擬 ユ ー ク リ ッ ド空 間 内 の 極 小 超 曲 面 お よ びproper biconservative超 曲 面 に つ い て
首都大学東京大学院 理工学研究科 博士前期課程 数理情報科学専攻
加 納 周 平
目次
1 1.1 1.2 1.3 2
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
3
4
5
6
7
‑⊥∩∠
り0り0 ‑⊥n∠つ04沼4沼4沼4沼4 ‑⊥∩∠
rOrO ‑⊥n∠34
66ρUρU
研 究 の 概 要 と 主 結 果
導 入...
主 結 果...・...・...・...●..".●.."...
Englishsummary...
準 備
線 型 代 数...
多 様 体...
擬 リ ー マ ン 多 様 体̲...
部 分 多 様 体...
極 小 部 分 多 様 体...
弧 長 パ ラ メ ー タ...
SO(p,m‑p)×SO(q,n‑q)一 不 変 超 曲 面 の 平 均 曲 率 の 導 出(m≧2,n≧2,0≦p≦
m,0≦q≦n)
平 均 曲 率 関 数 の 計 算...
平 均 曲 率 関 数 の 導 出...
SO(p,m‑p)×SO(q,n‑q)一 不 変 超 曲 面 の 平 均 曲 率 の 解 析(m≧2,n≧2,0≦p≦
m,0≦q≦n)
常 微 分 方 程 式 の 解 析...
微 分 方 程 式 の 解 の 延 長 に 関 し て...
右 端 点 の 様 子(そ の1)...
右 端 点 の 傾 き...
解 の 左 側 の 延 長 に 関 し て
基 本 的 な 結 果 に つ い て...
初 期 値 の 取 り 方 に よ る 解 の 端 点 の 違 い に 関 す る 考 察...
Ilに 関 す る 考 察
Ilの 直 和 分 解...
」2つ 」3及 びK2つK3に よ る 端 点 の 挙 動 の 大 ま か な 分 類...
一 回 導 関 数 が い か な る 値 に 収 束 す る か
...
12に 関 す る 考 察...
CMC超 曲 面 に 関 す る 結 果
4.川4rOOゾつ﹂9090rO7180U
‑⊥‑⊥‑⊥‑⊥‑⊥‑⊥‑⊥ ‑⊥‑⊥凶4(∠∩∠∩∠ 1113688111446033333334444445
8
9
7.1CMC超 曲 面 の 存 在 証 明.
8.1
‑⊥∩∠り0/1
0UOUOUOU
..50
二 重 調 和 超 曲 面 に な る た め の 必 要 十 分 条 件 の 導 出51 二 重 調 和 写 像 の 必 要 十 分 条 件 の 導 出...51
Properbiconservative超 曲 面 の 解 析
Properbiconservative超 曲 面 の,傾 き に よ る 分 類
一1<Vo<0の と き ...
Vo≧0の と き...
‑1<Vo<1全 体 に つ い て ...
0ン0ゾ0ゾリ0り0[ひrOrOρUρU
1研 究 の概 要 と主結果
1.1導 入
本 研 究 で は,ユ ー ク リ ッ ド空 間 内 の 直 交 群 の 直 積 群0(m)×0(n)一 不 変 超 曲 面 の 研 究 を,擬 リー マ ン 多 様 体 多 様 体 に 拡 張 し て 研 究 を 行 っ た.本 研 究 の 礎 はHsiang及 びLawson[5]が 確 立 し た,lowcohomogeneityisometrygroupの 分 類 後 に 行 わ れ た 多 く の 研 究 に あ る.中 で もBombieri
ら が 行 っ た0(m)×O(n)一 不 変 完 備 極 小 超 曲 面 の 存 在 の 証 明[3]やAlencarら が2004年 に 行 っ た0(m)×0(n)一 不 変 完 備 極 小 超 曲 面 で か つ 安 定 な も の の 研 究 や そ の 方 法[1]は,極 小 以 外 の 0(m)×0(n)一 不 変 超 曲 面 を 研 究 す る 際 に も 多 く の 影 響 を 与 え て き た.ま た こ の30年 ほ ど で 二 重 調 和 写 像 の 研 究 がEellsら の 手 に よ っ て 行 わ れ,そ れ と 独 立 し て 二 重 調 和 部 分 多 様 体 に 関 す る 研 究 が 盛 ん と な っ た.二 重 調 和 部 分 多 様 体 の 研 究 の 原 動 力 と な っ て い る の が,B.Y.Chenが 提 唱 し た ユ ー ク リ ッ ド空 間 内 の 二 重 調 和 部 分 多 様 体 は 極 小 部 分 多 様 体 で あ る と い う 予 想 で あ る.こ の 予 想 に は 現 在 多 く の 研 究 者 が 取 り組 ん で お り,肯 定 的 な 解 決 が 見 込 まれ る が 最 終 的 な 結 論 に は 至 っ て い な い.近 年,こ の 予 想 を 擬 リ ー マ ン 多 様 体 に 拡 張 す る こ と が 盛 ん に な っ て お り,あ る 空 間 形 内 で は2 種 類 以 下 の 異 な る 主 曲 率 を 持 つ 部 分 多 様 体 で こ の 予 想 の 反 例 と な る も の が 登 場 し て き た が,4次 元 擬 ユ ー ク リ ッ ド空 間 内 に お い て,主 曲 率 が2種 類 以 下 で 極 小 で な い 二 重 調 和 超 曲 面 は 存 在 し な い こ
と が 知 られ て い る.
二 重 調 和 写 像 と な る 必 要 十 分 条 件 は,bitension場 が0と な る こ と で あ る.近 年 で は,bitension 場 を 部 分 多 様 体 の 接 方 向 と 法 方 向 に 分 解 し た と き そ の 接 方 向 が0と な る 条 件 をbiconservative部 分 多 様 体 と 呼 称 し,二 重 調 和 部 分 多 様 体 と調 和 部 分 多 様 体 の 本 質 的 な 違 い を 見 出 す 足 掛 か り に す べ く研 究 が 行 わ れ て い る.ま た 本 論 文 で は,極 小 で な いbiconservative部 分 多 様 体 をproper biconservative部 分 多 様 体 と 呼 称 す る.biconservative超 曲 面 と0(m)×0@)一 不 変 超 曲 面 の 関 係
と し て,Turgay[9]は(m+n)次 元 ユ ー ク リ ッ ド空 間 内 の 異 な る3種 類 の 主 曲 率 を も つ 完 備 な biconservative超 曲 面 は,0(m)×O(n)一 不 変 超 曲 面 ま た は 一 般 化 さ れ た シ リ ン ダ ー に 限 る こ と を 証 明 し た.本 研 究 で は,擬 ユ ー ク リ ッ ド空 間 内 の 異 な る3種 類 の 主 曲 率 を 持 つ 超 曲 面 で,調 和 写 像 で は な い が 二 重 調 和 写 像 で あ る 写 像 は 存 在 す る か と い う 問 い を 研 究 す る こ と を 動 機 と し,ユ ー ク リ ッ ド空 間 と 擬 ユ ー ク リ ッ ド空 間 の 違 い を 明 ら か に す る こ と を 目 的 と し て い る.具 体 的 に は, 擬 ユ ー ク リ ッ ド空 間 内 のSO(p,m‑p)×SO(q,n‑q)一 不 変 極 小 超 曲 面 の 分 類 とbiconservative 超 曲 面 の 部 分 的 な 分 類 を 行 っ た.ユ ー ク リ ッ ド空 間 の 場 合 と は 異 な り,擬 ユ ー ク リ ッ ド空 間 内 の SO(p,m‑p)×SO(q,n‑q)一 不 変 極 小 超 曲 面 は 埋 め 込 み に な る が 完 備 に は な ら な い こ と,極 小 で は な い がbiconservativeな 超 曲 面 と な る 解 が 存 在 す る こ と を 証 明 す る.本 研 究 の 将 来 性 と し て,第 一 にbiconservative超 曲 面 の 中 で 極 小 で は な い が 二 重 調 和 写 像 に な る 解 が 存 在 す る か 否 か と い う 取 り組 み が あ げ られ る.次 に,Chen予 想 の 研 究 で は 完 備 性 に つ い て の 議 論 も 重 要 と な る こ と か ら biconservative超 曲 面 の 解 が 完 備 な 超 曲 面 を 生 成 す る か と い う疑 問 に 取 り組 む 所 存 で あ る.
1.2主 結 果
Q置f1は 擬 ユ ー ク リ ッ ド空 間R郷 の 二 次 超 曲 面,7(s)=@(s),y(s))は 第 一 象 限 を 通 る 正 則 関 数 で(〆)2‑(yノ)2=1を み た す と し,
!:1×Q置f1×Q雛 圭 →R罫 ×Rび,(s,u,v)吟@(8)u,y(8)v) が は め 込 み で あ る と す る.
定 理3.2.3写 像!の 平 均 曲 率 関 数 は
H‑ m+蕩 一 、@‑Z/ttcur‑(m‑1)髪 一(n‑・)等)
で あ る.
定 理4.1.3!で 与 え ら れ るSO(p,m‑p)×SO(q,n‑q)一 不 変 極 小 超 曲 面 は,は め 込 み で あ る 限 り 擬 計 量 が 退 化 す る こ と は な い.(一 般 に 擬 リ ー マ ン 多 様 体 に お い て,写 像 が は め 込 み に な っ て い て
も 擬 計 量 が 退 化 す る こ と が あ る.)
定 理6.4.4!に つ い て 常 微 分 方 程 式H=0の 解 は 必 ず グ ラ フ に な る が 大 域 解 は 存 在 し な い.従 っ て 対 応 す る 非 退 化 なSO(p,m‑p)×SO(q,n‑q)一 不 変 極 小 超 曲 面 は 必 ず 埋 め 込 み に な る が 完 備 な
も の は 存 在 し な い.
定 理6.4.5!で 与 え ら れ るSO(p,m‑p)×SO(q,n‑q)一 不 変 極 小 超 曲 面 は 埋 め 込 み に な り,そ の 特 異 点 集 合 は 以 下 の い ず れ か の タ イ プ に な る.
Type1!に お い て(賜 二1が1点 に退 化 し極 小 部 分 多様 体 上 の特 異 点 集 合 と してQ饗f1が 現 れ る 部 分 が1箇 所 存 在 す る.
Type2!に お い て(賜 ■ が1点 に退 化 し極 小 部 分 多 様 体 上 の 特 異 点 集 合 と してQ貿f1が 現 れ る 部 分 が1箇 所 存 在 し,か つ,Q貿f1が1点 に退 化 し極 小 部 分 多 様 体 上 の特 異 点 集 合 と して Q鉱二1が 現 れ る部 分 が1箇 所 存 在 す る・
Type3!に お い てQ: ,二kが1点 に退 化 し極 小 部 分 多様 体 上 の特 異 点 集 合 と してQ貿f1が 現 れ る 部 分 が2箇 所 存 在 す る.
Type4!に お い てQ置f1×Qaこ 、 が1点 に退 化 し極 小 部 分 多 様 体 上 の 特 異 点 集 合 と して1点 の み に な る部 分 が1箇 所 存 在 し,か つ,Qa詰 が1点 に退 化 し極 小 部 分 多 様 体 上 の特 異 点集 合 と してQ羅f1が 現 れ る部 分 が1箇 所 存 在 す る.
定 理7.1.17(s)=(sinhs,coshs)に 対 し,!はCMC超 曲 面(H=‑1)を 与 え る.
定理8.1.5!が 二重調和写像になるための必要十分条件は,
嘗+(m‑・)響+(n‑・)辮+(嘗+(m‑・)響+(n‑・)辮)H
@‑z/rr…+(m‑1)誓+(n‑1)蕩)誓
0= α
=
定 理8.1.6!に お い てR7×R写 内 のSO(p,m‑p)×SO(q,n‑q)一 不 変 な 二 重 調 和 か つCMC超 曲 面 は 極 小 超 曲 面 に な る.
定 理9.4.2!で 与 え ら れ るSO(p,m‑p)×SO(q,n‑q)一 不 変 超 曲 面 に お い て,極 小 で な は な い が biconservativeな も の が 存 在 す る.
参 考 資 料:
SO(p,m‑p)×SO(q,n‑q)一 不 変 極 小 超 曲 面 を 生 成 す る 解 曲 線
影
{pt}×Q鉱 二b(。)・
シ
{pt}×Q箪 こ㌧(。)・
0 Xl
陥1×{pt}
図1Type1
0 Xl
噺1×{pt}
図2Type2
y{
pt}× 艦(。)、
シ
0 Xl
Q撫1×{pt}
図3Type2
OXoul
Q撫1×{pt}Q郷 爵1×{pt}
図4Type3
〃
OXl
{pt}×{pt}Q撫1×{pt}
図5Type4
1.3Englishsummary
Thestudyofminimalsubmanifoldshasalonghistory.Oneofthemostfamousexamples ofminimalsubmanifoldsinEuclideanspaceRMisacatenoid,whichisanO(m‑1)‑invariant minimalhypersurface.AfterHsiangandLawson,sworkonlowcohomogeneitygroup,ome
geometersstartedstudyingonO(m)×0(n)‑invarianthypersurfacesofRm×Rnラwhichisa generalizationofcatenoid.Forexample,Alencaretal.[1]classi丘edO(m)×0(n)‑invariant minimalhypersurfaces.TherearealotofworksonbiharmonichypersurfacesofRm.Oneof themostimportantproblemsbetweenminimalsubmanifbldsandbiharmonicsubmanifbldsis theB.Y.Chenconjecture.InrecentstudyofY.DongandY.‑L.Ou,[4]theredoesnotexist anon‑minimalbiharmonichypersurfaceofsemi‑EuclideanspaceR詰whichhasdiagonalized shapeoperatorwithatmosttwoprincipalcurvatures.Inthispaperラfirstly,wehaveaclassi‑
ficationofSO(pラm‑p)×SO(q,n‑q)‑invariantminimalhypersurfacesofR郷 ×R3.Secondly,
weshowanexplicitexampleofSO(p,m‑p)×SO(q,n‑q)‑invariantCMChypersurfaceof R郷 ×R写.Thirdly,weobtaintheODEsothatSO(p,m‑p)×SO(q,n‑q)‑invarianthypersur‑
facesofR7×R写isbiharmonic.Fourthly,weshowanSO(p,m‑p)×SO(q,n‑q)‑invariant
biharmonicCMChypersufaceofRβ ×R3isminimal.Finally,weshowthatthereexist
SO(p,m‑p)×SO(q,n‑q)‑invariantnon‑minimalbiconservativehypersurfacesofR罫 ×R写.
Weconsideranimmersion
!1×Q貿f1×Qび,ゴ →R郷 ×R写,(8,u,v)ト 〉(u(s)u,y(s)v),
wh・ ・eQ貿fli・aquad・i・hypersu・facein町and7(・)一@(・),y(・))i・a・egularcu・v・with x(s)>0,y(s)>0,(cu')2‑(yノ)2=1.Weobtainthemeancurvatureof!.
Theorem32.3Themeancurvatureof!is
H= 1
m十n‑1 (〃‑y・ ・u・一(m‑・)%1‑(n‑1)X「)・
Maintheorem4.1.3While!doesnothaveasingularset,theinducedmetric!*gisnot degenerate.
Maintheorem6.4.5Forgivenintegersm,n≧2,anynon‑extendableSO(p,m‑p)×
SO(q,n‑g)‑invariantminimalhypersurface.MIgivenby!ofR罫 ×R写isnotcompletebut
embeddedandoneofthe飼lowingtypes:
Typ・1‑M・ha・ ・n・uniqu・ ・ingularsetwh・ ・e!d・g・n・ ・at・Q腸t・ap・int・
Typ・2‑M・ha・ ・n・uniqu・ ・ingularsetwh・ ・e!d・g・n・ ・at・Q腸t・ap・intandha・ ・n・uniqu・
・ingularsetwh・ ・e!d・g・n・ ・at・Q饗flt・ap・int・e・pectiv・ly・
Typ・3‑M・ha・exa・tlytw・ ・ingularset・wh・ ・e!d・g・n・ ・at・Q尉t・ap・int・
Typ・4‑M・ha・ ・n・uniqu・ ・ingularsetwh・ ・e!d・g・n・ ・at・ 畷f1×Q3
,二lt・ap・intandha・
・n・uniqu・ ・ingularsetwh・ ・e!d・g・n・ ・at・Q3
,二lt・ap・int・e・pectiv・ly・
Maintheorem7.1.10r(8)=(sinh8,cosh8)satis丘es
H‑ m+≒‑1(・;11z/1‑z/11xt‑(m‑・)誓 一(n‑1)X')一 一1・
Therefore,!givesanSO(p,m‑p)×SO(q,n‑q)‑invariantCMChypersurfaceofR饗 ×R3.
Theorem8.1.5Forgiven!,anSO(p,m‑p)×SO(q,n‑q)‑invarianthypersurfaceM20f
R郷 ×R3isabiharmonichypersurfacesifandonlyif7(s)=(x(8),y(8))satisfiesthefbllowing systemofODE:
留+(m‑・)髪 誓+(n‑1)募 誓+(留+(m‑1)髪 誓+(n‑1)募 誓)H‑・ ・
@一 桝+(m‑1)%'+(n‑1)葺)誓 一・・
Maintheorem8.1.61fM2isanSO(p,m‑p)×SO(q,n‑q)‑invariantbiharmonicCMC hypersurfaceラthen‑M2isminimal.
Maintheorem9.4.2ThereexistSO(p,m‑p)×SO(q,n‑q)‑invariantnon‑minimalbicon‑
servativehypersurfaces.
Reference:Theprofilecurvesof
SO(p,m‑p)×SO(q,η,‑g)‑invaritantminimalhypersurfaces
ツ
{pt}×Q昆 二㍉(。)・
〃
{pt}× 鰐 こし(。)・
0 CUl
Q㌶ 爵1×{pt}
図6Type1
0 [Vl
Q撫1×{pt}
図7Type2
ツ 囲 × 艦(。)、 〃
0 Xl
Q撫1×{pt}
図8Type2
OXoXl
Q既1×{pt}噛1×{pt}
図9Type3
〃
OXl
{pt}×{pt}Q撫1×{pt}
図10Type4
2準 備 2.1線 型 代 数
定 義2.1.1.VをR上 のm次 元 ベ ク トル 空 間 と す る.こ の と き,V上 で 定 義 さ れ た 対 称 双 線 型 形 式 κ が
● ω ∈Vを 任 意 に と る.0で な い 任 意 のv∈Vに 対 しk(v,w)=0な ら ばw=0で あ る.
を 満 た す と き,κ は 非 退 化 で あ る と い う.
定 義2.1.2.VをR上 のm次 元 ベ ク トル 空 間 と し,k:V×V→Rを 非 退 化 な 対 称 双 線 型 形 式 と す る.こ の と き,関 数
h:v→R,vト>k(v,v)
を,κ に よ っ て 定 ま る 対 称 一 次 形 式,ま た は 単 に 対 称 一 次 形 式 と い う.
命 題2.1.3.VをR上 のm次 元 ベ ク トル 空 間,kは 非 退 化 な 対 称 双 線 型 形 式 と し,h:V→Rを κ に よ っ て 定 ま る 対 称 一 次 形 式 と す る.こ の と き
(1)Vの あ る 基 底{Vl,̲,Vm}が 存 在 し,hは
ん(α・"・+…+αn"m)一 一α?+… 一 α碁+α 舞+、+…+嶋 の 形 に な る.
(2)(シ ル ベ ス タ ー の 慣 性 法 則)(1)に お い て,負 の 項 の 個 数pは 基 底 の 取 り方 に よ ら ず ん の み に よ っ て 決 ま る.
定 義2.1.4.命 題2.1.3のpをh及 びkの 符 号 と い う.
2.2多 様 体
定 義2.2.1(ベ ク ト ル 束).E,Mを 多 様 体 と す る.(70Q級 写 像 π:E→Mに 対 し,組(M,E,π) が 階 数 γ の ベ ク トル 束 で あ る と は,
(1)各x∈Mに 対 し,π 一1(cu)=E、cと 定 義 す る と き,E、cはr次 元 ベ ク ト ル 空 間 で あ る.
(2)Mの 開 被 覆{σ α}α∈A及 び 微 分 同 相 写 像 φα:π 一1(σ α)→ σα ×R「 が 存 在 し,次 を 満 た す.
(2‑1)Pl:σ α ×R「 → σα を 射 影 と す る と き,次 の 図 式 は 可 換 に な る.
π一・(σα)車 σ α ×R・
π↓ ↓Pl
σα=σ α
(2‑2)p2:Uα ×R「 →R「 を 射 影 と す る と き,各x∈ σα に 対 し 写 像p20φ αIE。,:瑞 →R「 は ベ ク トル 空 間 と し て 線 型 同 型 写 像 で あ る.
微 分 同 相 写 像 φα:π 一1(σ α)→ σα ×R「 を 局 所 自 明 化 と い う.ま た σα ∩ σβ が 空 で な い と き, 写 像9α β:σ α ∩ σ β →GL(r,R)を
9αβ@)一(P、 ・ φαIE。,)・(P、 ・ilβ1E。)‑1
と 定 義 し,こ れ を ベ ク トル 束(M,E,,π)の 変 換 関 数 と い う.逆 にMの 開 被 覆{σ α}α∈A及 び 写 像 属{gα β:σ α ∩ σβ →GL(r,R)1α,β ∈A}が コ サ イ ク ル 条 件 を 満 た す と き,M上 に ベ ク ト ル 東
を 構 成 で き る.
例2.2.2.各x∈Mに お け る 接 ベ ク ト ル 全 体 の な す 集 合 の 和 をTM=Ux∈MT㌃Mと 定 義 す る.
射 影 を
π:TM→M,v∈TmMに 対 し π(v)=c
と 定 義 す る と(‑M,TM,π)は ベ ク トル 東 に な る.
定 義2.2.3.(M,TM,π)をMの 接 ベ ク ト ル 束 あ る い は 単 に 接 ベ ク ト ル 束 と い う.
命 題2.2.4(引 き 戻 し 束).Nを 多 様 体,(.M,E,π)を ベ ク ト ル 束 と し,!:N→MをCOO級 写 像 と す る.こ の と き,集 合
!*E‑{@,")∈N×Elf(x)一 π@)}
に 対 し,射 影 を πf*E:!*E→N,(x,v)ex,Nの 開 被 覆 を{V.=!‑1(σ α)}α ∈A,変 換 関 数 を
9島E‑9α β ・flv.nV, で 定 義 す る こ と に よ り(N,!*E,π!*E)は ベ ク トル 束 に な る.
定 義2.2.5.組(N,!*E,πf*E)を 引 き 戻 し束 と い う.
注 意2.2.6.一 般 に ベ ク トル 束(.M,El,π1),(.M,E2,π2)が 与 え ら れ て い る と き,テ ン ソ ル 代 数 の 知 識 を 用 い る こ と に よ りElの 双 対 ベ ク トル 束Ef,直 和ElOE2,直 積El⑭E2,ウ ェ ッ ジ 積 El〈E2が 構 成 で き,M上 の ベ ク トル 束 と し て 定 ま る.
定 義2.2.7.ベ ク トル 束(M,E,π)に 対 し,00c級 写 像 σ:.M→Eが π○σ=idMを 満 た す と き, σ を 切 断 と い い,切 断 全 体 の 集 合 をr(E)で 表 す.
定 義2.2.8.(.M,E,π)を ベ ク トル 束 とす る.線 型 写 像 ▽:r(E)→r(T*M⑭E)が ベ ク トル 東E の 接 続 で あ る と は,任 意 の σ ∈r(E)及 び!∈CO。(M)に 対 し,ラ イ プ ニ ッ ツ 則
▽ げ σ)=!▽ σ+ガ ⑭ σ(た だ し ガ は!の 全 微 分)
を 満 た す こ と こ と で あ る.ま た,X∈r(TM)に 対 し(▽ σ)(X)を(▽xσ)で 表 し,Xに よ る σ の 共 変 微 分 と い う.特 にE=TMの と き,▽ をM上 の 接 続 と い う.
命 題2.2.9.Mを 多 様 体 と し,▽ をM上 の 接 続 と す る.こ の と き,写 像
R:r(TM)×r(TM)×r(TM)→r(TM),(X,}〜Z)ト ー〉▽x▽ γZ‑▽y▽xZ‑▽[x ,γ]Z は(1,3)型 の テ ン ソ ル 場 に な る.
定 義2.2.10.Rを 接 続 ▽ の 曲 率 テ ン ソ ル 場 と い う.
定 義2.2.11.(M,E,π)を ベ ク トル 束 と す る.各x∈Mに 対 し 瑞 上 の 双 線 型 形 式 砺 を 対 応 さ せ る 対 応 κ が,
● 任 意 のX,Y∈r(TM)に 対 し,写 像
k(x,y):M→R,M→ 砺(Xxラ}の がCO。 級 関 数 に な る,
を 満 た す と き,kをE上 の 双 線 型 形 式 と い う.ま た 各x∈Mに 対 し 砺 が ベ ク トル 空 間 の 双 線 型 形 式 の 意 味 で 対 称 双 線 型 形 式 で あ る と き,kは 対 称 双 線 型 形 式 で あ る と い う.更 に,各x∈Mに 対 し 砺 が ベ ク トル 空 間 の 双 線 型 形 式 の 意 味 で 非 退 化 で あ る と き,κ は 非 退 化 で あ る と い う.
2.3擬 リ ー マ ン 多 様 体
以 下,多 様 体Mの 次 元 はmで あ る と す る.
定 義2.3.1.Mを 多 様 体 と しTMを そ の 接 束 と す る.TM上 の 非 退 化 対 称 双 線 型 形 式gをMの 擬 計 量 で あ る と い い,組(M,g)を 擬iリ ー マ ン 多 様 体 と い う.
定 義2.3.2.(M,g)を 擬 リー マ ン多 様 体 と す る.0で な い 接 ベ ク トルXが
●g(X,X)>0が 成 立 す る と き,接 ベ ク トルXは 空 間 的 で あ る と い う,
●g(X,X)=0が 成 立 す る と き,接 ベ ク トルXは 光 的 で あ る と い う,
●g(X,X)<0が 成 立 す る と き,接 ベ ク トルXは 時 間 的 で あ る と い う.
命 題2.3.3.(M,g)を 擬 リ ー マ ン 多 様 体 と す る.こ の と き各x∈Mに 対 し,シ ル ベ ス タ ー の 慣 性 法 則 よ り計 量gに は 符 号p(0≦p≦m)が 定 ま る.こ の 符 号pはx∈Mの 取 り方 に よ ら な い こ
と が 分 か る.
定 義2.3.4.こ のpを(M,g)の 符 号 と い う.
特 にp=0の と き,(.M,g)は リ ー マ ン 多 様 体 で あ る.従 っ て 擬iリ ー マ ン 多 様 体 は リ ー マ ン 多 様 体 の 一 般 化 で あ る.以 下,擬 リー マ ン 多 様 体(M,g)の 符 号 はp(0≦p≦m)と す る.
命 題2.3.5.(、M,g)を 擬 リ ー マ ン 多 様 体 と す る.こ の と きT誌Mに は 次 の 条 件 を 満 た す 基 底 (e1,...,em)が 存 在 す る.
(1)g(ei,ei)=‑1(0≦i≦p)
(2)g(eゴ,eゴ)=1(p一 ト1≦ 」 ≦m) (3)9(ei,eゴ)=0(i≠ ブ)
こ の3条 件 を 満 た す 基 底 を,T㌃Mの 正 規 直 交 基 底 と い う.
定 義2.3.6.Rmの 座 標 を@1,̲,Xm)と 置 く.0≦p≦mに 対 し てRmに 擬i計 量
9‑一 Σ 鰐+Σ 鰐
i=1i=P十1
を 入 れ た 擬 リ ー マ ン 多 様 体 を,符 号pのm次 元 擬 ユ ー ク リ ッ ド空 間 と い いR郷 で 表 す.特 に p=0の と き,m次 元 ユ ー ク リ ッ ド空 間 で あ る.
定 義2.3.7.Rmに
P
対 し,SO(p,m‑p)={M∈M(m,R)lg(Mx,My)=g(x,y)ラdetM=1}
を 擬 特 殊 直 交 群 と い う.
リー マ ン 多 様 体 の 場 合SO(m)は コ ンパ ク トで あ る が,符 号 が1≦p≦m‑1の 擬 リ ー マ ン 多 様 体 の 場 合SO(p,m‑p)は コ ン パ ク トで は な い.ま た 連 結 成 分 を2個 持 つ こ と が 知 られ て い る.
定 義2.3.8.R郷 に 対 し,集 合Q郷71を
Q㌫1‑{x∈Rmg(綱 一r}(r∈R) と 定 義 し,二 次 超 曲 面 と 呼 ぶ.
定 義2.3.9.(M,g)を 擬 リー マ ン多 様 体 と す る.こ の と き,多 様 体Mに 擬 計 量
h=‑9
を 入 れ た 空 間(M,ん)を,(M,g)のanti‑isometricな 空 間 と い う.
命 題2.3.10(レ ビ ・チ ビ タ 接 続).(、M,g)を 擬 リ ー マ ン 多 様 体 と す る.こ の と きM上 の 接 続 ▽ で,任 意 の ベ ク ト ル 場X,Y,Zに 対 し て2条 件
(1)X(9(y,Z))=9(▽x}〜Z)+9(}〜 ▽xZ) (2)▽xY‑▽yZ‑[X,Y]=0
を 満 た す も の が 唯 一 存 在 す る.こ の ▽ を 擬 リ ー マ ン 多 様 体(M,g)の レ ビ ・チ ビ タ 接 続 と い う.
命 題2.3.10の 条 件(1)を 接 続 が 計 量 を 保 つ と い い,(2)を 振 率 が0で あ る,ま た はtorsion‑free で あ る と い う.
定 義2.3.11.(、M,g)を 擬 リ ー マ ン多 様 体 と し,!を 、M上 のCO。 級 関 数 と す る.こ の と き,M上 の ベ ク トル 場Xに 対 し
g(grad!,X)=df(X)(た だ しdfは!の 全 微 分) を 満 た す ベ ク トル 場grad!を!の 勾 配 ベ ク トル 場 と い う.
定 義2.3.12.(.M,g)を 擬iリ ー マ ン 多 様 体 と し,▽ を レ ビ ・チ ビ タ 接 続,Xを 一M上 の ベ ク トル 場 と す る.こ の と きM上 の 任 意 の ベ ク トル 場Xl,X2に 対 し
divX‑t・((X・,X・)eg(▽x,X,X・))
をXの 発 散 と い う.
定 義2.3.13.(.M,g)を 擬iリ ー マ ン 多 様 体 と し,▽ を レ ビ ・チ ビ タ 接 続,!をM上 のCOO級 関 数 と す る.
(1)△!=div(grad!)と 定 義 し,!の ラ プ ラ シ ア ン と い う.
(2)!が △!=0を 満 た す と き,!は 調 和 関 数 で あ る と い う.
ま た,各x∈.Mの 近 傍 で 局 所 的 な 正 規 直 交 ベ ク トル 場 を{el,̲,em}と す る.こ の と きgrad!, divx及 び △!は
9・ad!一 Σ ・・df(・・)・・,
㌃1
divX一 Σ ・・9(▽ 。、X,・ の
㌃1
△!一 ΣEl(・ ・(・・f)一(▽ 。、・・)!)(た だ し ・1‑9(・1,・ ・)‑1ま た は 一1)
i=1
と 記 述 で き る.
2.4部 分 多 様 体
以 下,多 様 体Sの 次 元 をn(n≦m)と す る.
定 義2.4.1.(1)あ るCOO級 写 像!:S→‑Mが 存 在 し て,各x∈Sに 対 し,そ の 微 分 写 像
!。:乃 θ →Tf(x)、Mの 階 数 がSの 次 元 と 等 し く な る と き,SはMの は め 込 み 部 分 多 様 体 ま た は 単 に 部 分 多 様 体 で あ る と い い,!は は め 込 み で あ る と い う.
(2)!:S→ 、Mが は め 込 み で あ る と す る.!が 単 射 で あ る と き,SはMの 埋 め 込 み 部 分 多 様 体 で あ る と い い,!は 埋 め 込 み で あ る と い う.
定 義2.4.2.(M,g)を 擬 リー マ ン 多 様 体 と し,!:S→Mが は め 込 み で あ る と す る.こ の と き 各 釦 ∈ θ に お い て,
9。(x,y)‑9f(。)(!・x,!・y)(∀x,Y∈T.s)
と 定 義 す る こ と に よ り,TS上 の 対 称 双 線 型 形 式gが 定 ま る.gが 非 退 化 と な る と き,gをS上 の
!に よ る 引 き戻 し 計 量,ま た は 単 に 引 き戻 し 計 量 ま た は 誘 導 計 量 と い い,!*gで 表 す.
命 題2.4.3.Q饗71(r≠0)は 包 含 写 像
L:Q郷1→R郷
に よ っ て 非 退 化 な 誘 導 計 量L*gが 入 り,(Q㌫1,L*g)はm‑1次 元 擬 リ ー マ ン 多 様 体 に な る.ま たr>0の と き(Q㌫1,L*9)の 符 号 はp,r<0の と き(Q羅71,L*g)の 符 号 はp‑1に な る.ま た r=0の と き は 原 点 で 特 異 点 を 持 つ 錐 に な り,か つ 擬 計 量 が 退 化 し擬 計 量 に な ら な い.
定 義2.4.4.(M,g)を 擬 リ ー マ ン 多 様 体 と し,SをMの 部 分 多 様 体,!:S→Mを は め 込 み と し
!*gを 誘 導 計 量 とす る.こ の と き,各x∈Sに 対 し
N.S={X∈Tf(x)Ml任 意 のy∈ 乃 θ に 対 し,g(X,!。y)=0}
と 定 義 し,1隔 θ をSの 点xに お け る 法 ベ ク トル 空 間 と い う.
命 題2.4.5.NS=uxEslVxSは ベ ク トル 束 に な る.こ れ をSの 法 束 と い う.
法 ベ ク トル 空 間 の 定 義 と!*gの 非 退 化 性 よ り,引 き戻 し の 接 束 とSの 接 束 の 間 に 直 和 関 係
!*TM=TSOIvs が 成 立 す る.
2.5極 小 部 分 多 様 体
以 降 で は,特 に 断 ら な い 限 り擬 リ ー マ ン 多 様 体(M,g)の レ ビ ・チ ビ タ 接 続 を ▽ で 表 す.
命 題2.5.1.(M,g)を 擬 リ ー マ ン 多 様 体 と し,SをMの 部 分 多 様 体 と す る.こ の と き,S上 の ベ ク トル 場X,Yに 対 し て
▽xY=DxY十h(XラY)(DxY∈r(TS)ラh(X,Y)∈r(NS))
と 分 解 す る と,Dは(S,!*g)の レ ビ ・チ ビ タ 接 続 に 一 致 し,hは 法 ベ ク トル 束 に 値 を も つ 対 称 双 線 型 形 式 に な る.
定 義2.5.2.定 理2.5.1で 定 義 さ れ るhを,Sの 第 二 基 本 形 式 と い う.
命 題2.5.3.(M,g)を 擬iリ ー マ ン 多 様 体 と し,SをMの 部 分 多 様 体,XをSの ベ ク トル 場,Nを Sの 法 ベ ク トル 場 と す る.Nの,X方 向 に 関 す る 接 続 ▽xNを
▽xN‑一!。(ANX)+▽f .xN(‑ANX∈r(TS),▽kN∈r(NS)) と 直 和 分 解 す る と,.4Nは 各x∈Sに 対 し
(AN)、e:T売s→T売s
を 定 め,そ れ は 線 型 写 像 に な る.一 ・方 ▽ ⊥ は 法 束 の 共 変 微 分 に な り,任 意 の ξ,η∈r(NS)及 び 任 意 のX∈r(TS)に 対 し,
(!。X)9(ξ,η)=9(▽ 六xξ,η)+9(ξ,▽f.xη)
が 成 立 す る.更 にANと 第 二 基 本 形 式 と の 関 係 と し て,S上 の ベ ク トル 場X,Yに 対 し 9(!.(ANX),!*y)=9(ん(X,y),N)
が 成 立 す る.
定 義2.5.4.命 題2.5.3に お け るANをSの 型 作 用 素 と い い,▽ ⊥ をSに お け る 法 接 続 と い う.
定 義2.5.5.(M,g)を 擬 リー マ ン多 様 体,SをMの 部 分 多 様 体 と す る.第 二 基 本 形 式hの 跡 をS の 次 元 で 割 っ た も の をSの 平 均 曲 率 ベ ク トル 場 と い い,方 で 表 す.ま た,方=0を 満 た す と き, SはMの 極 小 部 分 多 様 体 で あ る と い う.
(S,!*g)の 各x∈Sの 近 傍 に お い て,誘 導 計 量!*gに よ り正 規 直 交 な 局 所 的 な ベ ク トル 場 を {,、,̲,研 で 表 す と,平 均 曲 率 ベ ク トル 場 方 は
方一礁 輪 の(た だし晒 岡 一・または一・)
と 記 述 で き る.
定 義2.5.6.(M,g)を 擬 リー マ ン 多 様 体,SをMの 超 曲 面 と す る.平 均 曲 率 ベ ク トル 場 がSの 単 位 法 ベ ク トル 場 の 定 数 倍 に 一 致 す る と き,CMC超 曲 面 と い う.
2.6弧 長 パ ラ メ ー タ
定 義2.6.1.(M,g)を 擬 リ ー マ ン 多 様 体 と し,1をR内 の 開 区 間,7:1→M,tety(t)を000な 曲 線 と 仮 定 す る.
(1)各t∈1に 対 し,ゲ(t)≠0が 成 立 す る と き,7は 正 則 で あ る と い う.
(2)各t∈1に 対 し,g(7ノ(t),7'(t))≠0が 成 立 す る と き,7はnon‑nullで あ る と い う.
ま た7がnon‑nullな ら ば7は 正 則 で あ る.
命 題2.6.2.7:1→M,tト>7(t)が 定 義2.6.1(2)の 条 件 を 満 た す と き,あ る 微 分 同 相 写 像 8:tes(t)が 存 在 し,パ ラ メ ー タ をsで 取 り 換 え た 曲 線 を7(s)に よ っ て 表 す と,任 意 のs∈8(1)
に 対 し
9(d薦7(8),誌 穐))‑1ま た は 一1 が 成 立 す る.こ の 新 し い パ ラ メ ー タ8を,弧 長 パ ラ メ ー タ と い う.
命 題2.6.3(Fr6netequation).(Σ,g)を2次 元 擬 リ ー マ ン 多 様 体 と し,7:1→ Σ を 弧 長 パ ラ メ ー タ に よ っ て パ ラ メ ー タ 付 け さ れ たnon‑nullな 曲 線 と す る.こ の と き,ゲ に 対 す る 単 位 法 ベ ク ト ル 場yに 対 しCOO級 関 数 κ が 存 在 し,
{齢
(た だ しc=9(y,u)9(7',7ノ))が ∫ に お い て成 立 す る 証 明 は参 考 文 献[2]を 参 照.
3SO(P,m‑P)×SO(q,n‑q)一 不 変 超 曲 面 の 平 均 曲 率 の 導 出
(m≧2,η 、≧2,0≦.Z)≦m,0≦(1≦n)
符 号Pのm次 元 擬 ユ ー ク リ ッ ド空 間 を 町 一(Rm,9お 一)=一 Σ 覆̲1鰐+Σ 窪P+1鰐)と 定 義 し,町 とR:の 直 積 空 間 を 町 × 町 一(Rm+n,9‑9卿+gハ と 定 義 す る.写 衡 を
!・1×Q砺1×Q凋 →R罫 ×Rび,(ち 姻 吟@(t)L・(U),y(t)・2@))
(た だ し1は 開 区 間 で,Ll:Q貿 丹1→R郷62:Q罫 湯 →R写 は そ れ ぞ れ 包 含 写 像,CU(t),y(t)はCOO 級 正 値 関 数,恢 の=@(t),Z,t(t))は 正 則 曲 線,rl=1ま た は 一1,か つr2=1ま た は 一1)と 定 義 す
る.こ の 写 像 に よ っ て は め 込 ま れ る 多 様 体 が 極 小 超 曲 面 に な る た め にcu(t),y(t)が 満 た す べ き微 分 方 程 式 を 導 出 す る.擬iユ ー ク リ ッ ド空 間R郷 ×R写 はR盈̲p×R鴛̲qにanti‑isometricで あ る こ と,そ し て 極 小,二 重 調 和 長 曲 面 お よ びbiconservativeと い う性 質 はanti‑isometricな 変 換 に よ っ て 保 存 さ れ る た め 以 下 の い ず れ か の 場 合 の み を 考 え れ ば 良 い.
Ca・e1!・1×Q揚f1×Q: ,i'→R郷 ×R3,(ち 姻 →@(t)L・(u),〃(t)・2(v)) Ca・e2!・1× 艦f1×Q腸 →R郷 ×R3,(t,・L,v)→@(t)L・(u),〃(t)・2(v))
従 っ て,T=1ま た は 一1と し
!・1× 畷f1×q:,F'→R郷 ×R3,(ち 姻 ト〉@(t)L・(U),y(t)L2(V))
と し て こ の 写 像 に よ っ て は め 込 ま れ る 多 様 体 が 極 小 超 曲 面 に な る た め に ∬㈲,〃 ㈲ が 満 た す べ き微 分 方 程 式 を 導 出 す る.
3.1平 均 曲率 関数 の 計 算
Rm+nの 標 準 座 標 を@1,̲,Xm,肋,̲,阪)で 表 す.次 に 擬 リ ー マ ン 多 様 体(Q饗f1,・ 士9罫)の 各
点 の 近 傍 に お い て,局 所 的 な ベ ク トル 場
{El,̲,Em̲1}
が 正 規 直 交 基 底 に な り,
一)凱 一鵬
)霧年 〒1瀦 姻
が 成 立 す る よ うな もの を と る・ 肩 の と き 伽 跳 一 ・㌘ と略記 す る ・従 って 伽 砺 一 δ冠 と略 記 で き る.同 様 に,擬 リー マ ン多 様 体(Q且71,・ 勇93)の 各 点 の 近 傍 に お い て,局 所 的 な ベ ク ト
ル 場
{Fl,̲ラFn̲1}
が 正 規 直 交 基 底 に な り,
弼 )一 瞭 臆
)糧 疑醗 鷺 一̲̲一 、)
ゑ
が 成 立 す る よ う な も の を と る ・ 弼(F・,F」)一(・ 峯9砺 一 δ瀦 も 同 様 で あ る ・ 上 記 基 底 の と き ・ Xi=L・ 。(E∂,Y」=L2。(4)
と 表 す.各x∈Rm+nに 対 し,乃Rm+nをRm+nと 同 一 視 し,正 規 直 交 ベ ク ト ル 場 を
{∂∂Xl,...,∂Xm,∂Yl,'",∂Yn}∂ ∂ ∂ と 定 義 す る.
ネ甫題3.1.1.
み(∂∂オ)一(姻 翻),照)一(瓢 ・)粥)一(聯 罵)
た だ しL・(U)1・2(V)はL・(U)一 ・{(U)∂ 裟
、,L2(V)一 ・狗 ∂￠,と 同 一 視 を す る ・Lliは ・ Ll:(暇f1→R7,Uト>Ll(U)=(Ll(U),…,乙 牧U))
に よ っ て 表 さ れ る ん番 目 の 成 分 関 数 で あ る.同 様 に 魂 は, L2・q下1→R写,ve・2(V)一(Lli(V),…,・1]'(V))
に よ っ て 表 さ れ る ん番 目 の 成 分 関 数 で あ る.
ProOf.
岨)一@)船)∂ 銑,・)
=(x(t)Ll*(Ei) ,0)
=@(t)Xiラ0)
ほ か も 同 様 に し て 計 算 で き る.
従 って1×Q饗f1×Q翫1の 局 所 的 な ベ ク トル場 と して
{∂1111翫%E・,…%Em‑・IIF・,…'IFn‑・}
を と る.
ネ甫 題3.1.2.
畷 ・・(u)一 急&,▽ 鰐 ・2(v)一 が
口
Proof.上 記 の 座 標 近 傍 の 下 で 計 算 を 行 う と
▽ 韓 ・・(u)一 ▽ 澱 圭瓦)L・(u)
‑1瑠) ∂lll‑,,+4(▽澱 諏)∂ll‑,T)
=‑Xi1
と な る.も う一 方 も 同 様 に 計 算 で き る の で 省 略 す る. 口
以 上 よ り次 を 得 る.
命 題3.1.3.
夙 鋤 一(x・)2+・(y')2 f・9(∂1翫・房瓦)一 ・
夙 競,語)一 ・
f'gGE,・1の 耀 い ゴES"
!‑9(急E,leF,)‑o
夙 語,語)一 卿 η一嬬
が 成 立 す る.
Proof.
f・9(翻)‑9(f*(競),f*(競))
=9((xllL
,YIV),(X/U,y'V)) 一(め21鴫+(yノ)21vll
‑@')2+・(yノ)2
と な る.他 の 成 分 に 関 し て も 同 様 の 計 算 で 得 ら れ る. 口
!*gを 局 所 座 標 に 関 し て を 行 列 表 示 す る と,
@')2+r(yノ)20...00...0
!*9=
0
・
: 0
δ￠ゴ・㌘ 0
00 0
ノ
δ営ゴ・9
と な る.従 っ て,!*gが 非 退 化 に な る た め の 必 要 十 分 条 件 は(め2+T(Z/ノ)2≠0で あ る.以 下!*g が 非 退 化 で あ る 範 囲 の み で 議 論 を 行 う.xy一 平 面 に 擬 計 量dx2+r吻2を 入 れ る と,上 記 仮 定 よ り
・γ(t)=(x(t) ,y(t))がnon‑nullcurveに な る こ と か ら 弧 長 パ ラ メ ー タ に 置 き 換 え ら れ る.そ れ を 8で 表 す.弧 長 パ ラ メ ー タ に よ っ て パ ラ メ ー タ 付 け さ れ た 曲 線 を7(s)に よ り表 示 す る.弧 長 パ ラ メ ー タ の 仮 定 か ら@ノ)2+r(yノ)2=士1=cが 常 に 成 立 す る.そ し て 誘 導 計 量 はcds2+乙 徊 炉+乙 豹 〃 で あ る.ま た1×Q貿f1×(瞭71の 局 所 的 な ベ ク トル 場
{∂1111∂,,房E・・…,房Em‑・,すF・,…,すFn‑・}
は正 規 直 交 な ベ ク トル 場 で あ る こ とが 分 か る た め,平 均 曲率 ベ ク トル場 は
ー)
‑一〃
‑一〃(
碗 洞 Σ 戸
十)瓦
‑一の
わ
ー一の(
静 耐 Σ 同
十)∂挑
∂融(論ー
1
1 一
十m
=
方
と 表 す こ と が で き る.
3.2平 均 曲率 関数 の 導 出
計 量 空 間(P=(0,㏄)2,〈,〉=dc2+γ 吻2)内 の 曲 線 を7=@(8),y(s))と 定 義 す る.こ の 計 量 に お い て,曲 線7は@ノ)2+r(Z/ノ)2=1の と き 空 間 的,@ノ)2+r(yノ)2=‑1の と き 時 間 的 と な る.
u:=←ry',xノ)と 定 義 す る と,uは7に 直 交 す る.〈u,の=rEで あ る.〈y,u>〈tyノ,7ノ 〉=r(〜)=r な の でFr6netequationよ り
{隷
を 得 る.こ こ に κ は 曲 率 関 数 で あ る.ま た 曲 率 関 数 κ は
〈γκμ,の=γ κ〈μ,の
一 γκ〈(一γ払 の,(一 γ〃',∬')〉
一 κ((y')2+ゆ ノ)2) 一 κ((め2+・ ω ノ)2)
=6κ
及び
〈rκU,の=〈7",の
=〈@"
,影"),(一 瑠 ノ,〆)〉
=γ(一 釦"ヅ 十 シ"ζガ)
よ り
6κ=r(‑X"Z/t十 シ"ut)
N=(ノ'一 「yu,xv)と 定 義 す る.こ の と き
9(N,N)‑9((一 剛u,cc'v),(一 剛u,cc'v))一(Zl')2+T(め2‑TE
9(N,f・(島))‑9((一 剛 融),(〆 ゆ))一 ・ 9(N,f・(IE・))‑9((一 ・ガゆ),(x・,・))一 ・
9(N・f*(語))‑9((一 ・ゴゆ),(・,yj))一 ・ が 成 立 す る.従 っ てNは!に 直 交 す る 単 位 ベ ク トル で あ る.
命 題3.2.1.型 作 用 素 の 導 出
且N(∂ ∂
s)一 κ(島) AN(IE・)一 考(素Ei)
且N(語)一 一ル)
ProOf.
▽慕R曲N‑(一 蜘 一帥)一 一砿(奏), 同様に
▽翼 融N‑一 考(x…)一 一藁(急E,),
▽鍔 齢N一 多(・,Y」)一蕩み(語)・
口 最 後 に第 二 基 本 形 式 の 計 算 を行 う.本 論 文 は 超 曲 面 を対 象 とす る た め,第 二 基 本 形 式 の 法 方 向 に
関 す る情 報 は全 て 関数 に置 き換 え る こ とが で き る.
9(ん(鋤 ・N)‑9(み(且N(奏))・み(奏)) 一曲 磁)
=6κ
9(ん(iEl,IEゆ,N)‑9(み(且N(
‑9((
1の),み(iE,)) 藁 圭の,み(1∂島)) 一〃gl吋 の
一考(輔 、 、 一撃
9(ん(語,語),N)‑9(み(且N(語)),み(語)) 一一艶9(揚 り 一一多伽 砺
̲」 丞,9'
ツ フ
以上より平舳 輔 撫 一9(方の は
H‑9( m+㌃一、Cん(録)+シ(躯 熟)+》(釧,N)
‑ m+≒‑i(・9(h(鋤 ・N)+讐 吻(h(1阜),N))
+ m+≒‑1(讐49(ん(語,語),N))
‑ m+≒ 一・((・)・ κ+書(確)+捧 プ燭) 一∴ 1C+夢 一揖 の
一 ∴ 1(κ+r(m‑1)髪 一(η一・)多)
命 題3.2.2(平 均 曲 率).
H‑ m÷1(κ+・(m‑・)髪 一(n‑1)蕩)
で あ る.
平 均 曲率 と して次 を 得 る.
H‑∴ ‑1(ET(‑xllyl+y・x')+r(m‑・)髪 一(n‑・)多)
Case2の 空 間 的 な 場 合 の 平 曲率 関数 と時 間 的 な 場 合 な平 均 曲率 関数 は,R劉 ×R写 とR3×R劉 と が 等 長 変 換 に よ り互 い に移 り替 わ る の で 空 間 的 な 場 合 の 平 均 曲率 関数 の み を解 析 す る.つ ま り,本 研 究 で はE=1と な る場 合 の み を解 析 す る.以 上 よ り,2種 類 の 平 均 曲 率 関数 を用 い て 極 小 超 曲 面 で あ る為 の条 件 を導 出 す る.
定 理3.2.3.γ=1ま た は 一1と し,!:1×Q饗f1×(瞭71→Rm+n;(s7u,㊨)e
(x(s)Ll(u),y(s)L2(v))を は め 込 み と し,sは 恢5)の 弧 長 パ ラ メ ー タ で あ り@ノ)2+r(y')2=1を み た す と 仮 定 す る.こ の と き,は め 込 ま れ た 部 分 多 様 体 が 非 退 化 な 誘 導 計 量 を 持 つ 極 小 超 曲 面 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は 以 下 の 微 分 方 程 式 を 満 た す こ と で あ る.
r(‑x〃y・+y〃 の+r(m‑1)鉱 一@‑1)些=0(1) xy
r=1の と き,こ の 平 均 曲 率 は 通 常 の ユ ー ク リ ッ ド空 間 内 の0(m)×0(n)不 変 極 小 超 曲 面 が 満 た す べ き 平 均 曲 率 関 数 と 一・致 し て お り,本 論 文 がH.Alencar,A.Barros,0.Palmas,G.J.Reyes
及 びW.Santosが 行 っ た 研 究[1]を 含 ん で い る こ と が 分 か る.Alencar達 はT=1の と き の 解 析 を 行 っ た.従 っ て 本 論 文 で はr=‑1の 微 分 方 程 式 を 対 象 と し て 研 究 す る.ま たAlencar達 は Bombieri変 換 と い う特 殊 な 手 法 を 用 い る こ と に よ っ て 解 の 解 析 を 行 っ た.本 論 文 で はOkayasu [7]が 利 用 し た 等 価 な 微 分 方 程 式 へ の 変 形 を 用 い て こ の 微 分 方 程 式 の 解 析 を 行 う.
命 題3.2.4.定 理3.2.3の 微 分 方 程 式 は,次 の 微 分 方 程 式 と等 価 に な る.
睾 一あ((n‑・)x+(m‑1)謝(1一 伽 り ・
更 に,仮 定 の(cv・)・一(Z/・)・一 ・ よ り(2/)2‑1‑(影)2〈1が 成 立 す る ・ Proof.
(め2‑(yノ)2‑1
従 っ て
〆 ∬"‑Z/'Z/"=0
が 成 立 す る.よ っ て 両 辺 を 〆 ≠0で 割 り,
〃=i ガ 〃 吻 〃x
・y=d詔 を 得 る.ま た(3)の 両 辺 を@ノ)2で 割 り,
1‑(:/)2‑(ル)2
を得 る.特 に これ は
(ll)2‑1‑(法)2<1
(2)
(3)
(4)
で あ る.以 上 よ り
瓢 膿) 誌(謙+維
霧(諾 膿 器iぎ 鶉 舞)霧+綜
鶉 鍛+諜i細 を 使用した) 一(伽 d8)2伽+(鶉iぎ
一鶴 舞+膿i筈 ・
従 っ て
←一(瓢 一(謙
=@') 2d2ydx2を 得 る.ま た,
Clcttz/・ 四 一1((m‑1)yy'+(n‑1)xxl) 瓢シ
(〃ノ12y〃 一 吻 〃‑1((m‑1
xuy)yy'+(n‑1)xx')((4)を 使 用 し た)
∬ノ ((yノ)2‑(め2)〃"一((m‑1)yyノ+(n‑1遮')瓢シ
のノ
y"一 一((m‑1)z/z/'+(n‑1瞬')
∬彩
を 得 る.以 上 よ り,
糾 プ ←一(瓢
一Cの2(・一(髪 峯)2)C毒(@一 ・)yy'+@一 ・)… つり 一C一 劇C毒((m一 嶋+@一 ゆ
一 毒(@一 鴫+@一 吻c一 劇 一 毒(@一 恥+(m一 噺 一劇
を 得 る. 口
4SO(P,m‑P)×SO(q,n‑q)一 不 変 超 曲 面 の 平 均 曲 率 の 解 析
(m≧2,n≧2,0≦.Z)≦m,0≦q≦ η、)
4.1常 微 分 方 程 式 の 解 析
(u,y)∈(0,㏄)×(0,㏄)と し,常 微 分 方 程 式
1諺 毒((n‑1)・+(一 ・)囎(1一 劇(5)
を 対 象 に し て 研 究 を 行 う ・ 以 下,欄 値 を@・ 幽)継 ・))一(∬ ・,〃・,"・)一"と し ・ 欄 値 に 関 す る 解 を(Pv(x)=q(x),そ の 解 の 右 に 極 大 な 定 義 域 を[Xo,Xv)で 表 す.初 期 値 を 選 択 す る
吻
際,(〆)2‑(y')2=1の 仮 定 か ら,‑1<(Uo)〈1を伽 満 た す よ う 初 期 値 を と る.つ ま り,Voは 一1<Vo〈1を 満 た す よ う と る .
命 題4.1.1.
シ=∬+α 及 び ッ=一 ∬+α(た だ し α は 任 意 の 実 数)
は 微 分 方 程 式(5)の 解 に な る.
従 っ て 次 が 成 立 す る.
命 題4.1.2.任 意 の 初 期 値v=(Xo,yo,Vo)に 対 し,‑1<Vo<1な ら ば 任 意 のx∈(Xo,Xv)に 対 し 一1<器@)<1が 成 立 す る.
定 理4.1.3.SO(p,m‑p)×SO(q,n‑q)一 不 変 極 小 超 曲 面 は,は め 込 み で あ る 限 り擬 計 量 が 退 化 す る こ と は な い.(一 般 に 擬 リー マ ン 多 様 体 に お い て,写 像 が は め 込 み に な っ て い て も 擬 計 量 が 退 化 す る こ と が あ る.)
注 意4.1.4.初 期 値v=(Xo,yo,Vo)(‑1<Vo〈1)と す る.こ の と き,常 微 分 方 程 式(5)の 解 が 存 在 す る 範 囲 に お い て,対 応 す るSO(p,m‑p)×SO(q,n‑q)一 不 変 超 曲 面 に 誘 導 さ れ る 計 量 は 非 退 化 で あ る.従 っ て 解 曲 線 に 対 し てSO(p,m‑p)×SO(q,n‑q)一 不 変 極 小 超 曲 面 が 対 応 す る.
4.2微 分 方 程 式 の 解 の 延 長 に 関 し て
こ の 節 で は 微 分 方 程 式 の 解 の 延 長 に つ い て 議 論 を 行 う.今 節 で は 次 の 事 を 証 明 す る.
命 題4.2.1.微 分 方 程 式(5)はx>0,y>0で あ る 限 り延 長 可 能 で あ る.
Proof.証 明 は 以 下 のStepに 分 け る こ と が で き る.証 明 に 際 し,初 期 値 全 体 の 集 合 を 1‑{(x,y・,Y2)1(x,y・,Y2)∈(0,・ ・)×(0,・ ・)×(一 ・・,㏄)}
