， 対応させるとこの対応は， 同型対応となる． 故に，１２１２１ の部分は， 最初の状態を， 保 つ， 尚， 注 意 と して， Ｚ ，Ｊ２ は， １ つ の 線 分 で あ る， 又， Ｉ. ３. ２ －う ２ ３. １. 半回転. ３. Ｉ. －→ ２ ‐→ 一一 ２ ２ 一一. １. １. ３. １ 回転. ３. 等と， 記すことが出来る．. ０ ５ｘれ 回 転 ね じ っ た 紙 を， ／ ． ，Ｊ２ で， 切断した時，. ‘ ２. が， 奇数の時， Ｚ ２れｘ ．Ｊ２ は， １つの線 分となり， 境界の対応から， 最初の状態を保った紙と， （ ｏ ５＋１ ） 回転の， ねじれを持った紙とに分離される． ． “. 最後に， 以上のような考察から明らかとなる命題をまとめておく． 命題 ”×半回転のねじれを持った， １枚の紙を， 貼り合わせ， 紙のヘリとも， 又， 互に交わらな い， 粥 個の線分に沿って切断した時 １ （ ） ” が， 奇数の時. 粥 が， 偶数の時， 夢 １ 個の紙に分離し， その中の１つ は れ×半回転のねじれを持ち， 蝕 ， 凡 て， い づ れ も， （“十１） 回 転 の ね じれ を 持 つ， ー １ １ ー ｍ 十１ ２. ー. 侃 ＋１. 侃. ら. 伽 ‘２. . － １１ １ 」 』－ｌ. 伽. ２. ２. 粥十 １. １. Ｉ. 図のょぅむ こ ‐ もの， と， ， 夢 １ 個の 緯 ， 息 も， ぁ→［ （も も. 記 号を つ け る. た 醐 －） ，々 鰯 一： テー・ ， 結び目，. た 一（ ため ね 〆 鰯 →）誘 醐 ”コ チ ー１ ，結び目， も／ ］： テ ー・ ２ ）－ ・→［た＠ …・ ， 結 び目 と な る， こ こ で，. ね 』（も た ） ］： 号－・ ８ ，ぁ ／ ２ － ・ ， ） ・ ，・ ， も の十 ， 結び目， （６９）.
(6) . ｉｄｏ Ｕｎｉｖｅｒ ｉ ｉｏｎ（Ｓｅｃ ｉ Ｉ Ａ） ｌｏｆ Ｈｏｋｋａ ｔ ｔ ｊｏｕｒｎａ ｓ ｏｎ ｌ ｙｏｆＥｄｕｃａｔ. ｌ Ｖｏ ．２４ ．２ ， Ｎｏ. ｊａｎｕａ・ｙ ｌ９７４. ＝ま あ ね，・ ， を， ２重にして， 』 …， を，１重にして束ねたものに 詔， は， 琴 回転 ・ ・ぬ かー の交叉状態にあ って， 結び目を作 っているいることを示す． 粥 が， 奇数の時， 弓 」 個の紙に分離し， 凡て， “十１ 回転のね じれを持つ． 交叉状態 は 偶数 の時と， 同様で異なる点々も も. が， 自己自身に， 琴. 。. 回転の交叉状態にぁ って， 結び目を作. る こ と で あ る．. ２ （ ） ７ ２ が， 偶数の時. ５×れ 回 転 の ね じれ を 持 つ ”十１ 個 の 紙 に， 分 離 し， 凡 て が， ０ 夕 ． ． Ｉ. ｍ 十１. １. ２. ｍ. ２. ｍ. ２. ｍ. 侃 ＋１. ←た １. ‘ ．. ←た ３. Ｚ２. た４. ←. . ｍ十ｌ ←. Ｉ. た２. 図 の よ う に， ’ ”十１ 個 の 紙 に， た ” ２ ， ，． ，たｍ十， と， 記 号 を つ け る． ，た. （心 弱→偽， も ． ，』”） ÷， たふた 偽 れ）→（ ６ ， － － ；号， と な る． こ こでう. （心 弱 →（も た ４ ）÷ ・ ，．→ 』＋. とは ね れ ‐ を－ を， 夫々， １重にして束ねたものに， れ た 粛 号 回転の交叉をしてぃて， 且 つ， ん は ゑ に， 骨 回転の交叉を している， 又， 銃声２ ）→＠） ÷ は， 心 々 規 号 回転の交叉状態にあることを， 示す． ”ま ， 空集合を示す．. （７０）.
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