分 配 の不 平 等 の 内的生起

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分 配 の不 平 等 の 内的生起

Isdistributinalinequalityendogenouslycaused?

大 槻 幹 郎

MikiroOTSUKI

い か な る社 会 に も分 配 の 個 人 問 の不 平 等 は 存 在 す る.こ の 不 平 等 を も た らす 起 因 は 二 つ に分 け ら れ る.一 つ は,生 得 の 素 質 の 個 人 間 格 差,相 続 遺 産 の 多寡 な ど,外 生 的 な要 因 で あ る.も う一 つ は,社 会 そ れ 自体 に 内 包 され て い る,い わ ゆ る 内 生 的 な 要 因 で あ る.人 々 の 選 択 行 為 に お け る 選 好 の 差 異,市 場 シ ス テ ム な どが そ れ で あ る.本 論 の 目 的 は,不 平 等 の 外 生 的 起 因 が ま っ た くな い 場 合 で も,不 平 等 は必 然 的 に 生 起 す る の か,も し生 起 す る な らば,そ の 不 平 等 度 は 内 生 的 な特 性 に よ っ て どの よ う に決 ま る の か.選 択 行 為,交 易,さ ら に は市 場 の 統 合 ・単 一 化 に よ っ て 不 平 等 は拡 大 す る の か,こ れ らの 問 題 に つ い て 考 察 す る こ とで あ る.順 を追 っ て検 討 す る た め に,本 論 は 次 の よ う に5節 か ら構 成 され て い る.

第1節 「不 平 等 度 と そ の 性 質 」 一 生 起 す る不 平 等 の 程 度 を み る た め に は,そ の 尺 度 が 必 要 で あ る.次 節 以 降 で は,Theil(1967)で 提 示 さ れ た 不 平 等 度 の 指 標 を用 い る の で,ま ず,こ の エ ン

トロ ピー 形 の尺 度 の 定 義 と周 知 の 特 性 に つ い て述 べ る.

第2節 「等 しい 選 択 不 可 能 な収 益 機 会(宿 命)と 不 平 等 」 一 人 々 に は 同 一 の 不 確 実 な収 益 の 源 が 付 与 さ れ て お り,そ れ ら源 は 交 換 で き な い.し た が っ て す べ て の 人 々 が 等 しい 宿 命 に 身 をゆ だ ね て,生 涯 を お くっ て い る と想 定 し よ う.こ の よ う な状 況 で は 分 配 の 不 平 等 は起 こ る だ ろ うか.

時 の 経 過 と と もに 低 減 し,不 平 等 は 消 滅 す る に 至 る で あ ろ うか.ま ず,こ の よ う な 単 純 な 問 題 か ら検 討 を始 め る.な お,以 下 で は こ の不 確 実 な収 益 の 源 を 「収 益 の機 会 」 と呼 ぶ こ とに す る.一 つ の 収 益 機 会 は 収 益 の分 布 関 数 に よ っ て特 定 さ れ る.

第3節 「選 択 行 為 と不 平 等 」一 こ こ で は 選 択 行 為 を導 入 す る.収 益 の 不 確 実 な 源 の ほ か に,確 実 な 収 益 源 が 賦 与 さ れ,い ず れ か 一 方 を選 択 で き る と し よ う.し か し,こ こ で は ま だ個 人 間 の 交 易 は 行 わ れ て い な い.こ の よ うに 選 択 が 可 能 に な る こ とに よ って,不 平 等 は拡 大 す る で あ ろ うか.

こ の 問 題 を検 討 す る ため に,選 択 可 能 な 状 況 で の 不 平 等 を,2節 で 得 られ る選 択 不 可 能 な状 況 で の 不 平 等 度 と比 較 す る.つ い で,確 実 な 収 益 と不 確 実 な収 益 か らい ず れ か を選 択 す る二 者 択 一 の 場 合 を拡 張 し て,多 数 の 不 確 実 な収 益 機 会 か ら の選 択 の 場 合 に つ い て も考 察 す る.

第4節 「 市 場 と不 平 等 」 一 こ こ で は 二 つ の 問 題 を考 察 す る.一 つ は 交 換 の 可 能1生が 不 平 等 を拡 大 す る か,あ る い は,縮 小 す るか とい う問 題 で あ る.も う一 つ の 問題 は,単 一 市 場 へ 統 合 さ れ,

よ り多 くの 人 々 が 単 一 の 価 格 で 交 換 す る よ うに な る こ と は,不 平 等 に ど の よ う な効 果 を及 ぼ す か

とい う問 題 で あ る.最 初 の 問 題 を検 討 す る た め に,各 個 人 に 賦 与 され て い る不 確 実 な 収 益 の 源 は

分 割 不 可 能 で あ るが,相 対 市 場 で 交 換 で き る状 況 を 想 定 し,交 換 の 可 能 性 に よ っ て 不 平 等 が 起 生

す る こ と を確 か め る.つ い で,収 益 の 源 が 分 割 可 能 の で あ る場 合 に つ い て,相 対 市 場 と統 一 市 場 そ れ ぞ れ に お い て 生 起 す る不 平 等 を 比 較 す る.

第5節 「オ ー プ ン モ デ ル に お け る不 平 等 」 一 こ れ に先 行 す る節 で は,収 益 源 の 価 格 は そ の 経 済 に お け る相 対 市 場 あ る い は 統 一 市 場 に お い て 需 給 が 均 衡 す る よ うに 決 定 され る,い わ ゆ る ク ロー ズ ドモ デ ル を用 い て い る.こ の 節 で は,価 格 が 外 生 的 に 与 え られ て い る小 国 オ ー プ ン モ デ ル を用 い て,不 平 等 度 が ど の よ う に決 定 さ れ るか,に つ い て 考 察 す る.

な お,各 節 で得 られ た 結 論 は,通 し番 号 を つ け て 「結 論 」 と し て ま とめ て あ る.こ れ ら結 論 の い くつ か に つ い て は,シ ミュ レー シ ョ ン を行 い,結 論 で 述 べ た通 りに ,不 平 等 が起 生す る こ とを 確 認 す る.ま た,末 尾 の 付 録 で は,本 文 で 採 用 した ラ ン ダ ム 変 数 の 発 生 方 法 に つ い て 解 説 す る.

1.不 平 等 度 と そ の 性 質

不 平 等 の 程 度 を 測 る 尺 度 と し てGini係 数 な ど い くつ か の 指 標 が 知 ら れ て い る が,こ こ で は つ ぎ の よ う な,Thei1(1967)に よ っ て 提 示 さ れ た エ ン トpピ ー を 採 用 す る.1)分 配 の 不 平 等 度 を 測 ろ う と し て い る 対 象 は 所 得 あ る い は 資 産 い ず れ で も よ い の で あ る が,以 下 で は こ の 対 象 を 資 産 と 呼 ぶ こ と に す る.い ま,経 済 は 総 数 η 人 の 個 人 に よ っ て 構 成 さ れ,諸 個 人 は,ク ラ ス 内 で は 資 産 保 有 量 が 同 一 で あ るKの ク ラ ス に 分 け る こ と が で き る と し よ う.ク ラ スkに 属 す る 各 個 人 の 保 有 す る 資 産 をwkで 表 し,そ の 員 数 が 総 人 数 に 占 め る 割 合 をgkで 表 す(k=1,2,…,K) .

こ の と き,任 意 に 与 え ら て た 分 配 の 状 態{wk,gk;k=1,2,…,K}に つ い て 不 平 等 度Hは π 一 辮1・9(wkw)g(1)

と定 義 さ れ る.こ こ で 拓=Σ 臨 急,す な わ ち 一 人 当 た り平 均 保 有 量 で あ る.な お,wk>0が 仮 定 され て い る.分 布 が 連 続 的 で あ る場 合 は,資 産 の 分 布 関 数 をG(w)と 表 す と

∬ イ 鍔1・9(ww)dG(w)

と表 さ れ る.こ こ 働 一 勲 α ω)で あ る.以 下 で は こ とわ りな しに,こ れ ら騰 的 な 場 合 と 連 続 的 な場 合 の 定 義 式 を 互 換 的 に 用 い る.ま た,一 人 当 た り平 均 保 有 量 に 対 す る個 人 の保 有 量 の 比wkwを 「資 産 比 」 と略 称 す る こ とに す る.

つ ぎに 後 の 議 論 の た め の 準 備 と して,こ の 不 平 等 度 の もつ 性 質 の う ち,以 下 で しば しば援用 す る三 つ の 性 質 を確 認 して お く.2)第一 の 性 質 は 不 平 等 度 の 上 限 に 関 す る こ と で あ る.(1)に お い てlogxは 凹 関 数 で あ る こ と と,Σwh‑gん=1で kw あ る こ と を考 慮 す る と

?iUkgk H<logk

wa‑log(・+var(ww2))(2)

1)不 平 等 の 指 標 に っ い て は,例 え ばCowellandKuga(1981)を 参 照 . 2)特 性 に つ い て は,Thei1(1967)の 第4章 参 照.

March2008大 槻 幹 郎:分 配 の不 平 等 の 内 的生 起3

が 成 立 す る.す な わ ち,不 平 等 度 の 上 限 は 相 対 分 散 平 均 加 の 二 乗 に 対 す る分 散var(w)の 比 一 に よ っ て確 定 さ れ る.連 続 的 な分 布 の場 合 に も同様 の結 果 を得 る.

あ る指 定 さ れ た 特 性 ξ を基 準 と し て,諸 個 人 を い くつ か の グ ル ー プ に分 類 す る こ とが で き る と し よ う.不 平 等 度 の もつ 第 二 の 性 質 は,社 会 全 体 の 不 平 等 度 と各 グ ル ー プ 内 の 不 平 等 度 の 関 係 に 関 す る こ とで あ る.い ま社 会 構 成 員 は グ ル ー プ ξ1,グ ル ー プ ξ2,…,グ ル ー プ ξηの 計mグ ル ー プ に 分 け られ,グ ル ー プ ξ、内 で は 資 産 保 有 量 がw,kで あ る 人 々 の 割 合 はgjkで あ る と し よ

う.こ の と き こ の グ ル ー プ 内 の1人 当 た り平 均 保 有 量ZU,;Σ ω、 麟 んで あ る か ら,こ の グ ル ー プ

k

内の不平等度 を 璃 と表す と

劫 一 淵1・9(w;kw

j)gjk

で あ る.社 会 全 体 の う ち グ ル ー プ ξ 、に 属 す る 個 人 の 割 合 を λJと 表 す.も ち ろ ん Σ λJ‑1で あ る.

J

社 会 全 体 か ら見 る と,こ の グ ル ー プ の メ ン バ ー で 資 産 量 がw;kで あ る個 人 の割 合 は λブ 撫 で あ る か ら,社 会 全 体 の 不 平 等 度 は

H一 毒 密1・9(w,kw)ん 幽

で あ る.w,k=w,k轡 を も ち い て 整 理 す る と

m  m   

H一 黒 λ ・ 劣 劫+写 聯 私1・9劣(3)

と な る.右 辺 の最 初 の 項 は,各 グ ル ー プ 内 の 不 平 等 度 を そ の グ ル ー プ へ の 分 配 率 で加 重 平 均 し た 値 で あ り,最 後 の 項 は グル ー プ 間 の 不 平 等 度 で あ る.こ の よ うに 全 体 の 不 平 等 度 は 二 つ の和 の 形

に 分 解 され る.

上 の 場 合 は グ ル ー プ 内 の 資 産 分 布 が 離 散 的 で あ る 場 合 で あ るが,連 続 な 場 合 も成 立 す る.さ ら に,ξ が 区 間(ろ く ξ<a)に 連 続 的 に 分 布 す る場 合 に も 同 様 で あ る.ξ の 分 布 を 関 数 をA(ξ)と

し,雛 が ξで あ る人々の グルー プ 内 の館 の分 欄 数 をG(w,ξ)調 髄 を 薦)一 ∬

wdG(w,ξ),こ の グ ル ー プ 内 の 不 平 等 度 をHξ と表 す.す な わ ち

猛 一儲 ξ)1・9儲 ξ))蜘 ξ)

で あ る.前 と 同 じ よ う に,っ ぎ の よ う に 二 つ に 分 解 さ れ る.

H‑∬ 器1・9(ww)蜘 ξ)4A(ξ)

‑P券 ξ)廻A(ξ)+∬ 幾 ξ)1・9(玲 ξ))6A(ξ)(4)

最 後 の 性 質 は 再 分 配 に 関 わ る こ とで あ る.よ り貧 しい 者 か ら富 め る 者 へ の 再 分 配 は 不 平 等 を増

大 す る.し た が っ て 不 平 等 の 指 標 は 増 加 す る よ うに 定 式 化 さ れ て い る.こ こ で は 後 に 利 用 しや す

い よ う な 形 で こ の 額 を醐 し て お く・ 資 産 比 がwkwで あ る 人 数 の 害拾 はgZ°kあ る 力晒 分 配

に よ っ て{gk;k=1,2,…,K}は 変 化 せ ず,資 産 比 は θ△kだ け 変 化 し,新 し い 分 配 で は wk十BO

k,k‑‑1,2,…,Kw

と な る と し よ う.こ こ で θ>0,Σ △kgk‑0で あ る.言 う ま で も な く,こ の 分 配 の 不 平 等 度 は

k

H一 写(wkw+θ △・)1・9(wkw+θ △・)魚 で あ る.こ れ を再 分 配 の ス ケ ー ル θ で 微 分 す る と

dH

d8‑k(△kl・9(wkw+θ △・)+△klgk

‑

k△kl・9(wkw+θ △k)幽 一

k△kl・9[÷(wkw+θ △k」」gk

とな る.最 後 の 等 式 は任 意 に 固定 さ れ た γ>0に つ い て 成 立 す る こ と に 注 意 し よ う.こ の等 式 に お い て,被 和 の 項 が す べ て 非 負 で あ る の は,△kと 対 数 の値 が 異 符 号 で な い と き,す な わ ち

△ 燈+θ △kY)>0,k‑1,2,…,K

の ときであ る.θ △琵0で あるこ とを考慮 す る と

△k(wkw一 γ)>0,k‑1,2,…,K(5)

で あ り,か つ,あ るkに つ い て 厳 密 な 不 等 号 が 成 立 し て い る な らば,任 意 の θ>0に お い て被 和 の 項 は す べ て 非 負 で あ り・ そ れ らの 和1証 で あ る.す な わ ち,dHd8>・ で あ る.条 件(5)は, 資 産 比 が あ る 一 定 水 準 γ以 下 の 人 々 に つ い て は △kCで あ り,こ の 水 準 以 上 の 人 々 に つ い て は

△虞0で あ る こ と,す な わ ち,前 者 か ら後 者 へ の 再 配 分 を意 味 す る.こ の よ うな再 分 配 は不 平 等 度 を増 大 す る こ とが 示 さ れ た.

2.等 しい 選 択 不 可 能 な 収 益 機 会(宿 命)と 不 平 等

時 点tに お け る個 人 の 資 産 は そ の 時 点 ま で の 収 益 の合 計 と初 期 時 点 に お け る 資 産 保 有 量 の 和 で あ る と し よ う.す な わ ち

Wt=Xt一 トXt̲1十 … 十X1十wo(6)

こ こ でWzとX。 は そ れ ぞ れ 時 点 τに お け る 当 該 個 人 の 資 産 と収 益 を表 し,w。 は 初 期 保 有 量 を 表 す.X。 は確 率 変 数 で あ る.こ の よ う な 過 程 を 「所 得 過 程 」 と呼 ぶ こ とに す る.な お,貯 蓄 で は な く収 益 の 累 計 を資 産 と呼 ぶ こ とに 異 論 が あ る か も しれ な い .そ の よ うな ときに は,Xは 貯 蓄 で あ り,そ の貯 蓄 は 収 益 に の み 依 存 す る とみ なせ ば い い だ ろ う.あ る い は,こ こ で のWtは 時 点'ま で の 所 得 を指 し,X。 は 各 時 点 の収 益 で あ るみ な す こ と もで き る だ ろ う.

他 方,時 点tに お け る資 産 は 前 期 の 資 産 か ら の収 益 と元 本 で あ り,収 益 率 が 確 率 変 数 で あ る場

合 を 「 収 益 率 過 程 」 と名 づ け る こ とに す る.す な わ ち,そ れ は つ ぎ の よ う な過 程 で あ る.

March2008大 槻 幹 郎:分 配 の 不平 等の 内的 生起5

Wt=X6凧 一工=凡XH…Xlwo(7)

こ こ で は確 率 変 数X.は1+収 益 率 を 意 味 す る.な お,こ の 過 程 で はw。‑1と 仮 定 して も,結 果 は 左 右 され な い.

現 実 の 経 済 で は個 人 の収111τ の分 布 関 数 は,彼 女 に と っ て は 外 生 的 で 不 確 実 な要 因 と彼 女 の 所 得 稼 得 力,さ ら に戦 略 変 数 の 選 択 に よ っ て 決 ま る.し か し こ こ で は ま ず,つ ぎの よ う な最 も単 純 な 場 合 か ら議 論 を 開 始 す る こ とに す る.収 益 の分 布 関 数 は,外 生 的 な要 因 の み に よ っ て規 定 さ れ,彼 女 に と っ て は 制 御 不 可 能 で あ る.収 益 の 分 布 関 数 は 個 人 間 で独 立 で か つ 同 一 で あ る と仮 定 す る.こ の よ うに 何 人 も 自己 の 生 涯 を選 択 す る こ とは 不 可 能 で あ り,す べ て の 人 々 は 同 じ宿 命 に 身 を ゆ だ ね る と い う状 況 を 想 定 す る.も ち ろ ん こ の こ とは,各 個 人 の 収 益 の 分 布 関 数 が 同 じで あ る と言 う こ とで あ って,す べ て の 人 に 同 一 の 収 益 が 実 現 す る と言 う意 味 で は な い.ま た収 益X。

は 個 人 間 で独 立 で 同 一 で あ る ば か りで な く,通 時 的 に も独 立 で 同 一 の 分 布 関 数F(x。)に 従 い, そ の 期 待 値 μ と分 散 σ2が存 在 す る とす る.3)さ ら に,す べ て の 個 人 の 初 期 資 産 は 同 額w。 で あ る

と仮 定 す る.こ こ で は個 人 は 一 個 の粒 子 の 運 動 の よ うに,相 互 に ま っ た く干 渉 し な い の で,想 定 さ れ て い る状 況 を社 会 と呼 ぶ こ とは適 当 で な い か も しれ な い.し か し こ の よ うな 設 定 は,不 平 等 の 内的 生 起 に つ い て考 察 す る こ とが 目的 で あ る小 論 に お い て は,相 応 しい 議 論 の 始 点 で あ ろ う.

以 上 の 仮 定 の も とで は 大 数 の 法 則 に よ り,任 意 に 指 定 さ れ た 時 点'に お い て,社 会 を構 成 す る 個 人 の 総 数%が 十 分 に大 きい な らば,時 点'に お け る資 産 の 個 人 間 分 布 関Gt(w)は 出 発 時 点 か ら観 た 将 来 時 点tに お け る一 個 人 の 資 産 保 有 量Wtの 分 布 関 数 に 近 似 す るだ ろ う.

所 得 過 程(6)に お い て はWtの 期 待 値 は オ μ+ω 。で あ り,そ の 分 散 はt62で あ る.し た が っ て 時 点tに お け る社 会 全 体 の 平 均 保 有 量 πt=tu+w。,そ の 分 散var(Wt)=渉 σ2で あ る の で,時 間t が 大 き くな る に つ れ て相 対 分 散 は ゼ ロ に 漸 近 す る.し た が っ て,性 質(2)か ら,不 平 等 度 も ま

た ゼ ロ に漸 近 す る.

収 益 率 過 程(7)に つ い て は,不 平 等 度 は つ ぎ の よ う に展 開 さ れ る.

Ht‑r・wtlw

t・9(wtwt)幽)dF(x2)…dF(xt)

一 ∫ ・聾1'xt1・g(xlx2・t'xt)dF(xl)dF(x2)…dF(Xt)

‑/・/盤 ・ 与(愛1。gx・

==1V)dF(xl)dF(x2)…dF(Xt) 一 削 肇1・9(塗

μ)幽

一 弗1・9(x)dF(x)‑tHl (8)

し た が っ て,も し大 数 の 法 則 が 適 用 で き る な らば,不 平 等 度 は 時 間 の 経 過 に 比 例 し て増 大 す る.

上 の 展 開 で は,時 点tを 所 与 と し て個 人 総 数%が 十 分 大 き く,そ の 結 果 時 点tに お け る社 会 3)分 布 関数 が通 時 的 に 同一 で あ る とい う仮 定 を課 さ な く とも,以 下 の 議 論 の ほ とん どす べ て が 成 立 す る.し た

が って この 仮 定 は本 質 的 は な い.こ こで は,記 号 が 煩雑 に な るの を避 け るた め に課 した に過 ぎな い.

全 体 の 個 人 間 の 資 産 の 分 布 は 一 個 人 の 資 産 保 有 量Wtの 分 布 に 近 似 す る と い う こ とが 前 提 さ れ て い る.し か し 凧 の分 散 は時 聞 の経過 と ともに増 大 す るの で あ る.個 人総 数 を所 与 と して時 間 が 経 過 す る場 合 で も,大 数 の 法 則 は 適 用 で き る だ ろ うか.例 え ば期 待 値 の 漸 近 性 に つ い て み て み よ う.分 配 の 不 平 等 度 は(1)の よ う に 資 産 比 に つ い て 定 義 され る の で,絶 対 的 乖 離 で は な く,相 対 的 乖 離 を採 用 す る と,Chebsyshevの 不 等 式 に よ り相 対 的 乖 離 が α以 下 で あ る確 率 は

P(謡 晦 一E(Wt)<αE帆))≧1一

η罪 灘)・(9)

で あ る.す で に 述 べ た よ うに,所 得 過 程 の 場 合 に はtが 大 き くな る に つ れ て相 対 分 散 は ゼ ロ に漸 近 し,し た が っ て,上 の 式 の 右 辺 は1に 漸 近 す る の で,大 数 の 法 則 の 適 用 に お い て特 に 支 障 は生

じな い.他 方,収 益 率 過 程 の 場 合 に は期 待 値 は 〆 で あ る か ら,分 散 は

va・(Wt)‑J・ ・∫(x・x・ … 銑)・dF(xl)dF'(xa)…dF(xt)一 μ翫

一(fx2dF(x))̲u2t‑(u2+62)}

であ る.し たがって,相 対分散 は

var{Wt) ̲.

E(Wt)2‑(1+62¥tu2/1‑1(1・)

とな り,幾 何 級 数 的 に増 大 す る の で,相 対 的 乖 離 αが 保 証 され る確 率 で あ る(9)の 右 辺 はtの 増 大 と と もに 減 少 し,あ る 時 点 を越 え る とゼ ロ とな る.し た が っ て 不 平 等 度 が 経 過 期 間tに ほ ぼ 比 例 して 増 大 す るが,こ の 比 例 性 はtが 大 き くな る に つ れ て 維 持 さ れ な くな る傾 向 が あ る .

こ れ ら を次 の よ うに 結 論 と して ま とめ て お こ う.

結 論1.(1)所 得 過 程(6)に お い て は,不 平 等 度 は 時 間 の 経 過 と と もに ゼ ロ に漸 近 す る.す な わ ち

lim、弘=O

t‑.oO

(2)収 益 率 過 程(7)に お い て は,あ る時 点Tま で は,不 平 等 度 は 経 過 期 間 数 に ほ ぼ 比 例 して 増 大 す る.す な わ ちt〈Tに つ い て

H搾 孟 温

で あ る.し か し,時 間 の 経 過 と と もに,tHlか ら乖 離 す る確 率 は大 き くな る.4)◇

上 述 の よ うに,所 得 過 程 で は 不 平 等 度 は ゼ ロ に 漸 近 す る.し か し一般 に単調 に減 少 す るか ど う か は 明 白 で は な い.し か し二 項 モ デ ル と い う特 殊 な ケ ー ス に 限定 す る と,次 の 結 論 が 得 られ る.

結 論2.収 益Xtが2つ の 正 の 値rとSの み を と り,そ の 確 率 はP(凡=r)=p,P(Xt=S)=

1‑pで あ る と し よ う.こ の 場 合,w。‑0な らば,不 平 等 度 は 時 間 が 経 過 す る に つ れ て 単 調 に 減 少 す る.す な わ ち,す べ て のtに つ い て

Ht‑1>Hご が 成 立 す る.◇

4)以 下 で記 号 電 は 「 近 似 的 に等 式 で成 立 す る」 こ とを表 す .

March2008大 槻 幹 郎:分 配 の 不 平 等 の 内 的 生 起7

で は,こ の 単 調 減 少 性 を 示 そ う.ま ず,二 項 モ デ ル で はXtの 期 待 値 と分 散 は μ=η 升sα,σ2=(r‑S)zpq

で あ る.(6)に お い て,時 点1か ら 時 点tま で の 聞 にk時 点 でX=Yで あ り,t‑k時 点 でX

‑Sあ る な ら ば ,Wt=kr+(t‑k)で あ る.し た が っ てWtは つ ぎ の よ う な 二 項 分 布 の 確 率 変 数 で あ る.

P(Wt‑rk+s('‑k))一(1)pkgt‑k

ま たWtの 期 待 値 狐 一'μで あ る.前 に 述 べ た よ う に 総 構 成 員nが 十 分 に 大 きい な ら ば,時 点 tに お け る社 会 の 資 産 分 布 はWtの 分 布 関 数 に 近 似 す るか ら,時 点tに お け る不 平 等 度 はつ ぎ の よ う に な る.

Ht一 嵐z・ ・(1)pkgt‑k(11) こ こ で,Zakは

娩 十s(t‑k)rk十s{t‑k)l ogZtk一

μ' μ≠

と定 義 さ れ て い る.時 点'‑1に お け る 不 平 等 度 は つ ぎ の よ う に 展 開 が で き る.

Ht‑1‑(P匂 凪f瀞 ・一・)<㌦1)(pk+・qt‑1‑k+pkgt‑k)

‑tZ(t ‑‑i)

k=1(k‑・ ・(1二1)pk4t‑k+罫a・ 一・・k(㌦1)pkgt‑k

‑t‑1

k=1(Z(t‑1){k一 蠕 二D+撫D・(t‑1k))pkgt‑k

‑Zct ̲1)(t‑1)pt‐Zct̲1)oqt

‑t‑i

k=1(知 ・一・)(k‑・・+≒ んZ・t‑1・k)(1)pkgt‑k

‑Zct ‑1)(t‑i)pt‑Zct‐z)0グ

し た が っ て,差 分 を と る と

私 一Ht‑1一 岩Z・ ・‑kZct‐ ・)(k‑1「 与 転 ・‑1)ktkpkq.t‑k

H‑(Ztt‑2裂 云̲1)(t‑1))pt一 ト(Zto‑Zct̲1)o)(t(12)

と な る.定 義 に よ り

Zct‑1)(k‑1)‑Y(k‑1〜 離 一k)1・gr(k‑1〜+s(tt ‑1)‑k)・

乃 ・一・・k‑rk+s(t‑1‑ku{t‑1))1・9γ 讐 ≡1‑k1))

で あ る か ら,容 易 に 確 か め られ る よ うに

k

t・z圓(k‑・+t‑kt・Zit̲・ ・〆 響1‑k)‑Ztk

で あ る.さ ら に 関xlogxは 凸 関 数 で あ る.こ の 二 つ の こ と か ら,(12)の 右 辺 の 第1項 は 負

で あ る.ま た

Ztt一 乙 ・一・)(t‑t・‑rl・9毒 ・

で あ る か ら,(12)の 右 辺 の 第2項 は ゼ ロ で あ る.

れ で 結 論 の 証 明 は 完 了 し た.

Zto=Zct‐i)o=ulogu

し た が っ て そ の 右 辺 全 体 の 値 は 負 で あ る.こ

数 値 実 験

上 の 結 論 に つ い て 二 項 モ デ ル を 用 い て シ ミ ュ レ ー シ ョ ン を行 っ た.そ の 結 果 は 以 下 の 通 り で あ る.

●結 論1の(1)に つ い て:(図1参 照)

パ ラ メ タ を そ れ ぞ れp=0 .1,Y=1a.0,S=0.0001と 指 定 し た.図1で は ヨ コ 軸 に 期 間tを と り,タ テ 軸 に は 不 平 等 度Hを と っ て い る.実 線 の 曲 線 は(11)で 定 義 さ れ た 不 平 等 度 私 の グ ラ フ で あ る.こ こ で は,w。=0とwo=1の 二 つ の 場 合 に つ い て 描 か れ て い る.結 論1に 示 し た よ

う に,時 間 の 経 過 と と も に 不 平 等 度 は ゼ ロ に 漸 近 し て い る.

ま た,結 論2で 述 べ た よ う に,w。=0の と き に は 不 平 等 度 は 単 調 に 減 少 し て い る .な お,言 う ま で も な く,個 人 間 で 同 一 で あ る 初 期 資 産 保 有 量 の 存 在 は 不 平 等 を緩 和 す る 効 果 を も つ の で,初 期 保 有 量 が 大 き い ほ ど,不 平 等 度 は 小 さ い.こ の 図 で はwo‑1の と き の 曲 線 はw。=0の と き の

そ れ よ り も下 方 に 位 置 し て い る.

つ ぎ に,社 会 を 構 成 す る 個 人 の 総 数 η=1 ,000と し,初 期 に お い て す べ て の 個 人 は 資 産 量1単 位 を 保 有 し て い る こ と,す な わ ち 個 人Zの 初 期 保 有 量 勧 。‑1と 仮 定 し て,100期 ま で の 数 値 実 験

を し た.ま ず 各 時 点tで1,000個 の 区 間(0,1)上 の 一 様 乱i数{uit:Z‑1,2,…,n}を 発 生 さ せ, uit<pな ら ば,個 人Zの 収 益 為=rで あ り,uit>1」 な ら ば,個 人Zの 収 益 銑t=Sと 与 え ,時

t

点tに お け る 個 人Zの 資 産 保 有 量wit=xi.+伽 を 算 出 し た.こ の よ う に し てt=1か らt=

z=1

100ま で の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン を 一 回 行 い,各 個 人 に つ い て 資 産 量 の 時 系 列{勧t:t=1,2,…, 100Z=1,2,…n}を 生 成 し た.そ の 時 系 列 の う ちt=5か ら5期 ご と に 計20時 点 に お い て ,

(1)に 従 い 不 平 等 度Hを 計 算 し,○ 印 で プ ロ ッ ト し て あ る.こ の 軌 跡 は 伽=1の 場 合 の 不 平 等 度 の 理 論 上 の 値 で あ る 実 線 と極 め て 近 い 位 置 に あ り,ゼ ロ に 漸 近 し て い る.な お,t=100に お け る 理 論 上 の 不 平 等 度Hio。=0.0450で あ り,シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 上 の そ れ は0.0542で あ っ た .

● 結 論2の(2)に つ い て:(図2参 照)

二 項 モ デ ル の パ ラ メ タ をp=0 .3,r=1.13,S=0.95と 与 え た.し た が っ て μ=。ρ7十(1‑p)S=1.0100,σ2=(Y‑S)zp(1‑.ρ)=0.0054

で あ る.ま た,こ こ で は 総 人 数%‑2,000と 指 定 し た.

ま ず,前 図 と 同 じ よ う に,図2に お い て も ヨ コ 軸 にtを と り,タ テ 軸 に 不 平 等 度Hを と っ て

い る .実 線 の 直 線 は 不 平 等 度 の 理 論 値Ht=tHiの グ ラ フ で あ る.な お,私=0.0026で あ る か ら,

時 点2,000に お け る 不 平 等 度HaOOO=5.2で あ る.

March2008大 槻 幹 郎:分 配 の 不 平 等 の 内 的 生 起9

図1結 論1の(1)の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 図2結 論1の(2)の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン

2

1.5

1

0.5

00 Za 40 60 ^{80 goo}

5

4

3

2

1

0

0 50a 1000 1500 2000

表1相 対 的乖離 αの保 証 され る確 率

t 200 40a 6ao 800 1000 1200

a=0.1 a=0.3

1・1

!':

0.63 0.95

0.00 0.92

0.00 0.78

111 1

111 111

つ ぎ に前 の ケ ー ス と同 じ よ う に,乱 数 を用 い て2,000期 ま で の 数 値 実 験 を し た.そ の 結 果 の う ち 等 間 隔 で 計50時 点 に お け る不 平 等 度 を計 算 し,○ 印 で プ ロ ッ ト した.こ の軌 跡 は初 期 か ら相 当 長 い 期 間 直 線Ht‑tHlに そ っ て い る.し か し期 間 が 経 過 す る と と も に,実 線 か ら ま す ま す 乖 離 して い く傾 向 が あ る.言 う ま で も な く,こ れ は 相 対 分 散 が 大 き くな り,(9)の 右 辺 の 値 が 低 下 し て い くた め で あ る.例 え ば,相 対 的 乖 離 α=0.1あ る い は0.3と 指 定 し,こ れ ら指 定 さ れ た 相 対 的 乖 離 が 保 証 さ れ る確 率 で あ る(9)の 右 辺 の値 を'‑200か ら1,200ま で200期 間 隔 で 算 出 す る と,そ の 結 果 は 上 に 掲 げ た 表 の 通 りで あ る.な お,少 数 点3桁 以 下 を切 り捨 て,ま た 負 の 値 の 時 はゼ ロ と記 入 し た.図 に 示 さ れ た よ うに,不 平 等 度 の 軌 跡 は オ=800以 降 直 線 か ら ます ま す 大 き

く乖 離 して い る が,こ の こ と は 表 に 示 され た 「 保 証 さ れ る確 率 」 が こ の 時 点 以 降 小 さ い こ と と照 応 して い る.

3.選 択 行 為 と 不 平 等

こ れ ま で は あ る 固 定 され た不 確 実 な 収 益 機 会 が均 等 に 各 個 人 に 賦 与 され て お り,個 人 に は 選 択

の 余 地 の な い 状 況 を想 定 して,不 平 等 が ど の よ う に縮 小 あ る い は 拡 大 す る か に つ い て考 察 し,所

得 過 程 で は不 平 等 度 は ゼ ロ に漸 近 す る こ と,収 益 率 過 程 で は 相 当 の期 間 直 線 的 に 増 大 す る とい う

結 論 を 導 い た.こ こ で は 各 個 人 が い くつ か の 収 益 機 会 か ら一 つ を選 択 す る こ とが で き る状 況 を設

定 し,不 平 等 度 の 推 移 に つ い て 考 察 し,前 節 の 結 論 と比 較 す る こ とに よ っ て,選 択 行 為 の 導 入 が

不 平 等 に 与 え る効 果 を明 らか に し よ う.ま ず,こ れ ま で の 不 確 実 な 収 益 機 会 に 加 え て 確 実 な 収 益

機 会 が 存 在 し,各 個 人 は そ の い ず れ か 一 方 を選 択 で き る状 況 を想 定 す る.例 え ば,そ れ は個 人 が

不 確 実 だ が 高 い収 益 が 期 待 さ れ る 人 生 と収 益 は 低 い が 比 較 的 安 泰 な 人 生 の う ち い ず れ か を選 ぶ と

い っ よ っ な 状 況 で あ る.つ い で 複 数 の 不 確 実 な収 益 機 会 か ら1つ を選 択 で き る場 合 を 取 り扱 う こ とに し よ う.

個 人 が どの よ うな 機 会 を選 択 す る か は,彼 女 の リス クに 対 す る態 度 に よ っ て決 定 さ れ る.こ こ で後 の 議 論 の 準 備 の た め,確 実 性 等 価 に つ い て よ く知 られ て い る こ とに 触 れ て お く.あ る個 人の 効 用 関 数 をu(・),資 産 保 有 量 をwと 表 す と,彼 女 に と っ て の 不 確 実 な機 会 の 確 実 性 等 価 は,所 得 過 程 と収 益 率 過 程 の 場 合 そ れ ぞ れ に つ い て 別 々 に,つ ぎの 等 式 を 満 た す ξ の 値 と し て 定 義 さ れ る.

u(w+ξ)‑fu(w+x)dF(x),

u(ξ ω)‑fu(xw)dF(x)

上 段 の 式 は 所 得 過 程 に お け る確 実 性 等 価 の 定 義 式 で あ り,確 実 性 等 価 ξ は 不 確 実 な 収 益 と無 差 別 で あ る よ う な確 実 な 収 益 と して 定 義 され る.他 方,下 段 の 式 は収 益 率 過 程 に お け る定 義 で あ

り,確 実 性 等 価 ξは 不 確 実 な 収 益 率 と無 差 別 で あ る よ う な確 実 な収 益 率 と して 定 義 さ れ る.

絶 対 的 危 険 回 避 度 が 一 定 で あ る な ら ば,す な わ ち 効 用 関 数 がu(w+x)̲一 一ρ一1exp(‑p(w +x))の 形 を と る な らば,上 段 の 式 は

〆 一β 塑 ω

と な り,確 実 性 等 価 は 資 産 保 有 量 に は 依 存 し な い.他 方,相 対 的 危 険 回 避 度 が 一 定 で あ る な ら ば, す な わ ち,効 用 関 数 がu(xw)=(1‑p)‑1(xw)1一 ρの 形 で 表 さ れ る な ら ば,下 段 の 式 は

ξ1㌔ み ・‑pdF(x}

と な り,こ こ で も確 実 性 等 価 は 資 産 保 有 量 に依 存 しな い.

こ の よ うに 危 険 回 避 度 一 定 の 仮 定 の も と で は 確 実 性 等 価 は 資 産 保 有 量 に は依 存 せ ず ,個 人の 危 険 回避 度 ρ と分 布 関 数F(・)の み に依 存 す る.も ち ろ ん,危 険 回避 度 は 人 に よ っ て 異 な り,そ れ に 応 じて,あ る所 与 の 不 確 実 な機 会 の 確 実 性 等 価 は個 人 間 で 相 違 し 多様 な値 を と る.あ る人 々 は 危 険 回 避 的 で あ り,し た が っ て ρ>0で あ り,そ の と き に は ξ<μ で あ る.ま た,あ る 人 々 は 危 険 中 立 的 で あ り,し た が っ て1で あ り,ξ=μ で あ る.他 の 人 々 は 危 険 愛 好 的 で あ り,し た が っ て ρ〈0で あ るか も しれ な い.そ の よ うな 人 々 に と っ て は ξ〉 μ で あ る.

以 下 の 議 論 で は,絶 対 的 あ る い は 相 対 的 危 険 回避 度 が 一 定 で あ る と仮 定 す る.

3.1不 確 実 な機 会 と確 実 な機 会 か らの 選 択

各 個 人 は 不 確 実 な収 益 機 会 と確 実 に収 益 μ。が 得 られ る機 会 か ら い ず れ か 一 方 の み を選 択 で き

る と想 定 し よ う.こ れ ま で 通 り,不 確 実 な 機 会 に お け る 収 益 の 分 布 関 数 を ・F(x)と 表 し,そ の

期 待 値 を μ と表 す.各 個 人 は 不 確 実 な 機 会 に 対 して 自分 が 付 け た 確 実 性 等 価 と確 実 な 収 益 を 比

較 し,も し前 者 か 大 きい な らば 不 確 実 な機 会 を選 択 し,後 者 が 大 きけ れ ば,確 実 な 機 会 を選 択 す

る だ ろ う.不 確 実 な 機 会 を選 ぶ 人 々 の 集 ま り を グ ル ー プ1と よ び,そ の員 数 の 総 人 数 に 対 す る割

March2008大 槻 幹 郎:分 配 の不 平 等 の 内的 生起II

合 を λ、と表 し,確 実 な機 会 を選 ぶ 人 々 を グ ル ー プ0と よ び,そ の 員i数の 割 合 を λ。=1一 λ1と表 す.

上 で 述 べ た よ うに,危 険 回避 度 一 定 の 仮 定 の も とで は確 実 性 等 価 は 資 産 保 有 量 か ら独 立 で あ る か ら,資 産 保 有 量 が 変 化 し て も,各 個 人 は 同 じ機 会 を選 択 し続 け る.し た が って 各 グ ル ー プ の 員 数 の 割 合 は 不 変 で あ る.こ の 節 で は,い ず れ の グ ル ー プ の 員 数 もゼ ロ で は な い,す な わ ち,λ 。,λ1

>0と す る.さ も な け れ ば,前 節 で想 定 した選 択 不 可 能 な状 況 と同 じ こ とに な っ て し ま うか ら で あ る.

時 点tに お け る グ ル ー プk内 の 不 平 等 度 と一 人 当 た り平 均 資 産 量 を そ れ ぞ れ 仏 オ,飾 舌と表 し (宅=0,1),経 済 全 体 の 一 人 当 た り平 均 資 産 量 をwtと 表 す こ と に す る.不 確 実 な 機 会 を選 ぶ 人 々 の グ ル ー プ1の 中 で は ま さ に 結 論1で 想 定 した と同 じ状 況 が 進 行 す る の で あ るか ら,こ の グ ル ー プ 内 の 不 平 等 度liltは 結 論1に お け る不 平 等 度Htと 同 一 の 特 性 を備 え る.他 方,確 実 な 機 会 を選 択 す るす べ て の 人 は 毎 期 確 実 に 同 額 の 収 益 μoを得 る の で あ るか ら,こ の グ ル ー プ0内 の 不 平 等 度 は ゼ ロ で あ る.し た が っ て,社 会 全 体 の 不 平 等 度 は,性 質(3)を 適 用 す る と

弘 一 珠 伍+λ1劣11・9劣1λ ・2Uot1ZU

t・gZUotwt(13) で あ る.

と く に 所 得 過 程 の 場 合 に は 各 グ ル ー プ の 一 人 当 た り 平 均 資 産 量 と 社 会 全 体 の そ れ は そ れ ぞ れ, 歪万zt='μ 十ZUo,?A/0t=云 μ0十 ω0,Z万t=t(!聚1μ 十 λ0μ0)十ZUo

で あ る か ら,(13)は

Ht=̲.̲Hlt+..log

λ1μ+λ ・μ・+孕 λ・μ+λ ・μ・+ZUotλ1μ+λ ・μ・+2Uot

+姻 孕)log絢+摯(14)

λ・ μ+輌+ZUot/̀lu+λ ・ μ・+wot

と な る.u=μ 。な ら ば,上 の 式 の 最 後 の 二 項,す な わ ち グ ル ー プ 間 の 不 平 等 度 は ゼ ロ で あ り,そ の 結 果,Ht=λ1π 、 、で あ る.結 論1で 述 べ た よ う に,H、tは ゼ ロ に 漸 近 す る こ と か ら,社 会 全 体 の 不 平 等 度 も ゼ ロ に 漸 近 す る 。 他 方,μ 。 ≠ μ な ら ば,同 じ よ う にHltの ゼ ロ へ の 漸 近 性 か ら

煙 脂 μ篇1・9ん μ章輌+冠 銑 両1・9んμ孕輌 〉・(・5)

し た が っ て,グ ル ー プ 間 の 不 平 等 が 存 続 し,経 済 全 体 の 不 平 等 度 は ゼ ロ に 漸 近 し な い.こ れ ら の 結 果 を ま とめ る と,

結 論3.所 得 過 程 に お い て は 不 平 等 度 は つ ぎ の よ う な 漸 近 的 特 性 を も つ.

(1)μ=μoな ら ば,1ム=λ1H1ご,し た が っ て,limHt=・O t→oo

(2)μ ≠ μoな ら ば,limHt>0で あ る.◇

オーQQ

先 の 結 論1の(1)と 比 べ る と,こ の 結 論 が 示 し て い る こ と は,推 測 さ れ た こ と で は あ る が,

個 人 に と っ て 選 択 が 可 能 に な る と,危 険 に 対 す る 態 度 の 個 人 間 差 異 と選 択 対 象 間 の 収 益 の 差 異 に よ リ グ ル ー プ 間 の 不 平 等 が 生 起 す る と い う こ と で あ る.

つ ぎ に 収 益 率 過 程 の 場 合 に つ い て 検 討 し よ う.結 論1の(2)に お け るTは 総 人 数%に 依 存 す る が,nはTが 十 分 大 き い く な る よ う な 大 き な 値 で あ る と し よ う.こ の 場 合 に は(13)に お い て,t<Tに つ い て ほ ぼ 、 弘̀=珊 、 、で あ り

wzt=μ オZOO,ZUot=μ6ωO,wt=(λ1μ 亡十 λ0μ6)ZUo で あ る か ら,(13)は

猛= ん+嫁 飾+ん+輸 ㎏ ゐ+λ 燥 γ+ん(恭+書(訴

とな る.最 後 の 二 項 の 和 は グ ル ー プ 間 の 不 平 等 度 で あ るが,こ れ をtで 微 分 し整 理 す る と

〃 ・t(迎 μ)t(1・g,uo‑1・9μ)・

(ル+務 ア

(16)

が 得 ら れ る.し た が っ て,μo≠ μ、な ら ば,グ ル ー プ 問 の 不 平 等 度 は 期 間 の 経 過 と と も に 単 調 に 増 加 す る.

μ。 一 μ な ら ば,容 易 に 分 か る よ う に(16)の 右 辺 は λ1私,で あ る.

μo>μ な ら ば,(16)の 第 一 項 は ゼ ロ に 極 め て 近 い 値 で あ る.な ぜ な ら,1'Hospitalの 定 理 に よ り

!聖ん+撫=聰 為醸(逸

μ)=o

で あ る か ら で あ る.一 般 にlimxlogx=0で あ る か ら,第 二 項 は ゼ ロ に 漸 近 す る .最 後 の 項 の 和

x→0

は 単 調 に 増 加 し つ つ,‑logλoに 漸 近 す る.

μ。<μ な ら ば,(16)の 右 辺 の 第 一 項,し た が っ て ∬tは 発 散 す る.し か し,Hご とHlt=tHl、

の 差 を る と,上 の 場 合 と 同 じ よ う に 最 後 の 二 項 の 和 は 単 調 に 増 加 し つ つ ,‑10gλ 、に 漸 近 す る こ と を考 慮 す る と

贈 凪 一 塒)=一 甑(煮+λ

。私 ・‑1・9λ・=‑1・9λ1(17) で あ る.以 上 の こ と を ま と め る と

結 論4.結 論1の(2)に お け るTが 十 分 大 き い な ら ば,収 益 率 過 程 に お け る 不 平 等 度 は つ ぎ の 特 性 を も つ.

(1)μo=・ μ な ら ば,t〈Tに つ い て1ゐ 彩 λ1班11 (2>μo>uな ら ば,、 厚丁舘 一logλo

(3)μ 。 〈uな ら ば,不 平 等 度HtはHltと 同 様 に 発 散 し, HT‑THzl‑109λ1

で あ る.

March2008大 槻 幹郎:分 配 の不 平 等 の 内的生 起 ・3 (4)μ 。 ≠ μ1な ら ば,不 確 実 な収 益 率 を選 択 し た 人 々 の グ ル ー プ1と 確 実 な 収 益 率 を選 択 し た

人 々 の グ ル ー プ0の 間 の 不 平 等 度 は 期 間 の 経 過 と と も に単 調 に増 加 す る.◇

こ の 結 論 に よ る と,確 実 な収 益 機 会 が 追 加 さ れ,収 益 機 会 の選 択 が 可 能 に な り,一 部 の 人 々 が 確 実 な機 会 を選 択 す る状 況 で は,も し確 実 な 収 益 率 が 不 確 実 な そ れ よ り も大 き い な ら ば,確 実 な 収 益 機 会 を選 ん だ 人 々 の 資 産 保 有 量 は,不 確 実 な機 会 を選 ん だ 人 々 の保 有 量 を凌 駕 し,そ れ ゆ え, 不 平 等 度 は小 さ くな る.も し確 実 な収 益 率 が 小 さ い な ら ば,こ の機 会 を選 ん だ 人 々 と不 確 実 な機 会 を選 ん だ 人 々 の 間 に 新 た な 不 平 等 が 生 じ,そ れ ゆ え,不 平 等 度 は 大 き くな る.

数 値 実 験

前 と 同 じ よ う に 二 項 モ デ ル を 用 い で シ ミュ レ ー シ ョ ン を 行 っ た.

■結 論3の(2)に つ い て 二(図3参 照)

図3で も ヨ コ 軸 にtを と り,タ テ 軸 に 不 平 等 度 を 測 り,結 論1の(1)に つ い て の シ ミュ レ ー シ ョ ン の と き と 同 じ よ う に,パ ラ メ タp‑0.10,r=14,S‑0.0001を 与 え た.し た が っ て μ、‑

1.0001で あ る.ま た,初 期 保 有 量wo=1と し た,さ ら に,こ こ で の 新 た な パ ラ メ タ に つ い て は λ、=0.75,μ 。0.6と 指 定 し た.実 線 の 曲 線 は,(14)に し た が っ て 計 算 さ れ たHtの 理 論 値 の グ ラ フ で あ る.な お,比 較 の た め に,図1に 描 い たwo=1の と き の 私 の グ ラ フ を 点 線 で 再 生 し て あ る.ま た,数 値 実 験 の 結 果 は ○ 印 で プ ロ ッ ト さ れ て い る.な お,t=100に お け る 不 平 等 度 は 理 論 上 で はH、 。 。=0.0572,シ ミ ュ レ ー シ ョ ン で は0.0570で あ る.ま た,不 平 等 度 の 理 論 上 の 収 束 値lzmHt=0。Ol98で あ る.

Ly

●結 論4の(2)と(3)に つ い て:(図4と5参 照)

前 の 収 益 率 過 程 に 関 す る シ ミ ュ レ ー シ ョ ン の 場 合 と 同 じ よ う に,不 確 実 な 収 益 率 の 分 布 と し て パ ラ メ タp=0 .3,r=1.13,S=0.95と 与 え た.こ の と き 不 確 実 な 収 益 率 の 期 待 値 μ=1.004で

あ る.ま た,n=2,000と し,t=2aOま で の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン を 行 っ た.

結 論 の(2)は こ の 期 待 値 μ よ り も 確 実 な 収 益 率 μ。が 大 き い ケ ー ス で あ る が,こ こ で は μ。=

図3結 論3の ② の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

00 20 40 6fl 80 100

図4結 論4の(2)の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 図5結 論4の(3)の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 0.71.4

0.6

0.5

a.a.

0.3

0.2

0.1

0

0 50 100 150 200

1.2

1

0.8

0.6

o.a

0.2

00 50 100 150 200

1.05と 与 え,確 実 な 収 益 率 を選 択 す る 個 人 の 割 合 λ。=0 .6,し た が っ て 不 確 実 な 収 益 率 を 選 択 す る 割 合 λ、=0.4と 指 定 し,シ ミ ュ レー シ ョ ン を行 っ た.そ の 結 果 は 理 論 値 と と も に 図4に 示 さ れ て い る.な お,t=200の と き の 不 平 等 度 の 理 論 値HZ。 。=a.510で あ り,シ ミ ュ レ ー シ ョ ン の 値

も0.510で あ り,と も に 一log(λo)=0.5108に 近 似 し て い る.

他 方,結 論 の(3)は,不 確 実 な 収 益 率 の 期 待 値 よ り も 確 実 な 収 益 率 が 小 さ い ケ ー ス で あ る.

こ の 場 合 に は μ。=0.97と 与 え,確 実 な 収 益 率 を選 択 す る 個 人 の 割 ・ 合 を上 の ケ ー ス よ り も 小 さ く , λo=0.4,し た が っ て λ1‑0.6と 指 定 し,シ ミ ュ レ ー シ ョ ン を 行 い,そ の 結 果 は 図5に 示 さ れ て い る.な お,こ こ で,実 線 はHtの 理 論 値 の グ ラ フ で あ り ,点 線 の 直 線 は π 、t=tHi1の グ ラ フ で あ る.t=200の と き の 実 線 と 点 線 の 垂 直 差 私 一 班1、=0.5050で あ り,結 論 で 述 べ た 通 り,

‑10gλ

1=0.5108に 近 い 値 と な っ て い る.ま た,不 平 等 度 は 理 論 上 は 品 。 。‑1.1651で あ り,シ ミ ュ レ ー シ ョ ン で は1.1047で あ っ た .期 間 の 経 過 と と もに,シ ミュ レ ー シ ョ ン の 値 が 理 論 値 で あ る 実 線 か ら 乖 離 し て い る が,そ れ は,前 節 で 述 べ た よ う に,相 対 的 乖 離 が 保 証 さ れ る 確 率 が 小 さ く な っ て い くか ら で あ る.

3.2不 確 実 な機 会 か らの 選 択

こ れ ま で は 不 確 実 な機 会 と確 実 な機 会 か ら二 者 択 一 の ケ ー ス につ い て 考 察 し た が ,こ れ を一般 化 して,つ ぎの よ うな 結 論 が 得 ら れ る.

結 論5.各 収 益 機 会 ブは そ れ ぞ れ分 布 関‑J(x)を も ち,そ の期 待 値 は μ、で あ る とす る.各 個 人 は これ らm個 の 機 会 か ら一 つ を選 ぶ こ とが で き る とす る.機 会 ノ を選 択 した 人 々 の 集 ま りを グ ル ー プ ノ と名 づ け,こ の 員 数 の 割 合 を ん>0と 表 し,時 点tに お け る グ ル ー プ ノ内 の 不 平 等 度 を 瓦 オと表 す(ノ;1,2,…,m).

(1)所 得 過 程 に お い て は,

m

lim、 研=Σ λゴー魯Llo9≠ 望

卜 。。j=1μ μ

March2008大 槻 幹 郎:分 配 の 不 平 等 の 内 的 生 起

ブ

(2)収 益 率 過 程 に お い て は, Tが 十 分 大 き い な らば

zg

船 丁Σ 器 薙 一1・9恩 ん

で あ る.こ こ でAはrn個 の 機 会 の う ち期 待 収 益 率 μゴが 最 も大 き い 機 会 の 集 合,す な わ ちA‑{ノ

【 μ、≧ 焔 ∀h=1,2,…,m}で あ る.

(3)収 益 率 の 期 待 値 μゴが 異 な る よ う な機 会 が 存 在 す る な らば,す な わ ち,あ る(i,カ に つ い て μ洋 μ、な らば,t<Tに お い て,グ ル ー プ 間 の 不 平 等 度 は 期 間 の 経 過 に つ れ て 単 調 に 増 大 す る.◇

こ の よ う に,収 益 率 過 程 に お い て は 不 平 等 度 は収 益 率 の期 待 値 が 最 も大 きい 機 会 とそ れ を選 択 す る 人 々 の 割 合 に よ っ て の み 決 ま る.こ の 人 々 の 資 産 比 が 他 を圧 して し ま うか ら で あ る.か りに 新 しい 機 会 が 追 加 され て も,そ の 期 待 収 益 率 が 既 存 の 収 益 機 会 の うち の最 大 期 待 収 益 率 以 下 で あ

る な い な ら ば,不 平 等 度 に は 影 響 を与 え な い.

まず 上 の 結 論 の(1)を 証 明 す る.所 得 過 程 に お い て は,機 会 ノ を選 ん だ 人 々 の 平 均 資 産 保 有 量w,tと 社 会 全 体 の期 待 値wtは

w,t=義 μゴ十zθo,wt=云 π十wo で あ るか ら,(3)か ら不 平 等 度 は

昂 一魯 λ傷 辛woH,tZUo+魯 雌 需1・9誰 辛綜

で あ る.し た が っ て

m

lxmHt=Σ ん堕109≠ 釜 t→ 。 。 フ=1μ μ と な る.

つ ぎ に 結 論 の(2)を 証 明 す る.収 益 率 過 程 の 場 合,平 均 資 産 保 有 量 は

m

w,t=μ ∫ω 。,飢=Σ λんμ箆ω ・.

k=1

で あ る.収 益 率 の 期 待 値 の 最 も 大 き い 機 会 の 集 合 がAで あ る か ら,こ の 最 大 期 待 収 益 率 と の 比 を θ 、と 表 す と,当 然e,≪,ノ ￠A;e,=1,ブ ∈Aで あ る.(3)か ら 不 平 等 度 は

m

鼠 一薄 既1+齢 の1。9診(18)

Σ 鵡 θ遂j=1Σ 鵡 θ差 Σ 鵡 θ差

k=1k=1k=1

と表 さ れ る.こ の 右 辺 の 最 初 の 項 に つ い て は

m

曜 讐 一r鎌(19)

k=1

と な る.他 方,(18)の 右 辺 の 第 二 項 は グ ル ー プ 間 の 不 平 等 度 で あ る が,こ れ をMtと お き,つ

ぎ の よ う に 書 き換 え る.

Σ λブ6『1096レ 砿 一'ゴ Σ λ

。θ差 一1・9¥λ ・θ遂(20) k

この 第 一 項 の分 数 の部 分 は 第 二 項 をtで 微 分 した も の と等 しい か ら,tに よ るMtの 微 分 はtと 分 数 部 分 の 微 分 の 積 と な る.す な わ ち

aMt at一遡 曝 θ 欝 叫 θ ぎ  

分 子 は ノ とkを 互 い に 入 れ 替 え,元 の 分 子 と 足 す と

2× 分 子=Σ ん θチ1092θ ブ Σ λ纏 一 Σ 鵡 θ差10gθ ノΣ 鵡 θ畜10gθ ん

ゴk.1k

+Σ λんθ差1092θ ノΣ ん6ゲ ー Σ ん θノlo9θ んΣ λ、 θ1109θ ノ

一 Σ Σ ん λ、θゾθ差(loge,‑logek)2>O

jk

で あ る.こ の よ う にMtはtの 増 加 関 数 で あ り,グ ル ー プ 間 の 不 平 等 度 は 期 間 の 経 過 と と も に 増 加 す る(Mt.1<Mt.ま た,⑦ の 定 義 を考 慮 す る と,t→ ・。 の と き,(20)の 最 初 の 項 の 分 子/ljB

logB;tは す べ て ゼ ロ に 漸 近 し,分 母 はk∈ 」湿 に 漸 近 す る .し た が っ て,こ の 項 が ゼ ロ に 漸 近 す る か ら,

lim、妬=‑109Σ 細 ん

t→oo

で あ る.こ の 結 果 と(19)に よ り,十 分 大 き い オで は

姻 Σi呈梁 一1・9恩 ん

で あ る.

4.市 場 と不 平 等

前 節 ま で は 各 人 に 機 会 が 賦 与 され,選 択 で きな い状 況,つ い で 選 択 が 可 能 で あ る状 況 につ い て 考 察 した.い ず れ の 場 合 も個 人 は 経 済 的 な 相 互 関係 を形 成 して お らず,孤 立 して い る.こ の節 で

は 個 人 が 収 益 機 会 を交 換 す る場 合 に つ い て,次 の 二 つ の 状 況 を順 次 に 想 定 して,考 察 し よ う.

(1)ま ず,最 小 の 人 数 問 の 交 換 で あ る相 対 売 買,す な わ ち,市 場 に 同 時 に登 場 す る の は2人 の み で あ で あ り,こ の 二 人 の ペ ア に 対 して 不 確 実 な収 益 の機 会 が 賦 与 さ れ る.こ の収 益 機会 は 分 割 不 可 能 で あ る た め,い ず れ か 一 方 の 個 人 の み が 取 得 で き る.い ずれ が取 得 す るか は 両 者 の 交 渉 に よ っ て 決 ま る.

(2)つ い で 分 割 可 能 で あ る場 合 を取 り上 げ る.こ こ で も相 対 売 買 の 場 合 か ら考 察 を 始 め,そ の

後 に そ の 対 極,す な わ ち,す べ て の 個 人 が 単 一 の 市 場 に登 場 し同 一 の 価 格 で 交 換 す る,い

わ ゆ る統 一 市 場 の 場 合 に つ い て考 察 し,市 場 の 統 合(グ ロー バ リゼ ー シ ョン)が 不 平 等 度

に 与 え る効 果 に つ い て 検 討 しよ う.い ずれ の場合 にお いて も,絶 対 的 危 険 回避度 一定 の仮

定 を課 す こ とに す る.

March2008大 槻 幹 郎:分 配 の不 平 等 の 内的 生起 工7 4.1収 益 機 会 が 分 割 不 可 能 で あ る場 合

相 対 売 買

相 対 売 買 は つ ぎ の よ う な ル ー ル で進 展 す る とす る.

●各 期 に お い て 各 個 人 は無 作 為 に相 手 が 決 ま り,ペ ア を組 む .各 ペ ア に それ ぞ収 益 機会 が 一 つ 賦 与 さ れ る.

●い ず れ か 一 方 の個 人 の み が 機 会 を獲 得 で き る.収 益 機 会 を取 得 し よ う とす る と き に は,相 手 に 代 価 を支 払 う.代 価 は ペ ア 内 で 交 渉 し決 定 す る.

こ こ で各 時 点 で 賦 与 さ れ る収 益 機 会 はペ ア 間 で 同 一 か つ 独 立 で あ る.ま た,時 間 を通 じ て も独 立 で 同 一 で あ る とす る.こ の収 益 機 会 は分 布 関 数F(x)を も ち,期 待 値 μ,分 散 σ2を もつ とす る.

あ る個 人 が 機 会 獲 得 の た め に 支 払 っ て も よ い と思 う最 大 の価 格 を臨 界 価 格 と よ ぶ こ とに す る.

各 個 人 は,も し代 価 が こ の 臨 界 価 格 よ り低 い な らば,相 手 に 代 価 を払 い 機 会 を獲 得 す る こ と を選 び,高 い な ら ば,相 手 に機 会 を譲 り,代 価 を手 に 入 れ る こ と を選 ぶ だ ろ う.交 渉 力 に は差 が な く,

そ れ ゆ えペ ア 内 で は代 価 は 二 人 の 臨 界 価 格 の 中 間 の水 準 に 決 ま る.要 約 す る と,ペ ア 内 の 交 換 の ル ー ル は,「 臨 界 価 格 が よ り高 い個 人 は低 い個 人 に代 価 と し て 二 人 の 臨 界 価 格 の 平 均 値 を支 払 う」 こ とで あ る.絶 対 危 険 回 避 度 一 定 の 仮 定 の 下 で は そ の個 人 の 危 険 回避 度 を ρ,資 産 保 有 量 は

の

wで あ る とす る と,彼 女 に と っ て の 臨 界 価 格 は

〆 網 一乃 綱 一 疎)

す な わ ち

e‑apn=fe‑pxdF(x)

を満 た す よ うな π で あ る.こ の こ とか ら 明 らか な よ う に,臨 界 価 格 は 前 節 で 定 義 し た 確 実 性 等 価 ξの2分 の1で あ る.し た が っ て,上 に 述 べ た 交 換 に お け る代 価 は 二 人 の確 実 性 等 価 の 和 の 4分 の1で あ る.危 険 回 避 度 は 個 人 に よ り異 な る の で,そ れ に 応 じ て 確 実 性 等 価 ξ は 個 人 間 で 異 な る.以 下 で は 区 間(ろ く ξ<a)上 に分 布 して い る とす る.そ の 分 布 関 数 を Φ(ξ),密 度 分 布 関 数 を ψ(ξ)と 表 す こ と にす る.

確 実 性 等 価 が ξで あ る個 人 を取 り上 げ よ う.無 作 為 に選 ば れ た 彼 女 の 相 手 の 臨 界 価 格 をzと す る と,

獲 得:彼 女 よ り も 臨 界 価 格 が 低 い 個 人 とペ ア と な り,代 価 を支 払 い 機 会 を獲 得 す る確 率P(2〈

ξ)=Φ(ξ)で あ り,こ の と き 彼 女 の 資 産 の 増 分 はX‑(ξ+Z)/4で あ る.Xは 密 度 分 布 関 勤)を もつ牌 変数 であ り,Zは 区間(ろくz<ξ)上 の甑 分布 関数 編 を もつ僻 変 数 で あ る.

譲 渡:彼 女 よ り も 臨 界 価 格 が 高 い 個 人 とペ ア と な り,代 価 を受 け 取 る確 率P(z>ξ)=1一 Φ(ξ)

で あ り,こ の と き彼 女 の 資 産 の 変 化 は(ξ+Z)/4で あ る,Zは 区 間(ξ<2〈a)上 の 密 度 分

布 関 数(ψ(2)1 一 Φ(ξ))を も つ 確 較 数 で あ る ・

確 実 性 等 価 が ξで あ る個 人 の 集 合 を グ ル ー プ ξ と呼 ぶ こ と に す る.こ の グル ー プ に 属 す る あ る 個 人 が 時 点1か ら 時 点tま で の う ち で 勉 時 点 で 機 会 を 「 獲 得 」 し,α 一 初 時 点 で は 代 価 を 受

け 取 り,「 譲 渡 」 す る な らば,彼 女 が 時 点tで 保 有 す る こ と に な る 資 産 をwtm)と 表 す と

ω 襯(ξ)‑m

k=Z(場(ξ+9・))+1t‑m4(ξ+4)

一 か+1

4(mt‑m(t‑2m)ξ 一 Σ9計 Σ9乏k一ユQ=1)

で あ る.た だ し,ろ くzk<ξ<g多 くaで あ る.

時 点tま で に お い て 事 象 「獲 得 」 が 彫 回,「 譲 渡 」 が(t‑m)回 起 こ る 確 率 は 伽 Φ(ξア (1一 Φ(ξ))t‑mで あ る か ら,彼 女 の 資 産 量 の 期 待 値 π}t(ξ),す な わ ち,グ ル ー プ ξ の 平 均 資 産 保 有 量 は つ ぎ の よ う に 求 め ら れ る.

t

wt(ξ)一 Σ 伽 Φ(ξ)m(1一 Φ(ξ))t‑m

m=O mmt‑m

×『 ・ ・!..∫先・ ・ ∬ ∬ … ∬ 勧 鋭(ξ)△ 伽

=Σ

t

×(mu+4((t‑2m)ξ 一 鵬(ξ)+('一 鵬(ξ)))(2・)

な お,こ こ で 用 い る 記 号 △ 伽,2a(ξ),2δ(ξ)と 後 に 用 い るvar(za(ξ)),var(zb(ξ))は つ ぎ の よ う に 定 義 さ れ て い る.

△・tm‑H雛 ∂ 縮 麟 冨 、曝)dzQ,

2a(ξ)一 浩 、禦 ξ)dz,va・(Za(ξ))一 ∬(2‑2a(ξ))・1響 ξ)dz

Zb(ξ)一 儲 郵 ぬva・(2b(ξ))一 ∬(z‐zb(ξ))綿 旗

二 項 定 理 を 用 い る と5),(21)の グ ル ー プ ξ の 平 均 資 産 保 有 量 は つ ぎ の よ う に 整 理 さ れ る . π ・(ξ)‑t4(4Φ(ξ)μ+(1‑2Φ(ξ))ξ 一 Φ(ξ)2b(ξ)+(・ 一 Φ(ξ))za(ξ))

一t

4(4Φ(ξ)μ+(1‑2Φ(ξ))ξ 一 ∬ 卸(2)d2+2(1一 Φ(ξ))2a(ξ))

つ ぎに社会全体 の平均資産保有量 であ るが,収 益の期待値 が μである機会 が各時点 で各ペ アに

そ れ ぞ れ1つ 賦 与 され る の で あ るか ら・ 社 会 全 体 の 一 人 当 た り資 産 鮪 量 はto2に な る で あ ろ う.

こ の こ と を 確 認 す る た め に,先 ず つ ぎ の 二 つ の こ と を 示 し て お こ う .ま ず 第 一 に,部 分 積 分 法 を 用 い た の ち,Φ(ろ)=0,Φ(a)‑1を 考 慮 す る と

t

5)よ く 知 ら れ て い る つ ぎ の 結 論:Σ 伽p暇1‑p)t‑m=1,

m=0

オ

Σtmrnp"t(1‑p)t‑m=tp, m=o

March2008

し た が っ て

∬ Φ(ξ)ψ(ξ)礁 一 Φ(ξ)・ab(ξ)Φ(ξ)礁 一1‑ab(ξ)Φ(ξ)

∬ Φ(ξ)ψ(ξ)礁 一1

∬ ∬ 鯉(2)伽(ξ)礁 一 ∬2ψ(2)ぬ Φ(ξ)乙+∬ ξψ(ξ)Φ(ξ)礁

∬ ξψ(ξ)Φ(ξ)礁

大槻 幹 郎:分 配 の不平 等 の 内的 生起

で あ る.第 二 に,同 様 に 部 分 積 分 法 に よ り

19

{23)

一(24)

で あ る.こ れ ら(23)と(24)を 考 慮 す る と,社 会 全 体 の1人 当 た り 資 産 保 有 量 の 期 待 値wtは つ ぎ の 通 り で あ る.

a ZUt=Zf/t

b(ξ)ψ(ξ)礁

t

2(μ 一∬ ξΦ(ξ)ψ(ξ)呵 胞(z)伽(ξ)礁) 一望(25)

グ ル ー プ ξ内 の 不 平 等 度 をHt(ξ)と 表 し,こ れ と混 同 し な い よ う に,こ こ しば ら くは 社 会 全 体 の 不 平 等 度 を字 体 を変 え てHtと 表 す こ と に す る.(4)に よ り時 点tに お け る不 平 等 度 は

Ht‑∬ 撃)Ht(ξ)ψ(ξ)礁+∬ 拓疹∫)1・9肇)ψ(ξ)礁(26) で あ る.(2)に よ り,グ ル ー プ 内 の 不 平 等 度 私(ξ)に つ い て

Ht(ξ)<1・9(1+va器 莞)))(27) が 成 立 す る.こ の う ち分 散 は つ ぎ の よ う に 求 め られ る.

va・(勧(ξ))‑tt

m=OY12)Φ(ξ)m(1一 Φ(ξ))t‑m

mmt‑m

×ズ ・ ・ ∬ 五 免・ ・ ∬ ∬ … ∬(晦(ξ)一 π 吻(ξ))込 伽

t

=Σ 競 Φ(ξ)m(1一 Φ(ξ))t‑m

m=0

×(m6+116(… ・(2b(ξ))+(t‑m)va・(2a(ξ))))

一'(Φ(ξ)σ+116(Φ(ξ)va・(2b(ξ))+(0(ξ))va・(za(ξ))))

上 の 式 と(21)に よ り,(27)に お い て 平 均 の2乗 に 対 す る分 散 の 比 は ゼ ロ に 漸 近 す る.し た が っ て,す べ て の ξ(ろく ξ〈a)に つ い て

limHt(ξ)=0(28)

̀yam

こ の よ う に グ ル ー プ 内 の 不 平 等 度Ht(ξ)は ゼ ロ に 漸 近 す る.

他 方,グ ル ー プ ξ の 資 産 比 は,(22)と(25)か ら

v(ξ)一 肇)一 毒(4Φ(ξ)μ+(1‑2Φ(ξ))ξ 一 ∬ 即(2)dz+2(1一 Φ(ξ))2a(ξ))(29) で あ り,こ の 比 は 時 間 ≠に は 依 存 せ ず,一 定 で あ る.6)(26)と(28)か ら

結 論6.社 会 全 体 の 不 平 等 度 は グ ル ー プ 間 の 不 平 等 度 に 漸 近 す る.す な わ ち

で あ る.

聖 私 一abv(ξ)1・gv(ξ)ψ(ξ)4ξ (30)

0

数 値 実 験

結 論6に つ い て シ ミュ レ ー シ ョン を行 っ た.そ の さ い,個 人 の確 実 性 等 価 ξに つ い て は 区 間(

ろ≦qξ劒 上 に 一 様 に 肺 して い る と仮 定 し た・ す な わ ち・肺 関 数 は Φ(ξ)一 鴛 で あ る.

こ の と き(29)は つ ぎの よ う に整 理 さ れ,資 産 比 は 確 実 性 等 価 の 二 次 関 数 v(ξ)一 鷲)‑2(1

a̲b)μ(a2+b22‑4ろ μ+(a+ろ+4μ)ξ 一3ゲ)(31) と な る.

シ ミ ュ レ ー シ ョ ン で は,第1節 の 場 合 と 同 じ よ う に,経 済 は 総 数%‑1 ,000人 の 個 人 か ら 構 成 さ れ て い る と 仮 定 し,各 個 人Zの 確 実 性 等 価 に つ い て は 区 間(ろ く ξ<a)上 に 乱 数 を 発 生 さ せ て ξぽの 値 を 与 え た 後,す べ て の 個 人 を 確 実 性 等 価 の 小 さ い 順 に 並 べ 替 え た.す な わ ち ξゴ<ξ、.1.こ の よ う 蠣 位 で は,Φ ㈲ 一舌 と な る.こ れ を考 慮 す る と,こ こで取 り扱 って い る よ うな離 散 的 な場 ・ 合に は(29)は

防一 柴L毒(努 μ+(1̲2in)亀 一 禽6+簿)(32)

と な る.事 実,横 軸 に 確 実 性 等 価 を と り,縦 軸 に 資 産 比 を と っ て,(31)の グ ラ フ を 描 き,同 じ 図 上 に,(32)に よ っ て 決 ま る 点(ξ ゴ,の を プ ロ ッ トす る な ら ば,こ れ ら の500の 点 は こ の グ ラ フ 上 に 位 置 す る こ と が 確 か め ら れ る だ ろ う .

収 益 機 会 に つ い て は,こ れ ま の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン と 同 じ よ う に 二 項 モ デ ル を 用 い て た .す な わ ち,収 益Xがrで あ る 確 率 はpで り,Sで あ る 確 率 はq=1‑pで あ る .そ の 期 待 値 μ=塑+sq で あ る.個 人Zに と っ て の,こ の 不 確 実 な 機 会 の 確 実 性 等 価 ξ,は ,彼 女 が 危 険 回 避 的 で あ る な ら ば,S〈 ξガ<μ で あ る.こ こ で は す べ て の 個 人 は 危 険 回 避 的 で あ り,し た が っ て,上 で 確 実 性 等 価 を 指 定 し た と きa=μ,b=Sで あ る と 指 定 し た.な お,初 期 資 産 保 有 量 は す べ て の 個 人 に つ い て 等 し く,wo‑0で あ る と し た .こ こ で は 収 益rの 確 率pの み が 異 な る,次 の よ う な 二 つ の

6)初 期 資 産 保 有 量Zf/o=0を 明 示 す る な ら ば,社 会 全 体 の 一 人 当 た り資 産 量 は 加t+Zito,グ ル ー プ ξ の そ れ は wt(ξ)+ZUoで あ る.

March2008大 槻 幹 郎:分 配 の 不 平 等 の 内 的 生 起2エ ケ ー ス を 設 定 し た.

ケ ー スAf.2,r=10,S=0.5,μ=2.4 ケ ー スBp=0.01,r=10,s=0.5,μ=0.595

い ず れ の ケ ー ス に お い て も,各 時 点tで ラ ン ダ ム に 各 個 人 に 相 手 を 引 き 合 わ せ,500の 相 対 市 場 を 形 成 す る.各 ペ ア に お い て 臨 界 価 格 が 高 い 個 人 は 低 い 個 人 に 代 価 を 支 払 い,収 益 機 会 を 獲 得 す る.代 価 は 二 人 の 臨 界 価 格 の 平 均 で あ る と す る.例 え ば,個 人Zと ブが ペ ア と な っ た 相 対 市 場 {ZJ}で は,ξ ぢ〉 ξゴな ら ば,個 人Zが 機 会 を 獲 得 し,そ の 代 わ り 個 人 ノ に 代 価 と し て(ξ 汁 ξノ)/4を 支 払 う.つ い で,各 相 対 市 場 ご と に 区 間(0,1)上 の 一 様 乱CuZ,を 発 生 さ せ,砺 くpな ら ば, 個 人Zは 収 益rを 得 る,砺}pな ら ば,収 益Sを 得 る.時 点tに お け る 各 個 人Zの 資 産 量wit は そ の 時 点 ま で の 収 益 の 実 現 額 か ら代 価 支 払 額 を 控 除 し た 純 収 益 あ る い は 代 価 の 受 取 額 の 累 計 で あ る.こ の よ う に し てt=500ま で 進 行 さ せ た.こ の 時 系 列 か ら20の 時 点 を 選 び,分 配 の 不 平 等 度 を 計 算 し た.し か し,あ る 期 聞 が 経 過 す る ま で の 問,す べ て の 個 人 の 資 産 量 が 正 で あ る こ と が 保 証 さ れ な い.他 方,第1節 に お い て 述 べ た よ う に,こ こ で 採 用 し た 不 平 等 度 は 資 産 量 が 厳 密 に 正 で あ る こ とが 前 提 さ れ て い る.そ こ で こ こ で は,そ れ 以 降 は す べ て の 個 人 の 資 産 量 が 正 と な っ て い る よ う な 時 点t*を 見 つ け,そ れ 以 後 の あ る 適 当 な 時 点 あ か ら 最 終 時 点 ま で 等 間 隔 で20時 点 を 選 び,不 平 等 度 を 計 算 し,そ の 結 果 を 図 上 に ○ 印 で プ ロ ッ ト し た.さ ら に 早 い 時 期 の 不 平 等 度 を 示 す た め に,時 点t*と 孟 。の 問 の あ る 一 時 点 に お け る 不 平 等 度 に つ い て も 図 上 に プ ロ ッ ト し た.

● ケ ー スAの 場 合:(図6参 照)

ま ず(32)に 従 い,個 人Zの 資 産 比 を 算 出 し,結 論6に あ る 収 束 値 を 計 算 す る と,lzmt.。 。 私

=0 .0335と な る.図6の 左 図 で に 実 線 の 水 平 線 で 示 さ れ て い る.

シ ミュ レ ー シ ョ ン は 上 に 述 べ た よ う な 仕 方 で 行 っ た.そ の 結 果 は 図 に ○ 印 で 示 さ れ て い る.こ の 軌 跡 か ら,上 で 求 め た 理 論 上 の 収 束 値 に 漸 近 す る 様 子 が 分 か る.な お,'=500に お け る 不 平 等 度HSOo‑0.0381で あ っ た.(31)は

v=‑0.3434+1.4144‑0.22322

0.11

0.1

0.09

0.08

0.07

α06

0.05 0.04

0.030

図6結 論6に つ い て の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン(ケ ー スA) 1.6

100200300400500

1.4

1.2

1

o.s

0.6

0.4・

0.2L

O.5 ¹ 1.5 2 2.5