１ [10センター本試(旧課程) センター本試]
自然数の列 ， ， ， ，…… を，次のように群に分ける。
｜ ， ， ， ｜ ， ， ， ， ， ， ｜ ……
第 群 第 群 第 群
ここで，一般に第 群は 個の項からなるものとする。第 群の最後の項を で表す。
， ， ， アイ である。 ウ エ
， ， ，…… が成り立ち， オ カ
キ ク
ケ ， ， ，……
である。よって， は，第 コサ 群の小さい方から シス 番目の項である。
， ， ，…… に対し，第 群の小さい方から 番目の項を で表すと
セ
ソ
タ チ
ツ であり， テ
ト ナ が成り立つ。
これより， ニ
ヌ ネ ， ， ，…… となる。
アイ ウ エ オ
カ キ ク ケ コサ シス セ
ソ タ チ
ツ テ ト ナ ニ ヌ ネ
解説
第 群は ･ 個 の項からなるから アイ
一般に，第 群は 個の項からなるから
ウ エ ， ， ，……
よって ， ， ，……
これは，数列 の階差数列の一般項が であることを意味する。
ゆえに， のとき
･
初項は であるから，この式は のときにも成り立つ。
よって
オ カ
キ
ク
ケ
変形すると …… ① ， を ① に代入すると ，
であるから， は第 コサ 群の項であり，小さい方から シス 番目の項である。
第 群の小さい方から 番目の項は，第 群の最後の項より だけ大きい 自然数であるから
セ ソ
タ
チ
ツ
よって
テ
ト ナ
ゆえに
……
･
ニ
ヌ ネ
２ [97センター本試(旧々課程) センター本試]
公差 の等差数列 の初項 から第 項 までの和 を定数 ， ， を用いて，
， ， ，…… と表す。
このとき， ア
イ ， ウ である。
特に， ， となるのは， エ のときであり，一般項 は オ カ である。これより
…… キク ケコ サシ
ス
……
セ ソ タ が成り立つ。
ア
イ ウ エ オ カ キク ケコ サシ ス セ ソ タ
解説
よって
ア イ
ウ ゆえに
よって であるから， のとき エ
のとき
ここで とすると となり， のときも成り立つ．ゆえに オ カ
よって ……
･ ･
キク ケコ サシ
ス
また であるから
…… ･ セ ソ タ
３ [09センター追試(旧課程) センター追試]
数列 を ， ， ，…… で定める。
を で割った商を とし，余りを として，数列 と を定める。この
とき， と は整数で， である。 ，
， とおく。 を求めると， ア イ ウ である。
数列 の初めの 項は エ ， オ ， カ ， キ ，
ク である。自然数 で，すべての に対して となるものがあり，
その最小のものは ケ である。
以下では ケ とし，自然数 を と は整数で， と表
す。このとき， コサ は だけで定まり，これを とおけば シ ，
ス ， セソ である。 タチ であるから
ツ テ
ト ナ
ニヌ と表される。
を で割った余りを として，数列 を定め， とお
く。自然数 で，すべての に対して となるものがあり，その最小のものは ネノ である。
ネノ とし，自然数 を と は整数で， と表すとき，
ハヒ は だけで定まる。
ア イ ウ エ オ カ キ ク ケ コサ シ ス セソ タチ ツ テ ト ナ ニヌ ネノ ハヒ
解説
ア イ ウ
個
よって
エ，
オ，
カ，
キ，
クゆえに， は ， ， ， の値を順に繰り返す。
したがって，すべての に対して となる 自然数 のうち，最小のものは
ケとする。
ここで， ， ， のとき
…… ……
…… ……
よって， …… は だけで定まる。
また， のとき
ゆえに，すべての に対して
コサは だけで定まる。
これを とすると
シ，
ス，
セソ
タチ
， であるから
ツ テ
ト
ナ
ニヌ
