超立方体回転群による不変式

(1)

. . . . . .

.

... 超立方体回転群による不変式

菅本守

楫研究室M2

2013/2/8

(2)

. . . . . .

n 次元超立方体の定義

n 次元超立方体とは 2 次元の場合 → ^正方形 3 次元の場合 → ^立方体

定義 (n 次元超立方体 ) Γ

_n

:=

{ (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) ∈ R

ⁿ

| − 1 ≤ x

1

≤ 1, − 1 ≤ x

2

≤ 1, . . . , − 1 ≤ x

n

≤ 1 } n 次元超立方体

菅本守 (楫研究室M2) 超立方体回転群による不変式 2013/2/8 2 / 1

(3)

. . . . . .

n 次元超立方体回転群の定義。不変式の定義

定義 (n 次元超立方体回転群 )

A

⁽²⁾n

:= {A ∈ SO(n) | A(Γ

n

) = Γ

n

} det A = 1 n 次元超立方体回転群

命題

A

⁽²⁾n

= { A ∈ SO (n) | ^{各行、各列に} 1 または − 1 が１つだけあり、

それ以外は 0 } det A = 1

定義 (7 章 , § 2, 定義 7 「グレブナ基底と代数多様体入門」 ) G ⊂ GL(n, C ): 部分群

C [x

₁

, · · · , x

_n

]

^G

:= { f ∈ C [x

₁

, · · · , x

_n

] | f (Ax) = f (x), ∀ A ∈ G }

(4)

. . . . . .

コックス , リトル , オシーの教科書で紹介されている結果

命題 (7 章 , $7 例４ , 「グレブナ基底と代数多様体入門」 ) A

⁽²⁾₂

: 正方形の回転群

A

⁽²⁾₂

:= { ( 1 0

0 1 )

,

( 0 − 1

1 0

) ,

( − 1 0 0 − 1

) ,

( 0 1

− 1 0 )

}

⇒ C [x, y]

^A⁽²⁾²

= C [f

₁

, f

₂

, f

₃

] ただし f

₁

:= x

²

+ y

²

f

2

:= x

²

y

²

f

₃

:= xy (x

²

− y

²

)

命題 (7 章 , $4, 演習問題 12, 「グレブナ基底と代数多様体入門」 ) A

⁽²⁾₃

: 立方体の回転群

⇒ C [x, y, z]

^A⁽²⁾³

= C [f

₁

, f

₂

, f

₃

, f

₄

] ただし f

1

:= x

²

+ y

²

+ z

²

f

2

:= (x + y + z )(x + y − z )(x − y + z)(x − y − z ) f

₃

:= x

²

y

²

z

²

f

4

:= xyz(x

²

− y

²

)(x

²

− z

²

)(y

²

− z

²

)

A

⁽²⁾₂

: 正方形の回転群

⇒ C [x, y]

^A⁽²⁾²

= C [s

₁⁽²⁾

, s

₂⁽²⁾

, f

₃

] ただし f

1

:= x

²

+ y

²

f

₂

:= x

²

y

²

f

₃

:= xy(x

²

− y

²

)

(5)

. . . . . .

今回得られた結果の特別な場合 (3 次元立方体の場合 )

A

⁽²⁾₃

: 立方体の回転群

⇒ C [x, y , z]

^A⁽²⁾³

= C [f

₁

, f

₂

, f

₃

, f

₄

] ただし f

₁

:= x

²

+ y

²

+ z

²

f2 :=x²y²+x²z²+y²z²

f

₃

:= x

²

y

²

z

²

f

₄

:= xyz (x

²

− y

²

)(x

²

− z

²

)(y

²

− z

²

)

A

⁽²⁾₂

: 正方形の回転群

⇒ C [x, y]

^A⁽²⁾³

= C [f

₁

, f

₂

, f

₃

]

ただし f

₁

:= x

²

+ y

²

f

2

:= x

²

y

²

f

3

:= xy (x

²

− y

²

)

(6)

. . . . . .

記号

記号 12

多項式 s

1

, s

2

, . . . , s

n

∈ C [x

1

, . . . , x

n

] を基本対称式とし、多項式

∆ ∈ C [x

₁

, . . . , x

_n

] を差積とする。すなわち

s

₁

:= ∑

i

x

_i

s

₂

:= ∑

i<j

x

_i

x

_j

.. .

s

n

:= x

1

x

2

· · · x

n

∆ := ∏

i<j

(x

_i

− x

_j

) そして

s

_i^(k)

:= s

_i

(x

₁^k

, . . . , x

_n^k

)

∆

^(k⁾

:= ∆(x

₁^k

, . . . , x

_n^k

)

(7)

. . . . . .

主定理 1

A

⁽²⁾_n

を n 次元超立方体回転群とする。このとき、以下が成り立つ。

C [x

₁

, · · · , x

_n

]

^A⁽²⁾ⁿ

= C [s

₁⁽²⁾

, . . . s

_n⁽²⁾

] ⊕ C [s

₁⁽²⁾

, . . . s

_n⁽²⁾

]s

₁

∆

⁽²⁾

= C [s

₁⁽²⁾

, · · · , s

n⁽²⁾

, s

1

∆

⁽²⁾

] ただし

s

₁⁽²⁾

= ∑

i

x

_i²

s

₂⁽²⁾

= ∑

i<j

x

_i²

x

_j²

.. .

s

n⁽²⁾

= x

₁²

x

₂²

· · · x

_n²

s

1

∆

⁽²⁾

= ∏

i

x

_i

∏

i<j

(x

_i²

− x

_j²

)

(8)

. . . . . .

S

n⁽²⁾

について A

⁽²⁾n

⊂ S

n⁽²⁾

命題

S

n⁽²⁾

:= { A ∈ O (n) | A(Γ

n

) = Γ

n

} det A = ± 1 とおく。

Γ

_n

:n 次元超立方体

このとき、以下が成り立つ。

A

⁽²⁾n

⊂ S

n⁽²⁾

S

_n⁽²⁾

=

{A ∈ O (n) | 各行、各列に 1 または −1 が１つだけあり、

それ以外は 0 } det A = ± 1 S

_n⁽²⁾

=< σ

_ij

, τ

_k

| 1 ≤ i < j ≤ n, 1 ≤ k ≤ n >

ただし、

σ

_ij

は互換、 τ

_k

:=



 



1 0 . . . . . . 0

0 . .. . . . . . . 0

0 . . . − 1 . . . . . .

0 . . . . . . . .. . . .

0 . . . . . . . . . 1



 



(9)

. . . . . .

証明の方針

Step1

S

n⁽²⁾

=< σ

ij

, τ

k

| 1 ≤ i < j ≤ n, 1 ≤ k ≤ n > (A

⁽²⁾n

⊂ S

n⁽²⁾

) と書けることを示す。

Step2

任意の σ ∈ { σ

_ij

, τ

_k

| 1 ≤ i < j ≤ n, 1 ≤ k ≤ n } ^に対して

C [x

₁

, · · · , x

_n

]

^A⁽²⁾ⁿ

= (σ で不変な式 ) ⊕ (σ で − 1 倍される式 ) と表せる

Step3

σ で不変な式は s

₁⁽²⁾

, . . . , s

_n⁽²⁾

で生成されることを示す。

Step4

σ で -1 倍される式は s

n

∆

⁽²⁾

= ∏

i

x

_i

∏

i<j

(x

_i²

− x

_j²

) で割り切れることを示す。

(10)

. . . . . .

主定理 1

A

⁽²⁾_n

を n 次元超立方体回転群とする。このとき、以下が成り立つ。

C [x

₁

, · · · , x

_n

]

^A⁽²⁾ⁿ

= C [s

₁⁽²⁾

, . . . s

_n⁽²⁾

] ⊕ C [s

₁⁽²⁾

, . . . s

_n⁽²⁾

]s

₁

∆

⁽²⁾

= C [s

₁⁽²⁾

, · · · , s

n⁽²⁾

, s

1

∆

⁽²⁾

] ただし

s

₁⁽²⁾

= ∑

i

x

_i²

s

₂⁽²⁾

= ∑

i<j

x

_i²

x

_j²

.. .

s

n⁽²⁾

= x

₁²

x

₂²

· · · x

_n²

s

1

∆

⁽²⁾

= ∏

i

x

_i

∏

i<j

(x

_i²

− x

_j²

)

(11)

. . . . . .

C [x

₁

, · · · , x

_n

]

^A⁽²⁾ⁿ

の構造

A⁽²⁾_n ={A∈SO(n)| detA= 1

各行、各列に

1

または

−1

が１つだけあり、それ以外は

0}

S

_n⁽²⁾

= { A ∈ O(n) | det A = ± 1 各行、各列に 1 または − 1 が１つだけあり、それ以外は 0 }

A⁽²⁾n

⊂ S

n⁽²⁾

C [x

₁

, · · · , x

_n

]

^Sⁿ⁽²⁾

= C [s

₁⁽²⁾

, . . . s

_n⁽²⁾

] (s

1

∆

⁽²⁾

)

²

∈ C [s

₁⁽²⁾

, . . . s

n⁽²⁾

] である。

C[x1,· · · ,xn]^A⁽²⁾ⁿ

= C[s

₁⁽²⁾

, . . . s

n⁽²⁾

] ⊕ C[s

₁⁽²⁾

, . . . s

n⁽²⁾

]s

1∆⁽²⁾

C[x

1

, · · · , x

n

]

^A⁽²⁾ⁿ

は C[x

1

, · · · , x

n

]

^Sⁿ⁽²⁾

の 2 次の整拡大。

(12)

. . . . . .

主定理 2(SU (n) の超立方体回転群 )

A⁽⁴⁾_n :={A∈SU(n) |

^{各行、各列に}

1,−1,i,or −i

が１つだけあり、

それ以外は０

}

。このとき、以下が成り立つ。

C[x

1

, · · · , x

n

]

^A⁽⁴⁾ⁿ

= C[s

₁⁽⁴⁾

, · · · , s

_n−1⁽⁴⁾

, s

n⁽²⁾

, s

1

∆

⁽⁴⁾

]

= C [s

₁⁽⁴⁾

, · · · , s

_n⁽⁴⁾

] ⊕ C [s

₁⁽⁴⁾

, · · · , s

_n⁽⁴⁾

]s

_n⁽²⁾

⊕ C [s

₁⁽⁴⁾

, · · · , s

n⁽⁴⁾

]s

1∆⁽⁴⁾

⊕ C [s

₁⁽⁴⁾

, · · · , s

n⁽⁴⁾

]s

n⁽²⁾s1∆⁽⁴⁾

s

₁⁽⁴⁾

= ∑

i

x

_i⁴

.. .

s

_n⁽⁴⁾₋₁

= ∑

i1<i2<···<in−1

x

_i⁴₁

x

_i⁴₂

· · · x

_i⁴_n₋₁

s

_n⁽²⁾

= ∏

i

x

_i²

s

1

∆

⁽⁴⁾

= ∏

i

x

_i

∏

i<j

(x

_i⁴

− x

_j⁴

)

(13)

. . . . . .

C [x

₁

, · · · , x

_n

]

^A⁽⁴⁾ⁿ

の構造

A⁽⁴⁾n :={A∈SU(n) | detA= 1

各行、各列に

1,−1,i,or −i

が１つだけあり、それ以外は０

}

B

n⁽⁴⁾

:= {A ∈ U (n) | det A = ±1 各行、各列に 1, −1, i , or − i が１つだけあり、それ以外は０ } S

n⁽⁴⁾

:= { A ∈ U (n) | det A = ± 1or ± i 各行、各列に 1, − 1, i, or − i が１つだけあり、それ以外は０ }

A⁽⁴⁾n

⊂ B

n⁽⁴⁾

⊂ S

n⁽⁴⁾

C [x

1

, · · · , x

n

]

^Sⁿ⁽⁴⁾

= C [s

₁⁽⁴⁾

, . . . s

n⁽⁴⁾

]

C [x

1

, · · · , x

n

]

^Bⁿ⁽⁴⁾

= C [s

₁⁽⁴⁾

, . . . s

n⁽⁴⁾

] ⊕ C [s

₁⁽⁴⁾

, . . . s

n⁽⁴⁾

]s

n⁽²⁾

C[x1,· · ·,xn]^A⁽⁴⁾ⁿ =

C [s

₁⁽⁴⁾

, · · · , s

n⁽⁴⁾

] ⊕ C [s

₁⁽⁴⁾

, · · · , s

n⁽⁴⁾

]s

n⁽²⁾

⊕C [s

₁⁽⁴⁾

, · · · , s

n⁽⁴⁾

]s

₁∆⁽⁴⁾

⊕ C [s

₁⁽⁴⁾

, · · · , s

n⁽⁴⁾

]s

n⁽²⁾s₁∆⁽⁴⁾

(14)

. . . . . .

証明 (A

⁽²⁾n

について )

命題

A

⁽²⁾_n

:n 次元超立方体回転群

⇒A

⁽²⁾n

=< ρ

ij

| 1 ≤ i < j ≤ n >

ただし ρ

ij

:=



 



1 0 . . . . . . 0

0 1 . . . . . . 0

0 . . . 0 − 1 . . .

0 . . . 1 0 . . .

0 . . . . . . . . . 1



 



ρ

ij

(x

1

, . . . , x

i

, . . . , x

j

, . . . , x

n

)

^t

= (x

1

, . . . , − x

j

, . . . , x

i

, . . . , x

n

)

^t

(15)

. . . . . .

S

n⁽⁴⁾

の別の部分群 C

n⁽⁴⁾

S

n⁽⁴⁾

:= {A ∈ U (n) | 各行、各列に 1, −1, i , or − i が１つだけあり、それ以外は０ }

定義

C

n⁽⁴⁾

:=< ν

_kl

, ν

_kl^t

| 1 ≤ k < l ≤ n > ⊂ S

n⁽⁴⁾

ただし、

ν

_kl

:=



 



1 0 . . . . . . 0

0 1 . . . . . . 0

0 . . . 0 i . . .

0 . . . 1 0 . . .

0 . . . . . . . . . 1



 



i.e. ν

_kl

(x

1

, . . . , x

_k

, . . . , x

_l

, . . . , x

n

)

^t

:= (x

1

, . . . , ix

_l

, . . . , x

_k

, . . . , x

n

)

^t

(16)

. . . . . .

主定理 3(S

n⁽⁴⁾

の別の部分群 C

n⁽⁴⁾

による不変式 )

C

_n⁽⁴⁾

=< ν

_kl

, ν

_kl^t

| 1 ≤ k < l ≤ n > とする。このとき、以下が成り立つ。

C [x

₁

, · · · , x

_n

]

^Cⁿ⁽⁴⁾

= C [s

₁⁽⁴⁾

, . . . s

n⁽⁴⁾

] ⊕ C [s

₁⁽⁴⁾

, . . . s

n⁽⁴⁾

]s

₁⁽²⁾

∆

⁽⁴⁾

= C [s

₁⁽⁴⁾

, · · · , s

n⁽⁴⁾

, s

₁⁽²⁾

∆

⁽⁴⁾

] ただし

s

₁⁽⁴⁾

:= ∑

i

x

_i⁴

s

₂⁽⁴⁾

:= ∑

i<j

x

_i⁴

x

_j⁴

.. .

s

n⁽⁴⁾

:= x

₁⁴

x

₂⁴

· · · x

_n⁴

s

₁⁽²⁾

∆

⁽⁴⁾

:= ∏

i

x

_i²

∏

i<j

(x

_i⁴

− x

_j⁴

)

(17)

. . . . . .

超立方体回転群と不変式環の対応

S

_n⁽²⁾

←→ C [s

₁⁽²⁾

, . . . s

_n⁽²⁾

]

∪ ∩

A⁽²⁾n ←→C[s₁⁽²⁾,· · ·,sn⁽²⁾,s₁∆⁽²⁾]

∪ ∩ { e } ←→ C [x

1

, · · · , x

n

]

S

n⁽⁴⁾

↔ C [s

₁⁽⁴⁾

, . . . s

n⁽⁴⁾

] S

n⁽⁴⁾

↔ C [s

₁⁽⁴⁾

, . . . s

n⁽⁴⁾

]

∪ ∩ ∪ ∩

B

_n⁽⁴⁾

↔ C [s

₁⁽⁴⁾

. . . , s

_n⁽⁴⁾₋₁

, s

_n⁽²⁾

]

C_n⁽⁴⁾↔C[s₁⁽⁴⁾. . . ,s_n⁽⁴⁾,s₁⁽²⁾∆⁽⁴⁾]

∪ ∩ ∪ ∩

A⁽⁴⁾n ↔C[s₁⁽⁴⁾. . . ,s_n⁽⁴⁾₋₁,sn⁽²⁾s₁∆⁽⁴⁾]

{ e } ←→ C [x

₁

, · · · , x

_n

]

∪ ∩

{ e } ←→ C [x

1

, · · · , x

n

]

(18)

. . . . . .

C

n⁽⁴⁾

の部分群

定義

E

_n⁽⁴⁾

:=< ν

_kl

| 1 ≤ k < l ≤ n > ⊂ C

_n⁽⁴⁾

⊂ S

_n⁽⁴⁾

ただし

ν

_kl

:=



 



1 0 . . . . . . 0

0 1 . . . . . . 0

0 . . . 0 i . . .

0 . . . 1 0 . . .

0 . . . . . . . . . 1



 



i.e. ν

_kl

(x

₁

, . . . , x

_k

, . . . , x

_l

, . . . , x

_n

)

^t

:= (x

₁

, . . . , ix

_l

, . . . , x

_k

, . . . , x

_n

)

^t

(19)

. . . . . .

E

n⁽⁴⁾

に関する予想

C[x

1

, . . . , x

n

]

^E²⁽⁴⁾

= C[s

₁⁽⁴⁾

, . . . , s

n⁽⁴⁾

]

⊕ C [s

₁⁽⁴⁾

, . . . , s

_n⁽⁴⁾

]s

_n

∏

k<l

(x

_k²

− ix

_l²

)

⊕ C [s

₁⁽⁴⁾

, . . . , s

_n⁽⁴⁾

]s

_n⁽²⁾

∏

k<l

(x

_k⁴

− x

_l⁴

)

⊕ C [s

₁⁽⁴⁾

, . . . , s

_n⁽⁴⁾

]s

_n⁽³⁾

∏

k<l

(x

_k²

+ ix

_l²

)

(20)

. . . . . .

複素数体上に拡張した超立方体回転群の関係図

S

n⁽⁴⁾

↙ ↘ B

_n⁽⁴⁾

C

_n⁽⁴⁾

↙ ↘ ↙ ↘ A

⁽⁴⁾n

D

n⁽⁴⁾

E

n⁽⁴⁾

(21)

. . . . . .

交代群で不変な部分環 ( 既に知られている )

A

_n

:n 次交代群 ( 偶数個の互換の積で生成される群 ) C [x

₁

, · · · , x

_n

]

^Aⁿ

= C [s

₁

, · · · , s

_n

, ∆]

ただし s

1

= ∑

i

x

i

s

₂

= ∑

i<j

x

_i

x

_j

.. .

s

_n

= x

₁

x

₂

· · · x

_n

∆ = ∏

i<j

(x

_i

− x

_j

)

C [x

1

, · · · , x

n

]

^Aⁿ

= { ^対称式 } ⊕ { ^交代式 }

(22)

. . . . . .

予想を立てるために使った Molien の定理

定義 (Hilbert 級数「 Algorithms in Invariant Theory 」 ) G: 有限群

Φ( C [x]

^G

, z) :=

∑

∞ d=0

dim C [x]

^G_d

z

^d

定理 (Molien の定理「 Algorithms in Invariant Theory 」 ) G: 有限行列群、 E: 単位行列

Φ(C[x]

^G

, z ) = 1

| G |

∑

A∈G

1 det(E − zA) 定理 (Lemma 2.2.3 「 Algorithms in Invariant Theory 」 ) f

1

, f

2

, . . . , f

s

: 代数的独立

f

1

, f

2

, . . . , f

s

の次数がそれぞれ d

1

, d

2

, . . . , d

s

Φ(C[f

1

, f

2

, . . . , f

s

], z) = 1

(1 − z

^d¹

)(1 − z

^d²

) · · · (1 − z

^d^s

)

(23)

. . . . . .

Mathematica で計算した結果

| G

₂

| = 4

Φ( C [x]

^G²

, z ) = 1 + z

⁴

(1 − z

²

)(1 − z

⁴

) | G

₃

| = 24

Φ(C[x]

^G³

, z ) = 1 + z

⁹

(1 − z

²

)(1 − z

⁴

)(1 − z

⁶

) | G

4

| = 192

Φ( C [x]

^G⁴

, z) = 1 + z

¹⁶

(1 − z

²

)(1 − z

⁴

)(1 − z

⁶

)(1 − z

⁸

) |G

5

| = 1920

Φ( C [x]

^G⁵

, z ) = 1 + z

²⁵

(1 − z

²

)(1 − z

⁴

)(1 − z

⁶

)(1 − z

⁸

)(1 − z

¹⁰

)

超立方体回転群による不変式

.